专题02 与圆有关的角（题型专练）数学新教材浙教版九年级上册

专题02 与圆有关的角 （题型突破·举一反三） 题型01 圆心角的概念与计算 题型02 求弧的度数 题型03 利用弧、弦、圆心角的关系求解 题型04 圆周角定理 题型05 圆周角定理推论的应用 题型06 90度圆周角所对的弦 题型07 圆内接四边形性质的应用 ▌题型01 圆心角的概念与计算 1．圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角。圆心角的度数等于它所对弧的度数。 2．圆心角与弧的关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等。 3．易错提醒：圆心角的度数与它所对弧的度数相等，但圆心角是角，弧是曲线，二者不能等同。 【典例1】（24-25九年级上·广东汕头·阶段检测）如图所示，表示圆心角的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26九年级上·河北廊坊·期末）一张圆形纸片，圆周被等分，等分点分别为，圆形纸片的部分示意图如图所示，若的半径是2，弦，则（   ） A．8 B．10 C．12 D．14 【变式1-2】（2025·浙江宁波·一模）图1是阿基米德的滑动曲尺模型，图2是其抽象成的几何图形．为的直径，其延长线与弦的延长线交于点，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（24-25九年级上·浙江丽水·期中）在中，弦，圆心角，则的半径为_____． ▌题型02 求弧的度数 1．弧的度数：弧所对圆心角的度数就是这条弧的度数。 2．整圆为360°，半圆为180°，优弧>180°，劣弧<180°。 3．易错提醒：一条弦对应两条弧（优弧和劣弧），求弧度数时要注意区分。 【典例2】（25-26九年级上·浙江丽水·期末）如图，是半圆的直径，点在半圆上，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，量角器的直径与直角三角板的斜边重合，其中量角器0刻度线的端点N与点A重合，射线从处出发沿顺时针方向以每秒2度的速度旋转，与量角器的半圆弧交于点E，第24秒时，点E在量角器上对应的读数是（　　） A．48度 B．64度 C．96度 D．132度 【变式2-2】（24-25九年级上·江苏徐州·阶段检测）如图，    是的直径，弦，若，则的度数是__________． 【变式2-3】（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，中，，以为半径的与相交于点D． (1)若，求的度数 (2)若，求的长． ▌题型03 利用弧、弦、圆心角的关系求解 1．三者关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。 2．知一推二：圆心角、弧、弦三组量中，有一组相等，其余两组也相等。 3．易错提醒：定理前提是"同圆或等圆"，不同圆中弧相等不一定弦相等。 【典例3】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在中，，于点，于点． (1)求证：． (2)若，，求长． 【变式3-1】已知锐角，如图： （1）在射线上取一点，以点为圆心，长为半径作弧，交射线于点，连接； （2）分别以点，为圆心，长为半径作弧，交弧于点，； （3）连接，． 根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ） A． B．若则 C． D． 【变式3-2】（25-26九年级上·浙江嘉兴·阶段检测）如图，是半圆的直径，，是弧的中点，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】（25-26九年级上·浙江·课后作业）如图，为的直径，C、D分别为的中点，，点E、F都在上， 求证： (1)； (2)； (3)． 连接，根据半径相等得到，则根据“”可判断，所以； 先说明，易得到，根据圆心角、弧、弦的关系即可得到； 由得，根据三角形外角性质有，则，所以，于是得到． ▌题型04 圆周角定理 1．圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半。 2．同弧或等弧所对的圆周角相等。 3．易错提醒：圆周角和圆心角必须对同一条弧，不同弧对应的角不能用定理。 【典例4】如图，内接于，D是BC延长线上一点，将点D关于直线AC对称，对称点E恰好落在上，且，则______． 【变式4-1】（25-26九年级上·浙江金华·期末）如图，点在上，点为外一点，，，则的度数可能是（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25九年级上·江苏南京·期中）如图，点、在上，点不与、重合，，则的度数是__________． 【变式4-3】（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，是的弦，，点C是上的一个动点，且．若点M，N分别是的中点，则长的最大值是______． ▌题型05 圆周角定理推论的应用 1．推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等。 2．推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角（90°）。 3．易错提醒：直径所对圆周角是直角的前提是"直径"，非直径弦所对圆周角不是90°。 【典例5】（25-26九年级上·浙江嘉兴·阶段检测）如图，以的一边为直径的半圆与边，分别交于点，，且平分． (1)求证：； (2)设，用含的代数式表示； (3)若，求弦的长． 【变式5-1】（24-25八年级上·浙江温州·阶段检测）如图，四边形内接于，其中，已知对角线过点O，对角线与相交于点E且，则（    ） A． B． C． D．3 【变式5-2】（25-26九年级下·浙江杭州·期中）如图，在中，，，以为直径作半圆，交于点，交于点，连接，相交于点．已知，则的长为（   ） A． B． C．6 D．8 【变式5-3】（24-25九年级上·浙江·期中）如图，已知是的直径，B，C是两侧圆上的动点，且，过点C作，交直径于点F，连结， (1)求证：； (2)试判断四边形的形状，并说明理由． ▌题型06 90度圆周角所对的弦 1．90°的圆周角所对的弦是直径。 2．应用：遇到直角圆周角时，可确定其所对弦为直径，进而求半径或直径。 3．易错提醒：90°圆周角所对的弦一定是直径，但直径所对的圆周角才一定是90°。 【典例6】点O是内一点，经过点A和直角顶点C，与直角边交于点E，与斜边交于点D，且，若的半径为5，，则斜边的长为______. 【变式6-1】（25-26九年级上·浙江温州·期中）已知点、在上，点为中点，，点在线段上，交于点，，，则__________． 【变式6-2】（24-25九年级上·浙江·期中）如图，在每个小正方形的边长均为1的网格图中，一段圆弧经过格点A，B，C，格点A，D的连线交圆弧于点E，则的长为____________． ▌题型07 圆内接四边形性质的应用 1．圆内接四边形对角互补：，。 2．外角等于内对角：圆内接四边形的一个外角等于它的内对角。 3．易错提醒：只有四边形内接于圆时才有对角互补，普通四边形不具备此性质。 【典例7】（24-25九年级上·浙江绍兴·阶段检测）如图，的内接四边形两组对边的延长线分别交于点E，F． (1)当，时，求的度数． (2)若，，且．请用含有，的代数式表示的大小． 【变式7-1】（2026·浙江温州·三模）如图，已知四边形内接于，连接，，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【变式7-2】（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，四边形内接于，交的延长线于点E，连接平分． (1)求证：； (2)若点B为的中点，时，求的长． 【变式7-3】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，点A，B，C，D，E在上顺次排列，已知． (1)求证：； (2)若直线过圆心O，设度数为，弧度数为．探索和满足的等量关系． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 与圆有关的角 （题型突破·举一反三） 题型01 圆心角的概念与计算 题型02 求弧的度数 题型03 利用弧、弦、圆心角的关系求解 题型04 圆周角定理 题型05 圆周角定理推论的应用 题型06 90度圆周角所对的弦 题型07 圆内接四边形性质的应用 ▌题型01 圆心角的概念与计算 1．圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角。圆心角的度数等于它所对弧的度数。 2．圆心角与弧的关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等。 3．易错提醒：圆心角的度数与它所对弧的度数相等，但圆心角是角，弧是曲线，二者不能等同。 【典例1】（24-25九年级上·广东汕头·阶段检测）如图所示，表示圆心角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了圆心角的判断，根据定义解答即可.顶点在圆心，角的两边与圆周相交的角，叫作圆心角． 【详解】解：图D中是圆心角． 故选：D． 【变式1-1】（25-26九年级上·河北廊坊·期末）一张圆形纸片，圆周被等分，等分点分别为，圆形纸片的部分示意图如图所示，若的半径是2，弦，则（   ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】C 【分析】本题考查了圆心角、勾股定理的逆定理等知识，熟练掌握圆心角的概念是解题关键．连接，先根据勾股定理的逆定理可得，再根据圆的性质求出圆心角，则，由此即可得． 【详解】解：如图，连接， ∵的半径是2， ∴， ∵弦， ∴， ∴是直角三角形，， ∵圆形纸片被等分， ∴， ∴， 解得，经检验，是所列分式方程的解． 故选：C． 【变式1-2】（2025·浙江宁波·一模）图1是阿基米德的滑动曲尺模型，图2是其抽象成的几何图形．为的直径，其延长线与弦的延长线交于点，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆的基本概念、等边对等角，熟练掌握圆的基本概念是解题的关键．利用等边对等角得到，由得到，利用三角形的外角的性质得到，结合即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， ，即． 故选：B． 【变式1-3】（24-25九年级上·浙江丽水·期中）在中，弦，圆心角，则的半径为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查等边三角形的判定和性质，圆心角，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据等边三角形的判定定理证明是等边三角形，根据等边三角形的性质得到答案． 【详解】解：∵， ∴是等边三角形， ∴． 故答案为：． ▌题型02 求弧的度数 1．弧的度数：弧所对圆心角的度数就是这条弧的度数。 2．整圆为360°，半圆为180°，优弧>180°，劣弧<180°。 3．易错提醒：一条弦对应两条弧（优弧和劣弧），求弧度数时要注意区分。 【典例2】（25-26九年级上·浙江丽水·期末）如图，是半圆的直径，点在半圆上，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理(直径所对的圆周角为直角，圆周角的度数等于所对弧度数的一半)，关键是利用直径的性质和圆周角与弧的度数关系求解． 【详解】解：如图，连接． ∵是半圆的直径， ∴． ∵， 在中，． ∴的度数为； 故选：C． 【变式2-1】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，量角器的直径与直角三角板的斜边重合，其中量角器0刻度线的端点N与点A重合，射线从处出发沿顺时针方向以每秒2度的速度旋转，与量角器的半圆弧交于点E，第24秒时，点E在量角器上对应的读数是（　　） A．48度 B．64度 C．96度 D．132度 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理及推论，正确应用圆周角定理及推论是解题的关键． 第24秒时，射线旋转的角度是，利用同弧所对的圆心角与圆周角的关系求解即可． 【详解】解：连接， ∵， ∴A，B，C在以点O为圆心，为直径的圆上， ∴点E，A，B，C共圆， ∵射线从处出发沿顺时针方向以每秒2度的速度旋转， ∴， ∴． ∴点E在量角器上对应的读数是：． 故选：C． 【变式2-2】（24-25九年级上·江苏徐州·阶段检测）如图，    是的直径，弦，若，则的度数是__________． 【答案】/30度 【分析】连接，根据平行线的性质可得，由可得，再根据三角形内角和定理可求得的度数，即的度数． 【详解】 连接， ， ． ， ， ， ∴的度数是． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了弧的度数：圆中，弧的度数即弧所对的圆心角的度数，掌握这一点知识是解题的关键． 【变式2-3】（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，中，，以为半径的与相交于点D． (1)若，求的度数 (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查计算圆心角度数，三角形内角和定理，等腰三角形性质，勾股定理等． （1）根据题意连接，再利用内角和定理计算出，继而求出本题答案； （2）作，根据垂径定理得，再利用勾股定理计算出，利用等积法求出，再利用勾股定理即可计算出本题答案． 【详解】（1）解：连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数为； （2）解：作， ∴， ∵， ∴， ∴，即：， ∴， ∴， ∴． ▌题型03 利用弧、弦、圆心角的关系求解 1．三者关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。 2．知一推二：圆心角、弧、弦三组量中，有一组相等，其余两组也相等。 3．易错提醒：定理前提是"同圆或等圆"，不同圆中弧相等不一定弦相等。 【典例3】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在中，，于点，于点． (1)求证：． (2)若，，求长． 【答案】(1) 证明：连接OC，，， ∵， ∴， ∴， 又，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； (2) 【分析】（1）连接OC，，，先证明，再证明，进一步可得答案； （2）求解，，结合，再利用勾股定理可得答案． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴，， ∵， ∴． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，全等三角形的判定与性质，弧，弦，圆心角之间的关系，掌握以上基础知识是解本题的关键． 【变式3-1】已知锐角，如图： （1）在射线上取一点，以点为圆心，长为半径作弧，交射线于点，连接； （2）分别以点，为圆心，长为半径作弧，交弧于点，； （3）连接，． 根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ） A． B．若则 C． D． 【答案】D 【分析】连接，由作法得，则根据圆周角、弧、弦的关系可对A进行判断；当时，为等边三角形，则，于是根据圆周角、弧、弦的关系可对B进行判断；根据圆周角定理直接对C进行判断；根据两点之间线段最短可对D进行判断． 【详解】解：连接， 由作法得， ， 所以A正确； ， 当时，为等边三角形， ， ， 所以B正确； ， ， ， 所以C正确； ， ， 所以D错误． 【变式3-2】（25-26九年级上·浙江嘉兴·阶段检测）如图，是半圆的直径，，是弧的中点，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了弧与圆心角的关系，根据已知得出，根据是弧的中点，即可求得的度数． 【详解】解：如图，连接、， ∵， ∴ ∵是弧的中点， ∴ 故选：D． 【变式3-3】（25-26九年级上·浙江·课后作业）如图，为的直径，C、D分别为的中点，，点E、F都在上， 求证： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理以及含30度的直角三角形三边的关系， 连接，根据半径相等得到，则根据“”可判断，所以； 先说明，易得到，根据圆心角、弧、弦的关系即可得到； 由得，根据三角形外角性质有，则，所以，于是得到． 【详解】（1）证明：连接，如图， ∵为的直径，C、D分别为的中点， ∴， ∴， 而， ∴， ∴； （2）证明：在中，取的中点G，连接， ∴， ∴. ∵， ∴, ∴. ∵是的外角， ∴， ∴， 解得， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ▌题型04 圆周角定理 1．圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半。 2．同弧或等弧所对的圆周角相等。 3．易错提醒：圆周角和圆心角必须对同一条弧，不同弧对应的角不能用定理。 【典例4】如图，内接于，D是BC延长线上一点，将点D关于直线AC对称，对称点E恰好落在上，且，则______． 【答案】40 【分析】连接，设，，根据折叠的性质，三角形的外角的性质，圆周角定理，以及平行线的性质，推出，即可得出结果. 【详解】解：连接， ∵对称， ， 设，， ， ， ， ， ， ． ． 【变式4-1】（25-26九年级上·浙江金华·期末）如图，点在上，点为外一点，，，则的度数可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令交于点，连接、，如图所示，先判断是等腰直角三角形，得到，从而得到，再由圆周角定理得到，最后由外角性质确定，结合四个选项中的角度判断即可得到答案． 【详解】解：令交于点，连接、，如图所示： ，， ， 是等腰直角三角形，则， ， ， ， ， 是的一个外角， ， 即， 综合四个选项中的角度，只有满足要求， 故选：D． 【点睛】本题考查圆中求角度，涉及圆的基本性质、勾股定理的逆定理、圆周角定理、三角形外角性质等知识，熟记相关几何性质是解决问题的关键． 【变式4-2】（24-25九年级上·江苏南京·期中）如图，点、在上，点不与、重合，，则的度数是__________． 【答案】/35度 【分析】本题考查圆周角定理：“在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半”，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 【变式4-3】（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，是的弦，，点C是上的一个动点，且．若点M，N分别是的中点，则长的最大值是______． 【答案】5 【分析】本题考查圆周角定理，三角形中位线定理，解题的关键是由圆周角定理推出，由三角形中位线定理得到． 连接OA，OB，由圆周角定理得到，进而判定是等腰直角三角形，求出，由三角形中位线定理得到，由AC的最大值是，即可得到MN长的最大值． 【详解】解：连接OA，OB，如下图， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 点M，N分别是的中点， 是的中位线， ， 最大时，取最大值，当是该圆的直径时，取最大值， 的最大值是， 长的最大值是． 故答案为：． ▌题型05 圆周角定理推论的应用 1．推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等。 2．推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角（90°）。 3．易错提醒：直径所对圆周角是直角的前提是"直径"，非直径弦所对圆周角不是90°。 【典例5】（25-26九年级上·浙江嘉兴·阶段检测）如图，以的一边为直径的半圆与边，分别交于点，，且平分． (1)求证：； (2)设，用含的代数式表示； (3)若，求弦的长． 【答案】(1) 证明：是直径， ， 平分， ， ，， ， ； (2) (3) 【分析】本题主要考查了圆周角定理，三角形内角和定理，面积法求线段长，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）因为是直径，则，根据平分，可得，则可证明题目； （2）由题意可得，在中利用三角形内角和定理解决问题即可； （3）利用勾股定理可求得，根据求出即可． 【详解】（1）略 （2）解：是直径， ， ， ， ， ， 即； （3）解：，且平分， ，，， ， ，， ， ． 【变式5-1】（24-25八年级上·浙江温州·阶段检测）如图，四边形内接于，其中，已知对角线过点O，对角线与相交于点E且，则（    ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】首先由直径得到，然后利用三角形内角和定理和等边对等角得到，然后根据同弧所对的圆周角相等得到，进而求出，令的半径为，然后表示出，，即可解决问题． 【详解】解：为的直径， ， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 令的半径为， 则， ， ， ， 又， ． 故选：C． 【点睛】本题考查直径的性质，同弧所对的圆周角相等，三角形内角和定理和等边对等角性质，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 【变式5-2】（25-26九年级下·浙江杭州·期中）如图，在中，，，以为直径作半圆，交于点，交于点，连接，相交于点．已知，则的长为（   ） A． B． C．6 D．8 【答案】C 【分析】由圆周角定理得到，由等腰三角形的性质推出，判定是等腰直角三角形，得到，由三角形内角和定理推出，判定，推出． 【详解】解：∵是半圆的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【变式5-3】（24-25九年级上·浙江·期中）如图，已知是的直径，B，C是两侧圆上的动点，且，过点C作，交直径于点F，连结， (1)求证：； (2)试判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)四边形是菱形，理由见解析 【分析】本题考查了圆周角定理，菱形的判定，全等三角形的判定与性质等知识点． （1）根据圆周角定理推出，进而结合题意推出，从而由等腰三角形的性质得到； （2）根据平行线的性质得出，进而推出，结合题意和全等三角形的性质得到四边形是平行四边形，再根据推出，从而得到四边形是菱形． 【详解】（1）证明：是直径， ， 在和中， ， ， ， ， ； （2）解：四边形是菱形，理由如下： ，， ， ∵， ， 在和中， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是菱形． ▌题型06 90度圆周角所对的弦 1．90°的圆周角所对的弦是直径。 2．应用：遇到直角圆周角时，可确定其所对弦为直径，进而求半径或直径。 3．易错提醒：90°圆周角所对的弦一定是直径，但直径所对的圆周角才一定是90°。 【典例6】点O是内一点，经过点A和直角顶点C，与直角边交于点E，与斜边交于点D，且，若的半径为5，，则斜边的长为______.    【答案】 【分析】连接、，根据是的直径，得出，，根据勾股定理求出，根据垂直平分线的性质得出，得出，根据勾股定理求出． 【详解】解：连接、，如图所示：   ，，， ∴是的直径，， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴在中，根据勾股定理得： ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了直径所对的圆周角是直角，勾股定理，垂直平分线的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握直径所对的圆周角是直角． 【变式6-1】（25-26九年级上·浙江温州·期中）已知点、在上，点为中点，，点在线段上，交于点，，，则__________． 【答案】 【分析】先由确定是半圆直径，取圆心后，结合是弧中点得到圆心角关系；再通过圆周角定理、等边三角形判定求出圆的半径；接着利用平行线性质和含角的直角三角形性质，结合勾股定理求出相关线段长度，最终计算出． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的直径， 取的圆心，连接， ∵点为的圆弧中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， 在中，由勾股定理得，， ∵ ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 解得，， ∴， 在中，， ∴， ， 故答案为． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理、等边三角形的判定与性质、勾股定理、含角的直角三角形性质，熟练掌握圆的基本性质（直径与圆周角的关系、弧与圆心角的关系）及特殊三角形的性质是解题的关键． 【变式6-2】（24-25九年级上·浙江·期中）如图，在每个小正方形的边长均为1的网格图中，一段圆弧经过格点A，B，C，格点A，D的连线交圆弧于点E，则的长为____________． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理、等腰直角三角形的判定和性质、圆周角定理等，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．连接，根据勾股定理的逆定理和等腰三角形的判定可得是等腰直角三角形，再根据圆周角定理和弧长的计算公式进行求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴是圆的直径， ∴， ∴， 故答案为：． ▌题型07 圆内接四边形性质的应用 1．圆内接四边形对角互补：，。 2．外角等于内对角：圆内接四边形的一个外角等于它的内对角。 3．易错提醒：只有四边形内接于圆时才有对角互补，普通四边形不具备此性质。 【典例7】（24-25九年级上·浙江绍兴·阶段检测）如图，的内接四边形两组对边的延长线分别交于点E，F． (1)当，时，求的度数． (2)若，，且．请用含有，的代数式表示的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形对角互补，外角等于内对角是解题的关键； （1）根据外角的性质可得，再根据圆内接四边形的性质即可得解； （2）根据圆内接四边形的性质和外角的性质可得，进而可得． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式7-1】（2026·浙江温州·三模）如图，已知四边形内接于，连接，，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据圆内接四边形的对角互补求出的度数，再根据圆周角定理求出的度数． 【详解】解：四边形内接于， ， ， ， 与是同弧所对的圆心角与圆周角， ． 【变式7-2】（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，四边形内接于，交的延长线于点E，连接平分． (1)求证：； (2)若点B为的中点，时，求的长． 【答案】(1) 证明：∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； (2)6 【分析】本题主要考查了同弧或等弧所对的圆周角相等，全等三角形的性质与判定，角平分线的定义和性质，勾股定理等等，正确作出辅助线是解题的关键． （1）根据圆内接四边形对角互补和平角的定义可证明，由角平分线的定义和同弧所对的圆周角相等得到，即可证明； （2）过点C作于H，设，则，由角平分线的性质得到，证明，得到，证明，得到，则，再由弧与弦之间的关系得到，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：过点C作于H，， 设，则， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理可证明， ∴， ∴， ∵点B为的中点， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， 【变式7-3】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，点A，B，C，D，E在上顺次排列，已知． (1)求证：； (2)若直线过圆心O，设度数为，弧度数为．探索和满足的等量关系． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查圆内接四边形，圆心角，弧，弦的关系以及圆周角定理等． （1）根据圆心角，弧，弦之间的关系，圆周角定理进行解答； （2）根据，继而利用圆内接四边形对角互补即可得到本题答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴，即：， ∴， ∴， ∴，即：， ∴； （2）解：，探究如下： ∵度数为， ∴， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴， ∵度数为， ∴，即：． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $