单元集训卷07　三角函数-2027届高考数学一轮复习

**基本信息** 聚焦三角函数核心概念与性质，覆盖从基础定义到图像变换及实际应用的完整逻辑链，通过阶梯式题型培养数学眼光与模型观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|选择1-3题|象限角判断、终边三角函数值计算|从角的概念生成到三角函数定义，构建概念认知基础| |性质应用|选择5/7/8、填空13|周期/单调性分析、恒成立问题|结合函数性质推导，强化运算能力与推理意识| |图像变换|选择6/9、填空14|平移伸缩变换、对称关系|从图像特征到参数求解，培养几何直观与空间观念| |实际应用|选择11、解答18|摩天轮高度建模|用三角函数模型描述现实问题，发展应用意识与模型观念|

单元集训卷07　三角函数 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下面四个命题中，正确的是（   ） A．锐角一定是第一象限角 B．小于的角一定是锐角 C．第二象限角是钝角 D．第一象限的角一定不是负角 2．已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合.若为终边上一点，则（   ） A． B． C． D． 3．已知，则（     ） A． B． C． D． 4．已知 ，则 （     ） A． B． C． D． 5．已知函数的周期为2，且在上单调递减，则可以是（     ） A． B． C． D． 6．（），将向轴正方向平移个单位，得到的函数图像与图像关于轴对称，则的取值个数为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．已知函数，若对于，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 8．已知函数，若，且在区间上单调递减，则整数（  ） A．1或2 B．1 C．2 D．3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．舞龙表演时，龙身上下起伏的姿态可以近似看作下图，若此图象为函数（，，）图象的一部分，则（     ） A． B． C． D．将函数的图象向左平移个单位长度可得到函数的图象 10．已知函数，则（   ） A． B．的定义域为 C．曲线关于点对称 D． 11．摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．某摩天轮最高点距离地面高度为60米，转盘直径为50米，设置有24个座舱，摩天轮开启前，距地面最近的点为0号座舱，距地面最远的座舱为12号，座舱逆时针排列且均匀分布，游客甲坐2号舱位，乙坐6号舱位，开启后按逆时针方向匀速旋转，转一周需要24分钟，游客甲在摩天轮转动过程中距离地面的高度为米，下列说法正确的是（     ） A．关于的函数解析式为 B．开启后第20分钟这一时刻游客甲和乙第二次距离地面高度相同 C．开启后第10分钟游客乙距离地面47.5米 D．开启后第10分钟至第18分钟游客甲和乙运动方向相同（上升或下降） 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知，则 _________. 13．已知函数，则当时，函数的值域为_____________． 14．将函数的图像向左平移个单位，再将所得图像上的各点的横坐标变为原来的倍，得到函数的图像，若在单调递增，则的取值范围为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知角以轴的非负半轴为始边，为终边上一点. (1)求的值； (2)求的值. 16．已知函数． (1)求的最小正周期； (2)若，，求的值． 17．已知函数（，，）的部分图象如图所示． (1)求的解析式； (2)求在上的值域； (3)若函数在上恰有7个零点，求a的取值范围． 18．摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，乘客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯视四周景色（如图1）．已知某摩天轮转盘的最低点距离地面的高度为2米，转盘半径为30米，逆时针均匀设置了依次标号为1~12号的12个座舱，开启后摩天轮按照逆时针方向匀速旋转，转一周需要24分钟．现从1号座舱位于圆周最右端时开始计时（如图2），旋转时间为t分钟． (1)设1号座舱与地面的距离h（单位：米）与时间t的函数关系为，求的解析式； (2)当时，求1号座舱与地面的距离为17米时t的值； (3)甲、乙两名乘客分别乘坐在1号和5号座舱里，在乘坐摩天轮的过程中，甲、乙两人距离地面的高度差的绝对值为H（单位：米）．当时，求H的最大值． 19．已知函数（，）为奇函数，且的周期为． (1)求的解析式； (2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象．当时，求函数的值域； (3)对于第（2）问中的函数，记方程在上的根从小到大依次为：．试确定的值，并求的值． 2 / 13 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 单元集训卷07　三角函数 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下面四个命题中，正确的是（   ） A．锐角一定是第一象限角 B．小于的角一定是锐角 C．第二象限角是钝角 D．第一象限的角一定不是负角 【答案】A 【分析】通过举反例否定B，C，D，证明A． 【详解】对于A，锐角是大于小于的角，是第一象限角，A正确； 对于B，，但不是锐角，B错误； 对于C，是第二象限角，但不是钝角，C错误； 对于D，是第一象限角，可以是负角，D错误． 2．已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合.若为终边上一点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用角终边上一点坐标求出,再利用诱导公式可得到结果. 【详解】已知角终边上一点,则, 根据三角函数定义得,所以. 3．已知，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用齐次式的处理方法求，结合二倍角公式和齐次式的计算方法求和，最后利用两角和的正弦公式求值即可. 【详解】因为，所以，整理得. 所以， . 所以. 4．已知 ，则 （     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】已知，若，等式不成立； 若，则， ． 5．已知函数的周期为2，且在上单调递减，则可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】举例说明函数的单调性不满足要求，排除AC；结合函数定义域，排除B；求函数的周期，结合余弦函数的单调性判断D； 【详解】对于选项A：因为，， 所以函数在上不单调递减，不符合题意，故A错误； 对于选项B：函数的定义域为，， 所以函数在上不单调，不符合题意，故B错误； 对于选项C：因为，， 所以函数在上不单调递减，不符合题意，故C错误； 对于选项D：因为的最小正周期为， 又因为，则，且在内单调递减 所以函数在上单调递减，符合题意，故D正确. 6．（），将向轴正方向平移个单位，得到的函数图像与图像关于轴对称，则的取值个数为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】平移后函数为，与关于轴对称可知函数值互为相反数，利用正弦相等得方程，排除不恒成立情形，得到的取值个数. 【详解】将向右平移个单位得 . 由题意，与的图像关于轴对称，即恒成立， 即. 分两种情形讨论： ①，对任意不恒成立，舍去； ②，化简得 ，即. 由得， 对应，因此的取值个数为3个. 7．已知函数，若对于，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由的取值范围求出的范围，再根据正弦函数的性质求出的值域，即可得到，从而得解. 【详解】当，则， 所以，则， 因为对于，不等式恒成立， 所以，解得，所以实数的取值范围为. 8．已知函数，若，且在区间上单调递减，则整数（  ） A．1或2 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】由函数在区间上单调递减可得，由可得函数关于对称，再解方程即可. 【详解】当时，， 因为在区间上单调递减， 所以，，解得 因为，所以，， 又因为，所以函数关于对称， 所以，解得， 又，所以，. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．舞龙表演时，龙身上下起伏的姿态可以近似看作下图，若此图象为函数（，，）图象的一部分，则（     ） A． B． C． D．将函数的图象向左平移个单位长度可得到函数的图象 【答案】ABD 【详解】由图象可知，B选项正确； 最小正周期，又，A选项正确； 由五点法知，解得，C选项错误； 所以. 所以的图象向左平移个单位长度可得到函数的图象，D选项正确. 10．已知函数，则（   ） A． B．的定义域为 C．曲线关于点对称 D． 【答案】ABC 【详解】A选项，，故A正确； B选项，由，解得， 则的定义域为，故B正确； C选项，令，得， 则函数的对称中心为， 令，得，则曲线关于点对称，故C正确； D选项，，故D错误． 11．摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．某摩天轮最高点距离地面高度为60米，转盘直径为50米，设置有24个座舱，摩天轮开启前，距地面最近的点为0号座舱，距地面最远的座舱为12号，座舱逆时针排列且均匀分布，游客甲坐2号舱位，乙坐6号舱位，开启后按逆时针方向匀速旋转，转一周需要24分钟，游客甲在摩天轮转动过程中距离地面的高度为米，下列说法正确的是（     ） A．关于的函数解析式为 B．开启后第20分钟这一时刻游客甲和乙第二次距离地面高度相同 C．开启后第10分钟游客乙距离地面47.5米 D．开启后第10分钟至第18分钟游客甲和乙运动方向相同（上升或下降） 【答案】BCD 【分析】根据题意建立三角函数模型，然后结合三角函数的图象与性质判断选项即可. 【详解】设游客甲距离地面的高度与时间的函数为， 由题意，，所以， 由摩天轮转一周需要，知座舱转动的角速度约为，故， 则， 又游客甲坐2号舱位，当时，游客甲的位置达到摩天轮最高点，所以， 即，所以，所以， 不妨取，则，故，A错误； 由于摩天轮旋转一周需24分钟，故游客甲和乙第二次距离地面高度相同时， 需经历分钟，B正确； 根据题意游客乙在摩天轮转动过程中距离地面的高度函数为： ， 则开启后第10分钟游客乙距离地面高度为米，C正确； 对于函数， 令得， 所以函数的单调递减区间为， 当时，函数的单调递减区间为， 所以开启后第10分钟至第18分钟游客甲在下降， 对于函数， 令得， 所以函数的单调递减区间为， 当时，函数的单调递减区间为， 所以开启后第10分钟至第18分钟游客乙也在下降， 即开启后第10分钟至第18分钟游客甲和乙运动方向相同，D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知，则 _________. 【答案】 【详解】由， 所以，解得. 13．已知函数，则当时，函数的值域为_____________． 【答案】 【详解】， 当时，，， 故的值域为. 14．将函数的图像向左平移个单位，再将所得图像上的各点的横坐标变为原来的倍，得到函数的图像，若在单调递增，则的取值范围为______. 【答案】 【分析】先由图像变换得到的解析式，再根据在单调递增求出的范围. 【详解】因函数的图像向左平移个单位，所得函数为，再将所得函数图像上的点的横坐标变为原来的倍，得到函数的图像. 所以，令，， 解得，，又在单调递增， 所以，且，解得且，又， 解得，. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知角以轴的非负半轴为始边，为终边上一点. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据角α终边上点的坐标，结合任意角三角函数定义求出、，代入目标式计算即可； （2）利用三角函数诱导公式化简原式为，再结合终边上点的坐标求的值. 【详解】（1）点到坐标原点的距离， 根据任意角三角函数的定义： ，， 代入得； （2）利用诱导公式化简原式： 分子部分：，， ，， 因此分子， 分母部分：，，， 因此分母， 约分化简得原式， 根据定义. 16．已知函数． (1)求的最小正周期； (2)若，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用诱导公式、二倍角公式、两角差的正弦公式化简函数式，然后由周期公式得结论； （2）已知条件代入后，利用平方关系、两角和的正弦公式求解. 【详解】（1）由题意得 , 故的最小正周期是； （2）由题意得，， 而，则， 所以， 所以 . 17．已知函数（，，）的部分图象如图所示． (1)求的解析式； (2)求在上的值域； (3)若函数在上恰有7个零点，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)． 【分析】（1）由图中两个关于零点中心对称的点，先确定一个零点，再利用相邻零点间的距离求周期和；结合图象经过的点求与； （2）令，将自变量区间转化为角的区间，再根据余弦函数在相应区间上的单调性求值域．（3）令 ，先统计方程 在给定区间内的零点个数，再研究方程 的两个根分别应落在哪两个区间，最后利用两根之积为1求的范围． 【详解】（1）由图可知，图象经过点 和 ，这两点关于点 中心对称，所以 图中 与 是相邻两个零点，因此从而 在 处，图象由正变负，所以 解得 由 ，得 ． 又因为 ，所以解得 ． 故 （2）令 当时， 将该区间中的角同时加上，不改变余弦值，得到 在上，余弦函数由减小到；在上，余弦函数由增大到． 所以从而 故在上的值域为． （3）令 当时， 在该区间内，函数的图象如下． 将区间依次分成 在这四个区间上，依次单调递减、单调递增、单调递减、单调递增，端点函数值依次为 因此，方程的根数为： 当时，有4个不同的根； 当时，有3个不同的根； 当时，有2个不同的根； 当时，有2个不同的根；当时，有1个根． 函数的零点满足 令，则 满足 要使在给定区间上恰有7个零点，上述方程必须有两个不同的实根，其中一个根对应4个 ，另一个根对应3个 ． 因此，可设其中一个根为 ，且 由两根之积为1，另一个根为． 因为，所以它恰好落在 内，对应3个 ． 反之，任取，两个根与分别对应4个和3个，共得到7个零点． 由两根之和为，得 对勾函数在上单调递增，时，时， 故的取值范围为 18．摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，乘客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯视四周景色（如图1）．已知某摩天轮转盘的最低点距离地面的高度为2米，转盘半径为30米，逆时针均匀设置了依次标号为1~12号的12个座舱，开启后摩天轮按照逆时针方向匀速旋转，转一周需要24分钟．现从1号座舱位于圆周最右端时开始计时（如图2），旋转时间为t分钟． (1)设1号座舱与地面的距离h（单位：米）与时间t的函数关系为，求的解析式； (2)当时，求1号座舱与地面的距离为17米时t的值； (3)甲、乙两名乘客分别乘坐在1号和5号座舱里，在乘坐摩天轮的过程中，甲、乙两人距离地面的高度差的绝对值为H（单位：米）．当时，求H的最大值． 【答案】(1)； (2)或； (3)米. 【分析】（1）根据给定信息，设出的解析式，再利用待定系数法求解. （2）由（1）及求出值. （3）求出的表达式，并利用和差角的正弦化简，再利用正弦函数性质求出最大值. 【详解】（1）依题意，设， 由，得，由，，得，而， 则，由转一周需要24分钟，得，解得， 所以. （2）由，得，当时，， 解得或，即或， 所以或. （3）依题意，5号座舱在1号座舱前，相隔， 则甲、乙两人距离地面的高度分别为， 因此， 当时，，则当，即时，， 所以H的最大值为米. 19．已知函数（，）为奇函数，且的周期为． (1)求的解析式； (2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象．当时，求函数的值域； (3)对于第（2）问中的函数，记方程在上的根从小到大依次为：．试确定的值，并求的值． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）利用正弦函数的周期、奇偶性求得参数的值，从而得到函数的解析式； （2）利用三角函数的图象变换规律，求得函数的解析式，进而求得函数的值域； （3）根据方程并结合正弦函数图象得到方程根的个数，再结合三角函数图象的对称性分组求和即可． 【详解】（1）因为函数周期，且，所以，解得， 又由函数为奇函数，可得，所以， 又，所以，所以函数. （2）将函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象， 再把横坐标缩小为原来的，得到函数的图象， 当时，， 当，即时，函数取得最小值，最小值为， 当，即时，函数取得最大值，最大值为， 故函数在区间上的值域为． （3）由方程，即，得， 因为，所以， 设，则，，作出正弦函数的图象如图所示，    由图可知方程在区间上有3个根，所以， 其中，， 即，， 解得：，， 所以． 2 / 13 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $