15.3.2等边三角形 课件 2026-2027学年人教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦等边三角形的性质与判定及含30°角直角三角形的性质，通过回顾等腰三角形定义、性质与判定，结合三角尺实例提问，搭建从旧知到新知的学习支架，引导学生逐步深入。 其亮点在于通过测量探究、多种证法及变式训练，发展学生推理能力与空间观念，如含30°角直角三角形性质的证明采用构造等边三角形等方法，等边三角形判定设置不同位置变式题。课堂小结通过问题引导梳理知识，帮助学生形成知识体系，教师可借助此资料提升教学效率，学生能增强数学应用意识。

初中数学八年级上册（人教版（2024）） 第十五章 第三节（二） 等边三角形 学习目标： 　1．探索等边三角形的性质和判定． 　2．能运用等边三角形的性质和判定进行计算和证明． 学习重点： 探索等边三角形的性质与判定． A B C 1、什么是等腰三角形？ 2、等腰三角形有哪些性质？ 等腰三角形的两腰相等 AB=AC 两底角相等 ∠B=∠C（等边对等角） 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高线互相重合（三线合一） 回顾 D 等腰三角形是轴对称图形 有两边相等的三角形是等腰三角形。 3.等腰三角形的判定方法 等角对等边 我们经常使用的三角尺是两个特殊的直角三角形，其中一个是等腰直角三角形，它有两个45°的锐角，两条直角边相等；那么另一个三角尺的边之间是否存在特殊的数量关系呢? 探究 如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，测量∠A所对的直角边BC与斜边AB，你能得到什么结论？再画几个满足条件的三角形，你得到的结论还成立吗？证明你的结论. 30° A B C 测量看看？ BC = AB. 通过测量发现：在Rt△ABC中，如果∠A=30°， 那么直角边BC等于斜边AB的一半. 如何证明？ 知识点 含30°角的直角三角形的性质 30° A B C 要证明BC=AB，只要证明2BC=AB. 为此可以构造长为2BC的线段，证明它和AB相等即可. D 知识点 含30°角的直角三角形的性质 互动新授 如图，已知Rt△ABC≌Rt△ADC，其中∠BAC=∠DAC=30°， 求证： A B D C 30° ∴∠DAC=∠BAC=30°,AB=AD ∴∠BAD=∠BAC+∠DAC =30°+30°=60° ∴ △ABD是等边三角形. ∴BC=CD= ∴ 证法1：∵△ADC是△ABC的轴对称图形 ∵ AC⊥BD 还有其他的方法吗？ 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，求证： 互动新授 A C B D . 证明2：在斜边AB上截取BD=BC，连接CD. ∵在Rt△ABC中，∠A=30° , ∴∠B=60°. ∵BD=BC，∠B=60° , ∴△BCD为等边三角形，∠DCB=60°，CD=BC=BD. ∵∠ACB=90°，∠DCB=60°， ∴∠ACD=30°. ∴∠ACD=∠A=30°， ∴AD=CD. ∴BC=CD=BD=AD. ∴BC=1/2AB. 你能得出什么结论呢？ A C B 已知： △ABC是等边三角形 求证： ∠A=∠B=∠C=60° 证明：∵　△ABC 是等边三角形， ∴　BC =AC，BC =AB． ∴　∠A =∠B，∠A =∠C ． ∴　∠A =∠B =∠C ． ∵　∠A +∠B +∠C =180°， ∴　∠A =60°． ∴　∠A =∠B =∠C =60°． 三边都相等的三角形是等边三角形。 等边三角形三种判定方法 定义： 符号语言： 在△ABC 中， ∵　AB=BC =AC ， ∴　△ABC 是等边三角形． A B C C B A 1．如图，在Rt△ABC中，∠A=30°，AB＋BC=12 cm，则AB= ． 8cm 小试牛刀 2．如图：△ABC是等边三角形，AD⊥BC，DE⊥AB，若AB=8 cm，则BD= ，BE= ． 2cm 4cm A C E B D 第1题 第2题 A E D C B 3.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BA的垂直平分线交边CB于D，若AB=10，AC=5，则图中等于30°的角的个数为（ ）． A．2 B．3 C．4 D．5 B 小试牛刀 一个等腰三角形满足什么条件是等边三角形? 思考4 等腰三角形 等边三角形 三条边相等 分类讨论： (1) 腰和底边相等的等腰三角形是等边三角形； (2) 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 . 三边相等(定义) 证明 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 . 情况一：等腰三角形的顶角为60°. 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=60°. 证明：△ABC是等边三角形. 证明：∵AB=AC，∠A=60°， ∴∠B=∠C= (180°-∠A)=60° . ∴△ABC是等边三角形. A B C 典例解析 题型2 等边三角形的判定的应用 例3 如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，分别交AB,AC于点D，E.求证：△ADE是等边三角形. A C B D E 证明： ∵ △ABC是等边三角形， ∴ ∠A= ∠B= ∠C. ∵ DE//BC, ∴ ∠ADE= ∠B, ∠ AED= ∠C. ∴ ∠A= ∠ADE= ∠ AED. ∴ △ADE是等边三角形. 典例解析 题型2 等边三角形的判定的应用 例3变式1 若点D,E 在边AB,AC 的延长线上，且 DE∥BC，结论还成立吗？ A D E B C 　证明：∵　△ABC 是等边三角形， ∴　∠A =∠ABC =∠ACB =60°． ∵　DE∥BC， ∴　∠ABC =∠ADE， ∠ACB =∠AED. ∴　∠A =∠ADE =∠AED. ∴　△ADE 是等边三角形. 　　证明：∵　△ABC 是等边三角形， ∴　∠A =∠ABC =∠ACB =60°． ∵　DE∥BC， ∴　∠ABC =∠ADE， ∠ACB =∠AED. ∴　∠A =∠ADE =∠AED. ∴　△ADE 是等边三角形. 动脑思考，变式训练 　　变式2　若点D、E 在边AB、AC 的延长线上，且 DE∥BC，结论还成立吗？ A D E B C 等边三角形判定运用 动脑思考，变式训练 　　变式3　若点D、E 在边AB、AC 的反向延长线上， 且DE∥BC，结论依然成立吗？ 　　证明： ∵　△ABC 是等边三角形， ∴　∠BAC =∠B =∠C =60°． ∵　DE∥BC， ∴　∠B =∠D，∠C =∠E． ∴　∠EAD =∠D =∠E． ∴　△ADE 是等边三角形． A D E B C 等边三角形判定运用 1.如图,△ABC是等边三角形,△ADE是等腰三形,AD=AE，∠DAE=80°,当DE⊥AC时,求∠BAD和∠EDC的度数. 分析：首先利用等腰三角形的性质得出∠ADE＝∠E＝50°,∠DAF＝∠EAF＝40°,进而利用等边三角形的内角度数求出∠BAD，再利用三角形外角的性质求出∠EDC ． A B C F E D 解：∵AD=AE,∠DAE=80°, DE⊥AC, ∴∠ADE=∠E=50°,∠DAF=∠EAF=40°. ∵△ABC是等边三角形,∴∠BAC=60°. ∴∠BAD=∠BAC-∠DAF=20°. ∵∠B+∠BAD=∠ADC=∠ADE+∠EDC， ∴∠EDC=60°+20°-50°=30°. A B C F E D 1.如图,△ABC是等边三角形,△ADE是等腰三形,AD=AE，∠DAE=80°,当DE⊥AC时,求∠BAD和∠EDC的度数. 2.某市在旧城绿化改造中，计划在一块如图所示的△ABC空地上种植草皮优化环境，已知∠A＝150°，这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要 A.300a元 B.150a元 C.450a元 D.225a元 √ 随堂演练 （1）本节课学习了等边三角形的性质和判定； （2）等边三角形与等腰三角形相比有哪些特殊的性质？ 共有几种判定等边三角形的方法？ （3）结合本节课的学习，谈谈研究三角形的方法． 课堂小结 $