5.3实际问题与一元一次方程（数字问题）跟踪练习2026-2027学年人教版数学七年级上册

**基本信息** 聚焦一元一次方程数字问题，分层设计从基础方程建立到综合应用，通过数列、幻方等情境培养抽象能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|单一数字关系|如第2题直接根据数量关系列方程，巩固方程概念| |中档|数字规律应用|如第1题数列相邻数和规律，培养推理意识| |提升|综合情境建模|如第12题“相异数”定义应用，发展创新意识与应用能力|

5.3实际问题与一元一次方程（数字问题） 一、单选题 1．有一列数，其中任意三个相邻数的和是，其中，， ，可得x的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2． 与 的和为 ，则 （   ） A． B． C． D． 3．宋代数学家杨辉称“幻方”为“纵横图”，传说最早出现的幻方是夏禹时代的“洛书”，杨辉的著作《续古摘奇算法》中总结了“洛书”的构造．在如图所示的三阶幻方中，每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，则“■”位置的数是（    ） A． B．0 C．1 D．2 4．在编写数学谜题时，“”内要求填写同一个数字，若“”内数字为，则列出方程正确的是（    ） A． B． C． D． 5．有一列数，，，，，，其中任意三个相邻数的和都是，已知，，，那么的值是（　） A． B． C． D． 二、填空题 6．将全体正奇数排成一个三角形数阵如下，按照以上排列的规律，第19行第10个数是__________． 7．幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫图．将数字1~9分别填入如图所示的幻方中，要求每一横行、每一竖行以及两条斜对角线上的数字之和都是15，则的值为______． 8．某数的一半减去3所得的差比该数的2倍大3，若求该数为，可列方程为____． 9．如果一个四位自然数的各数位上的数字均不为0，满足，则称该四位数为“和百数”．例如：四位数，∵，∴是“和百数”；又如四位数，∵，∴不是“和百数”．若一个“和百数”为，则这个数为_______；若一个“和百数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的和能被整除，则满足条件的数的最大值是_______． 10．[教材习题8变式]一个三位数，十位上的数字是个位上的数字的，百位上的数字与十位上数字的和比个位上的数字大1，将百位上的数字与个位上的数字对换位置，所得的新数比原数大，则原来的三位数是_______． 11．在一个的方格中填写9个数字，使得每行每列每条对角线上的三个数之和相等，得到的的方格称为一个三阶幻方.如图，方格中填写了一些数和字母，为使该方格构成一个三阶幻方，则y的值是______，的值是______．    三、解答题 12．定义：对于一个两位数x，如果x满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为“相异数”，将一个“相异数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，将这个新两位数与原两位数的求和，同除以11所得的商记为S（x）． 例如，a＝13，对调个位数字与十位数字得到的新两位数31，新两位数与原两位数的和为13+31＝44，和44除以11的商为44÷11＝4，所以S（13）＝4． （1）下列两位数：20，29，77中，“相异数”为　 　，计算：S（43）＝　 　； （2）若一个“相异数”y的十位数字是k，个位数字是2（k﹣1），且S（y）＝10，求相异数y； （3）小慧同学发现若S（x）＝5，则“相异数”x的个位数字与十位数字之和一定为5，请判断小慧发现”是否正确？如果正确，说明理由；如果不正确，举出反例． 13．一个两位数，十位上的数字比个位上的数字的3倍大1，若交换个位与十位上的数字的位置，则所得新两位数比原两位数小45，求原来的两位数． 14．“九宫格”源于我国古代的“洛书”，九宫格的上面三格称为“上三宫”，下面三格称为“下三宫”，中间一小格称为“中宫”，左右两格称为“左宫”和“右宫”．如图，九宫格中分别对应着从九个数字，并且无论纵向、横向、斜向三条线上的三个数字之和皆相等．设“九宫”中九个数字分别为． (1)证明：九宫格中“中宫”的数字一定是5． (2)判断“左宫”和“右宫”的位置上能否是偶数，并说明理由． 15．将连续的奇数1，3，5，7，9，……排成如图所示的数表． (1)写出数表所表示的规律；（至少写出4个） (2)若将方框上下左右移动，可框住另外的9个数．若9个数之和等于297，求方框里中间数是多少？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 答案 A C A D B 1．A 【分析】此题考查了解一元一次方程． 由任意三个相邻数之和都是，可知、、、…相等，、、、…相等，、、、…相等，可以得出，，根据列出方程，求解即可． 【详解】解：由任意三个相邻数之和都是可知： ， ， ， … ， 可以推出：，，， 所以，， 则， 解得：， 故选：A． 2．C 【分析】本题考查一元一次方程的运用，根据题意列出方程求解，即可解题． 【详解】解：由题意得， 解得， 故选：C． 3．A 【分析】本题考查了三阶幻方. 根据每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等列方程求解即可. 【详解】解：如图： ∵每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等， ∴， 解得：. 故选：A. 4．D 【分析】根据十位数的表示方法表示，进而得出方程． 【详解】解：设“”内数字为 则 故选：D． 【点睛】本题主要考查一元一次方程的实际问题，正确表示出十位数是解决本题的关键． 5．B 【分析】本题考查数字的变化规律，一元一次方程的应用，首先根据任意三个相邻数之和都是，推出，，，总结规律为，，，即可推出，，求出，即可推出，即可得出答案．掌握数字之间的运算规律，利用规律解决问题是解答此题的关键． 【详解】解：∵任意三个相邻数的和都是， ∴，，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 6． 【分析】本题考查了数字类的规律问题，解题关键是确定每一行所有奇数的和．由三角形数阵可得：，，，，进而得出方程可得答案． 【详解】解：根据三角形数阵可得： 第1行的所有奇数的和为 第2行的所有奇数的和为， 第3行的所有奇数的和为， 第4行的所有奇数的和为， 第5行的所有奇数的和为， 故第n行有n个奇数，第n行的所有奇数的和为，且每个奇数都是连续的正整数， 第19行有19个奇数， 故，即第19行的中间的数是从左到右数的第个数， 设第19行中间的数是x，即第个数为x，可得：， 解得：， 即第19行第10个数是， 故答案为：． 7．1 【分析】如图（见解析），先根据“每一横行、两条斜对角线上的数字之和都是15”求出图中①和②表示的数，再根据“每一竖行上的数字之和都是15”建立方程，解方程即可得． 【详解】解：如图，由题意，图中①表示的数是， 图中②表示的数是， 则， 解得， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，正确求出图中①和②所表示的数是解题关键． 8． 【解析】略 9． 【分析】本题考查了新定义下的数字运算，一元一次方程的应用．理解题意是解题的关键． 由是“和百数”，可得，计算求解即可；由是“和百数”，可得，则，由题意知，是整数，即是整数，可求当时，为满足条件的数的最大，则，即，可求，然后作答即可． 【详解】解：∵是“和百数”， ∴， 解得，， ∴这个数为； ∵是“和百数”， ∴， ∴， ∵一个“和百数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的和能被整除， ∴是整数，即是整数， ∵各数位上的数字均不为0， ∴， ∴， 当时，（不符合题意，舍去） 当时，，即， ∴， 此时为满足条件的数的最大， ∴满足条件的数为， 故答案为：；． 10． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设原三位数的个位上的数字为，则十位上的数字是，百位上的数字是．根据题意，得，即可求解 【详解】解：设原三位数的个位上的数字为，则十位上的数字是，百位上的数字是． 根据题意，得， 解得， ∴． ∴原三位数是． 故答案为： 11． 5 27 【分析】根据三阶幻方的定义可得，求出的值，同理求出的值，然后代入计算即可． 【详解】解：由每行每列每条对角线上的三个数之和相等可得， ∴， 又∵，即， ∴， ∴， 故答案为：5，． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，正确理解三阶幻方的定义是解题的关键． 12．（1）29，7； （2）46； （3）正确，理由： 设“相异数”的十位数字为a，个位数字为b，则x＝10a+b， 由S（x）＝5得，10a+b+10b+a＝5×11， 即：a+b＝5， 因此，判断正确． 【分析】（1）根据“相异数”的定义可知29是“相异数”，20，77不是“相异数”，利用定义进行计算即可， （2）根据“相异数”的定义，由S（y）＝10，列方程求出“相异数y”的十位数字和个位数字，进而确定y； （3）设出“相异数”的十位、个位数字，根据“相异数”的定义，由S（x）＝5，得出十位数字和个位数字之间的关系，进而得出结论． 【详解】解：（1）根据“相异数”的定义可知29是“相异数”， 20，77不是“相异数” S（43）＝（43+34）÷11＝7， 故答案为：29，7； （2）由“相异数”y的十位数字是k，个位数字是2（k﹣1），且S（y）＝10得， 10k+2（k﹣1）+20（k﹣1）+k＝10×11， 解得k＝4， ∴2（k﹣1）＝2×3＝6， ∴相异数y是46； （3）略 【点睛】本题主要考查相异数，一元一次方程的应用，掌握相异数的定义及S（x）的求法是解题的关键． 13．72 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题关键是弄清题意，合适的等量关系，列出方程． 设原来两位数的个位上的数字是x，则十位上的数字是；（十位数字+个位数字）个位数字十位数字．根据这个等量关系可列出方程． 【详解】解：设原来两位数的个位上的数字是x，则十位上的数字是， 依题意得：， 解得， 则． 答：原来的两位数是72． 14．(1)证明见解析 (2)不能是偶数，理由见解析 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，逻辑推理： （1）设纵向、横向、斜向3个数字之和均为，根据题意，分别对应中的一个数字，得到9个数之和为，根据纵向、横向、斜向3个数字之和相同，得到，进而得到，求解即可； （2）假设“左宫”数字为偶数，则“右宫”数字也为偶数，推出与中4个偶数5个奇数相矛盾，即可． 【详解】（1）设纵向、横向、斜向3个数字之和均为． 因为， 所以 所以， 又因为， 所以， 所以， 即“中宫”的数字一定是5． （2）假设“左宫”数字为偶数， 因为纵向、横向、斜向3个数字之和均为，中宫数字是5，为奇数； 则“右宫”数字也为偶数， 则数字必为一奇一偶， 不妨设为奇数，为偶数， 则必为偶数，为奇数， 这与中4个偶数5个奇数相矛盾， 所以“左宫”和“右宫”的位置上不能是偶数． 根据九宫格的对称性知为偶数，为奇数，也会产生矛盾． 奇 偶 偶 偶 5奇 偶 偶 偶 奇 故“左宫”和“右宫”的位置上不能是偶数． 15．(1)见解析 (2)方框里中间数是33 【分析】（1）观察所给的数表即可得； （2）设方框里中间数为x，则另外8个数为，，，，，，，，由题意得， 进行计算即可得． 【详解】（1）解：规律有：①第一列个位数都是1，②每行只有5个奇数，③每行相邻两个数的和是2的倍数，④每列相邻的两个数相差10． （2）解：设方框里中间数为x，则另外8个数为，，，，，，，， 由题意得， ， ， 则方框里中间数是33． 【点睛】本题考查了数字规律，一元一次方程，解题的关键是理解题意，掌握一元一次方程的应用． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $