2026—2027学年人教版数学八年级上册第一次阶段检测

**基本信息** 本试卷聚焦八年级上册第十三—第十四章三角形知识，通过现实情境（如汽车支撑杆、轮船灯塔）与分层问题设计，考查几何直观、推理能力及应用意识，适配月考阶段检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题24分|三角形稳定性（第2题）、全等判定（第5题）|基础概念与图形辨析结合| |填空题|8题24分|等腰三角形底角计算（第9题）、角平分线性质（第12题）|融入生活情境（第10题）| |解答题|8题72分|三角形内角和应用（第17题）、尺规作图探究（第23题）、动态几何拓展（第24题）|从基础证明到分层探究，培养推理与创新意识|

2026一2027学年八上第一次阶段检测 测试范围：第十三一第十四章 时间：120min分值：120分 一.选择题（24分) 题号 y 2 3 6 7 d 答案 A D C D A C C B 二.填空题(24分) 9.50°150度 10.三角形的稳定性 11.60 12.6 13. 90° 14.8 15.2 1 16.220m61226 三.解答题(72分) 17.(1)∠BDC=97° (2)∠EFC=63° 18.角平分线的定义；∠BAC=∠F+∠AGF；等式性质；等量代换；同位角相等，两 直线平行 19.(1)40° (2)当轮船行驶到点C的正南方时距离灯塔最近，因为垂线段最短 (3)当轮船行驶到距离灯塔最近的位置时，∠ACB的度数是多少？（答案不唯一） 20.(1)证明：∠ACD=∠B,∠BCD=∠A, ∴.∠ACD+∠BCD=∠B+∠A, .∠A+∠B+∠ACD+∠BCD=180°， :2(∠4CD+∠BCD)=180 ∴.∠ACD+∠BCD=90° .∠ACB=90°， ∴.△ACB为直角三角形. (2)17° 21.(1)是， 证明：DE‖AB .∠CDE=∠A,∠DFA=∠FDE, ∠DFA=∠A, ∴.∠CDE=∠FDE. ∴.DE平分∠CDF: (2)20° 22.(I)证明：在△ADF和△AEF中， AD=AE DF=EF AF=AF' .△ADF≌△AEF(SSS) ∴.∠DAF=∠EAF, .AP平分∠BAC; (2)12 23.(1)如图：射线OP即为所求 A M N (2)如图：射线OP即为所求， M O--- p 用直尺量出OM=ON,量出MN的长，取MN的中点P. 依据：等腰三角形三线合一(OM=ON,△OMN为等腰三角形，底边中线即为顶角角 平分线). (3)解：如图所示：CG即为所求. G 依据： ·.·∠ABC=∠BCD=90°. .AB⊥BC,DC⊥BC, ∴.AB‖DC 连接BD, 在Rt△ABD与RtACDB中 AB=DC BD=DB .Rt△ABD≌Rt△CDB(HL) ,AD=BC,∠ADB=∠DBC .AD∥BC, .∠GAF=∠BEF, :F是AE中点 ∴.AF=EF ·∠AFG=∠EFB .△AGF≌AEBF(AAS) ..AG=BE AD=AG+DG,BC=BE+EC, ..DG=EC ..DC=EC, :DG=DC, .∠DCG=∠DGC, AD‖BC .∠DGC=∠GCE, ∴.∠DCG=∠GCE, ∴.CG平分∠DCE. (4)方法名称：折纸作图法 核心工具：无需额外作图工具，仅以纸为载体，可徒手完成折叠操作 作图规则：将纸作为作图载体，利用图形轴对称性质，通过有限次对齐、折叠，使目 标图形部分重合，得到的折痕就是所求的直线. 示例：作角平分线时，将角的两边对齐重合折叠，得到的折痕就是该角的角平分线， 原理是角平分线是角的对称轴； 24.(1)CD=BE (2)BE=0.4cm (③)存在；P点的坐标为： (10,10)(2,14)(4,8) · 2026—2027学年八上第一次阶段检测 测试范围：第十三—第十四章 时间：120min 分值：120分 一、单选题（共24分） 1．（本题3分）如图，在中，，为边延长线上的一点，，，则的大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用直角三角形两锐角互余求出的度数，再根据两直线平行，内错角相等，得到与相等，进而算出的大小。 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 2．（本题3分）工人师傅在做完门框后，为防止变形，经常如图所示钉上两条斜拉的木条（即图中的两根木条），这样做的根据是（    ） A．两点之间线段最短 B．三角形的内角和等于 C．三角形两边的和大于第三边 D．三角形的稳定性 【答案】D 【分析】四边形具有不稳定性，三角形具有稳定性，将四边形结构转化为三角形结构即可防止变形，判断即可． 【详解】解：门框原本是四边形，四边形具有不稳定性，容易变形．钉上斜拉的木条后，门框的结构中被分割出了三角形． ∵三角形具有稳定性， ∴这样做的根据是三角形的稳定性． 3．（本题3分）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】选取每组中较短的两条线段求和，与最长线段比较，判断能否组成三角形. 【详解】解：A.∵，∴不能组成三角形，故不符合题意； B.∵，∴不能组成三角形，故不符合题意； C.∵，∴能组成三角形，故符合题意； D.∵，∴不能组成三角形，故不符合题意. 4．（本题3分）如图，在中，，以点为圆心，小于长为半径画弧分别交、于点、，又分别以、为圆心，大于为半径画弧交于点，连接交于点D．已知，，则的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据作图痕迹可知是的角平分线，利用角平分线的性质可得点到的距离等于的长，再根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：由作图痕迹可知，是的角平分线， 过点作于点， ，即， ， ． 5．（本题3分）下面是作角等于已知角的尺规作图过程，要说明，需要证明，则这两个三角形全等的依据是（     ） A．边边边 B．边角边 C．角边角 D．角角边 【答案】A 【详解】解：由作法易得，，，， ， 两个三角形全等的依据是边边边， 故选：A． 6．（本题3分）如图，，和分别平分和，过点，且与垂直．若，则点到的距离是 （     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作于，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，，那么，又，进而求出长． 【详解】解：过点作于，如图， ∵，， ， 和分别平分和， ，， ， ， ， ． 7．（本题3分）如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，点E在上．若，，，当长度最小时，的面积是（     ） A．1 B．2 C．3 D．6 【答案】C 【分析】由垂线段最短可知，当时，长度最小，由作图过程可知平分，结合角平分线性质得到，证明，利用全等三角形性质得到，进而得到，最后利用三角形面积公式求解． 【详解】解：由垂线段最短可知，当时，长度最小， 由作图过程可知平分， ，， ， ， ， ， ， 的面积是． 8．（本题3分）如图，向右平移后得到，点B，E，C，F在同一直线上，分别交，于点E，M，若，，阴影部分面积为，则的长为（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】若，阴影部分面积为，根据三角形的面积公式可得的长，再根据线段的和差关系可得的长，然后根据平移的性质可得，据此求得的长． 【详解】解：，阴影部分面积为， ， ， ． 二、填空题（共24分） 9．（本题3分）已知是等腰三角形，顶角，则底角______． 【答案】/度 【分析】根据等腰三角形的性质，底角相等，利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：在等腰中，顶角， 则底角， 设，则， 根据三角形内角和定理得， 即， ， 解得， 即． 10．（本题3分）汽车前机盖打开后，用支撑杆撑住机盖来固定，方便操作，这是利用了______． 【答案】三角形的稳定性 【详解】解：当汽车前机盖打开时，支撑杆、车身与机盖之间形成了一个三角形，这是利用了三角形的稳定性． 11．（本题3分）中，，，则______． 【答案】60 【分析】直角三角形两锐角互余，即，结合条件，通过等量代换建立方程即可求出． 【详解】解：是直角三角形，， ， 又，即， 将代入得：， 解得：． 12．（本题3分）如图，在中，．平分，于点，若，，则______． 【答案】6 【分析】先求得，再根据角平分线的性质定理可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵．平分，， ∴． 13．（本题3分）如图，在的方格纸中，__________ ． 【答案】 【分析】取格点、、、、，证明，则，结合可得，． 【详解】解：如图， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 14．（本题3分）如图，有两个同样大小的正方形纸片，，将正方形纸片沿着方向滑动，和始终在同一直线上．连接并延长交于点，连接，．若正方形的边长为4，则的面积为______． 【答案】 【分析】根据正方形的性质证明，得到，最后根据等底等高可得． 【详解】解：∵两个同样大小的正方形纸片，，正方形的边长为4， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴根据等底等高可得． 15．（本题3分）如图，是的角平分线，于点，是的中线，动点在边上，连接．若，的面积是3，则的最小值为______________． 【答案】2 【分析】因为是的中线，所以和面积相等，可先求出的面积．已知的面积和的长度，结合，用三角形面积公式可求出的长度．因为是角平分线，根据角平分线的性质，点D到和的距离相等，可得D到的距离等于．因为G在上，根据垂线段最短，的最小值即为D到的距离． 【详解】解：∵是的中线，， ∴． ∵ ，，， ∴ ， 解得． ∵ 是的角平分线， ∴点到的距离等于． 又∵点在上， ∴的最小值就是点到的距离， 即． 16．（本题3分）如图，已知的内角，分别作内角与外角的平分线，两条平分线交于点；作和的平分线交于点；…；以此类推得到点，则的大小为_____． 【答案】/ 【分析】根据角平分线的定义可得，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得，整理可得，同理可得，由此推出，即可求解． 【详解】解：与的平分线交于点， ， ， ， ， 同理可得， …… 以此类推， 的大小为． 三、解答题（共72分） 17．（本题6分）如图,在中,点D、E分别在上，相交于点F，； (1)求的度数； (2)求的度数. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用三角形外角的性质即可求解； （2）利用对顶角相等及三角形内角和即可求解． 【详解】（1）解：∵是的外角, ∴， 即； （2）解： ， 即． 18．（本题6分）已知：如图，在中，平分，点E在上，点F在的延长线上，交于点G，． 求证：． 证明：∵平分（已知）， ∴（ ）． ∵是的外角（已知）， ∴ （三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）． ∵（已知）， ∴， 即（ ）． ∴（ ）． ∴（ ）． 【答案】角平分线的定义；；等式性质；等量代换；同位角相等，两直线平行 【分析】根据三角形的外角性质、角平分线的定义，结合平行线的判定证明即可． 【详解】略 19．（本题8分）如图，一艘轮船按箭头所示方向行驶，处有一座灯塔． (1)当轮船从点行驶到点时，的度数是多少？ (2)轮船行驶到哪一点时距离灯塔最近？为什么？ (3)根据这一情境，你还能提出哪些问题？ 【答案】(1) (2)当轮船行驶到点C的正南方时距离灯塔最近，因为垂线段最短 (3)当轮船行驶到距离灯塔最近的位置时，的度数是多少？（答案不唯一） 【分析】（1）根据三角形外角的性质计算即可； （2）根据垂线段最短作答即可； （3）再提出一个问题即可． 【详解】（1）解： ， ∴当轮船从点行驶到点时，的度数是． （2）略 （3）略 20．（本题8分）如图，在中，，． (1)求证：为直角三角形； (2)若的平分线交于点E，于点D，，求的度数． 【答案】(1)证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为直角三角形． (2) 【分析】（1）根据，，结合三角形内角和定理可得，进而得到，即可证明； （2）先求出，再根据角平分线的定义求出，再根据求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 21．（本题8分）如图，中，为边上一点，过作，交于，为边上一点，连接并延长，交的延长线于，且． (1)平分吗？若是，请证明；若不是，请说明理由； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)是， 证明：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴平分； (2) 【分析】（1）根据得到，，结合，得到即可． （2）先求得，结合，三角形外角性质求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 22．（本题10分）图1是一个平分角的仪器，其中，． (1)如图2，将该仪器放置在上，使点O与顶点A重合，点D，E分别在边，上，连接并延长，交于点P．求证：平分． (2)如图3，在（1）的条件下，过点P作于点Q，若，，的面积为60，求的长． 【答案】(1)证明：在和中， ， , , 平分； (2)12 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、角平分线的判定与性质定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． （1）易证明，则，从而得出结论； （2）过点P作于M，根据角平分线的性质定理得到，利用求解即可． 【详解】（1）略； （2）解：过点P作于M， 平分，， ， ， ， 解得：． 23．（本题12分）几何作图是直观探究图形性质、验证几何结论的重要途径．广义的几何作图，是指依据给定的几何条件，在限定工具与规则的约束下，通过有限次规范操作，构造出满足要求的几何图形的一类几何问题，也是核心的几何实践过程． (1)【活动一】尺规作图 工具要求：仅用一把无刻度的直尺和圆规． 活动任务：如图1，作出的角平分线，保留作图痕迹． (2)【活动二】量化作图 工具要求：仅用一把有刻度的直尺． 活动任务：如图2，作出的角平分线，标出必要数据，简要说明作图依据． (3)【活动三】推理作图 工具要求：仅用一把无刻度的直尺． 活动任务：如图3，、、三点共线．在和中，．，是中点．作出的角平分线，简要说明作图依据． (4)【活动四】反思感悟 有人说：“几何作图的魅力，恰恰藏在工具与规则的约束里．”除本题涉及的几何作图方法外，请再举出一种几何作图方法，并简要说明其核心工具与作图规则． 【答案】(1)如图：射线即为所求 (2)如图：射线即为所求， 用直尺量出，量出的长，取的中点P． 依据：等腰三角形三线合一（，为等腰三角形，底边中线即为顶角角平分线）． (3)解：如图所示：即为所求． 依据： ， ，， ， 连接， 在与中 ， ， ， ， 是中点 ，， ， ， ， ， ， 平分． (4)方法名称：折纸作图法 核心工具：无需额外作图工具，仅以纸为载体，可徒手完成折叠操作 作图规则：将纸作为作图载体，利用图形轴对称性质，通过有限次对齐、折叠，使目标图形部分重合，得到的折痕就是所求的直线． 示例：作角平分线时，将角的两边对齐重合折叠，得到的折痕就是该角的角平分线，原理是角平分线是角的对称轴； 【分析】（1）以为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于、；分别以、为圆心，大于的长度为半径画弧，两弧在内部交于点；画射线，即为所求角平分线． （2）在、上分别量取，连接，构造等腰三角形，然后根据等腰三角形三线合一，量出长度取中点，即可解答； （3）连接，延长交于点，连接，射线即为的角平分线．即为所求． （4）先选定折纸作图法，说明仅用纸作载体、依靠折叠操作，再点明作图核心规则是利用轴对称，通过折叠让角两边重合产生折痕，最后举例折叠角使两边重合得到角平分线，结合角平分线为角对称轴的原理解释即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 （4）略 24．（本题14分）阅读理解，自主探究：在初中几何学习中，当图形中出现多个直角且存在相等的线段时，可结合全等三角形的判定与性质来分析线段之间的关系，这是解决这类几何问题的常用思路． 【问题解决】 (1)如图1，在等腰直角中，，，过点作直线，于点，于点，则与的数量关系是__________； 【问题探究】 (2)如图2，在等腰直角中，，，过点作直线，于点，于点，，，求的长； 【拓展延伸】 (3)如图3，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，第一象限内是否存在一点，使为等腰直角三角形？如果存在，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)存在；点的坐标为：，，． 【分析】（1）利用证明，即可得到； （2）利用证明，再利用全等三角形的性质运算即可； （3）分类讨论点的位置，结合全等三角形的性质运算即可． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴在与中， ， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴和中， ， ∴， ∴，， ∴； （3）解：存在，理由如下： ①：当，时，过点作平行于轴的直线，于点，于点，如图所示： ∵，， ∴，， 由（1）同理可证， ∴，， ∴点的横坐标，点的纵坐标， ∴； ②：当，时，过点作平行于轴的直线，于点，于点，如图所示： ∵，， ∴，， 由（1）同理可证， ∴，， ∴点的横坐标，点的纵坐标， ∴； ③：当，时，过点作平行于轴的直线，于点，于点，如图所示： 设， ∵，， ∴，，，， 由（1）同理可证， ∴，， ∴， 解得：， ∴， 综上，点的坐标为：，，． 试卷第6页，共21页 试卷第7页，共21页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年八上第一次阶段检测 测试范围：第十三—第十四章 时间：120min 分值：120分 一、单选题（共24分） 1．（本题3分）如图，在中，，为边延长线上的一点，，，则的大小为（     ） A． B． C． D． 2．（本题3分）工人师傅在做完门框后，为防止变形，经常如图所示钉上两条斜拉的木条（即图中的两根木条），这样做的根据是（    ） A．两点之间线段最短 B．三角形的内角和等于 C．三角形两边的和大于第三边 D．三角形的稳定性 3．（本题3分）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 4．（本题3分）如图，在中，，以点为圆心，小于长为半径画弧分别交、于点、，又分别以、为圆心，大于为半径画弧交于点，连接交于点D．已知，，则的面积是（     ） A． B． C． D． 5．（本题3分）下面是作角等于已知角的尺规作图过程，要说明，需要证明，则这两个三角形全等的依据是（     ） A．边边边 B．边角边 C．角边角 D．角角边 6．（本题3分）如图，，和分别平分和，过点，且与垂直．若，则点到的距离是 （     ） A． B． C． D． 7．（本题3分）如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，点E在上．若，，，当长度最小时，的面积是（     ） A．1 B．2 C．3 D．6 8．（本题3分）如图，向右平移后得到，点B，E，C，F在同一直线上，分别交，于点E，M，若，，阴影部分面积为，则的长为（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 二、填空题（共24分） 9．（本题3分）已知是等腰三角形，顶角，则底角______． 10．（本题3分）汽车前机盖打开后，用支撑杆撑住机盖来固定，方便操作，这是利用了______． 11．（本题3分）中，，，则______． 12．（本题3分）如图，在中，．平分，于点，若，，则______． 13．（本题3分）如图，在的方格纸中，__________ ． 14．（本题3分）如图，有两个同样大小的正方形纸片，，将正方形纸片沿着方向滑动，和始终在同一直线上．连接并延长交于点，连接，．若正方形的边长为4，则的面积为______． 15．（本题3分）如图，是的角平分线，于点，是的中线，动点在边上，连接．若，的面积是3，则的最小值为______________． 16．（本题3分）如图，已知的内角，分别作内角与外角的平分线，两条平分线交于点；作和的平分线交于点；…；以此类推得到点，则的大小为_____． 三、解答题（共72分） 17．（本题6分）如图,在中,点D、E分别在上，相交于点F，； (1)求的度数； (2)求的度数. 18．（本题6分）已知：如图，在中，平分，点E在上，点F在的延长线上，交于点G，． 求证：． 证明：∵平分（已知）， ∴（ ）． ∵是的外角（已知）， ∴ （三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）． ∵（已知）， ∴， 即（ ）． ∴（ ）． ∴（ ）． 19．（本题8分）如图，一艘轮船按箭头所示方向行驶，处有一座灯塔． (1)当轮船从点行驶到点时，的度数是多少？ (2)轮船行驶到哪一点时距离灯塔最近？为什么？ (3)根据这一情境，你还能提出哪些问题？ 20．（本题8分）如图，在中，，． (1)求证：为直角三角形； (2)若的平分线交于点E，于点D，，求的度数． 21．（本题8分）如图，中，为边上一点，过作，交于，为边上一点，连接并延长，交的延长线于，且． (1)平分吗？若是，请证明；若不是，请说明理由； (2)若，，求的度数． 22．（本题10分）图1是一个平分角的仪器，其中，． (1)如图2，将该仪器放置在上，使点O与顶点A重合，点D，E分别在边，上，连接并延长，交于点P．求证：平分． (2)如图3，在（1）的条件下，过点P作于点Q，若，，的面积为60，求的长． 23．（本题12分）几何作图是直观探究图形性质、验证几何结论的重要途径．广义的几何作图，是指依据给定的几何条件，在限定工具与规则的约束下，通过有限次规范操作，构造出满足要求的几何图形的一类几何问题，也是核心的几何实践过程． (1)【活动一】尺规作图 工具要求：仅用一把无刻度的直尺和圆规． 活动任务：如图1，作出的角平分线，保留作图痕迹． (2)【活动二】量化作图 工具要求：仅用一把有刻度的直尺． 活动任务：如图2，作出的角平分线，标出必要数据，简要说明作图依据． (3)【活动三】推理作图 工具要求：仅用一把无刻度的直尺． 活动任务：如图3，、、三点共线．在和中，．，是中点．作出的角平分线，简要说明作图依据． (4)【活动四】反思感悟 有人说：“几何作图的魅力，恰恰藏在工具与规则的约束里．”除本题涉及的几何作图方法外，请再举出一种几何作图方法，并简要说明其核心工具与作图规则． 24．（本题14分）阅读理解，自主探究：在初中几何学习中，当图形中出现多个直角且存在相等的线段时，可结合全等三角形的判定与性质来分析线段之间的关系，这是解决这类几何问题的常用思路． 【问题解决】 (1)如图1，在等腰直角中，，，过点作直线，于点，于点，则与的数量关系是__________； 【问题探究】 (2)如图2，在等腰直角中，，，过点作直线，于点，于点，，，求的长； 【拓展延伸】 (3)如图3，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，第一象限内是否存在一点，使为等腰直角三角形？如果存在，请直接写出点的坐标． 试卷第2页，共8页 试卷第3页，共8页 学科网（北京）股份有限公司 $