专题26 复数-【创新大课堂】高考数学五年（2022-2026年）真题分类汇编168优化重组卷

专题26 复数 考向1复数的概念 考向2复数的几何意义 1.(2025·全国卷I,5分)(1十5i)i的虚部为 (2025·上海卷，5分)已知复数之满足之2= ( ()2,之≤1，则|之-2一3i的最小值是 A.-1 B.0 C.1 D.6 2.(2024·新课标Ⅱ卷，5分)已知之=一1-i,则考向3复数的运算 之= ）1.(多选)(2026·全国I卷，6分)设x=3十2i,则 A.0 B.1 () C.2 D.2 A.之=3-21 B.z=5 3.(2022·全国甲（文）)若之=1+i.则|i这十3之|= C.z2=5+12i D.3ER 这-i 2.(2026·全国Ⅱ卷，5分)(1-3i)2= A.45 B.4√2 A.-8+6i B.-8-6i C.25 D.22 C.8+6i D.8-6i 4.(2022·全国乙（文）)设(1+2i)a+b=2i,其中 3.(2026·北京卷，4分)已知复数之1=2+i,2=1 a,b为实数，则 -3i,则|之1十2= () A.a=1,b=-1 B.a=1,b=1 A.5 B.√5 C.W13 D.13 C.a=-1,b=1 D.a=-1,b=-1 5.(2022·浙江卷T2)已知a,b∈R,a+3i=(b+4.(2025·全国卷1,5分)已知=1+i,则1， 1 i)i(i为虚数单位)，则 ( ( A.a=1,b=-3 B.a=-1,b=3 A.-i B.i C.-1 D.1 C.a=-1,b=-3 D.a=1,b=3 6.(2022·北京卷T2)若复数之满足i·之=3-4i, 5.（2024·新课标I卷，5分)若二=1十i,则= 则之= ( A.1 B.5 A.-1-i B.-1+i C.7 D.25 C.1-i D.1+i 7.(2022·全国乙（理）)已知之=1-2i,且之十a·!6.(2024·全国甲卷·理，5分)设之=5十i,则 之+b=0,其中a,b为实数，则 ( i(之十之)= A.a=1,b=-2 B.a=-1,b=2 A.10i B.2i C.a=1,b=2 D.a=-1,b=-2 、 C.10 D.-2 83 7.(2024·全国甲卷·文，5分)设之=2i,则之·14.(2023·全国乙卷·文，5分)2+2+23|= A.-2 B.√2 C.-√2 D.2 A.1 B.2 D.5 8.(2024·北京卷，4分)若复数之满足等=-1- C.5 i,则之= ( 15.(2022·金国甲（理）)若=-1+i,则之 A.-1-i B.-1+i 三 C.1-i D.1+i A.-1+√3i B.-1-√3i 9.(2023·新课标1卷，5分)已知之 2+7则 1-i C.-1+ 3 3 之一之= ( ）16.(2022·新高考I卷)若i(1-之)=1，则之十之 A.-i B.i C.0 D.1 () 10.(2023·全国甲卷·理，5分)设a∈R,(a十i) A.-2 B.-1 C.1 D.2 (1-ai)=2,则a ( ）;17.(2022·新高考Ⅱ卷)(2+2i)(1-2i)=( ) A.-2 B.-1 C.1 D.2 A.-2+4i B.-2-4i 5(1+i3) C.6+2i D.6-2i 11.(2023·全国甲卷·文，5分) (2+i)(2-i) !18.(2026·天津卷，5分)已知i是虚数单位，化简 ( (3+i)2= A.-1 B.1 C.1-i D.1+i 19.(2025·天津卷，5分)已知i是虚数单位，则 12.(2023·新课标Ⅱ卷，5分)在复平面内，(1十 3+i 3i)(3一i)对应的点位于 ( 20.(2024·天津卷，5分)已知i是虚数单位，复数 A.第一象限 B.第二象限 (5+i)·(w5-2i)= C.第三象限 D.第四象限 21.(2024·上海卷，5分)已知虚数之，其实部为1， 13.(2023·全国乙卷·理，5分)设之= 2+i 1+2+51 且十2=m(m∈R),则实数m为 则之= 22.(2023·天津卷，5分)已知1是虚数单位，化简 A.1-2i B.1+2i 5+14i 2+3i 的结果为 C.2-i D.2+i 84的有：9.80,9.70,9.55,9.54四个， 所以，甲在校运会铅球比赛中获优秀奖的概率为P(A)一0.4 (2)X所有可能取值为0,1,2,3. 甲在校运会铅球比赛中获优秀奖的概率为P(A)一0.4. 乙在校运动会铅球比赛中获优秀奖的概率为事件B,则P(B)一 0.5. 丙在校运动会铅球比赛中获优秀奖的概率为事件C,剥P(C)一 0.5. P(X=0)=0.6×0.5×0.5=0.15 P(X=1)=0.4×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5= 0.4 P(X=2)=0.4×0.5×0.5十0.4×0.5×0.5十0.6×0.5×0.5= 0.35 P(X=3)=0.4×0.5×0.5=0.1 E(X)=0×0.15+1×0.4+2×0.35+3×0.1=1.4 (3)甲的平均数：(9.80+9.70+9.55+9.54+9.48+9.42+9.40+ 9.35+9.30+9.25)×0.1=9.479 乙的平均数：(9.78十9.56十9.51十9.36十9.32十9.23)÷6≈ 9.457 丙的平均数：(9.85十9.65十9.20十9.16)×0.25=9.465 甲的方差：S=「(9.8-9.479)2+…+(9.25-9.479)2]÷10= 0.172 乙的方差：S2=[(9.78-9.457)2十·十(9.23-9.457)2]÷6= 0.0329 丙的方差：S2=[(9.85-9.465)2十…(9.16-9.465)2]÷4=0.086 专题26复数 考向1复数的概念 1.C[复数乘法十复数概念(1十5i)i=一5十i,其虚部为1，故 远C.] 2.C[复数的模x=-1-i=√(-1)+(-1)严=√2，故选C.] 3.DL因为z=1+i,所以z=1-i,所以z十3z=i(1+i)十3(1一i) 2-2i,所以iz十3z|=2-2i=√/22+(-2)2=2√2.故选D.] 4.A[由(1+2i)a+b=2i,得a+2ai+b-2i=0,即(a+b)+(2a 2=0,所以{226年释81业选A] 5.B[a十3i=一1十bi,而a,b为实数，故a=一1，b=3,故远B.] 6.B[由条件可知=3-4i-一4-31，所以2=5.] i 7.A[z=1+2i,x+a·z+b=1-2i+a(1+2i)+b=(1+a+b)+ -2i.由+6=a.得22.0中0l ,故远A.」 考向2复数的几何意义 2√2[复数的运算十复数的模设z=a十i(a,b∈R),则z=a bi,由z2=(x)2,可得(a十i)2=(a-bi)2,即a2一b2十2abi=a2-b -2ab,故ab=0.由x1可得√a2十1，即a2十b21. 解法一当a=0时，b≤1，z一2-3i=-2十(b-3)i= √4+(b-3)产，此时z-2-3imim=√4+(1-3)2=2V2.当b=0 时，a1,z-2-3=|a-2-3i=W√(a-2)2+9,此时z-2- 3imm=√(1-2)+9=√10.当a=0,b=0时，z-2-3i=-2 一3i=√4十9=√13.综上，x一2-3的最小值为2√2 解法二设复数之在复平面内对应的点的坐标 y 为(x,y),其中x=0(一1y1)或y=0(一1 °23) x1),表示两条相交线段，x一2一3i表示x在 复平面内对应的点与点(2,3)的距离，作出图形 1 如图，结合图知，当：在复平面内对应的点为(0，口1之 1)时，之一2一3取到最小值，为 √/(0-2)2+(1-3)2=2√2.] 考向3复数的运算 1,ACD[复数的概念、四则运算、几何意义 A(/)由共轭复数的定义知，2=3十2i的共轭复数为2=3一2i,故 A正确. 错误项分析B(X)复数z=3十2i的模z=√3+2=√13，故 B错误. C(/)x2=(3+2i)2=32+2×3×2i+(2i)2=9+12i-4=5+12i, 故C正确。 V33+2i时3g=23十D2∈R,故D正碗 :-i 3+2i-i 3+i 选ACD.1 2.B「复数的运算 (1-3i)2=1-6i+9=1-6i-9=-8-6i,故选B.] 3.C[复数的运算因为1=2+i,=1-3i,所以十=2+i十 1-3i=(2+1)十(1-3)i=3-2i,则x+22=|3-2i= √/3+(-2)2=√13，故远C.] 4.A[复数的四则运算 1 x-11 =一i,故远A.] 5.C[复数的四则运算（理性思雏、数学探索） 解法-（解方程法）因为气1十i,所以之=(：一1)(1+i),即 之=2-1十i-i,即i=1十i,所以=1中i1中D卫=1一i,故 1 i(-) 远C. 解法二（取倒数法）国为片=1十i所以。六即1 1 y 1-i 1 1 2 1-i,故选C.] 6.A[共轭复数的概念十复数的运算（数学应用）因为x=5十i,所 以z=5一i,所以i(2+z)=10i,故选A.] 7.D[复数的四则运算十共轭复数因为z=√2i,所以z=一√2i, x·x=2,故远D. 知识巩固复数z与其共轭复数之的乘积满足之·之=z?.] 8.C[复数的乘法运算（理性思雏）由题意得，z=i(一1一i)=1一i 故选C.] 9Λ[闲为一年云2一安，所以=合i,所以 1-i (1-i)2 10.C[(a+i)(1-ai)=a+i-a2i-ai-2a+(1-a)i=2,.2a =2且1-a2=0,解得a=1,故远C.] 1.C[由题意知，2”=里--1-，故 5(1+3) 22-2 5 选C.] 12.A[因为(1十3i)(3-i)=3-i十9i-3=6十8i,所以该复数在复 平面内对应的，点为(6,8)，位于第一象限，故远A.] 2+i 2+i 3.B[=511干=1-2i,所以=1+21 故选B.] 14.C[2+￥+23|=2-1-2i=11-2i=W5.故选C] 15.C[e=-1-1,2=(-1十5i)(-1-5)=1+3=4.22 3 16.D[对原式两边同时来以i得：z一1=i,即x=1十i,所以z=1 i,则z十z=2.故远D.] 17.D[(2+2i)(1-2i)=2-4i+2i-4i=2-2i+4=6-2i,故 远D.] 18.8+6i[复数的运算(3+i)2-9+6i+i-9+6i-1-8十6i.] 19.√10[复数的模 ---而] 1 20.7-√5i[复数的乘法运算（理性思维）（√5十i)一（√5-2i)= (w√5)2-25i+√5i-2=7-√5i.] 21,2[复数的运算解法一设x=1+i(b∈R且b≠0)，则十2 =1+i+子=1+发+2-1+名+62i,因 2 1十b2 26 2 为m∈，所以b一1中=0，得=1，所以m=1十1中=2. 解法二由计2=m得：-m2十2=0，解得=m士√8一m 2 依题意得受-1，解得m=2.门 2.4+11-5123_10-15it28+2_213=4+i] 2+3i -(2+31)(2-3D 13 13 2