专题21 曲线与方程&专题22 排列组合、二项式定理-【创新大课堂】2026年高考数学五年真题分类汇编168优化重组卷

专题21 曲线与方程 1.(2024·新课标I卷，6分)设计一条美丽的丝： 段PP',P'为垂足，则线段PP的中点M的轨 带，其造型力可以看作图中的曲线C的一部分. 迹方程为 已知C过坐标原点O,且C上的点满足：横坐标 大于一2，到点F(2,0)的距离与到定直线x=a R+=10 (a<0)的距离之积为4，则 c若+号-10≥0 x2 D.16t？ =1(y>0) 3.(2021·浙江卷，4分)已知a,b∈R,ab>0,函数 f(x)=a.x2十b(x∈R).若f(s-t),f(s),f(s+ A.a=-2 t)成等比数列，则平面上点(s,)的轨迹是 B.点(2√2,0)在C上 C.C在第一象限的点的纵坐标的最大值为1 A.直线和圆 4 D.当点(x0,yo)在C上时，yo≤ B.直线和椭圆 x0+2 2.(2024·新课标Ⅱ卷，5分)已知曲线C:x2十y2 C.直线和双曲线 =16(y>0),从C上任意一点P向x轴作垂线 D.直线和抛物线 67 专题22 排列组合、二项式定理 考向1排列组合 :7.(2023·新课标I卷，5分)某学校开设了4门 1.(2023·新课标Ⅱ卷，5分)某学校为了解学生 体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从 参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机： 这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修 抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两 课至少选修1门，则不同的选课方案共有 层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部 种（用数字作答）. 分别有400名和200名学生，则不同的抽样结 考向2二项式定理 果共有 ( :1.(2024·北京卷，4分)在(x一√元)4的展开式 A.C40·C280种 B.C80·C480种 中，x3的系数为 ( ) B.-6 C.12 D.-12 C.C80·C8种 D.C480·C28种 A.6 2.(2023·全国甲卷·理，5分)现有5名志愿者： 2.(2022·北京卷T8)若(2x-1)4=a4x十a3x3 十a2x2十a1x十a0,则a0十a2十a4= () 报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期 A.40 B.41 C.-40 D.-41 日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活 :3.(2025·天津卷，5分)在(x-1)6的展开式中， 动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方 x3项的系数为 式共有 ( 4.(2025·上海卷，4分)在(2x-1)5的展开式中， A.120种B.60种C.30种 D.20种 x3的系数为 3.(2023·全国乙卷·理，5分)甲、乙两位同学从 .(2024全甲·里，5分)（+） 的展开 6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读 的课外读物中恰有1种相同的选法共有( 式中，各项系数中的最大值为 A.30种 B.60种C.120种 D20种6.(2024·天津卷，5分)在(3+写) 的展开式 4.(2021·全国乙卷理，5分)将5名北京冬奥会 中，常数项为 志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶 7.(2024·上海卷，4分)在(x十1)”的展开式中， 4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个 若各项系数和为32，则展开式中x2的系数为 项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的 分配方案共有 ( C.240种 D.480种 8.(2023…天津春，5分)在(23-) 的展开式 A.60种B.120种 5.(2025·上海卷，5分)4个家长和2个儿童去爬 中，x2的系数是 山，6个人需要排成一条队列，要求队列的头和9.(2022·浙江卷T12)已知多项式(x十2)(x一1)4= 尾均是家长，则不同的排列种数为 a0十a1x十a2x2+a3.x3+a4x十a5x5,则a2= 6.(2024·新课标Ⅱ卷，5分)在如图的4×4的方 ,a1十a2十a3十a4十a5 格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一10.(2022·新高考卷T13)(1-兰)α+y)°的展开 个方格被选中，则共有 种选法，在所有 式中x2y5的系数为 (用数字作答)： 符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数 11.(2021·浙江卷，6分)已知多项式(.x-1)3+ 之和的最大值是 (x十1)4=x4十a1x3十a2x2十a3x十a4,则a1= 11 21 3 40 ,a2十a3十a4 12 22 33 42 13 22 33 43 12.2021·北求卷5分)(-)》 的展开式中 15 24 34 44 常数项是 68在x轴上裁距的取值范围是（一∞，一7-4√5]U[4√5-7,1）U (1,十0∞). 9.解(1)由题忘知M(0,-4),F(0,是)图M的半径r=1,所以 MF-r=4,即2+4-1=4，解得b=2. (2)由(1)知，抛物线方程为x2=4y, 由道意可知直线AB的斜奉寿在，设A(,平)B(,要）直 线AB的方程为y=kx十b, 联立红十6消去y得x2-4红-46=0， {x2=4y, 则△=16k2+16b>0(※)，x1十x2=4k,x1x2=-46, 所以AB|=√十k21x1-2|=√十P·√(x1十x2)2-4x1x2 =4√个+k·√2+6. 因为广=4，即y子所以y了=兰，别抛物线在点A处的切线 斜率为号，在点A处的切线方程为y一手-号（一.即 同理得把物线在点B处的切线方程为y受。一手。 (v=2x-4x= x十丝=2k, 2 联立得 则 T2 (v=2x-4,(v= x122=一b 即P(2k,一b).因为点P在图M上， 所以4k2十(4-b)2=1①， 且-1<2张≤1.-5≤-6≤-3，即-之≤k≤子，3≤6≤5，满足 2 (※). 设点P到直线AB的距离为d,则d=12k+2 √1十k2 所以S△4B=子AB到·d=4+ 由①得，k2=1-（4)2=-B十86-15 4 4 令4=k2+6,则1=8+126-15，且3≤6≤5. 4 因为1=一十126-15在[3,5]上单调递增，所以当6=5时，1取得 4 最大值，tms=5,此时k=0,所以△PAB面积的最大值为20√5. 专题21曲线与方程 1,ABD[轨迹方程十求最值（理性思雏、数学探索、数学应用） 定义法十逻辑推理法十放缩法因为坐标原点()在曲线C上，所 以2X|a=4,又a<0,所以a=一2，所以A正确. 因为点(2√2,0)到点F(2,0)的距离与到定直线x=一2的距离之 积为(2√2-2)(2√2十2)=4，所以点(2√2,0)在曲线C上，所以B 正确， 设P(x,y)(x>0,y>0)是曲线C在第一象限的点，则有 16 2)+V(x+2)=4,所以=C十2-（x-2',令f 16 32 +2（x2),剥f()=(十2-2x-2).周为f(2)= 1,且f(2)0,所以函数f(x)在x=2附近单调递减，即必定存在 一小区间(2一，2十)使得f(x)单调递减，所以在区间(2一，2)上 均有f(x)>1,所以P(x,y)的纵坐标的最大值一定大于1，所以C 错误. 因为，点(x0,y0)在C上，所以x0>一2且/(x0一2)2十y%(x0十2) 4,得= 16 16 (x0十2)2 -(x0-2)2≤ (+2),所以%≤1%1≤ 16 √（十276+2，所以D正确. 4 综上，选ABD.] 2,A[动点的轨迹方程（理性思雏、数学探索） 通解（代入法）设M(x0,),则P(xo,2%),因为点P在曲线C -15 上，所以x8+(2)”=16(yo>0),即6+4 =1(y>0),所以线 段Pp'的中点M的轨迹方程为6十◆=1(y>0),故选A 优解（数形结合法）由题意可知把曲线C上所有点的纵坐标缩短 至原来的一半，横坐标不变，即可得到，点M的轨迹，曲线C为半圈， 则点M的轨迹为椭圈(x轴上方部分)，其中长半轴长为4，短半轴 长为2，故选A.] 3.C「因为函数f(.x)=ax2+b. 所以fx-t)=a(s-t)2+b,f(s)=as2+b, f(s+t)=a(s十t)2+b. 因为f(s一t),f(s),f(s十t)成等比数列，所以f(s)=f(s一t) f(s十t),即(as2十b)2=[a(s-t)2+b]·[a(s+t)2+b],化简得 -2a22t2+a2t+2abt2=0,得t=0或2as2-at2=2b,易知点(s,t)的 轨迹为一条直线和一个双曲线.故选C.] 专题22排列组合、二项式定理 考向1排列组合 1.D[由题意，初中部和高中部学生人数之比为端子，所以物取的 60名学生中初中部应有60×号=40（人），高中部应有60×号 20(人)，所以不同的抽样结果共有C8·C8种，故选D.] 2.B[先从5人中选择1人两天均参加公益活动，有C种方式：再 从余下的4人中选2人分别安排到星期六、星期日，有A种安排 方式.所以不同的安排方式共有C·A=60(种).故选B.] 3.C[甲、乙二人先选1种相同的课外读物，有C=6(种)情况，再从 剩下的5种课外读物中各自选1本不同的读物，有CC=20(种) 情况，由分步乘法计数原理可得共有6×20=120（种）选法，故 选C. 4.C「根据题设中的要求，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目 至少分配1名志愿者，可分两步进行安排：第一步，将5名志愿者分 成4组，其中1组2人，其余每组1人，共有C种分法：第二步，将 分好的4组安排到4个项目中，有A种安排方法，故满足题意的 分配方案共有C号·A=240(种).] 5.288[排列问题先排队列的头和尾，有P=12(注意：非上海考 卷这里为A号=12)（种）排法，再排中间的4人，有P=24(注意：非 上海考卷这里为A=24)(种)排法，则不同的排法有12×24=288 (种).] 6.24112[分步乘法计算原理十逻辑推理第一步，从第一行任 选一个数，共有4种不同的选法：第二步，从第二行选一个与第一个 数不同列的数，共有3种不同的选法：第三步，从第三行选一个与第 一、二个数均不同列的数，共有2种不同的选法：第四步，从第四行 选一个与第一、二、三个数均不同列的数，只有1种选法， 由分步乘法计数原理知，不同的选法种数为4×3×2×1=24， 先按列分析，每列必选出一个数，故所选4个数的十位上的数字分 别为1,2,3,4.再按行分析，第一、二、三、四行个位上的数字的最大 值分别为1,3,3,5，故从第一行选21，从第二行选33，从第三行选 43,从第4行选15，此时个位上的数字之和最大，故选中方格中的4 个数之和的最大值为21十33+43+15=112.] 7.64[由题意，可分三类：第一类，体育类选修课和艺术类选修课各 选修1门，有CC种方案：第二类，在体育类选修课中选修1门，在 艺术类选修课中选修2门，有CC号种方案：第三类，在体育类选修 课中选修2门，在艺术类选修课中选修1门，有C号C种方案.综上， 不同的选课方案共有CC十CC号十C号C=64(种).] 考向2二项式定理 1.A[二项式定理（理性思雏）解法一（公式法）(x一√红)1的展 开式的通项T+1=CMx1"(-√)'=(-1)Cx1互(r=0,1,2,3, 4),由4-乞=3，得r=2,所以（一√F1的展开式中x的系数为 (-1)C号=6. 解法二（组合数法）(x一√五)1的展开式中含x3的项是由(x √x)(x一√x)(x一√)(x一√x)中任意取2个括号内的x与剩余的 2个括号内的（一√红）相乘得到的，所以(x一√E)1的展开式中含x 的项为Cx2·C号(-√)2=6x3,所以(x一√)1的展开式中x3的 系数为6.] 考教衔接本题是以人教A版选择性必修第三册第30页例2的！ 第(2)问为题源，通过适当政编而命制的，旨在考查二项式定理的 应用及运算求解能力， 2.B[当x=1时，1=a1十a4十a2十a1十ao①；当x=-1时，81=！ a,-十a-a+a@,士得原式=1.] 3.一20[二项式定理的应用（红一1）“展开式的通项公式为Tk+1= Cx6-k(-1)=(-1)Cxi-,令6-k=3,得k=3,所以x3项的 系数为(-1)3C=-20.] 4.80[二项式定理(2x-1)5的通项为T,+1=C(2x)5-「(-1)'， 令5--3，得r=2,所以展开式中x3的系数为C×23×(-1)2: =80.] 5.5[二项式定理（理性恩雏、数学探索） (号十x）的展开式的 通项公式为T+1=C(合) x',则各项的系数分别为！ c(分)，c(5),ca(行）c(号)c(号)： c(分)，c“().c(号).c(分).c(分) (行)，观察发现二项式系数先增大后减小，且前后对称，指数 式递增分别卧其c(号)，c“(兮)，（号）c(兮)月， C(号），c()此较可得，C(号）=5最大.] 6,20二项式定理的应用（数学家索）71=C(停)（写）广 C·3i-张·xt-18.令6k一18=0，则k=3,所以常教项为T1= C·3°·x°=20.] 7.10[二项式定理由题意得2"=32，所以n=5,则(x十1)5的通 项T,+1=Cx5-r1",令5-r=2,得r=3,所以展开式中x2的系数 为C=10.] 860[二项式(2x-）展开式的通项公式T41=(2)-t ()广=(-12C,◆18=2，解释=4，所以 的系数为（一1）1×22×C=60.] 9.8-2[含x2的项为：x·C·x·(-1)3+2·C·x2·(-1)2= -4x2十12.x2=8.x2,故a2=8;令x=0,即2=a0,令x=1,即0= a0十a1十a2十a3十a1十a5,∴.a1十a2十ag十a1十a5=-2,故答策为：！ 8；-2.] 10,一28[原式等于(x十y)兰（红十y),由二项式定理，其展开 式中x2v5的系数为C一C=一28.] 11.510[(x-1)3展开式的通项T+1=Cx3-·(-1)y,(x十1)1 展开式的通项T+1=Cx1,则a1=C十C=1十4=5：a2= C(-1)1+C=3a=Cg(-1)2+C=7:a1=C8(-1)3+C=0.所以 a2十a3十a1=3+7+0=10.] 12-4[三项晨开式的道项为C财(x)(士)） C(-1)x2-1(0≤k≤4，k∈N).令12-4k=0,得k=3,故展开 式中的常数项为C(-1)3=-4.] 专题23统计与统计案例 考向1统计图表 1.B[由统计图可知，讲座前这10位社区居民问卷答题的正确率分} 别为65%，60%，70%，60%，65%，75%，90%，85%，80%，95%.对1 于A项，将这10个数据从小到大排列为60%，60%，65%，65%， 70%,75%,80%,85%,90%,95%,因此这10个数据的中位数是 第5个与第6个数的平均数，为70%十75%=72.5%>70%，A错 误.对于B项，由统计图可知，讲座后这10位社区居民问卷答题的： 正确率分别为90%，85%，80%，90%，85%，85%，95%，100%，1 85%,100%,所以讲座后这10位社区居民问卷答题的正确率的平· 均数为0×(90%+85%十80%十90%十85%+85%+95%十！ 15 100%十85%十100%)=89.5%>85%，B正确.对于C项，讲座后 这10位社区居民问卷答题的正确率的方羞品=。×[(90% 89.5%)2十(85%-89.5%)2+…+(85%-89.5%)2十(100% 89.5%)门号8，所以标准差5后=6.5%.讲座前这10位社区 居民同老答题的正确率的手均数为。×(60%十60%十65%十 65%+70%+75%+80%+85%十90%十95%)=74.5%，所以讲 座前这]10位社区居民问卷答题的正确率的方姜为后=六×[(60% -74.5%)2十(60%一74.5%)2+…十(90%-74.5%)2十(95% 7么5%)门=品所以标准差g≈1.93%，所以g>C错 误.对于D项，讲座前问卷答题的正确率的极差为95%一60%=35%， 讲座后问卷答题的正确率的极差为100%一80%=20%，D错误.故 选B.] 2.C[对于A,根据频率分布直方图可知，该地农户家庭年收入低于 4.5万元的农户比率估计为(0.02十0.04)×1×100%=6%，故A 正确：对于B,根据频率分布直方图可知，该地农户家庭年收入不低 于10.5万元的农户比率估计为(0.04十0.02十0.02+0.02)×1× 100%=10%,故B正确：对于C,根据频率分布直方图可知，该地农 户家庭年收入的平均值估计为3×0.02十4×0.04十5×0.10十6× 0.14+7×0.20+8×0.20十9×0.10+10×0.10+11×0.04+ 12×0.02十13×0.02十14×0.02=7.68（万元），故C错误：对于D, 根据频率分布直方图可知，该地农户家庭年收入介于4.5万元至 8.5万元之间的农户比率估计为(0.10十0.14十0.20十0.20)×1× 100%=64%>50%,故D正确.] 3.解(1)由题图知(100-95)×0.002=1%>0.5%， 所以95<c<100, 设X为患病者的该指标， 则p(c)=P(Xc)=(c-95)×0.002=0.5%, 解得c=97.5. 设Y为未患病者的该指标， 则g(c)=P(Y>c)=(100-97.5)×0.01+5×0.002=0.035= 3.5%. (2)当95c100时， p(c)=(c-95)×0.002=0.002c-0.19, g(c)=(100-c)×0.01+5×0.002=-0.01c十1.01， 所以f(c)=p(c)十q(c)=-0.008c十0.82： 当100c105时， (c)=5×0,002+(c-100)×0.012=0.012c-1.19, q(c)=(105-c)×0.002=-0.002c+0.21, 所以f(c)=(c)十q(c)=0.01c-0.98. 上所，0-{808.2,250 由一次函数的单调性知，函数f(c)在[95,100]上单调递减，在 (100,105)上单调递增， 作出f(c)在区间[95,105]上的大致图象（略），可得f(c)在区间 [95,105]的最小值f(c)mim=f(100)=-0.008×100+0.82= 0.02. 考向2样本的数字特征 1.C[平均数求解5(2+8+14+16十20)=12，故选C.] 2.C「中位数十极差十平均值 对于A,因为前3组的频率之和0.06十0.12十0.18=0.36<0.5， 前4组的频率之和0.36十0.30=0.66>0.5，所以100块稻田亩产 量的中位数所在的区间为[1050,1100)，故A不正确： 对于B,100块稻田中亩产量低于1100kg的稻田所占比例为 6十12+18十30×100%=66%，故B不正确： 00 对于C,因为1200一900=300,1150一950=200，所以100块稻田 亩产量的极差介于200kg到300kg之间，故C正确： 对子D.10块箱回商产量的手均值为高×(925×6十975X12+ 1025×18+1075×30+1125×24十1175×10)=1067(kg),故D 不正确. 综上所述，故选C]