7.2 认识证明 （第2课时+定理与证明） 学课件 2026--2027学年北师大版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦“定理与证明”，通过判断“相等的角是对顶角”等命题的真假导入，衔接已学命题知识，结合欧几里得《原本》背景引出公理、定理概念，构建从命题到证明的知识支架。 其特色在于融入数学史培养数学眼光，通过“同角的补角相等”“对顶角相等”等定理证明示范，训练推理能力与规范表达。含视频介绍《原本》，帮助学生建立逻辑体系，教师可借助清晰流程提升教学效率。

1.认识证明 第2课时 定理与证明 第七章 命题与证明 北师大版2024·八年级上册 1.理解基本事实、定理与证明的概念，知道它们的联系与区别 2.初步掌握综合法证明的格式，会对真命题进行证明. 2 1.相等的角是对顶角 2.对顶角相等 说出下列两个命题的条件和结论，并判断下列两个命题的真假，说说你的理由. 举反例就可以说明命题是假命题，那么如何证实命题是真命题呢? 能不能根据已经知道的真命题证实呢? 在证明一个观点或结论正确时，人们常常是通过“因为A正确，所以B正确”来证明. 同学们是否想过，A正确又是因为什么？源头在哪里？如何确定证明的起点？ 古希腊数学家欧几里得(Eyclid，公元前3世纪) 著作《原本》 原名：某些数学名词称为原名. 公理：公认的真命题称为公理. 证明：演绎推理的过程称为证明. 定理：经过证明的真命题称为定理. 其实，在数学发展史上，数学家们也遇到过类似的问题.公元前3世纪，人们已经积累了大量的数学知识，在此基础上，古希腊数学家欧几里得编写了一本书，书名为《原本》. 公理=基本事实，是通过长期实践被证实的，不需要证明，除公理外，其他真命题的正确性都需要通过演绎推理的方法证实. 为了说明每一结论的正确性，他在编写这本书时进行了大胆创造：挑选了一部分数学名词和一部分公认的真命题作为证实其他命题的出发点和依据. 概念 点击播放视频 定理是怎么得到的？证明定理的依据是什么？ 基本事实（公理）： 1.两点确定一条直线. 2.两点之间线段最短. 3.同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 4.两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么 这两条直线平行（简述为同位角相等，两直线平行）. 5.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 . 6.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等. 7.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等. 8.三边分别相等的两个三角形全等. 有关定义、公理 条件1 定理1 有关定义、公理 条件2 定理2 … 定理3 … 点击播放视频 古希腊数学家欧几里得编写了一本书，书名为《原本》. 为了说明每一结论的正确性，他在编写这本书时进行了大胆创造：挑选了一部分数学名词和一部分公认的真命题作为证实其他命题的出发点和依据. 1.原名： 2.公理： 3.证明： 4.定理： 某些数学名词称为原名. 公认的真命题称为公理. 演绎推理的过程称为证明. 经过证明的真命题称为定理. 不需要证明 公理=基本事实 除公理外，其他真命题的正确性都需要通过演绎推理的方法证实. 在几何证明中，有哪些内容可以作为证明的依据呢？ ①定义 ②定理 ③图形的性质 ④反映大小关系的有关性质 ⑤数与式的运算律和运算法则 新知探究 1.其实，在数学发展史上，数学家们也遇到过类似的问题.公元前3世纪，人们已经积累了大量的数学知识，在此基础上，古希腊数学家欧几里得（Euclid，公元前300年前后）编写了一本书，书名叫做《原本》（Elements）. 为了说明每一结论的正确性，他在编写这本书时进行了大胆创造：挑选了一部分数学名词和一部分公认的真命题作为证实其他命题的出发点和依据，其中的数学名词称为原名，公认的真命题称为公理(axiom).除了公理外，其他命题的真假都需要通过演绎推理的方法进行判断. 新知探究 2.本套教科书选用九条基本事实作为证明的出发点和依据，我们已经认识了其中的八条，它们是： （1）两点确定一条直线. （2）两点之间线段最短. （3）同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. （4）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行 (简述为：同位角相等，两直线平行). （5）过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行. （6）两边及其夹角分别相等的两个三角形全等. 有关定义、公理 条件1 定理1 有关定义、公理 条件2 定理2 … 定理3 … 数与式的运算律和运算法则、等式和不等式的有关性质 证明的依据 例：若a=b，b=c ，则a=c 等量代换 若a＞b，b＞c，则a＞c 不等式的传递性 基本事实（公理）： 1.两点确定一条直线. 2.两点之间线段最短. 3.同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 4.两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么 这两条直线平行（简述为同位角相等，两直线平行）. 5.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 . 6.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等. 7.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等. 8.三边分别相等的两个三角形全等. 定义、命题、基本事实(公理)、定理的区别与联系 举反例 命题 真命题 假命题 公理 定理 定义 基本事实是定理推导的起点，无需证明，但被广泛接受为真. 定理是命题和基本事实的逻辑延伸，通过证明得到的真命题. 定义是命题、公理和定理的基础，明确了它们的讨论范围 一些条件 定理公理 推理 证实其他命题的正确性 九条基本事实（公理） 1.两点确定一条直线(直线公理) A B 2.两点之间线段最短(线段公理) A B 3.同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. P 4.两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行(简述：同位角相等，两直线平行). 5.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行. P l1 l2 6.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等.（SAS） 7.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等.（ASA） 8.三边分别相等的两个三角形全等.（SSS） 另外一条将在后面的学习中认识. 等式和不等式的有关性质都可以作为证明的依据. 在等式中，一个量可以用它相等的量来代替. 数与式的运算律和运算法则都可以作为证明的依据. 例如，如果 a=b，b=c ，那么 a=c ， “等量代换”. 如果 a＞b，b＞c，那么 a＞c，“不等式的传递性”. 新知探究 等式和不等式的有关性质都可以作为证明的依据. 在等式中，一个量可以用它相等的量来代替. 数与式的运算律和运算法则都可以作为证明的依据. 例如:如果 a=b，b=c ，那么 a=c ， 这一性质也可以作为证明的依据，称为“等量代换”. 如果 a＞b，b＞c，那么 a＞c，“不等式的传递性”. 其他哪些还可以作为公理？ 新知探究 一些条件 定理、公理 推理 证实其他命题的正确性 演绎推理的过程叫做证明 经过证明的真命题叫做定理 归纳总结 定义、命题、基本事实(公理)、定理的区别与联系 演绎推理的过程叫作证明 经过证明的真命题叫作定理 举反例 命题 真命题 假命题 公理 定理 定义 基本事实是定理推导的起点，无需证明，但被广泛接受为真. 定理是命题和基本事实的逻辑延伸，通过证明得到的真命题. 定义是命题、公理和定理的基础，明确了它们的讨论范围 一些条件 定理公理 推理 证实其他命题的正确性 一些条件 定理、公理 推理 证实其他命题的正确性 演绎推理的过程叫作证明 经过证明的真命题叫作定理 定义、命题、基本事实(公理)、定理 联系：都是命题 区别 命题 真命题 假命题 公理 一般举一个反例即可 定理 基本事实是定理推导的起点，无需证明但被广泛接受为真. 定理是命题和基本事实的逻辑延伸，通过证明得到的真命题. 定义是命题、基本事实和定理的基础，明确了它们的讨论范围. 定义 新知探究 尝试思考 定理：对顶角相等. 定理：同角 (等角) 的补角相等. 定理：同角 (等角) 的余角相等. 定理：三角形的任意两边之和大于第三边. 从基本事实 (公理) 出发，我们能够如何证明已经探索过的数学结论呢？ 1.下列说法正确的是（ ） A．命题一定是正确的 B．不正确的判断就不是命题 C．真命题都是公理 D．定理都是真命题 D 定理都是真命题，但真命题不一定都是定理 2.写出两个公理：　　 　　；　　　　 .  两点确定一条直线 　两点之间线段最短 定理：同角（或等角）的补角相等 定理：同角（或等角）的余角相等 定理：三角形的任意两边之和大于第三边 从这些基本事实出发，就可以证明这些已经探索过的结论 命题“同角的补角相等”已知的是什么？要求证的是什么？试用数学符号表示 已知:∠1+∠2=180°，∠1+∠3=180°. 求证:∠2=∠3. 可以利用什么知识得到∠2=∠3？请尝试书写证明命题“同角的补角相等”的规范步骤 符号“∵”读作“因为”，“∴”读作“所以”. 证明符号 定理：同角的补角相等 已知:∠1+∠2=180°，∠1+∠3=180°. 求证:∠2=∠3. 证明：∵∠1+∠2=180°，∠1+∠3=180°(已知)， ∴∠2=180°-∠1，∠3=180°-∠1(等式的性质)， ∴∠2=∠3(等量代换). 典例分析 根据题设、结论，结合图形，经过分析写出证明过程，每一步都要注明依据(公理、定理、定义、等量代换等) . 方法技巧 例1.已知：如图，直线AB与直线CD相交于点O，∠AOC与∠BOD是对顶角. 求证： ∠AOC =∠BOD. 证明：∵直线AB与直线CD相交于点O， ∴ ∠AOB与∠COD都是平角（平角的定义）. ∴ ∠AOC与∠BOD都是∠AOD的补角（补角的定义）. ∴ ∠AOC =∠BOD （同角的补角相等）. A C O D B 定理 对顶角相等 典例分析 (1) 已知：∠B 和∠C 是∠A的补角， 求证：∠B =∠C. 证明：∵∠B和∠C是∠A的补角， ∴∠B=180° - ∠A， ∠C=180° - ∠A， ∴∠B=∠C(等量代换)， ∴同角的补角相等. (2)已知：∠A=∠B，∠C和∠D分别是∠A、∠B 的补角，求证：∠C=∠D. 证明：∵∠C和∠D分别是∠A、∠B的补角， ∴∠C = 180° - ∠A， ∠D = 180° - ∠B， ∵∠A =∠B (已知)， ∴∠C =∠D (等量代换)， ∴等角的补角相等. 定理：同角 (等角) 的补角相等. 我们探索过的定理 定理：同角（或等角）的补角相等. 定理：同角（或等角）的余角相等. 定理：三角形的任意两边之和大于第三边. 从这些基本事实出发，就可以证明这些已经探索过的结论 该命题的条件和结论是什么？图形怎样画？ 该如何写出已知，求证？请参考上一例题并尝试证明 例2 证明： 对顶角相等 提示：在基本事实和定理中，哪些结论可以判定两个角相等？ 已知：如图，直线AB与直线CD相交 于点O，∠AOC与∠BOD是对顶角. 求证： ∠AOC =∠BOD. 可以用定理：同角（或等角）的补角相等证明“对顶角相等” A C O D B 证明：∵直线AB与直线CD相交于点O， ∴ ∠AOB与∠COD都是平角（平角的定义）. ∴ ∠AOC与∠BOD都是∠AOD的补角（补角的定义）. ∴ ∠AOC =∠BOD （同角的补角相等）. 例2 证明： 对顶角相等 已知：如图，直线AB与直线CD相交 于点O，∠AOC与∠BOD是对顶角. 求证： ∠AOC =∠BOD. A C O D B 定理 新知探究 归纳总结 证明的一般步骤： ①根据题意，画出图形; ②根据条件和结论，结合图形写出已知和求证; ③经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程. 通过本节课的学习，你有哪些收获呢？ 定义、公理、定理 (不)等式等有关性质 运算律和运算法则 证明步骤 1.由题意作出图形 2.写出已知和求证 3.写出证明的过程 证明依据 联系与区别 $