第13讲 抛体运动（复习讲义）（山东专用）2027年高考物理一轮复习讲练测

该高中物理高考复习讲义聚焦抛体运动专题，涵盖平抛运动规律、落点约束（斜面、圆面、竖直面）、临界问题及类平抛、斜抛运动等核心考点，按“基本规律-约束条件-临界拓展”逻辑架构知识体系，通过考点梳理、思维建模、真题训练等环节，帮助学生系统构建解题范式，突破空间运动分析难点。 讲义突出科学思维培养，创新设计“平抛临界问题思维流程”“逆向思维解斜抛”等建模方法，结合刀削面、套圈等生活实践情境，强化运动与相互作用观念。设置分层例题与变式训练，配合真题溯源感知考向，助力学生高效提升空间建构与问题解决能力，为教师精准把控复习节奏提供清晰路径。

第13讲 抛体运动 考点一 平抛运动的规律 考向1平抛运动基本规律的应用 例1 【答案】A 【变式训练1】【答案】A 考向2 两个重要推论的应用 例2 【答案】C 【变式训练1】【答案】A 考点二 落点有约束条件的平抛运动 考向一 平抛运动与斜面相结合 例1 【答案】B 【变式训练1】【答案】B 考向二 平抛运动与圆面相结合 例2 【答案】C 【变式训练1】【答案】C 考向三 平抛运动与竖直面相结合 例3 【答案】D 【变式训练1】【答案】D 考点三 平抛运动的临界问题 考向一 平抛运动在生活类问题中的临界问题 例1 【答案】C 【变式训练1】【答案】A 考向二 平抛运动在体育类问题中的临界问题 例2 【答案】A 【变式训练1】【答案】C 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C B B B B D B B BD 题号 11 答案 BC 12．(1)，方向与水平方向夹角为 (2) (3) 【详解】（1）载弹无人机在斜直轨道上运动过程中，由动量定理有 代入数据解得 则载弹无人机在斜直轨道上运动过程中所受合力的冲量大小为，方向沿斜直轨道向上，即与水平方向夹角为。 （2）先释放一个灭火弹后载弹无人机水平方向的动力大小为 水平方向由牛顿第二定律有 则释放第一个灭火弹后，第二个灭火弹与无人机一起做匀加速直线运动，所以后释放的灭火弹释放时的速度为 从释放第一个灭火弹到释放第二个灭火弹的过程，由速度位移公式可知后释放的灭火弹的位移为 由于两弹所受空气阻力不计，则两弹释放后均做平抛运动，有 则两弹落地点之间的距离为 （3）相对无人机无初速度释放甲，且无人机的速度始终不变，则根据平抛运动规律可知，甲落地时，乙在甲的正上方H处，设发射乙后乙的运动时间为，则此时两弹之间的距离为 由二次函数知识可知，当，两弹之间距离最小，即 由于，上述对称轴只有在即时，才落在有效区间内。 当时，对称轴，二次函数在区间单调递增，最小值在（发射瞬间）取得，此时两弹水平距离为0，竖直距离为，故 综上有 13．(1)t0 = 3s，h = 5m (2)（ⅰ），（ⅱ）（k = 0，1，2，3，…） 【详解】（1）A在轨道内做匀速圆周运动，运动时间 由题知，A以vA = 1m/s的速率沿轨道运动至缺口进入圆筒，在筒内做平抛运动后恰好紧贴圆筒下底面沿边穿出，则在水平方向有r = vAt 解得t = 1s 竖直方向有 （2）（ⅰ）由于A未与叶片碰撞，从圆筒下底面沿边穿出时，叶片转动了，则叶片角速度 （ⅱ）物体在内力作用下突然分成A、B两部分并弹开有mAvA = mBvB 则 由于B未与筒壁碰撞则有 且A运动至缺口时，S1恰好转过ON位置，则以此时为时间基准，则B从M到O所用的时间 要使B运动至缺口后能从任意两个叶片间的区域穿过圆筒，则B运动到O时S1或S2或S3要运动到ON反向的位置，则叶片转过的角度（k = 0，1，2，3，…） B不与叶片碰撞必须满足 解得（k = 0，1，2，3，…） 则（k = 0，1，2，3，…） 14．(1) (2) (3) 【详解】（1）物体竖直上抛至最高点时速度为0，由运动学公式 可得 （2）爆炸瞬间水平方向动量守恒，爆炸前总动量为0。A速度为v，设B速度为vB，由动量守恒定律得 解得 即大小为2v （3）根据竖直上抛运动的对称性可知下落时间与上升时间相等为t，则A的水平位移 B的水平位移 所以落地点A、B之间的距离 15．(1)0.6m (2)IN = 0.1N·s；vx′ = 0 【详解】（1）小物块在平台做匀减速直线运动，根据牛顿第二定律有a = μg 则小物块从开始运动到离开平台有 小物块从平台飞出后做平抛运动有，x = vxt1 联立解得x = 0.6m （2）物块第一次落到地面后弹起的最大高度为0.45m，则物块弹起至最大高度所用时间和弹起的初速度有，vy2 = gt2 则物块与地面接触的时间Δt = t－t1－t2 = 0.1s 物块与地面接触的过程中根据动量定理，取竖直向上为正，在竖直方向有IN－mgΔt = mvy2－m(－vy1)，vy1 = gt1 解得IN = 0.1N·s 取水平向右为正，在水平方向有， 解得vx′ = －1m/s 但由于vx′减小为0将无相对运动和相对运动的趋势，故vx′ = 0 16．(1)， (2)4m (3) 【详解】（1）小球从最下端以速度v0抛出到运动到M正下方距离为L的位置时，根据机械能守恒定律 在该位置时根据牛顿第二定律 解得， （2）小球做平抛运动时， 解得x=4m （3）若小球经过N点正上方绳子恰不松弛，则满足 从最低点到该位置由动能定理 解得 17．（1）；（2）；（3） 【详解】（1）水在空中做平抛运动，由平抛运动规律得，竖直方向 解得水从管口到水面的运动时间 （2）由平抛运动规律得，水平方向 解得水从管口排出时的速度大小 （3）管口单位时间内流出水的体积 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 第13讲 抛体运动 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 考点精讲·靶向突破 拆解核心考点，归纳解题范式 考点一 平抛运动的规律 知识点1平抛运动的基本规律 知识点2平抛运动的两个重要推论 考向1平抛运动基本规律的应用 重 考向2两个重要推论的应用 考点二 落点有约束条件的平抛运动 知识点1平抛运动与斜面相结合的规律重 知识点2平抛运动与圆面相结合的规律 知识点3平抛运动与竖直面相结合的规律重 考向1平抛运动与斜面相结合 重 考向2平抛运动与圆面相结合重 考向3平抛运动与竖直面相结合重 考点三 平抛运动的临界问题 知识点1平抛运动临界问题的基本规律 知识点2竖直上抛运动的概念及基本规律 考向1平抛运动在生活类问题中的临界问题 重 考向2平抛运动在体育类问题中的临界问题重 【思维建模】求解平抛运动临界问题的一般思路 考点四 类平抛运动和斜抛运动 知识点1 类平抛运动的基本规律 知识点2 斜抛运动的基本规律 考向1 类平抛运动 重 考向2 斜抛运动重【思维建模】逆向思维法处理斜抛问题 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 平抛运动 河南卷T7 江苏卷T4 广东卷T5 贵州卷T15 山东卷T17 云南卷T3 河北卷T14 山东卷T10 海南卷T3 北京卷T19 湖北卷T3 斜抛运动 湖北卷T6 江西卷T8 山东卷T12 考情分析 题型与考向：高考对抛体运动的考查较为频繁，而且大多联系实际生活，题目的形式较为多样，有选择题也有计算题，并且近几年出现了三维空间的抛体运动考题，对学生的空间建构能力要求很高。 情境与立意： 从命题思路上看，试题情景为生活实践类：刀削面、套圈娱乐、体育运动（排球、羽毛球、乒乓球等）。 复习目标 目标一：掌握平抛运动的规律，能够利用规律处理与平抛运动有关的各类问题。 目标二：掌握斜抛运动的规律并会应用。 考点精讲·靶向突破 ——拆解核心考点，归纳解题范式 考点一 平抛运动的规律 知●识●解●构 知识点1 平抛运动的基本规律 1．定义：以一定的初速度沿水平方向抛出的物体只在重力作用下的运动。 2．性质：平抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，其运动轨迹是抛物线。 3．平抛运动的条件：(1)v0≠0，沿水平方向；(2)只受重力作用。 4．研究方法：平抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动。 5．基本规律(如图所示) (1)速度关系 (2)位移关系 (3)轨迹方程：y＝x2。 6．四个基本规律 飞行时间 由t＝ 知，时间取决于下落高度h，与初速度v0无关 水平射程 x＝v0，即水平射程由初速度v0和下落高度h共同决定，与其他因素无关 落地速度 v＝＝，落地速度也只与初速度v0和下落高度h有关 速度改变量 任意相等时间间隔Δt内的速度改变量Δv＝gΔt相同，方向恒为竖直向下，如图所示 知识点2 平抛运动的两个重要推论 1.做平抛(或类平抛)运动的物体在任意时刻任一位置处，设其速度方向与水平方向的夹角为α，位移方向与水平方向的夹角为θ，则tan α＝2tan θ。 2.做平抛(或类平抛)运动的物体任一时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如图中A点为OB的中点。 ✨得分速记：分析空间中的抛体运动的思路 (1)明确题意，形成运动轨迹在空间分布情况的一个轮廓； (2)以抛出点为坐标原点，根据运动情景建立三维直角坐标系； (3)确定每个坐标轴上的受力特点，明确各自的运动性质； (4)依据已知条件、运动学公式找出在各个坐标轴方向的位移、速度、加速度大小； (5)利用运动的合成与分解知识确定研究问题或联立求解相关问题。 考●向●破●译 考向1 平抛运动基本规律的应用【重】 例1 某同学发现水从水平放置的水管竖直向下稳定流出后，空中的水柱从上往下越来越细。忽略空气阻力，在空中水柱稳定后，离管口高度为处和处的水柱的横截面面积之比为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】水柱稳定时，单位时间内流过任意横截面的水的体积（流量）相等，满足流量公式（为横截面积，为水流速度） 因此与成反比，即 水流运动过程中仅受重力，做自由落体运动，得（为水柱下落的高度） 即 离管口高度为处的水柱的速度 离管口高度为处的水柱的速度 因此 则 故选A。 【变式训练1·变情境】在开口的塑料瓶壁上，从上到下依次打下1、2两个小孔。盛水后，水会从小孔喷出。则下面四种图示情形中，不可能的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据液体压强规律：液体压强随深度增加而增大，满足公式 本题中，小孔1在上、小孔2在下，因此小孔2的深度更大，瓶内水对小孔2的压强更大，水喷出的速度更大，射程更远（喷得离瓶子更远）。A选项中，上方1孔的射程比下方2孔更远，不符合液体压强规律，因此不可能，BCD选项中水平桌面下移时，2孔的射程都会大于1孔的射程。 故选A。 考向2 两个重要推论的应用 例2物理兴趣小组在封闭隔离的专用实验高台上开展平抛探究实验，自同一高度处，沿同一水平方向，先后以大小不同的初速度抛出两个完全相同的小球A、B，它们在空中运动的轨迹分别如图中曲线a、b所示。不计空气阻力，关于两小球的平抛运动，下列说法正确的是（     ） A．小球A、B的初速度大小之比为 B．小球B的速度变化量大于小球A的速度变化量 C．两小球落地时重力的瞬时功率相同 D．两小球落地瞬间，A速度与水平方向的夹角是B速度与水平方向的夹角的2倍 【答案】C 【详解】A．两小球在空中做平抛运动，下落高度相同，根据 可知两小球在空中下落时间相等，水平方向有， 可得小球A、B的初速度大小之比为，故A错误； B．根据，由于两小球在空中下落时间相等，所以小球B的速度变化量等于小球A的速度变化量，故B错误； C．根据 由于两小球在空中下落时间相等，两小球质量相等，所以两小球落地时重力的瞬时功率相同，故C正确； D．两小球落地瞬间，由， 可得，故D错误。 故选C。 【变式训练1·变考法】某人将同一飞镖先后由同一竖直线的、两点沿水平方向抛出，飞镖均落在点，飞镖落在点时速度方向与水平方向的夹角分别为、，忽略空气的阻力。关于飞镖由、两点开始的平抛运动，下列说法正确的是（　　） A．平抛高度之比为 B．平抛时间之比为 C．平抛的初速大小之比为 D．飞镖落地瞬间的动能之比为 【答案】A 【详解】A．设水平位移为，下落高度为，落地速度偏角为。根据平抛运动规律，水平方向 竖直方向 落地竖直分速度 速度偏角正切值 结合和可得推论 因为、在同一竖直线上且落在同一点，水平位移相等，所以 则。故A正确； B．根据 得 所以。则。故B错误； C．水平方向 则 因为相等，所以。则。故C错误； D．飞镖落地瞬间的速度 动能 则，故D错误； 故选A。 考点二 落点有约束条件的平抛运动 知●识●解●构 知识点1 平抛运动与斜面相结合的规律重 1.与斜面相关的几种的平抛运动 图示 方法 基本规律 运动时间 分解速度，构建速度的矢量三角形 水平vx＝v0 竖直vy＝gt 合速度v＝ 由tan θ＝＝得 t＝ 分解位移，构建位移的矢量三角形 水平x＝v0t 竖直y＝gt2 合位移x合＝ 由tan θ＝＝得 t＝ 在运动起点同时分解v0、g 由0＝v1－a1t,0－v12＝－2a1d得 t＝，d＝ 分解平行于斜面的速度v 由vy＝gt得t＝ 2.与斜面相关平抛运动的处理方法 (1)分解速度 平抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动,设平抛运动的初速度为v0,在空中运动时间为t,则平抛运动在水平方向的速度为vx=v0,在竖直方向的速度为vy=gt,合速度为v=,合速度与水平方向的夹角满足tan θ=。 (2)分解位移 平抛运动在水平方向的位移为x=v0t,在竖直方向的位移为y=gt2,对抛出点的位移(合位移)为s=,合位移与水平方向夹角满足tan φ=。 (3)分解加速度 平抛运动也不是一定要分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动,在有些问题中,过抛出点建立适当的直角坐标系,把重力加速度g正交分解为gx、gy,把初速度v0正交分解为vx、vy,然后分别在x、y方向列方程求解,可以简化解题过程,化难为易。 知识点2 平抛运动与圆面相结合的规律 三种常见情景： 1.如图甲所示，小球从半圆弧左边沿平抛，落到半圆内的不同位置。由半径和几何关系制约时间t：h＝gt2，R±＝v0t，联立两方程可求t。 2.如图乙所示，小球恰好沿B点的切线方向进入圆轨道，此时半径OB垂直于速度方向，圆心角α与速度的偏向角相等。 3.如图丙所示，小球恰好从圆柱体Q点沿切线飞过，此时半径OQ垂直于速度方向，圆心角θ与速度的偏向角相等。 知识点3 平抛运动与竖直面相结合的规律重 1.从同一点斜抛物体，能垂直打在同一竖直面的不同高度处，可用逆向思维法思考，认为物体在不同高度平抛均落在同一点。 2.无论是从同一点平抛，落在同一竖直面上的不同高度处，还是从同一点斜抛，垂直落在同一竖直面的不同高度处，因高度不同，则运动时间不同，又物体水平位移相同，故平抛的初速度不同。 考●向●破●译 考向1 平抛运动与斜面相结合【重】 例1在投弹训练中，一枚炸弹被无人机以速度水平投放，正好垂直山坡击中目标，如图所示。已知山坡的倾角为，重力加速度为g。不计空气阻力，则炸弹（　　） A．击中目标时的速度大小为 B．在空中飞行的时间为 C．击中目标时重力的功率为 D．竖直方向与水平方向位移大小的比值为 【答案】B 【详解】A．炸弹做平抛运动，垂直山坡击中目标，则末速度垂直斜面，水平方向速度为，竖直方向速度为，列式得， 解得，，故A错误； B．竖直方向速度 解得，故B正确； C．击中目标时重力的功率，故C错误； D．炸弹做平抛运动，竖直方向与水平方向位移大小的比值为，故D错误。 故选B。 ▶新思维◀【变式训练1·变考法】如图所示，足够长光滑斜面倾角，在斜面顶端有可视为质点的小球A和小球B，某时刻A以vA=4m/s水平抛出，与此同时B从斜面顶端以初速度vB沿斜面向下滑，经过一段时间，A刚好击中在斜面上滑动的小球B，取g=10m/s2（sin37°=0.6，cos37°=0.8），则下列说法正确的是（　　） A．若A的初速度变为原来的2倍，A还是可以击中B B．B的初速度vB=3.2m/s C．A击中B时的速度大小为2m/s D．若A的初速度变为原来的2倍，则A落到斜面上时的速度方向与斜面的夹角变大 【答案】B 【详解】B．A小球为平抛运动，水平方向 竖直方向 落点在斜面上，所以 ​ 解得 B小球沿斜面加速运动，根据牛顿第二定律 位移时间关系，又 解得，B正确； A．若 A 的初速度变为原来的2倍，，由前面解析可知，运动时间将变为原来的2倍， A小球沿斜面的位移，B小球的位移 无法击中B球，A错误； C．A 击中 B 时，水平速度，竖直速度 合速度，C错误； D．设 A 落到斜面时速度方向与水平方向的夹角为，则 可见与初速度无关，因此速度方向与斜面的夹角也不变，D错误。 故选B。 考向2 平抛运动与圆面相结合【重】 例2如图所示，AB是四分之一圆弧，固定在竖直面内，O是圆心，OA竖直，C是圆弧上的一点，D是OA上一点，CD水平，a、b、c三点将OD四等分，在O、a、b、c四点分别水平抛出一个小球，小球均落在C点，若小球落在C点时能垂直打在圆弧面上，则小球的抛出点一定在（　　） A．O点 B．a点 C．b点 D．c点 【答案】C 【详解】小球垂直打在C点时，速度方向的反向延长线过O点，且交于水平位移的中点，如图所示 由几何关系可知抛出点一定在b点。 故选C。 【变式训练1】如图所示，内壁光滑的四分之一圆弧轨道竖直固定放置，圆心为点，、分别是竖直半径和水平半径。现让光滑水平面上的小球（可视为质点）获得一个水平向右的初速度，不计空气阻力，则小球从点离开后运动到圆弧上某点过程说法正确的是（    ） A．初速度越大，小球落在圆弧上时速度越大 B．初速度越大，小球平抛运动过程速度的变化量越大 C．改变初速度的大小，落在圆弧上不同位置速率可能相等 D．改变初速度的大小，落在圆弧上速度的方向垂直于该点的切线 【答案】C 【详解】AC．由，与几何关系 可得， 通过求导化简可知当,即时,末速度最小，故A错误，C正确； B．初速度越大，时间越短，速度的变化量越小，故B错误； D．若落在圆弧上速度的方向垂直于该点的切线，则速度的反向延长线过点，不能过水平位移的中点而不合理，故D错误。 故选C。 考向3 平抛运动与竖直面相结合【重】 例3如图所示，某同学从A点水平抛出一弹性小球（可视为质点），小球在B点与竖直墙面发生碰撞后反弹，碰撞时间忽略不计，若弹性小球和墙面碰撞后，水平方向速度大小减小一半，竖直方向速度保持不变，经过一段时间，小球落在水平地面上。已知A点离B点高度为H、与墙距离为s，B点离地高为3H。不计空气阻力，则小球落地时距墙面的距离为（　　） A．2s B．s C． D． 【答案】D 【详解】因竖直方向为自由落体运动，小球与墙撞之后竖直分速度不变，而AB与B与地面的竖直高度之比恰好为1:3，故小球从A点运动至B点的时间跟反弹后从B点运动至地面的时间相同；又因为小球与墙撞之后，水平分速度减半，故小球落地时距墙面的距离为,故ABC均错误，D正确。 故选D。 【变式训练1】射艺是中国传统的射箭运动，《礼记·射义》中说：“射者，进退周还必中礼。“若某同学射箭时从同一点沿水平方向射出两只规格相同的箭（可视为质点），分别命中靶上a、b点，如图所示，射出点、a点和b点位于同一竖直平面内，忽略空气阻力，则（　　） A．命中a点的箭运动时间一定比命中b点的长 B．命中a点的箭初速度一定比命中b点的小 C．命中a点的箭在空中的动量变化量比命中b点的大 D．箭命中a点时的重力的功率一定比命中b点时的小 【答案】D 【详解】A．竖直方向为自由落体运动有 解得，由于命中a点的箭比命中b点的箭下落高度小，则命中a点的箭运动时间一定比命中b点的短，故A错误； B．由于两箭水平位移相等，初速度与时间成反比，命中a点的箭运动时间一定比命中b点的短，故命中a点的箭初速度一定比命中b点的大，故B错误； C．根据动量定理，动量改变量等于重力的冲量，命中a点的箭运动时间比命中b点的短，则命中a点的箭在空中的动量变化量比命中b点的小，故C错误； D．竖直方向速度，重力功率 联立得，命中a点的箭运动时间比命中b点的短，箭命中a点时的重力的功率一定比命中b点时的小，故D正确。 故选D。 考点三 平抛运动的临界问题 知●识●解●构 知识点1 平抛运动临界问题的基本规律 1．平抛运动中临界问题的两种常见情形 (1)物体的最大位移、最小位移、最大初速度、最小初速度； (2)物体的速度方向恰好达到某一方向。 2．解题技巧：在题中找出有关临界问题的关键字，如“恰好不出界”“刚好飞过壕沟”“速度方向恰好与斜面平行”“速度方向与圆周相切”等，然后利用平抛运动对应的位移规律或速度规律进行解题。 3.典型规律 擦网 压线 既擦网又压线 由得： 由得： 由和得： 考●向●破●译 考向一 平抛运动在生活类问题中的临界问题【重】 例1中国的面食文化博大精深，种类繁多，其中“山西刀削面”堪称天下一绝，传统的操作手法是一手托面，一手拿刀，直接将面削到开水锅里。如图所示，小面圈刚被削离时距开水锅的高度为h，与锅沿的水平距离为L，锅的半径也为L，将削出的小面圈的运动视为平抛运动，且小面圈都落入锅中，重力加速度为g，则下列关于所有小面圈在空中运动的描述错误的是（　　） A．运动的时间都相同 B．速度的变化量都相同 C．落入锅中时，最大速度是最小速度的3倍 D．若初速度为，则 【答案】C 【详解】A．小面圈的运动视为平抛运动，其竖直方向为自由落体运动，则由 可得小面圈在空中运动的时间为 由于相同，所以所有小面圈在空中运动的时间也都相同，故A正确，不符合题意； B．根据可得，由于所有小面圈在空中运动的时间都相同，所以所有小面圈的速度变化量都相同，故B正确，不符合题意； D．由题意可知，小面圈运动过程水平位移的取值范围为 由于平抛运动水平方向为匀速直线运动，则水平初速度的最小值为 同理水平初速度的最大值为 所以水平初速度的取值范围为，故D正确，不符合题意； C．落入锅中时，最大速度为 最小速度为 则 即最大速度不是最小速度的3倍，故C错误，符合题意。 故选C。 【变式训练1·变考法】套圈是人们喜爱的传统游戏，大人和小孩在同一条竖直线上的不同高度分别水平抛出相同的圆环，圆环恰好同时套中水平地面上的玩具。若不计空气阻力，圆环和玩具均可视为质点，圆环被抛出后的运动可视为平抛运动，下列说法正确的是（　　）    A．小孩后抛出圆环，小孩抛出圆环初速度较大 B．大人先抛出圆环，大人抛出圆环初速度较大 C．两人同时抛出圆环，抛出圆环初速度一样大 D．小孩先抛出圆环，大人和小孩抛出圆环初速度一样大 【答案】A 【详解】由题意，在竖直方向，根据 得圆环落地的时间为 因为大人抛出的圆环高度比较大，则大人抛出的圆环在空中运动时间比较长，而圆环恰好同时套中水平地面上的玩具，可知大人先抛出圆环，小孩后抛出圆环。在水平方向，两圆环位移相等，根据 得抛出圆环的初速度为 由于圆环被抛出的水平位移相等，可知小孩抛出圆环的初速度较大。 故选A。 考向二 平抛运动在体育类问题中的临界问题【重】 例2智能网球发球机可将网球从发球口沿水平面内任意方向以不同大小的速度击出，供运动员进行训练。如图所示，发球机置于网球场左侧底线AB的中点M处，发球口在M点正上方高度为的O点。球网两侧球场ABCF与FCDE为边长相同的正方形，球网高度为。不计空气阻力。则网球（视为质点）直接落在右侧球场中所有可能落点构成图形的形状为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设正方形球场边长为 。如果所示，以 点为原点 ，垂直AB边向右为 轴，平行AB边为 轴。 网球直接落在右侧球场中落点离球网最近的点均恰好过球网，如图所示： 网球做平抛运动，刚过球网时，竖直方向上 水平方向上 网球下落到球场，竖直方向 水平方向上 则 由几何关系可得，网球直接落在右侧球场中落点在轴的坐标有 则网球直接落在右侧球场中落点在轴的坐标 即各方向射出的网球，擦网而过后在球场的落地在轴的坐标为为。 故选 A。 【变式训练1·变考法】如图甲，乒乓球发球机可上下调整出球俯仰角度、出球速度、任意设置前后或左右落点变化。若发球机出口在球台边缘O点正上方，第一次乒乓球在高度h1处沿球台中心轴线以速度v1水平发出，直接擦过球网落在球台上的P点，第二次乒乓球在高度h2处沿球台中心轴线以速度v2水平发出，反弹后恰好在最高点时擦过球网落在球台上的P点（球的运动轨迹如图乙中虚线所示），设乒乓球台长为4L，球网高为h，P点到球台边缘距离为L，乒乓球反弹前后的水平分速度不变，竖直分速度大小不变、方向相反，不考虑乒乓球的旋转和空气阻力，重力加速度为g。则（　　）        A．乒乓球两次在空中运动时速度改变量的方向不相同 B．乒乓球反弹后直到再次到达最高点的过程中处于超重状态 C．两次发球时乒乓球的水平速度之比为v1∶v2=∶1 D．乒乓球刚好擦网时的机械能第二次比第一次多mgh 【答案】C 【详解】AB．由于乒乓球在空中运动过程中只受重力，加速度为g，乒乓球两次在空中运动时的加速度都为重力加速度，都处于失重状态，根据 可知速度改变量的方向与重力加速度方向相同，即速度改变量的方向总是竖直向下，故AB错误； C．第一次发球，根据平抛运动规律，在竖直方向，有 在水平方向，有 在竖直方向，有 在水平方向，有 联立可得高度为 速度为 第二次，根据运动的对称性得 水平方向，有 联立可得 初速度 联立可得 故C正确； D．不计空气阻力，反弹前后动能不变，两次发球满足机械能守恒定律，擦网时的机械能等于发球时的机械能，以球台面为零势能面，则初始时机械能为 末态机械能为 机械能的变化量为 故D错误。 故选C。 思维建模 求解平抛运动临界问题的一般思路 (1)确定临界状态，若有必要，画出临界轨迹。 (2)找出临界状态对应的临界条件。 (3)根据平抛运动的规律列方程求解。 考点四 类平抛运动和斜抛运动 知●识●解●构 知识点1 类平抛运动的基本规律 1.类平抛运动的受力特点: 物体所受的合外力为恒力,且与初速度的方向垂直。 2.类平抛运动的运动特点: 在初速度v0方向上做匀速直线运动,在合外力方向上做初速度为零的匀加速直线运动,加速度a=。 3.类平抛运动的求解方法: (1)常规分解法:将类平抛运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和垂直于初速度方向(即沿合外力的方向)的匀加速直线运动。两分运动彼此独立,互不影响,且与合运动具有等时性。 (2)特殊分解法:对于有些问题,可以过抛出点建立适当的直角坐标系,将加速度a分解为ax、ay,初速度v0分解为vx、vy,然后分别在x、y方向列方程求解。 知识点2 斜抛运动的基本规律 处理方法 水平竖直正交分解 化曲为直 最高点一分为二变平抛运动 逆向处理 将初速度和重力加速度 沿斜面和垂直斜面分解 基本规律 水平速度： 竖直速度： 最高点： 最高点：速度水平 垂直斜面： 沿着斜面： 最高点： 考●向●破●译 考向一 类平抛运动【重】 例1小实给弟弟买了架玩具无人机，通过传感器测试无人机的飞行情况。如图为在测试软件中设定的三维坐标系oxyz，某时刻起小实进行遥控操作，通过传感器测试发现无人机沿轴负方向匀速飞行，沿轴正方向匀速飞行，沿轴正方向做初速度为零的匀加速飞行，则关于无人机的实际运动，下列说法正确的是（　　） A．无人机做匀速直线运动 B．无人机做匀速圆周运动 C．无人机做类平抛运动 D．无人机做类斜抛运动 【答案】C 【详解】无人机沿y轴和x轴方向均为匀速飞行，由运动的分解与合成知，无人机在xoy平面做匀速直线运动，由于无人机在z轴正方向做初速度为零的匀加速运动，且z轴垂直于xoy平面，因此类似于水平方向上匀速和竖直方向自由落体的平抛运动，故C正确。 故选C。 【变式训练1·变考法】如图所示，质量为0.1kg的小球放在光滑水平面上的P点，现给小球一个水平初速度，同时对小球施加一个垂直于初速度的水平恒力F，小球运动1s后到达Q点，测得P、Q间的距离为12.5m，P、Q连线与初速度的夹角为37°，，，则初速度的大小和恒力F的大小分别为（　　） A．10m/s，0.5N B．6m/s，0.5N C．8m/s，1.5N D．10m/s，1.5N 【答案】D 【详解】小球做类平抛运动，运动的加速度为 小球沿初速度方向的位移为 沿恒力方向的位移为 根据几何关系有， 其中，联立解得， 故选D。 考向二 斜抛运动【重】 例2在地球表面将一个小球以初速度、与水平方向成角斜向上抛出，忽略空气阻力。在月球上以同样的方式抛出，与地球上相比（     ） A．运动的最大高度小 B．水平射程短 C．经最高点时重力的功率相等 D．小球的运动轨迹均与质量有关 【答案】C 【详解】A．月球表面重力加速度，最大高度为 越小，最大高度越大，因此月球上最大高度更大，故A错误； B．斜抛总运动时间 水平射程 越小，射程越大，因此月球上射程更远，故B错误； C．最高点处小球竖直方向速度为，重力的功率 地球和月球在最高点的重力功率都为，因此功率相等，故C正确； D．斜抛运动在水平方向有 竖直方向竖直上抛运动 消去时间得轨迹方程为 方程中不含小球质量，因此运动轨迹与质量无关，故D错误。 故选C。 【变式训练1·变考法】2126年，人类计划在月球南极建立“广寒”科研基地，基地外的能源区中，有一个高、宽的紧凑型聚变燃料储存舱，其表面光滑，可视为“障碍结构”。为保障基地供电，需用无人投递器从储存舱正前方的某投放点（投递器与储存舱之间的距离可调），从地面以初速度（方向未知）投递小型能源模块。要求模块恰好越过储存舱顶部，精准抵达储存舱后方的接收区。已知月球表面可视为无大气阻力的真空环境，月球表面重力加速度按计算。若要使模块成功投递，其初速度的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】模块做斜抛运动，要求恰好越过储存舱，即轨迹经过储存舱的左上角和右上角两个等高点（高度均为，水平间距为）。斜抛运动水平方向匀速，竖直方向加速度为月球重力加速度。 设水平分速度为，模块到达左上角时竖直分速度为。从左上角到右上角，竖直位移为，由运动学公式 得运动时间 这段时间水平位移为，因此 整理得： 对模块从出发点到左上角过程，由机械能守恒： 整理得 由基本不等式 （等号成立条件） 代入得： 因此初速度最小值，故D正确。 故选D 。 思维建模 逆向思维法处理斜抛问题 对斜上抛运动，从抛出点到最高点的运动可逆过程分析，看成平抛运动，分析完整的斜上抛运动，还可根据对称性求解某些问题。 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 一、单选题 1．（2026·河南·高考真题）如图1，网球运动员将球沿水平方向击出，球运动轨迹所在平面与球网面的夹角为，球恰好擦过球网上沿的点，图2为球运动轨迹在球网所在平面的投影，轨迹投影在点的切线与球网上沿的夹角为。已知击出时球的速度大小为，，重力加速度大小取，不计阻力，则击球点到球网面的距离为（     ） A．4 m B．6 m C．8 m D．10 m 【答案】A 【详解】网球被水平击出后做平抛运动，初速度大小为​，轨迹平面与球网面夹角为，将初速度分解，垂直于球网面的速度 平行于球网面的速度 网球在竖直方向做自由落体运动，设从击球点到点的运动时间为，网球在点的竖直速度 点的切线与球网上沿夹角为，切线斜率满足 代入，，得 网球在垂直于球网方向匀速运动，位移 代入和的表达式，得 解得 因此击球点到球网面的距离为4 m。 故选A。 2．（2026·江苏·高考真题）如图所示，小明跳起从同一高度将排球水平击出三次，排球分别落于a、b、c三点，不计空气阻力，关于该过程，下列说法正确的是（   ） A．排球的飞行时间满足ta > tb > tc B．排球的飞行时间满足ta < tb < tc C．排球的初速度满足va < vb < vc D．排球的初速度满足va = vb = vc 【答案】C 【详解】AB．竖直方向上，根据自由落体运动公式，可得飞行时间 因为排球从同一高度抛出，且落在同一水平面上，所以下落高度h相同，故三次飞行的时间相等，即ta = tb = tc，故A错误，B错误； CD．水平方向上，根据匀速直线运动公式，可得初速度 由图可知，排球的水平位移关系为，且已知飞行时间t相等，所以初速度满足，故C正确，D错误。 故选C。 3．（2026·广东·高考真题）如图是月球上一圆柱形阴影坑竖直截面图。假定某飞行器在月面上空向坑中心方向以速度匀速水平飞行。在距坑边的点正上方关闭动力，此后只受月球重力，直至抵达着陆线。已知坑直径，月面至着陆线深度，月面重力加速度取，飞行器可视为质点。飞行器安全到达着陆线，则的大小可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据题意可知飞行器安全到达着陆线，速度最小时会刚好通过月面坑边到达着陆线，此时根据平抛运动规律在竖直方向有，代入数据解得 在水平方向有，代入数据可得； 飞行器安全到达着陆线，速度最大时会到达着陆线最右端的坑边缘，此时根据平抛运动规律在竖直方向有，代入数据解得 在水平方向有，代入数据可得 所以飞行器安全到达着陆线需满足 故选B。 4．（2025·江西·高考真题）如图所示，人形机器人陪伴小孩玩接球游戏。机器人在高度为H的固定点以速率水平向右抛球，小孩以速率水平向左匀速运动，接球时手掌离地面高度为h。当小孩与机器人水平距离为时，机器人将小球抛出。忽略空气阻力，重力加速度为g。若小孩能接到球，则为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】若小孩能接到球，则有， 联立解得 故选B。 5．（2025·浙江·高考真题）如图所示，在水平桌面上放置一斜面，在桌边水平放置一块高度可调的木板。让钢球从斜面上同一位置静止滚下，越过桌边后做平抛运动。当木板离桌面的竖直距离为h时，钢球在木板上的落点离桌边的水平距离为x，则（　　） A．钢球平抛初速度为 B．钢球在空中飞行时间为 C．增大h，钢球撞击木板的速度方向不变 D．减小h，钢球落点离桌边的水平距离不变 【答案】B 【详解】AB．根据平抛运动的规律可知，钢球在空中飞行时间为 钢球平抛初速度为，A错误，B正确； C．钢球撞击木板时速度方向与水平方向的夹角满足 可知，增大h，钢球撞击木板的速度方向与水平方向的夹角变大，C错误； D．根据可知，减小h，钢球落点离桌边的水平距离x减小，D错误。 故选B。 6．（2025·甘肃·高考真题）如图，小球A从距离地面处自由下落，末恰好被小球B从左侧水平击中，小球A落地时的水平位移为。两球质量相同，碰撞为完全弹性碰撞，重力加速度g取，则碰撞前小球B的速度大小v为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据题意可知，小球A和B碰撞过程中，水平方向上动量守恒，竖直方向上A球的竖直速度不变，设碰撞后A球水平速度为，B球水平速度为，则有 碰撞为完全弹性碰撞，则由能量守恒定律有 联立解得， 小球A在竖直方向上做匀加速直线运动，则有 解得 可知，碰撞后，小球A运动落地，则水平方向上有 解得 故选B。 7．（2025·云南·高考真题）如图所示，某同学将两颗鸟食从O点水平抛出，两只小鸟分别在空中的M点和N点同时接到鸟食。鸟食的运动视为平抛运动，两运动轨迹在同一竖直平面内，则（　　） A．两颗鸟食同时抛出 B．在N点接到的鸟食后抛出 C．两颗鸟食平抛的初速度相同 D．在M点接到的鸟食平抛的初速度较大 【答案】D 【详解】AB．鸟食的运动视为平抛运动，则在竖直方向有 由于hM < hN，则tM < tN，要同时接到鸟食，则在N点接到的鸟食先抛出，故AB错误； CD．在水平方向有x = v0t，如图 过M点作一水平面，可看出在相同高度处M点的水平位移大，则M点接到的鸟食平抛的初速度较大，故C错误，D正确。 故选D。 8．（2024·浙江·高考真题）如图为水流导光实验，出水口受激光照射，下面桶中的水被照亮，则（　　） A．激光在水和空气中速度相同 B．激光在水流中有全反射现象 C．水在空中做匀速率曲线运动 D．水在水平方向做匀加速运动 【答案】B 【详解】A．光在介质中的速度为，故激光在水中的传播速度小于在空气中的传播速度，故A错误； B．水流导光的原理为光在水中射到水与空气分界面时入射角大于临界角，发生了全反射，故B正确； C．水在空中只受到重力作用，做匀变速曲线运动，速度在增大，故C错误； D．水在水平方向做匀速直线运动，故D错误。 故选B。 9．（2024·海南·高考真题）在跨越河流表演中，一人骑车以25m/s的速度水平冲出平台，恰好跨过河流落在河对岸平台上，已知河流宽度25m，不计空气阻力，取，则两平台的高度差h为（　　） A．0.5m B．5m C．10m D．20m 【答案】B 【详解】车做平抛运动，设运动时间为，竖直方向 水平方向 其中 、 解得 故选B。 二、多选题 10．（2025·湖南·高考真题）如图，某爆炸能量测量装置由装载台和滑轨等构成，C是可以在滑轨上运动的标准测量件，其规格可以根据测量需求进行调整。滑轨安装在高度为h的水平面上。测量时，将弹药放入装载台圆筒内，两端用物块A和B封装，装载台与滑轨等高。引爆后，假设弹药释放的能量完全转化为A和B的动能。极短时间内B嵌入C中形成组合体D，D与滑轨间的动摩擦因数为。D在滑轨上运动距离后抛出，落地点距抛出点水平距离为，根据可计算出弹药释放的能量。某次测量中，A、B、C质量分别为、、，，整个过程发生在同一竖直平面内，不计空气阻力，重力加速度大小为g。则（　　） A．D的初动能与爆炸后瞬间A的动能相等 B．D的初动能与其落地时的动能相等 C．弹药释放的能量为 D．弹药释放的能量为 【答案】BD 【详解】A．爆炸后，AB组成的系统动量守恒，即3mv1=mv2 B与C碰撞过程动量守恒mv2=6mv 联立解得v=0.5v1。 爆炸后瞬间A的动能 D的初动能 两者不相等，故A错误； B．D水平滑动过程中摩擦力做功为 做平抛运动过程中重力做的功为 故D从开始运动到落地瞬间合外力做功为0，根据动能定理可知D的初动能与其落地时的动能相等，故B正确； CD．D物块平抛过程有， 联立可得 D水平滑动过程中根据动能定理有 化简得 弹药释放的能量完全转化为A和B的动能，则爆炸过程的能量为 故C错误，D正确。 故选BD。 11．（2025·山东·高考真题）如图所示，在无人机的某次定点投放性能测试中，目标区域是水平地面上以O点为圆心，半径R1=5m的圆形区域，OO′垂直地面，无人机在离地面高度H=20m的空中绕O′点、平行地面做半径R2=3m的匀速圆周运动，A、B为圆周上的两点，∠AO′B=90°。若物品相对无人机无初速度地释放，为保证落点在目标区域内，无人机做圆周运动的最大角速度应为ωmax。当无人机以ωmax沿圆周运动经过A点时，相对无人机无初速度地释放物品。不计空气对物品运动的影响，物品可视为质点且落地后即静止，重力加速度大小g=10m/s2。下列说法正确的是（　　） A． B． C．无人机运动到B点时，在A点释放的物品已经落地 D．无人机运动到B点时，在A点释放的物品尚未落地 【答案】BC 【详解】AB．物品从无人机上释放后，做平抛运动，竖直方向 可得 要使得物品落点在目标区域内，水平方向满足 最大角速度等于 联立可得 故A错误，B正确； CD．无人机从A到B的时间 由于t′>t 可知无人机运动到B点时，在A点释放的物品已经落地，故C正确，D错误。 故选BC。 三、解答题 12．（2026·贵州·高考真题）如图，机舱内装有质量均为的甲、乙两个灭火弹模型的弹射型无人机，静止在的斜直轨道上，无人机空载时质量。无人机在弹射系统作用下以的速度沿轨道离开，随后无人机依靠自身动力飞行，达到高度时，开始以的速度沿水平方向做匀速直线运动，并进行投弹训练。设两弹所受空气阻力不计，落地点均在同一水平面上，取重力加速度。 (1)求载弹无人机在斜直轨道上运动过程中所受合力的冲量大小和方向； (2)设水平飞行过程中，载弹无人机水平方向动力与质量满足（国际单位制），所受空气阻力大小恒为，方向与飞行方向相反，若两弹相对无人机无初速度先后被释放，时间间隔，求两弹落地点之间的距离； (3)设无人机水平飞行过程中，先相对无人机无初速度释放甲，当甲落地时沿水平方向发射乙，此时乙相对地面的速度大小为，若无人机的速度始终不变，求乙从发射到落地的过程中，两弹之间距离的最小值与取值的关系。 【答案】(1)，方向与水平方向夹角为 (2) (3) 【详解】（1）载弹无人机在斜直轨道上运动过程中，由动量定理有 代入数据解得 则载弹无人机在斜直轨道上运动过程中所受合力的冲量大小为，方向沿斜直轨道向上，即与水平方向夹角为。 （2）先释放一个灭火弹后载弹无人机水平方向的动力大小为 水平方向由牛顿第二定律有 则释放第一个灭火弹后，第二个灭火弹与无人机一起做匀加速直线运动，所以后释放的灭火弹释放时的速度为 从释放第一个灭火弹到释放第二个灭火弹的过程，由速度位移公式可知后释放的灭火弹的位移为 由于两弹所受空气阻力不计，则两弹释放后均做平抛运动，有 则两弹落地点之间的距离为 （3）相对无人机无初速度释放甲，且无人机的速度始终不变，则根据平抛运动规律可知，甲落地时，乙在甲的正上方H处，设发射乙后乙的运动时间为，则此时两弹之间的距离为 由二次函数知识可知，当，两弹之间距离最小，即 由于，上述对称轴只有在即时，才落在有效区间内。 当时，对称轴，二次函数在区间单调递增，最小值在（发射瞬间）取得，此时两弹水平距离为0，竖直距离为，故 综上有 13．（2026·山东·高考真题）如图甲所示，半径r = 1m的圆筒竖直放置，上下底面圆心分别为O和O′，筒内有三个互成120°角且可以绕OO′转动的竖直矩形叶片S1、S2和S3，叶片与圆筒上下齐平，宽度等于圆筒半径，N为圆筒上底边沿一点。圆筒上底面固定一半径的水平圆形轨道，轨道上有一长度可忽略的缺口位于O点，OM为轨道直径且OM⊥ON；在轨道的M点放置一小物体，某时刻该物体在内力作用下突然分成A、B两部分并弹开，其质量分别为mA、mB。A以vA = 1m/s的速率沿轨道运动至缺口进入圆筒，在筒内做平抛运动后恰好紧贴圆筒下底面沿边穿出。已知g = 10m/s2。忽略空气阻力及一切摩擦，轨道、圆筒和叶片的厚度均忽略不计。 (1)求A在轨道内运动的时间及圆筒高度； (2)若叶片以恒定角速度ω顺时针转动，且A运动至缺口时，S1恰好转过ON位置，如图乙所示，随后A未与叶片碰撞，从圆筒下底面沿边穿出时，S2恰好转至ON位置。 （ⅰ）求角速度的大小ω； （ⅱ）若B运动至缺口后能从任意两个叶片间的区域穿过圆筒，且未与叶片及筒壁碰撞，求。 【答案】(1)t0 = 3s，h = 5m (2)（ⅰ），（ⅱ）（k = 0，1，2，3，…） 【详解】（1）A在轨道内做匀速圆周运动，运动时间 由题知，A以vA = 1m/s的速率沿轨道运动至缺口进入圆筒，在筒内做平抛运动后恰好紧贴圆筒下底面沿边穿出，则在水平方向有r = vAt 解得t = 1s 竖直方向有 （2）（ⅰ）由于A未与叶片碰撞，从圆筒下底面沿边穿出时，叶片转动了，则叶片角速度 （ⅱ）物体在内力作用下突然分成A、B两部分并弹开有mAvA = mBvB 则 由于B未与筒壁碰撞则有 且A运动至缺口时，S1恰好转过ON位置，则以此时为时间基准，则B从M到O所用的时间 要使B运动至缺口后能从任意两个叶片间的区域穿过圆筒，则B运动到O时S1或S2或S3要运动到ON反向的位置，则叶片转过的角度（k = 0，1，2，3，…） B不与叶片碰撞必须满足 解得（k = 0，1，2，3，…） 则（k = 0，1，2，3，…） 14．（2025·北京·高考真题）某物体以一定初速度从地面竖直向上抛出，经过时间t到达最高点。在最高点该物体炸裂成两部分，质量分别为和m，其中A以速度v沿水平方向飞出。重力加速度为g，不计空气阻力。求： (1)该物体抛出时的初速度大小； (2)炸裂后瞬间B的速度大小； (3)落地点之间的距离d。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）物体竖直上抛至最高点时速度为0，由运动学公式 可得 （2）爆炸瞬间水平方向动量守恒，爆炸前总动量为0。A速度为v，设B速度为vB，由动量守恒定律得 解得 即大小为2v （3）根据竖直上抛运动的对称性可知下落时间与上升时间相等为t，则A的水平位移 B的水平位移 所以落地点A、B之间的距离 15．（2025·河北·高考真题）如图，一长为2m的平台，距水平地面高度为1.8m。质量为0.01kg的小物块以3m/s的初速度从平台左端水平向右运动。物块与平台、地面间的动摩擦因数均为0.2。物块视为质点，不考虑空气阻力，重力加速度g取10m/s2。 (1)求物块第一次落到地面时距平台右端的水平距离。 (2)若物块第一次落到地面后弹起的最大高度为0.45m，物块从离开平台到弹起至最大高度所用时间共计1s。求物块第一次与地面接触过程中，所受弹力冲量的大小，以及物块弹离地面时水平速度的大小。 【答案】(1)0.6m (2)IN = 0.1N·s；vx′ = 0 【详解】（1）小物块在平台做匀减速直线运动，根据牛顿第二定律有a = μg 则小物块从开始运动到离开平台有 小物块从平台飞出后做平抛运动有，x = vxt1 联立解得x = 0.6m （2）物块第一次落到地面后弹起的最大高度为0.45m，则物块弹起至最大高度所用时间和弹起的初速度有，vy2 = gt2 则物块与地面接触的时间Δt = t－t1－t2 = 0.1s 物块与地面接触的过程中根据动量定理，取竖直向上为正，在竖直方向有IN－mgΔt = mvy2－m(－vy1)，vy1 = gt1 解得IN = 0.1N·s 取水平向右为正，在水平方向有， 解得vx′ = －1m/s 但由于vx′减小为0将无相对运动和相对运动的趋势，故vx′ = 0 16．（2025·安徽·高考真题）如图，M、N为固定在竖直平面内同一高度的两根细钉，间距。一根长为的轻绳一端系在M上，另一端竖直悬挂质量的小球，小球与水平地面接触但无压力。时，小球以水平向右的初速度开始在竖直平面内做圆周运动。小球牵引着绳子绕过N、M，运动到M正下方与M相距L的位置时，绳子刚好被拉断，小球开始做平抛运动。小球可视为质点，绳子不可伸长，不计空气阻力，重力加速度g取。 (1)求绳子被拉断时小球的速度大小，及绳子所受的最大拉力大小； (2)求小球做平抛运动时抛出点到落地点的水平距离； (3)若在时，只改变小球的初速度大小，使小球能通过N的正上方且绳子不松弛，求初速度的最小值。 【答案】(1)， (2)4m (3) 【详解】（1）小球从最下端以速度v0抛出到运动到M正下方距离为L的位置时，根据机械能守恒定律 在该位置时根据牛顿第二定律 解得， （2）小球做平抛运动时， 解得x=4m （3）若小球经过N点正上方绳子恰不松弛，则满足 从最低点到该位置由动能定理 解得 17．（2024·北京·高考真题）如图所示，水平放置的排水管满口排水，管口的横截面积为S，管口离水池水面的高度为h，水在水池中的落点与管口的水平距离为d。假定水在空中做平抛运动，已知重力加速度为g，h远大于管口内径。求： （1）水从管口到水面的运动时间t； （2）水从管口排出时的速度大小； （3）管口单位时间内流出水的体积Q。 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）水在空中做平抛运动，由平抛运动规律得，竖直方向 解得水从管口到水面的运动时间 （2）由平抛运动规律得，水平方向 解得水从管口排出时的速度大小 （3）管口单位时间内流出水的体积 20 / 42 学科网（北京）股份有限公司 $ 第13讲 抛体运动 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 考点精讲·靶向突破 拆解核心考点，归纳解题范式 考点一 平抛运动的规律 知识点1平抛运动的基本规律 知识点2平抛运动的两个重要推论 考向1平抛运动基本规律的应用 重 考向2两个重要推论的应用 考点二 落点有约束条件的平抛运动 知识点1平抛运动与斜面相结合的规律重 知识点2平抛运动与圆面相结合的规律 知识点3平抛运动与竖直面相结合的规律重 考向1平抛运动与斜面相结合 重 考向2平抛运动与圆面相结合重 考向3平抛运动与竖直面相结合重 考点三 平抛运动的临界问题 知识点1平抛运动临界问题的基本规律 知识点2竖直上抛运动的概念及基本规律 考向1平抛运动在生活类问题中的临界问题 重 考向2平抛运动在体育类问题中的临界问题重 【思维建模】求解平抛运动临界问题的一般思路 考点四 类平抛运动和斜抛运动 知识点1 类平抛运动的基本规律 知识点2 斜抛运动的基本规律 考向1 类平抛运动 重 考向2 斜抛运动重【思维建模】逆向思维法处理斜抛问题 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 平抛运动 河南卷T7 江苏卷T4 广东卷T5 贵州卷T15 山东卷T17 云南卷T3 河北卷T14 山东卷T10 海南卷T3 北京卷T19 湖北卷T3 斜抛运动 湖北卷T6 江西卷T8 山东卷T12 考情分析 题型与考向：高考对抛体运动的考查较为频繁，而且大多联系实际生活，题目的形式较为多样，有选择题也有计算题，并且近几年出现了三维空间的抛体运动考题，对学生的空间建构能力要求很高。 情境与立意： 从命题思路上看，试题情景为生活实践类：刀削面、套圈娱乐、体育运动（排球、羽毛球、乒乓球等）。 复习目标 目标一：掌握平抛运动的规律，能够利用规律处理与平抛运动有关的各类问题。 目标二：掌握斜抛运动的规律并会应用。 考点精讲·靶向突破 ——拆解核心考点，归纳解题范式 考点一 平抛运动的规律 知●识●解●构 知识点1 平抛运动的基本规律 1．定义：以一定的初速度沿水平方向抛出的物体只在 作用下的运动。 2．性质：平抛运动是加速度为g的 曲线运动，其运动轨迹是 。 3．平抛运动的条件：(1)v0≠0，沿 ；(2)只受 作用。 4．研究方法：平抛运动可以分解为水平方向的 运动和竖直方向的 运动。 5．基本规律(如图所示) (1)速度关系 (2)位移关系 (3)轨迹方程：y＝x2。 6．四个基本规律 飞行时间 由t＝ 知，时间取决于下落高度h，与初速度v0无关 水平射程 x＝v0，即水平射程由初速度v0和下落高度h共同决定，与其他因素无关 落地速度 v＝＝，落地速度也只与初速度v0和下落高度h有关 速度改变量 任意相等时间间隔Δt内的速度改变量Δv＝gΔt相同，方向恒为竖直向下，如图所示 知识点2 平抛运动的两个重要推论 1.做平抛(或类平抛)运动的物体在任意时刻任一位置处，设其速度方向与水平方向的夹角为α，位移方向与水平方向的夹角为θ，则 。 2.做平抛(或类平抛)运动的物体任一时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如图中A点为OB的 。 ✨得分速记：分析空间中的抛体运动的思路 (1)明确题意，形成运动轨迹在空间分布情况的一个轮廓； (2)以抛出点为坐标原点，根据运动情景建立三维直角坐标系； (3)确定每个坐标轴上的受力特点，明确各自的运动性质； (4)依据已知条件、运动学公式找出在各个坐标轴方向的位移、速度、加速度大小； (5)利用运动的合成与分解知识确定研究问题或联立求解相关问题。 考●向●破●译 考向1 平抛运动基本规律的应用【重】 例1 某同学发现水从水平放置的水管竖直向下稳定流出后，空中的水柱从上往下越来越细。忽略空气阻力，在空中水柱稳定后，离管口高度为处和处的水柱的横截面面积之比为（     ） A． B． C． D． 【变式训练1·变情境】在开口的塑料瓶壁上，从上到下依次打下1、2两个小孔。盛水后，水会从小孔喷出。则下面四种图示情形中，不可能的是（　　） A． B． C． D． 考向2 两个重要推论的应用 例2物理兴趣小组在封闭隔离的专用实验高台上开展平抛探究实验，自同一高度处，沿同一水平方向，先后以大小不同的初速度抛出两个完全相同的小球A、B，它们在空中运动的轨迹分别如图中曲线a、b所示。不计空气阻力，关于两小球的平抛运动，下列说法正确的是（     ） A．小球A、B的初速度大小之比为 B．小球B的速度变化量大于小球A的速度变化量 C．两小球落地时重力的瞬时功率相同 D．两小球落地瞬间，A速度与水平方向的夹角是B速度与水平方向的夹角的2倍 【变式训练1·变考法】某人将同一飞镖先后由同一竖直线的、两点沿水平方向抛出，飞镖均落在点，飞镖落在点时速度方向与水平方向的夹角分别为、，忽略空气的阻力。关于飞镖由、两点开始的平抛运动，下列说法正确的是（　　） A．平抛高度之比为 B．平抛时间之比为 C．平抛的初速大小之比为 D．飞镖落地瞬间的动能之比为 考点二 落点有约束条件的平抛运动 知●识●解●构 知识点1 平抛运动与斜面相结合的规律重 1.与斜面相关的几种的平抛运动 图示 方法 基本规律 运动时间 分解速度，构建速度的矢量三角形 水平vx＝v0 竖直vy＝gt 合速度v＝ 由tan θ＝＝得 t＝ 分解位移，构建位移的矢量三角形 水平x＝v0t 竖直y＝gt2 合位移x合＝ 由tan θ＝＝得 t＝ 在运动起点同时分解v0、g 由0＝v1－a1t,0－v12＝－2a1d得 t＝，d＝ 分解平行于斜面的速度v 由vy＝gt得t＝ 2.与斜面相关平抛运动的处理方法 (1)分解速度 平抛运动可以分解为水平方向的 和竖直方向的 ,设平抛运动的初速度为v0,在空中运动时间为t,则平抛运动在水平方向的速度为vx=v0,在竖直方向的速度为vy=gt,合速度为v=,合速度与水平方向的夹角满足tan θ=。 (2)分解位移 平抛运动在水平方向的位移为x=v0t,在竖直方向的位移为y=gt2,对抛出点的位移(合位移)为s=,合位移与水平方向夹角满足tan φ=。 (3)分解加速度 平抛运动也不是一定要分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动,在有些问题中,过抛出点建立适当的直角坐标系,把重力加速度g正交分解为gx、gy,把初速度v0正交分解为vx、vy,然后分别在x、y方向列方程求解,可以简化解题过程,化难为易。 知识点2 平抛运动与圆面相结合的规律 三种常见情景： 1.如图甲所示，小球从半圆弧左边沿平抛，落到半圆内的不同位置。由半径和几何关系制约时间t：h＝gt2，R±＝v0t，联立两方程可求t。 2.如图乙所示，小球恰好沿B点的切线方向进入圆轨道，此时半径OB垂直于速度方向，圆心角α与速度的偏向角相等。 3.如图丙所示，小球恰好从圆柱体Q点沿切线飞过，此时半径OQ垂直于速度方向，圆心角θ与速度的偏向角相等。 知识点3 平抛运动与竖直面相结合的规律重 1.从同一点斜抛物体，能垂直打在同一竖直面的不同高度处，可用逆向思维法思考，认为物体在不同高度平抛均落在同一点。 2.无论是从同一点平抛，落在同一竖直面上的不同高度处，还是从同一点斜抛，垂直落在同一竖直面的不同高度处，因高度不同，则运动时间不同，又物体水平位移相同，故平抛的初速度不同。 考●向●破●译 考向1 平抛运动与斜面相结合【重】 例1在投弹训练中，一枚炸弹被无人机以速度水平投放，正好垂直山坡击中目标，如图所示。已知山坡的倾角为，重力加速度为g。不计空气阻力，则炸弹（　　） A．击中目标时的速度大小为 B．在空中飞行的时间为 C．击中目标时重力的功率为 D．竖直方向与水平方向位移大小的比值为 ▶新思维◀【变式训练1·变考法】如图所示，足够长光滑斜面倾角，在斜面顶端有可视为质点的小球A和小球B，某时刻A以vA=4m/s水平抛出，与此同时B从斜面顶端以初速度vB沿斜面向下滑，经过一段时间，A刚好击中在斜面上滑动的小球B，取g=10m/s2（sin37°=0.6，cos37°=0.8），则下列说法正确的是（　　） A．若A的初速度变为原来的2倍，A还是可以击中B B．B的初速度vB=3.2m/s C．A击中B时的速度大小为2m/s D．若A的初速度变为原来的2倍，则A落到斜面上时的速度方向与斜面的夹角变大 考向2 平抛运动与圆面相结合【重】 例2如图所示，AB是四分之一圆弧，固定在竖直面内，O是圆心，OA竖直，C是圆弧上的一点，D是OA上一点，CD水平，a、b、c三点将OD四等分，在O、a、b、c四点分别水平抛出一个小球，小球均落在C点，若小球落在C点时能垂直打在圆弧面上，则小球的抛出点一定在（　　） A．O点 B．a点 C．b点 D．c点 【变式训练1】如图所示，内壁光滑的四分之一圆弧轨道竖直固定放置，圆心为点，、分别是竖直半径和水平半径。现让光滑水平面上的小球（可视为质点）获得一个水平向右的初速度，不计空气阻力，则小球从点离开后运动到圆弧上某点过程说法正确的是（    ） A．初速度越大，小球落在圆弧上时速度越大 B．初速度越大，小球平抛运动过程速度的变化量越大 C．改变初速度的大小，落在圆弧上不同位置速率可能相等 D．改变初速度的大小，落在圆弧上速度的方向垂直于该点的切线 考向3 平抛运动与竖直面相结合【重】 例3如图所示，某同学从A点水平抛出一弹性小球（可视为质点），小球在B点与竖直墙面发生碰撞后反弹，碰撞时间忽略不计，若弹性小球和墙面碰撞后，水平方向速度大小减小一半，竖直方向速度保持不变，经过一段时间，小球落在水平地面上。已知A点离B点高度为H、与墙距离为s，B点离地高为3H。不计空气阻力，则小球落地时距墙面的距离为（　　） A．2s B．s C． D． 【变式训练1】射艺是中国传统的射箭运动，《礼记·射义》中说：“射者，进退周还必中礼。“若某同学射箭时从同一点沿水平方向射出两只规格相同的箭（可视为质点），分别命中靶上a、b点，如图所示，射出点、a点和b点位于同一竖直平面内，忽略空气阻力，则（　　） A．命中a点的箭运动时间一定比命中b点的长 B．命中a点的箭初速度一定比命中b点的小 C．命中a点的箭在空中的动量变化量比命中b点的大 D．箭命中a点时的重力的功率一定比命中b点时的小 考点三 平抛运动的临界问题 知●识●解●构 知识点1 平抛运动临界问题的基本规律 1．平抛运动中临界问题的两种常见情形 (1)物体的最大位移、最小位移、最大初速度、最小初速度； (2)物体的速度方向恰好达到某一方向。 2．解题技巧：在题中找出有关临界问题的关键字，如“恰好不出界”“刚好飞过壕沟”“速度方向恰好与斜面平行”“速度方向与圆周相切”等，然后利用平抛运动对应的位移规律或速度规律进行解题。 3.典型规律 擦网 压线 既擦网又压线 由得： 由得： 由和得： 考●向●破●译 考向一 平抛运动在生活类问题中的临界问题【重】 例1中国的面食文化博大精深，种类繁多，其中“山西刀削面”堪称天下一绝，传统的操作手法是一手托面，一手拿刀，直接将面削到开水锅里。如图所示，小面圈刚被削离时距开水锅的高度为h，与锅沿的水平距离为L，锅的半径也为L，将削出的小面圈的运动视为平抛运动，且小面圈都落入锅中，重力加速度为g，则下列关于所有小面圈在空中运动的描述错误的是（　　） A．运动的时间都相同 B．速度的变化量都相同 C．落入锅中时，最大速度是最小速度的3倍 D．若初速度为，则 【变式训练1·变考法】套圈是人们喜爱的传统游戏，大人和小孩在同一条竖直线上的不同高度分别水平抛出相同的圆环，圆环恰好同时套中水平地面上的玩具。若不计空气阻力，圆环和玩具均可视为质点，圆环被抛出后的运动可视为平抛运动，下列说法正确的是（　　）    A．小孩后抛出圆环，小孩抛出圆环初速度较大 B．大人先抛出圆环，大人抛出圆环初速度较大 C．两人同时抛出圆环，抛出圆环初速度一样大 D．小孩先抛出圆环，大人和小孩抛出圆环初速度一样大 考向二 平抛运动在体育类问题中的临界问题【重】 例2智能网球发球机可将网球从发球口沿水平面内任意方向以不同大小的速度击出，供运动员进行训练。如图所示，发球机置于网球场左侧底线AB的中点M处，发球口在M点正上方高度为的O点。球网两侧球场ABCF与FCDE为边长相同的正方形，球网高度为。不计空气阻力。则网球（视为质点）直接落在右侧球场中所有可能落点构成图形的形状为（    ） A． B． C． D． 【变式训练1·变考法】如图甲，乒乓球发球机可上下调整出球俯仰角度、出球速度、任意设置前后或左右落点变化。若发球机出口在球台边缘O点正上方，第一次乒乓球在高度h1处沿球台中心轴线以速度v1水平发出，直接擦过球网落在球台上的P点，第二次乒乓球在高度h2处沿球台中心轴线以速度v2水平发出，反弹后恰好在最高点时擦过球网落在球台上的P点（球的运动轨迹如图乙中虚线所示），设乒乓球台长为4L，球网高为h，P点到球台边缘距离为L，乒乓球反弹前后的水平分速度不变，竖直分速度大小不变、方向相反，不考虑乒乓球的旋转和空气阻力，重力加速度为g。则（　　）        A．乒乓球两次在空中运动时速度改变量的方向不相同 B．乒乓球反弹后直到再次到达最高点的过程中处于超重状态 C．两次发球时乒乓球的水平速度之比为v1∶v2=∶1 D．乒乓球刚好擦网时的机械能第二次比第一次多mgh 思维建模 求解平抛运动临界问题的一般思路 (1)确定临界状态，若有必要，画出临界轨迹。 (2)找出临界状态对应的临界条件。 (3)根据平抛运动的规律列方程求解。 考点四 类平抛运动和斜抛运动 知●识●解●构 知识点1 类平抛运动的基本规律 1.类平抛运动的受力特点: 物体所受的合外力为恒力,且与初速度的方向垂直。 2.类平抛运动的运动特点: 在初速度v0方向上做匀速直线运动,在合外力方向上做初速度为零的匀加速直线运动,加速度a=。 3.类平抛运动的求解方法: (1)常规分解法:将类平抛运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和垂直于初速度方向(即沿合外力的方向)的匀加速直线运动。两分运动彼此独立,互不影响,且与合运动具有等时性。 (2)特殊分解法:对于有些问题,可以过抛出点建立适当的直角坐标系,将加速度a分解为ax、ay,初速度v0分解为vx、vy,然后分别在x、y方向列方程求解。 知识点2 斜抛运动的基本规律 处理方法 水平竖直正交分解 化曲为直 最高点一分为二变平抛运动 逆向处理 将初速度和重力加速度 沿斜面和垂直斜面分解 基本规律 水平速度： 竖直速度： 最高点： 最高点：速度水平 垂直斜面： 沿着斜面： 最高点： 考●向●破●译 考向一 类平抛运动【重】 例1小实给弟弟买了架玩具无人机，通过传感器测试无人机的飞行情况。如图为在测试软件中设定的三维坐标系oxyz，某时刻起小实进行遥控操作，通过传感器测试发现无人机沿轴负方向匀速飞行，沿轴正方向匀速飞行，沿轴正方向做初速度为零的匀加速飞行，则关于无人机的实际运动，下列说法正确的是（　　） A．无人机做匀速直线运动 B．无人机做匀速圆周运动 C．无人机做类平抛运动 D．无人机做类斜抛运动 【变式训练1·变考法】如图所示，质量为0.1kg的小球放在光滑水平面上的P点，现给小球一个水平初速度，同时对小球施加一个垂直于初速度的水平恒力F，小球运动1s后到达Q点，测得P、Q间的距离为12.5m，P、Q连线与初速度的夹角为37°，，，则初速度的大小和恒力F的大小分别为（　　） A．10m/s，0.5N B．6m/s，0.5N C．8m/s，1.5N D．10m/s，1.5N 考向二 斜抛运动【重】 例2在地球表面将一个小球以初速度、与水平方向成角斜向上抛出，忽略空气阻力。在月球上以同样的方式抛出，与地球上相比（     ） A．运动的最大高度小 B．水平射程短 C．经最高点时重力的功率相等 D．小球的运动轨迹均与质量有关 【变式训练1·变考法】2126年，人类计划在月球南极建立“广寒”科研基地，基地外的能源区中，有一个高、宽的紧凑型聚变燃料储存舱，其表面光滑，可视为“障碍结构”。为保障基地供电，需用无人投递器从储存舱正前方的某投放点（投递器与储存舱之间的距离可调），从地面以初速度（方向未知）投递小型能源模块。要求模块恰好越过储存舱顶部，精准抵达储存舱后方的接收区。已知月球表面可视为无大气阻力的真空环境，月球表面重力加速度按计算。若要使模块成功投递，其初速度的最小值为（　　） A． B． C． D． 思维建模 逆向思维法处理斜抛问题 对斜上抛运动，从抛出点到最高点的运动可逆过程分析，看成平抛运动，分析完整的斜上抛运动，还可根据对称性求解某些问题。 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 一、单选题 1．（2026·河南·高考真题）如图1，网球运动员将球沿水平方向击出，球运动轨迹所在平面与球网面的夹角为，球恰好擦过球网上沿的点，图2为球运动轨迹在球网所在平面的投影，轨迹投影在点的切线与球网上沿的夹角为。已知击出时球的速度大小为，，重力加速度大小取，不计阻力，则击球点到球网面的距离为（     ） A．4 m B．6 m C．8 m D．10 m 2．（2026·江苏·高考真题）如图所示，小明跳起从同一高度将排球水平击出三次，排球分别落于a、b、c三点，不计空气阻力，关于该过程，下列说法正确的是（   ） A．排球的飞行时间满足ta > tb > tc B．排球的飞行时间满足ta < tb < tc C．排球的初速度满足va < vb < vc D．排球的初速度满足va = vb = vc 3．（2026·广东·高考真题）如图是月球上一圆柱形阴影坑竖直截面图。假定某飞行器在月面上空向坑中心方向以速度匀速水平飞行。在距坑边的点正上方关闭动力，此后只受月球重力，直至抵达着陆线。已知坑直径，月面至着陆线深度，月面重力加速度取，飞行器可视为质点。飞行器安全到达着陆线，则的大小可能是（     ） A． B． C． D． 4．（2025·江西·高考真题）如图所示，人形机器人陪伴小孩玩接球游戏。机器人在高度为H的固定点以速率水平向右抛球，小孩以速率水平向左匀速运动，接球时手掌离地面高度为h。当小孩与机器人水平距离为时，机器人将小球抛出。忽略空气阻力，重力加速度为g。若小孩能接到球，则为（　　） A． B． C． D． 5．（2025·浙江·高考真题）如图所示，在水平桌面上放置一斜面，在桌边水平放置一块高度可调的木板。让钢球从斜面上同一位置静止滚下，越过桌边后做平抛运动。当木板离桌面的竖直距离为h时，钢球在木板上的落点离桌边的水平距离为x，则（　　） A．钢球平抛初速度为 B．钢球在空中飞行时间为 C．增大h，钢球撞击木板的速度方向不变 D．减小h，钢球落点离桌边的水平距离不变 6．（2025·甘肃·高考真题）如图，小球A从距离地面处自由下落，末恰好被小球B从左侧水平击中，小球A落地时的水平位移为。两球质量相同，碰撞为完全弹性碰撞，重力加速度g取，则碰撞前小球B的速度大小v为（　　） A． B． C． D． 7．（2025·云南·高考真题）如图所示，某同学将两颗鸟食从O点水平抛出，两只小鸟分别在空中的M点和N点同时接到鸟食。鸟食的运动视为平抛运动，两运动轨迹在同一竖直平面内，则（　　） A．两颗鸟食同时抛出 B．在N点接到的鸟食后抛出 C．两颗鸟食平抛的初速度相同 D．在M点接到的鸟食平抛的初速度较大 8．（2024·浙江·高考真题）如图为水流导光实验，出水口受激光照射，下面桶中的水被照亮，则（　　） A．激光在水和空气中速度相同 B．激光在水流中有全反射现象 C．水在空中做匀速率曲线运动 D．水在水平方向做匀加速运动 9．（2024·海南·高考真题）在跨越河流表演中，一人骑车以25m/s的速度水平冲出平台，恰好跨过河流落在河对岸平台上，已知河流宽度25m，不计空气阻力，取，则两平台的高度差h为（　　） A．0.5m B．5m C．10m D．20m 二、多选题 10．（2025·湖南·高考真题）如图，某爆炸能量测量装置由装载台和滑轨等构成，C是可以在滑轨上运动的标准测量件，其规格可以根据测量需求进行调整。滑轨安装在高度为h的水平面上。测量时，将弹药放入装载台圆筒内，两端用物块A和B封装，装载台与滑轨等高。引爆后，假设弹药释放的能量完全转化为A和B的动能。极短时间内B嵌入C中形成组合体D，D与滑轨间的动摩擦因数为。D在滑轨上运动距离后抛出，落地点距抛出点水平距离为，根据可计算出弹药释放的能量。某次测量中，A、B、C质量分别为、、，，整个过程发生在同一竖直平面内，不计空气阻力，重力加速度大小为g。则（　　） A．D的初动能与爆炸后瞬间A的动能相等 B．D的初动能与其落地时的动能相等 C．弹药释放的能量为 D．弹药释放的能量为 11．（2025·山东·高考真题）如图所示，在无人机的某次定点投放性能测试中，目标区域是水平地面上以O点为圆心，半径R1=5m的圆形区域，OO′垂直地面，无人机在离地面高度H=20m的空中绕O′点、平行地面做半径R2=3m的匀速圆周运动，A、B为圆周上的两点，∠AO′B=90°。若物品相对无人机无初速度地释放，为保证落点在目标区域内，无人机做圆周运动的最大角速度应为ωmax。当无人机以ωmax沿圆周运动经过A点时，相对无人机无初速度地释放物品。不计空气对物品运动的影响，物品可视为质点且落地后即静止，重力加速度大小g=10m/s2。下列说法正确的是（　　） A． B． C．无人机运动到B点时，在A点释放的物品已经落地 D．无人机运动到B点时，在A点释放的物品尚未落地 三、解答题 12．（2026·贵州·高考真题）如图，机舱内装有质量均为的甲、乙两个灭火弹模型的弹射型无人机，静止在的斜直轨道上，无人机空载时质量。无人机在弹射系统作用下以的速度沿轨道离开，随后无人机依靠自身动力飞行，达到高度时，开始以的速度沿水平方向做匀速直线运动，并进行投弹训练。设两弹所受空气阻力不计，落地点均在同一水平面上，取重力加速度。 (1)求载弹无人机在斜直轨道上运动过程中所受合力的冲量大小和方向； (2)设水平飞行过程中，载弹无人机水平方向动力与质量满足（国际单位制），所受空气阻力大小恒为，方向与飞行方向相反，若两弹相对无人机无初速度先后被释放，时间间隔，求两弹落地点之间的距离； (3)设无人机水平飞行过程中，先相对无人机无初速度释放甲，当甲落地时沿水平方向发射乙，此时乙相对地面的速度大小为，若无人机的速度始终不变，求乙从发射到落地的过程中，两弹之间距离的最小值与取值的关系。 13．（2026·山东·高考真题）如图甲所示，半径r = 1m的圆筒竖直放置，上下底面圆心分别为O和O′，筒内有三个互成120°角且可以绕OO′转动的竖直矩形叶片S1、S2和S3，叶片与圆筒上下齐平，宽度等于圆筒半径，N为圆筒上底边沿一点。圆筒上底面固定一半径的水平圆形轨道，轨道上有一长度可忽略的缺口位于O点，OM为轨道直径且OM⊥ON；在轨道的M点放置一小物体，某时刻该物体在内力作用下突然分成A、B两部分并弹开，其质量分别为mA、mB。A以vA = 1m/s的速率沿轨道运动至缺口进入圆筒，在筒内做平抛运动后恰好紧贴圆筒下底面沿边穿出。已知g = 10m/s2。忽略空气阻力及一切摩擦，轨道、圆筒和叶片的厚度均忽略不计。 (1)求A在轨道内运动的时间及圆筒高度； (2)若叶片以恒定角速度ω顺时针转动，且A运动至缺口时，S1恰好转过ON位置，如图乙所示，随后A未与叶片碰撞，从圆筒下底面沿边穿出时，S2恰好转至ON位置。 （ⅰ）求角速度的大小ω； （ⅱ）若B运动至缺口后能从任意两个叶片间的区域穿过圆筒，且未与叶片及筒壁碰撞，求。 14．（2025·北京·高考真题）某物体以一定初速度从地面竖直向上抛出，经过时间t到达最高点。在最高点该物体炸裂成两部分，质量分别为和m，其中A以速度v沿水平方向飞出。重力加速度为g，不计空气阻力。求： (1)该物体抛出时的初速度大小； (2)炸裂后瞬间B的速度大小； (3)落地点之间的距离d。 15．（2025·河北·高考真题）如图，一长为2m的平台，距水平地面高度为1.8m。质量为0.01kg的小物块以3m/s的初速度从平台左端水平向右运动。物块与平台、地面间的动摩擦因数均为0.2。物块视为质点，不考虑空气阻力，重力加速度g取10m/s2。 (1)求物块第一次落到地面时距平台右端的水平距离。 (2)若物块第一次落到地面后弹起的最大高度为0.45m，物块从离开平台到弹起至最大高度所用时间共计1s。求物块第一次与地面接触过程中，所受弹力冲量的大小，以及物块弹离地面时水平速度的大小。 16．（2025·安徽·高考真题）如图，M、N为固定在竖直平面内同一高度的两根细钉，间距。一根长为的轻绳一端系在M上，另一端竖直悬挂质量的小球，小球与水平地面接触但无压力。时，小球以水平向右的初速度开始在竖直平面内做圆周运动。小球牵引着绳子绕过N、M，运动到M正下方与M相距L的位置时，绳子刚好被拉断，小球开始做平抛运动。小球可视为质点，绳子不可伸长，不计空气阻力，重力加速度g取。 (1)求绳子被拉断时小球的速度大小，及绳子所受的最大拉力大小； (2)求小球做平抛运动时抛出点到落地点的水平距离； (3)若在时，只改变小球的初速度大小，使小球能通过N的正上方且绳子不松弛，求初速度的最小值。 17．（2024·北京·高考真题）如图所示，水平放置的排水管满口排水，管口的横截面积为S，管口离水池水面的高度为h，水在水池中的落点与管口的水平距离为d。假定水在空中做平抛运动，已知重力加速度为g，h远大于管口内径。求： （1）水从管口到水面的运动时间t； （2）水从管口排出时的速度大小； （3）管口单位时间内流出水的体积Q。 4 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $