第1章 第4节 基本不等式(课件PPT)-【高考领航】2027年高考数学大一轮复习学案（创新版）

该高中数学高考复习课件聚焦“基本不等式”专题，依据课标要求系统梳理了不等式性质、最值求解及实际应用三大核心考点，对接高考评价体系分析了配凑法、常数代换法等高频题型占比，归纳直接求最值、条件最值、实际问题等常考类型，构建完整备考知识网络。 课件亮点在于高考真题与教材题深度衔接，如2025北京高考题与人教版教材题对比分析，通过“一题多解”“规律总结”培养数学思维与运算能力，例如用配凑法突破“x>1时4x+1/(x-1)最小值”问题，助力学生掌握答题技巧，教师可据此精准把握学情，实现高效复习。

第4节　基本不等式 返回 ‹#› 1．掌握基本不等式 ≤(a＞0，b＞0)，并能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题．　2.理解基本不等式在实际问题中的应用． 课标解读 返回 ‹#› 1 再研教材 夯实基础 4 限时规范训练　 栏 目 导 引 3 考教衔接 精研教材 2 考点突破 通法悟道 返回 ‹#› 再研教材 夯实基础 1．基本不等式： ≤ (1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0. (2)等号成立的条件：当且仅当_____时，等号成立． (3)其中叫做正数a，b的算术平均数， 叫做正数a，b的几何平均数． a＝b 返回 ‹#› 2．利用基本不等式求最值 (1)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值． (2)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最 大值． 注意：利用基本不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”． 2 返回 ‹#› 几个重要的不等式： (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)； (2)≥2(a，b同号)； (3)ab≤2(a，b∈R)； (4)2(a，b∈R)． 以上不等式等号成立的条件均为a＝b. 返回 ‹#› 1．(人A必修一P45例1改编)设a＞0，则9a＋的最小值为(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 C 返回 ‹#› 2．(苏教必修一P61练习T1改编)已知m＞0，n＞0，mn＝81，则m＋n的最小值是(　　) A．9 B．18 C．9 D．27 解析：B　因为m＞0，n＞0，由基本不等式m＋n≥2 得，m＋n≥18，当且仅当m＝n＝9时，等号成立，所以m＋n的最小值是18.故选B. B 返回 ‹#› 3．(人A必修一P48习题T1(2)改编)已知0＜x＜3，则x(3－x)的最大值为________． 解析：因为0＜x＜3，所以x(3－x)≤2＝.当且仅当x＝3－x，即x＝时，等号成立． 答案： 返回 ‹#› 4．(人A必修一P46例3改编)若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m2. 解析：设矩形的一边长为x m，面积为y m2，则另一边长为×(20－2x)＝(10－x)m，其中0＜x＜10，所以y＝x(10－x)≤2＝25，当且仅当x＝10－x，即x＝5时，等号成立，所以ymax＝25，即矩形场地的最大面积是25 m2. 答案：25 返回 ‹#› 考点突破 通法悟道 考点一　利用基本不等式求最值(多维探究) 角度1　直接法 例1　(一题多解)若实数x，y满足xy＝1，则x2＋2y2的最小值为(　　) A．1 B． C．2 D．2 D 返回 ‹#› 解析：D　法一：由xy＝1得x2＋2y2≥＝2 ，当且仅当x2＝2y2，即x2＝ ，y2＝时，等号成立，x2＋2y2的最小值为.故选D. 法二：x2＋2y2＝ ，当且仅当x2＝2y2，即x2＝ ，y2＝时，等号成立，x2＋2y2的最小值为2 .故选D. 返回 ‹#› 角度2　配凑法 例2　(1)(2026·河南濮阳一模)已知x>1，则4x＋的最小值为(　　) A．4 B．6 C．8 D．10 解析：C　由x>1得x－1>0，4x＋＝4(x－1)＋＋4＝8，当且仅当4(x－1)＝，即x＝时，等号成立，故4x＋的最小值为8.故选C. C 返回 ‹#› (2)已知0＜x＜1，则x(3－2x)的最大值为________． 解析：x(3－2x)＝×2x(3－2x)≤2＝，当且仅当2x＝3－2x，即x＝时取等号． 答案： 返回 ‹#› 角度3　常数代换法 例3　(1)设x＞0，y＞0，＋2y＝2，则x＋的最小值为(　　) A． B．2 C． D．3 C 返回 ‹#› 解析：C　因为＋2y＝2，所以＋y＝1，因为x＞0，y＞0，所以x＋＝＝＝ ，当且仅当即时取等号．故选C. 返回 ‹#› (2)已知正实数x，y满足xy＝x＋y，则x＋4y的最小值为(　　) A．8 B．9 C．10 D．11 解析：B　由x＞0，y＞0，且xy＝x＋y，可得＝1，所以x＋4y＝(x＋4y)＝5＋≥9，当且仅当，即x＝3，y＝时取等号．故选B. B 返回 ‹#› 角度4　消元法 例4　(1)已知正实数a，b满足＋b＝1，则的最大值为________． 解析：因为正实数a，b满足＝1－b＞0，0＜b＜1，·2b＝(1－b)·2b＝2·b·(1－b)≤22＝，当且仅当b＝1－b，即b＝，a＝2时等号成立． 答案： 返回 ‹#› (2)已知正数x，y满足x2＋2xy－3＝0，则2x＋y的最小值是________． 解析： 因为x2＋2xy－3＝0，x＞0，y＞0，所以y＝，x∈，所以2x＋y＝2x＋ ＝3，当且仅当，即x＝1时取等号． 答案：3 返回 ‹#› 利用基本不等式求最值的方法 (1)配凑法：主要解决形如“cx＋d＋或ax(c－bx)的最值”问题，配凑成“积为常数”或“和为常数”的形式． (2)常数代换法：主要解决形如“已知x＋y＝t(t为常数)，求的最值”问题，先将转化为·，再用基本不等式求最值． (3)消元法：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，然后利用基本不等式求最值． 返回 ‹#› 1．(2025·山东齐鲁名校大联考)已知实数x>0，y>0，x＋3y＝2，则的最小值为(　　) A．3 B．1＋ C．2＋ D．2＋ 解析：D　因为x>0，y>0，且x＋3y＝2， 所以(x＋3y)＝≥2＋ ＝2＋ ， 当且仅当，即y＝ －1时取等号．故选D. D 返回 ‹#› 2．(多选)已知a＞0，b＞0，a＋b＝ab，则(　　) A．a＋b≤4 B．ab≥4 C．a＋4b≤9 D． BD 返回 ‹#› 解析：BD　对于A、B，因为a＋b＝ab≤2，所以a＋b≥4，当且仅当a＝b＝2时等号成立，a＋b＝ab≥2 ，则ab≥4，当且仅当a＝b＝2时等号成立，故A错误，B正确；对于C，因为a＋b＝ab，则＝1，所以a＋4b＝(a＋4b)＝5＋ ＝9，当且仅当，即b＝，a＝3时等号成立，故C错误；对于D，因为a＋b＝ab，则＝1，所以＝2＋＋1＝32＋，由a＞0，b＞0及＝1，可知0＜＜1，则当，即a＝，b＝3时，取得最小值，故D正确．故选BD. 返回 ‹#› 3．已知a＞1，b＞0，且＝1，则2a＋b的最小值为________． 解析： 因为a＞1，b＞0，a－1＞0，所以2a＋b＝2(a－1)＋b＋2＝[2(a－1)＋b]＋2＝7＋ ＝11，当且仅当即a＝4，b＝3时等号成立． 答案：11 返回 ‹#› 考点二　基本不等式的综合应用(师生共研) 例5　(1)对任意的正实数x，y， ＋ ≤ 恒成立，则k的最小值为(　　) A． B． C．2 D． 解析：B　依题意得k≥恒成立．因为2＝ ＝2 ≤5x＋y，所以2＝＝6，当且仅当y＝5x时等号成立，所以k≥ ，即k的最小值为 .故选B. B 返回 ‹#› (2)现有一家物流公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：仓库每月土地占地费y1万元与仓库到车站的距离x千米的函数关系近似为y1＝；每月库存货物费y2万元与x的函数关系近似为y2＝x.这家公司应该把仓库建在距离车站________千米处，才能使两项费用之和最少． 解析：因为y1＝x，所以总费用为y1＋y2＝(x＋1)－，当且仅当(x＋1)时等号成立，解得x＝4或x＝－6(舍去)． 答案：4 返回 ‹#› 1．利用基本不等式求参数的值或范围问题，分离参数是处理此类问题的首选方法，一般转化为基本不等式求最值或转化为求某个函数的最值问题． 2．利用基本不等式解决实际应用问题的思路 (1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数； (2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值； (3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解． 返回 ‹#› 1．已知x＞0，y＞0，且＝1，若2x＋y＜m2－8m有解，则实数m的取值范围为(　　) A．(－∞，－1)∪(9，＋∞) B．(－∞，－1]∪[9，＋∞) C．(－9，－1) D．[－9，1] A 返回 ‹#› 解析：A　因为x＞0，y＞0，且＝1，所以2x＋y＝(2x＋y)＝5＋＝9，当且仅当，且＝1，即x＝y＝3时取等号，此时2x＋y取得最小值9，若2x＋y＜m2－8m有解，则9＜m2－8m，解得m＞9或m＜－1，即实数m的取值范围为(－∞，－1)∪(9，＋∞)．故选A. 返回 ‹#› 2．为了美化校园环境，园艺师在花园中规划出一个平行四边形，建成一个小花圃，如图，计划以相距6米的M，N两点为▱AMBN一组相对的顶点，当▱AMBN的周长恒为20米时，小花圃占地面积(单位：平方米)最大为(　　) A．6 B．12 C．18 D．24 D 返回 ‹#› 解析：D　设AM＝x，AN＝y，则由已知可得x＋y＝10，在△MAN中，MN＝6，由余弦定理可得，cos A＝，当且仅当x＝y＝5时等号成立，此时(cos A)min＝，所以 ＝，所以四边形AMBN的最大面积为2×＝24(平方米)，此时四边形AMBN是边长为5米的菱形．故选D. 返回 ‹#› 考教衔接 精研教材 高考题　(2025·北京卷T6)已知a>0，b>0，则 (　　) A．a2＋b2>2ab　　　 B． C．a＋b> D． 教材题　(人B必修一P84复习题A组T8)已知a＞b＞0，下列不等式中正确的是 (　　) A．＞　　　 B．ab＜b2 C．－a2＜－ab D．＜   C 解析：C　对于A，当a＝b时，a2＋b2＝2ab，故A错误； 对于B、D，取a＝，此时＝2＋4＝6<， ＝2＋4＝6> ＝，故B、D错误； 对于C，由基本不等式可得a＋b≥2 > ，故C正确．故选C. 返回 ‹#› 点评：两题均围绕不等式性质和基本不等式展开，核心知识点、解题方法(作差法、反例验证等)及考查目标(恒成立条件的判断)高度一致，均强调对不等式成立条件的严谨分析，是同一知识体系下不同难度层次的考查． 返回 ‹#› 基本不等式 ≤(a＞0，b＞0)可以拓展为如下的基本不等式链： 若a＞0，b＞0，则≤ ≤≤ ，当且仅当a＝b时，等号成立，其中 ，， 分别叫做a，b的调和平均数、几何平均数、算术平均数、平方平均数． 利用这个基本不等式链可以使得某些判断数(式)的大小问题、最值问题的求解更加方便． 返回 ‹#› 典例　(多选)设正实数a，b满足a＋b＝1，则(　　) A． 有最大值 B．有最小值3 C．a2＋b2有最小值 D． ＋ 有最大值 ACD 返回 ‹#› 解析：ACD　对于A，由基本不等式可得 ≤，当且仅当a＝b＝时等号成立，故A正确；对于B，由，得，当且仅当a＋2b＝2a＋b，即a＝b＝时等号成立，故B错误；对于C，由 ≥，得a2＋b2≥，当且仅当a＝b＝时等号成立，故C正确；对于D，由 ＝ ，得 ＋ ≤ ，当且仅当a＝b＝时等号成立，故D正确．故选ACD. 返回 ‹#› 1．已知a，b为互不相等的正实数，则下列四个式子中最大的是(　　) A． B． C． D． 解析：B　因为a，b为互不相等的正实数，所以＞＜＜ ＜ ＝＜，所以最大的是.故选B. B 返回 ‹#› 2．若a＞0，b＞0，且a＋2b＝3，则a2＋4b2的最小值等于________， ＋ 的最大值等于________． 解析：由基本不等式链≤ ，可得 ≥，所以a2＋4b2≥，当且仅当a＝2b＝时等号成立．≤ ＝ ，所以 ＋ ≤ ，当且仅当a＝2b＝时等号成立． 答案： 返回 ‹#› 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 11 1 2 限时规范 训练(四)　基本不等式 14 15 (建议用时：45分钟　分值：77分)　　　　　　　　　　　　　　　　 本训练单项选择题5分，多项选择题6分，填空题5分． 1．已知a＞0，b＞0，若2a＋b＝4，则ab的最大值为(　　) A． B．4 C． D．2 解析：D　由题意得4＝2a＋b≥2 ，即2≥ ，两边平方得4≥2ab，所以ab≤2，当且仅当a＝1，b＝2时，等号成立，所以ab的最大值为2.故选D. D 返回 ‹#› 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 11 2． (－6≤a≤3)的最大值为(　　) A．9 B． C．3 D． 解析：B　当－6≤a≤3时，3－a≥0，a＋6≥0，由基本不等式得 ≤，当且仅当3－a＝a＋6，即a＝－时取等号．故选B. 14 15 B 返回 ‹#› 2 3 1 4 5 6 7 8 9 10 12 13 11 3．已知a>0，b>0，且a＋3b＝2，则的最小值是(　　) A．6 B．12 C． D．27 解析：C　由a>0，b>0，a＋3b＝2，得(a＋3b)＝ ≥＝，当且仅当，即2a＝3b＝时取等号， 所以的最小值是.故选C. 14 15 C 返回 ‹#› 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 12 13 11 4．设实数x满足x＞0，则函数y＝2＋3x＋的最小值为(　　) A．4 －1 B．4 ＋2 C．4 ＋1 D．6 解析：A　因为x＞0，所以x＋1＞0，所以y＝2＋3x＋＝3(x＋1)＋－1＝4 －1，当且仅当3(x＋1)＝，即x＝－1时等号成立，所以函数y＝2＋3x＋的最小值为4 －1.故选A. 14 15 A 返回 ‹#› 2 3 4 5 1 6 7 8 9 10 12 13 11 5．若a＞0，b＞0，2ab＋a＋2b＝3，则a＋2b的最小值是(　　) A． B．1 C．2 D． 解析：C　a＞0，b＞0，3＝2ab＋a＋2b≤2＋(a＋2b)，当且仅当a＝2b时取等号，因此(a＋2b)2＋4(a＋2b)－12≥0，即(a＋2b＋6)(a＋2b－2)≥0，又a＋2b＞0，解得a＋2b≥2，所以当a＝2b＝1时，a＋2b取得最小值2.故选C. 14 15 C 返回 ‹#› 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 12 13 11 6．要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是(　　) A．80元 B．120元 C．160元 D．240元 解析：C　由题意知，体积V＝4 m3，高h＝1 m，所以底面积S＝4 m2，设底面矩形的一条边长是x m，则另一条边长是 m，设总造价是y元，则y＝20×4＋10×≥80＋10×2 ＝160，当且仅当2x＝，即x＝2时取等号．所以该容器的最低总造价是160元．故选C. 14 15 C 返回 ‹#› 7 8 9 10 12 13 11 1 3 4 5 6 2 7．(多选)已知正实数x，y满足x＋y＝1，则(　　) A．x2＋y的最小值为 B．的最小值为8 C． ＋ 的最大值为 D．log2x＋log2y没有最大值 14 15 AC 返回 ‹#› 7 8 9 10 12 13 11 1 3 4 5 6 2 解析：AC　因为x，y为正实数，且x＋y＝1，所以y＝1－x，x∈(0，1)．所以x2＋y＝x2－x＋1＝ ＋，当x＝时，x2＋y的最小值为，故A正确；＝(x＋y)＝5＋ ＝9，当且仅当x＝时等号成立，故B错误； ＋2＝x＋y＋2 ＝1＋2 ≤1＋x＋y＝2，当且仅当x＝y＝时，等号成立，故 ＋ ≤ ，即 ＋ 的最大值为 ，故C正确；log2x＋log2y＝log2(xy)，xy≤ ＝，当且仅当x＝y＝时等号成立．所以log2x＋log2y有最大值－2，故D错误．故选AC. 14 15 返回 ‹#› 8 9 10 12 13 11 1 3 4 5 6 7 2 8．(多选)设a＞0，b＞0，则下列不等式中一定成立的是(　　) A．a＋b＋ B．＞ C．≥a＋b D．(a＋b)≥4 解析：ACD　因为a＞0，b＞0，所以a＋b＋ ＋ ，当且仅当a＝b且2 ＝，即a＝b＝时取等号，故A正确；因为a＋b≥2 ＞0，所以 ，当且仅当a＝b时取等号，故B错误；因为 ，当且仅当a＝b时取等号，所以 14 15 ACD 返回 ‹#› 8 9 10 12 13 11 1 3 4 5 6 7 2 － ＝ ，当且仅当a＝b时取等号，所以 ，即≥a＋b，故C正确；因为＝2＋ ＝4，当且仅当a＝b时取等号，故D正确．故选ACD. 14 15 返回 ‹#› 9 10 12 13 11 1 3 4 5 6 7 8 2 9．(5分)设实数a＞0，x＋(x＞－2)的最小值为6，则a＝________． 解析：由于a＞0，x＋2＞0，根据基本不等式x＋ －2＝2 －2，当且仅当x＝ －2时，x＋(x＞－2)取到最小值2 －2，即2 －2＝6，解得a＝16. 答案：16 14 15 返回 ‹#› 10 12 13 11 1 3 4 5 6 7 8 9 2 10．(5分)函数y＝(x＞－1)的最小值为________． 解析：因为y＝－2(x＞－1)，所以y≥2 －2＝0，当且仅当x＝0时等号成立．所以y＝(x＞－1)的最小值为0. 答案：0 14 15 返回 ‹#› 11 12 13 1 3 4 5 6 7 8 9 10 2 11．已知a>b，且ab＝8，则－2的最小值是(　　) A．6 B．8 C．14 D．16 解析：A　因为ab＝8，所以.因为a>b，所以a－b>0，所以a－b＋ ＝8，即≥8，当且仅当a－b＝4时，等号成立，故－2的最小值是6.故选A. 14 15 A 返回 ‹#› 12 13 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2 12．已知a2＋b2＝k，若≥1恒成立，则k的最大值为(　　) A．4 B．5 C．24 D．25 解析：C　因为a2＋b2＝k，所以a2＋(b2＋1)＝k＋1，所以(k＋1)＝[a2＋(b2＋1)]＝＋13＝25，当且仅当，即3a2＝2(b2＋1)＝(k＋1)时等号成立，即，由题意可得≥1，又k＞0，解得0＜k≤24，故k的最大值为24.故选C. 14 15 C 返回 ‹#› 13 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 11 2 13．(5分)(2026·河南郑州模拟)已知正方形ABCD的边长为2，E，F分别为AD，AB上的点，当△AEF的周长为4时，△AEF面积的最大值为________． 解析：设AE＝x，AF＝y，(0≤x≤2，0≤y≤2)，则EF＝ ， 因为△AEF的周长为4，所以x＋y＋ ＝4，因为x＋y＋ ＝4≥2 ＋ ，当且仅当x＝y时取等号，故 ≤ ，则xy≤24－16 ，则△AEF的面积满足 . 故△AEF面积的最大值为12－8 . 答案：12－8 14 15 返回 ‹#› 14 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 11 2 14．(2025·山东齐鲁名校大联考)设正实数a，b满足a＋2b＝1，则的最小值为(　　) A． B．17 C．8＋4 D．16 13 15 C 返回 ‹#› 14 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 11 2 13 解析：C　由题意知 ＋8＝8＋4 ， 当且仅当，即a＝时，等号成立． 因此，的最小值为8＋4 .故选C. 15 返回 ‹#› 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 11 2 13 15．(5分)(2026·安徽A10联盟学情检测)若ex＝e2y＋4，且x－y≥m恒成立，则m的取值范围为________． 解析：因为ex－y＝＝ey＋≥2 ＝4，当且仅当x＝3ln 2，y＝ln 2取等号，所以x－y≥ln 4＝2ln 2，则m≤2ln 2. 答案：(－∞，2ln 2] 15 14 返回 ‹#› 第4节　基本不等式 点击进入WORD文档 按ESC键退出全屏播放 返回 ‹#› $