专题 3与弹簧相关的动量问题 讲义 -2026-2027学年高三物理暑期能力提升

高三物理暑期能力提升 专题3 与弹簧相关的动量问题 【方法解读】 1. 压缩弹簧弹开小球，与另一个物块相互作用，如图。 2. 相互作用后的小球压缩弹簧，如图。 3.“滑块—弹簧”模型 (1)模型图示 (2)模型特点 ①两物体和弹簧组成的系统所受外力矢量和为零，动量守恒。 ②系统内只有弹簧弹力做功，只发生弹性势能与动能的相互转化，机械能守恒。 ③弹簧处于最长(最短)状态时两物体速度相等，弹性势能最大，系统动能通常最小(相当于完全非弹性碰撞，两物体减少的动能转化为弹簧的弹性势能)。即 m1v0＝(m1＋m2)v，ΔEp＝m1(m1＋m2)v2。 ④弹簧恢复原长时，弹性势能为零，系统动能最大(相当于刚完成弹性碰撞)。即m1v0＝m1v1＋m2v2，m1m1m2。 【例1】(2025·河南省三模)如图(a)所示，相距较远的两物体A、B放在光滑水平面上，物体B左端固定一轻弹簧并处于静止状态，物体A以速度v0沿A、B连线向物体B运动。t=0时，物体A与轻弹簧接触(不粘连)，此后的一段时间内，两物体的速度v与时间t的关系如图(b)所示。已知0~t0(t0<t2)时间内，物体B运动的距离为v0t0，物体A的质量为m，运动过程中弹簧始终处于弹性限度内，下列说法正确的是(　　) A.物体B的质量为2m B.物体A与轻弹簧分离时，速度为-v0 C.0~t0时间内，物体A运动的距离为v0t0 D.弹簧压缩最短时弹性势能为m 答案　AC 解析　由题图(b)可知A、B共速时速度大小为，规定向右为正方向，由动量守恒有mv0=(m+M)，解得物体B的质量M=2m，故A正确；设物体A与轻弹簧分离时，A、B速度分别为vA、vB，则由动量守恒有mv0=mvA+MvB，能量守恒有m=m+M，联立解得vA=-v0，故B错误；设A、B在t2前任意时刻速度分别为vA1、vB1，由动量守恒有mv0=mvA1+MvB1，整理得mv0t0=mxA+MxB，其中xB=v0t0，联立解得xA=v0t0，故C正确；弹簧最短时A、B共速，v共=v0，由能量守恒Ep=m-(m+M)，代入数据得Ep=m，故D错误。 【总结提升】 1.“滑块—弹簧”模型的解题方法 (1)首先判断弹簧的初始状态是处于原长、伸长还是压缩状态。 (2)分析碰撞前、后弹簧和物体的运动状态，根据动量守恒定律和机械能守恒定律列出方程。 (3)判断解出的结果是否满足“实际情境可行性原则”，如果不满足，则要舍掉该结果。 2.过程讨论： 当甲、乙两物体与弹簧组成的系统动能最小时，弹簧压缩到最短或伸长到最长(两物体共速)，弹簧的弹性势能最大，物体间发生“完全非弹性碰撞”，只不过动能的减少是暂时的，储存在弹性势能中； 当弹簧恢复到原长时，两物体发生“弹性碰撞”，大多数都可类比弹性碰撞“一动碰一静模型”分析求解，但是特殊情况不可照搬。 例2. 如图甲所示，物块A、B用轻弹簧拴接，放在光滑水平面上，B左侧与竖直墙壁接触。物块C以速度向左运动，与A相碰后立即粘在一起后不分开并开始计时。A、B运动的图像如图乙所示，、分别表示到时间内A、B的图线与坐标轴所围面积的大小。已知三个物块质量均为，下列说法正确的是（　　） A. B. C. 内墙对B的冲量大小为 D. 在时刻弹簧的弹性势能为 【答案】BC 【解析】 二者碰撞过程中动量守恒，可得 解得 在内对AC研究，设水平向左为正方向，由动量定理可得 而B处于静止状态，墙壁对B的冲量大小等于弹簧弹力对A的冲量大小，故内墙对B的冲量大小为，故C正确； 图线与坐标轴所围的面积表示速度的变化量，AC物体初速度为v，根据对称性可知，时刻AC的速度为v，AC的加速度为0，此时弹簧恢复原长，B开始离开墙壁，到时刻加速度均达到最大，此时弹簧的伸长量达到最大，速度相同，即，， 故 ，故B正确； A的加速度为时弹簧压缩量最大，即 解得 根据牛顿第二定律可得 在时，三者共速，则根据能量守恒定律可知 解得 解得 根据牛顿第二定律可得 故 ，故A错误； B离开墙壁后整体机械能守恒，则 故在时刻，根据能量守恒定律可知 解得 ，故D错误。 【针对性训练】 1 .(2025·北京朝阳模拟)如图所示，光滑水平地面上的P、Q两物体质量均为m，P以速度v向右运动，Q静止且左端固定一轻弹簧。当弹簧被压缩至最短时(　　) A.P的动量为0 B.Q的动量达到最大值 C.P、Q系统总动量小于mv D.弹簧储存的弹性势能为mv2 答案　D 解析　当弹簧被压缩至最短时，两物体速度相同，P、Q系统所受外力为零，整个压缩过程系统的动量守恒，有mv＝2mv共，所以P的动量为p＝mv共＝mv，故A错误;弹簧压缩至最短后，Q的速度将继续变大，当弹簧恢复原长时，Q的动量达到最大值，故B错误;P、Q系统动量守恒，总动量为p总＝mv，故C错误;根据动量守恒定律和能量守恒定律有mv＝2mv共，mv2＝×2m＋Ep，解得Ep＝mv2，故D正确。 2 .(2025·北京昌平高三月考)如图甲所示，一轻弹簧的两端分别与质量为m1和m2的两物块相连接，并且静止在光滑的水平桌面上。现使m1瞬时获得水平向右的速度3 m/s，以此刻为计时零点，两物块的速度随时间变化的规律如图乙所示，以下说法正确的是(　　) A.两物块的质量之比为m1∶m2＝2∶1 B.在t1时刻和t3时刻弹簧的弹性势能均达到最大值 C.t1~t2时间内，弹簧的长度大于原长 D.t2~t3时间内，弹簧的弹力逐渐减小 答案　B 解析　以物块A的初速度方向为正方向，t1时刻A、B共速，由动量守恒定律得m1v1＝(m1＋m2)v共，将v1＝3 m/s，v共＝1 m/s代入解得m1∶m2＝1∶2，故A错误;根据系统能量守恒可知在t1时刻和t3时刻，系统的动能最小，弹簧的弹性势能达到最大值，故B正确;在t1时刻弹簧压缩至最短，所以t1~t2时间内，弹簧的长度小于原长，故C错误;t2~t3时间内，弹簧处于拉伸阶段，弹力逐渐增大，故D错误。 3 如图所示，在光滑的水平面上静止一质量M＝8 kg的小车B，小车左端固定一根轻质弹簧，弹簧的自由端C到小车右端的距离L＝1 m，这段车厢板与木块A(可视为质点)之间的动摩擦因数μ＝0.1，而弹簧自由端C到弹簧固定端D所对应的车厢板上表面光滑。木块A以速度v0＝15 m/s由小车B右端开始沿车厢板表面向左运动。已知木块A的质量m＝2 kg，重力加速度g取10 m/s2。则木块A压缩弹簧过程中弹簧的最大弹性势能为(　　) A.45 J B.178 J C.225 J D.270 J 答案　B 解析　由题意知，小车和木块系统动量守恒，有mv0＝(M＋m)v，由能量守恒定律得mv＝(M＋m)v2＋μmgL＋Epmax，联立解得Epmax＝178 J，故B正确。 4 .如图所示，位于光滑水平桌面上的小滑块P和Q都可视作质点，P的质量为m，Q的质量为3m，Q与轻质弹簧相连。Q原来静止，P以一定初动能E向Q运动并与弹簧发生碰撞。在整个过程中，弹簧具有的最大弹性势能等于(　　) A.E B.E C.E D.E 答案　A 解析　设P物体的初速度为v0，由已知可得mv＝E，P与Q碰撞过程中，两物体速度相等时，弹簧压缩量最大，此时弹性势能最大，整个过程中，满足动量守恒mv0＝(m＋3m)v1，最大弹性势能Ep＝mv－×(m＋3m)v，解得Ep＝mv＝E，故A正确。 5 .(2025·河北邯郸市二模)如图所示，质量均为m的物块A、B中间用一根原长为L0的轻弹簧相连，放在光滑水平面上，开始时两物块均静止，弹簧处于原长。用一小锤敲击物块A给其一个水平向右的速度v0，此后A、B向右运动，弹簧始终处于弹性限度内。下列关于弹簧的弹性势能Ep与弹簧的长度L、形变量x之间的关系图像可能正确的是(　　) 答案　D 解析　A、B和弹簧组成的系统满足动量守恒，A、B共速时有mv0=2mv，对A、B及弹簧整体，由机械能守恒定律得m=×2mv2+Epmax，联立可得Epmax=，故A、C错误；弹簧处于原长时弹性势能为0，故B错误；弹簧弹性势能的大小Ep=kx2，故D正确。 6. 如图所示，滑块A、B、C位于光滑水平面上，已知A、B、C的质量均为m＝1 kg。滑块B的左端连有轻质弹簧，弹簧开始处于自由伸长状态。现使滑块A以v0＝2 m/s速度水平向右运动，弹簧被压缩到最短时，B与C恰好相碰并粘接在一起，然后继续运动。假设B和C碰撞过程时间极短，则B和C碰撞过程中整个系统损失的机械能为(　　) A.0.25 J B.0.50 J C.0.75 J D.1.00 J 答案　A 解析　对A、B系统，A、B速度相等时，弹簧被压缩到最短，根据动量守恒定律有mv0＝2mv1，代入数据，解得v1＝1 m/s，弹簧被压缩到最短时，B的速度为v1＝1 m/s，此时B与C发生完全非弹性碰撞，对B、C组成的系统，由动量守恒定律得mv1＝2mv2，代入数据解得v2＝0.5 m/s，只有B与C发生非弹性碰撞，有机械能损失，则整个系统损失的机械能为ΔE＝mv－×2mv＝0.25 J，故A正确。 7 .(2026·河南省百师联盟联考)如图所示，轻弹簧的一端固定在竖直墙上，质量为2m的光滑弧形槽静置在光滑水平面上，弧形槽底端与水平面相切，质量为m的小物块从槽上高为h处由静止释放，已知弹簧始终处于弹性限度内，重力加速度为g，则(　　) A.小物块下滑过程中，其机械能守恒 B.小物块下滑过程中，小物块和槽的动量大小始终相等 C.小物块第一次滑到槽底端时，槽的动能为mgh D.小物块第一次被弹簧反弹后能追上槽，且能回到槽上高h处 答案　C 解析　弧形槽置于光滑水平地面上，小物块下滑过程中，对槽压力的水平分量使槽向左加速，槽对小物块的支持力做功，小物块的机械能不守恒，故A错误；小物块下滑过程中，物块和槽在水平方向上不受外力，水平方向动量守恒，但竖直方向合力不为零，竖直方向动量不守恒，故小物块和槽的水平方向的动量大小始终相等，但竖直方向的动量大小不相等，故B错误；小物块下滑过程中，根据水平方向动量守恒有mv1=2mv2，根据系统机械能守恒有mgh=m+×2m，联立解得v1=2，v2=，则小物块第一次滑到槽底端时，槽的动能为Ek=×2m=mgh，故C正确；小物块第一次被弹簧反弹后速度大小仍为v1，且v1>v2，故小物块能追上槽，小物块沿槽上滑，二者共速时到达最高处，根据水平方向动量守恒有mv1+2mv2=3mv，根据系统机械能守恒有m+×2m=mgh'+×3mv2，可得h'<h，故D错误。 8 .(2025·安徽省六安第一中学检测)如图甲所示，物块A、B的质量分别是mA=4 kg和mB=2 kg，用水平轻弹簧拴接，放在光滑的水平地面上，物块B右侧与竖直墙壁相接触。另有一物块C在t=0时刻以一定速度向右运动，在t=4 s时与物块A相碰(碰撞时间极短，可忽略不计)，并立即与A粘在一起不再分开，物块C的v-t图像如图乙所示，下列说法正确的是(　　) A.物块B离开墙壁前，弹簧的最大弹性势能为48 J B.4~12 s的时间内，墙壁对物块B的冲量大小为48 N·s，方向向右 C.物块B离开墙壁后，弹簧的最大弹性势能为10 J D.物块B离开墙壁后B的最大速度大小为6 m/s 答案　AD 解析　A、C碰撞过程中由动量守恒可得mCv0=(mC+mA)v1，由题图乙知v0=12 m/s，v1=4 m/s，解得mC=2 kg，当A、C速度减为零时弹簧压缩至最短，此时弹性势能最大为Ep=(mA+mC)=48 J，故A正确；以水平向右为正方向，4~12 s的时间内弹簧弹力对A、C的冲量为I弹=(mA+mC)(v2-v1)=-48 N·s，由系统能量守恒可知12 s时B的速度为零，4~12 s的时间内对B由动量定理可得-I弹+I墙=0，得I墙=I弹=-48 N·s，即大小为48 N·s，方向向左，故B错误；当B的速度与A、C速度相等时弹簧的弹性势能最大，由动量守恒可得(mA+mC)v2=(mA+mC+mB)v2'，解得v2'=-3 m/s，所以物块B离开墙壁后弹簧的最大弹性势能为Ep'=(mA+mC)-(mA+mC+mB)v2'2=12 J，故C错误；当弹簧恢复原长时B的速度达到最大，由动量守恒和能量守恒可得(mA+mC)v2=(mA+mC)v3+mBv4，(mA+mC)=(mA+mC)+mB，解得v4=-6 m/s，负号表示方向向左，故D正确。 9 .(2025·江西赣州模拟)如图甲所示，光滑水平地面上有A、B两物块，质量分别为2 kg、6 kg，B的左端拴接着一劲度系数为 N/m的水平轻质弹簧，它们的中心在同一水平线上。A以速度v0向静止的B运动，从A接触弹簧开始计时至A与弹簧脱离的过程中，弹簧长度l与时间t的关系如图乙所示，弹簧始终处在弹性限度范围内，已知弹簧的弹性势能Ep＝kx2(x为弹簧的形变量)，则(　　) A.在0~2t0内B物块先加速后减速 B.整个过程中，A、B物块构成的系统机械能守恒 C.v0＝2 m/s D.物块A在t0时刻时速度最小 答案　C 解析　在0~2t0内，弹簧始终处于压缩状态，即B受到的弹力始终向右，所以B物块始终做加速运动，故A错误;整个过程中，A、B两物块和弹簧构成的系统机械能守恒，故B错误;由题图乙可知，在t0时刻，弹簧被压缩到最短，此时A、B共速，弹簧的形变量为x＝0.4 m－0.1 m＝0.3 m，根据A、B及弹簧组成的系统动量守恒有m1v0＝(m1＋m2)v，根据A、B及弹簧构成的系统机械能守恒有m1(m1＋m2)v2＋kx2，联立解得v0＝2 m/s，故C正确;在0~2t0内，弹簧始终处于压缩状态，即A受到弹力始终向左，所以A物块始终做减速运动，则物块A在2t0时刻时速度最小，故D错误。 10 .如图所示，两光滑且平行的固定水平杆位于同一竖直平面内，两静止小球m1、m2分别穿在两杆上，两球间拴接一竖直轻弹簧，弹簧处于原长状态。现给小球m2一个水平向右的初速度v0，两杆足够长，则在此后的运动过程中(　　) A.m1、m2组成的系统动量不守恒 B.m1、m2组成的系统机械能守恒 C.弹簧最长时，其弹性势能为 D.m1的最大速度是 答案　D 解析　m1、m2组成的系统所受合外力为零，则系统的动量守恒，选项A错误;m1、m2及弹簧组成的系统机械能守恒，选项B错误;弹簧最长时，两球共速，则由动量守恒定律得m2v0＝(m1＋m2)v，根据能量守恒定律得此时弹簧弹性势能为Ep＝m2(m1＋m2)v2＝，选项C错误;当弹簧再次回到原长时m1的速度最大，则m2v0＝m1v1＋m2v2，m2m1m2，解得v1＝，选项D正确。 11 （2024湖南永州重点高中质检）如图所示，水平面上有一质量的小车，其右端固定一水平轻质弹簧，弹簧左端连接一质量的小物块，小物块与小车一起以的速度向右运动，与静止在水平面上质量的小球发生弹性碰撞，碰撞时间极短，弹簧始终在弹性限度内，忽略一切摩擦阻力。则下列说法中正确的是（　　） A. 小车与小球碰撞后小球的速度大小 B. 当弹簧被压缩到最短时小车的速度大小为 C. 从碰后瞬间到弹簧被压缩至最短的过程中，弹簧弹力对小物块的冲量大小为 D. 若从碰后瞬间到弹簧被压缩至最短用时，则小车在这内的位移x与弹簧最大形变量l的关系式为 【答案】BD 【解析】 设小车与小球碰撞后瞬间的速度分别为、；小车与小球碰撞过程中，根据动量守恒与机械能守恒可得 ， 解得 ， 故A错误； BC．当弹簧被压缩到最短时，根据动量守恒定律有 解得 设碰撞后瞬间到弹簧最短的过程，弹簧弹力对小物块的冲量为I，根据动量定理有 解得 负号表示方向向左，故B正确，C错误； 小车碰撞结束到弹簧被压缩最短的过程中，设小物块速度为，小车速度为，由动量守恒可得 任取一段极短时间△t均有 累加求和后，有 又 联立解得 故D正确。 12. （2024高考名校学术联盟押题卷）如图，质量为m的小球A和质量为3m的小球B用长为L的弹性绳连接，小球B静止在光滑水平面上，小球A在小球B正上方高为0.72L处以一定的初速度水平向右抛出，小球落地时弹性绳刚好拉直（第一次处于原长），小球A落地时，与地面碰撞过程，竖直方向的速度减为零，水平方向的速度保持不变，弹性绳始终处于弹性限度内，重力加速度为g，不计小球大小，则（　　） A. 小球A抛出时的初速度大小为 B. 小球A抛出时的初速度大小为 C. 弹性绳具有最大弹性势能为 D. 弹性绳具有的最大弹性势能为 【答案】BC 【解析】 A球从抛出到落地过程 可解得 A错误，B正确； A球落地后到与B球速度相同时，弹簧弹性势能最大 解得 C正确，D错误。 13. 如图所示，质量M=0.5kg带有光滑弧形槽的滑块放在足够长的水平面a处，弧形槽上圆弧对应的圆心角60，半径R0.8m，与其处于同一竖直平面内的光滑半圆轨道cd的半径r0.5m，轨道与水平面相切固定于c点，已知水平面bc段粗糙且长度L2m，其余光滑。质量分别为m11kg、m20.5kg的物块P、Q静置在水平面上，两者之间有一压缩并用细线锁定的轻弹簧（弹簧与两物块均不拴接），弹簧此时储存的弹性势能Ep6J。某时刻将细线烧断，两物块与弹簧分离时均未从ab之间滑出，随即撤去弹簧。物块Q与水平面bc段间的动摩擦因数0.25，重力加速度g10m/s，两物块均可视为质点且滑上圆弧时均无能量损失。 （1）求物块P与弹簧分离时的速度大小； （2）判断物块P能否从M左端冲出；并求出P的最终速度； （3）求物块Q最终静止位置距离b点的距离。 【答案】（1）2m/s；（2）；（3）0.8m 【解析】 （1）弹簧恢复原长的过程中与两物块构成的系统动量守恒、机械能守恒，设物块P、Q与弹簧分离时速度分别为、，有 解得 ， 物块P与弹簧分离时的速度大小； （2）设物块P沿滑块上升高度为h时与滑块达到共速v，两者水平方向动量守恒，机械能守恒有 解得 即物块P将从滑块右侧滑离，设滑离时物块P与滑块的速度分别为、，物块P在滑块上滑动的整个过程中，两者系统水平方向动量守恒、机械能守恒，有 解得 ， 即物块P最终向左匀速运动，速度为； （3）设物块Q能沿半圆轨道最高上升高度为，由动能定理有 解得 即物块Q将沿圆轨道返回水平面 设物块Q未与物块P碰撞，最终静止在粗糙水平上，其在粗糙水平面滑行的路程为x，由动能定理有 解得 故物块Q最终静止的位置距离b点的距离 14. 如图所示，水平地面上固定着一足够长的木板，板上静置两小球。一轻质弹簧的左端固定在球上，右端与球接触但未连接。一带有圆弧轨道的小车紧靠木板放置，其轨道底端的切线与木板上表面重合，紧靠车左端有一挡板。现让小球从车轨道上距轨道底端高度为处静止滑下，当球离开车后，立即撤去挡板。球与球碰撞时间极短，碰后球返回到车轨道底端时的速度大小为。已知球、及车的质量分别为。小球均可视为质点，不计所有阻力，弹簧始终处于弹性限度内。求： （1）球碰撞结束时球的速度大小； （2）当球与弹簧分离时，球的速度大小； （3）球冲上车的最高点距轨道底端的高度。 【答案】（1）5m/s；（2）1m/s，6m/s；（3）1m 【解析】 （1）球a开始下滑到与b相碰前，根据机械能守恒定律有 球碰撞过程中系统动量守恒，以向右为正方向，故有 可得 （2）球b与球开始运动至球与弹簧分离的过程中，两球及弹簧构成的系统动量守恒，以向右为正方向，根据动量守恒定律有 根据能量守恒定律有 可得 ， （3）小球a与车d构成的系统，在水平方向上动量守恒，且球a运动到最高点时，球a竖直方向上速度为零，以向左为正方向，水平方向上根据动量守恒定律有 设小球a冲上车的最高点距轨道底端的高度为h，则根据能量守恒守恒定律有 可得 15. （2024安徽名校联盟期末）如图所示，质量均为m的物体B、C分别与轻质弹簧的两端相拴接，将它们放在倾角为θ=30°的光滑斜面上，静止时弹簧的形变量为x0。斜面底端有固定挡板D，物体C靠在挡板D上。将质量也为m的物体A从斜面上的某点由静止释放，A与B相碰。已知重力加速度为g，弹簧始终处于弹性限度内，不计空气阻力。 （1）求弹簧的劲度系数k； （2）若A与B相碰后粘连在一起开始做简谐运动，当A与B第一次运动到最高点时，C对挡板D的压力恰好为零，求挡板D对C支持力的最大值及A开始下滑时离物块B的距离。 【答案】（1）；（2）， 【解析】 （1）根据物体平衡条件得 解得弹簧的劲度系数 （2）A与B碰后一起做简谐运动到最高点时，物体C对挡板D的压力最小为0，则对C，弹簧弹力 对A、B，回复力最大 由简谐运动对称性，可知A与B碰后一起做简谐运动到最低点时，回复力也最大，即 此时物体C对挡板D的压力最大，对物体A、B有 则弹簧弹力 对物体C，设挡板D对物体C的弹力为，则 挡板D对C支持力的最大值为； 设物体A释放时A与B之间距离为x，A与B相碰前物体A速度大小为，对物体A，从开始下滑到A、B相碰前的过程，根据机械能守恒定律有 解得 设A与B相碰后两物体共同速度的大小为，对A与B发生碰撞的过程，根据动量守恒定律有 解得 物体B静止时弹簧的压缩量为，AB第一次运动到最高点时，弹簧伸长量为，从A、B开始压缩弹簧到弹簧第一次恢复原长的过程，根据机械能守恒定律有 联立以上各式，可得 16 .(2025·福建泉州模拟)如图，左端固定在墙壁上的水平轻质弹簧，处于自然状态时另一端在光滑水平台面右端;质量为3m的小车静置于光滑的水平面上且紧靠平台，其左侧a端与台面等高，小车的上表面由长度为R的粗糙水平面ab和半径为R的四分之一圆弧形光滑轨道bc组成。质量为m的小物块P(与弹簧不拴接)在外力作用下将弹簧压缩至某一位置，由静止释放后从a端以大小为2(g为重力加速度大小)的速度滑上小车，恰好能到达顶端c。 (1)求P由静止释放时弹簧的弹性势能Ep; (2)求P与ab间的动摩擦因数μ; (3)请通过计算判断P是否会滑离小车? 答案　(1)2mgR　(2)0.5　(3)会，理由见解析 解析　(1)设弹簧恢复原长时，P的速度为v0，根据小物块P与弹簧组成的系统能量守恒有 Ep＝m 其中v0＝2 解得Ep＝2mgR。 (2)P恰好到达顶端c时，此时P与小车共速，设此时速度大小为v，根据水平方向动量守恒有 mv0＝(m＋3m)v 根据能量守恒定律有m(m＋3m)v2＋mgR＋μmgR 解得μ＝0.5。 (3)设小物块P最终停在小车上，小物块在粗糙水平面ab上的相对路程为s，由于水平方向动量守恒，则此时P与小车速度大小仍然为v，根据系统能量守恒定律有m(m＋3m)v2＝μmgs 解得s＝3R 由于s>2R 故P会滑离小车。 17.(12分)(2025·山东卷·17)如图所示，内有弯曲光滑轨道的方形物体置于光滑水平面上，P、Q分别为轨道的两个端点且位于同一高度，P处轨道的切线沿水平方向，Q处轨道的切线沿竖直方向。小物块a、b用轻弹簧连接置于光滑水平面上，b被锁定。一质量m= kg的小球自Q点正上方h=2 m处自由下落，无能量损失地滑入轨道，并从P点水平抛出，恰好击中a，与a粘在一起且不弹起。当弹簧拉力达到F=15 N时，b解除锁定开始运动。已知a的质量ma=1 kg，b的质量mb= kg，方形物体的质量M= kg，重力加速度大小g=10 m/s2，弹簧的劲度系数k=50 N/m，整个过程弹簧均在弹性限度内，弹性势能表达式Ep=kx2(x为弹簧的形变量)，所有过程不计空气阻力。求： (1)(4分)小球到达P点时，小球及方形物体相对于地面的速度大小v1、v2； (2)(8分)弹簧弹性势能最大时，b的速度大小vb及弹性势能的最大值Epm。 答案　(1)6 m/s　 m/s　(2) m/s　2.5 J 解析　(1)根据题意可知，小球从开始下落到P处过程中，水平方向上动量守恒，则有mv1=Mv2 由能量守恒定律有mgh=m+M 联立解得v1=6 m/s，v2= m/s 即小球速度为6 m/s，方向水平向左，方形物体速度为 m/s，方向水平向右。 (2)由于小球落在物块a正上方，并与其粘连，小球竖直方向速度变为0，小球和物块a水平方向上动量守恒，则有mv1=(m+ma)v3 解得v3=2 m/s 设当弹簧形变量为x1时物块b的固定解除，此时小球和物块a的速度大小为v4，根据胡克定律F=kx1 系统机械能守恒(m+ma)=(m+ma)+k 联立解得v4=1 m/s，方向水平向左，x1=0.3 m b的固定解除之后，小球、物块a和物块b及轻弹簧组成的系统动量守恒，当三者共速时，弹簧的弹性势能最大，由动量守恒定律有(m+ma)v4=(m+ma+mb)vb 解得vb= m/s，方向水平向左。 由能量守恒定律可得，最大弹性势能为 Epm=(m+ma)+k-(m+ma+mb)=2.5 J。 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三物理暑期能力提升 专题3 与弹簧相关的动量问题 【方法解读】 1. 压缩弹簧弹开小球，与另一个物块相互作用，如图。 2. 相互作用后的小球压缩弹簧，如图。 3.“滑块—弹簧”模型 (1)模型图示 (2)模型特点 ①两物体和弹簧组成的系统所受外力矢量和为零，动量守恒。 ②系统内只有弹簧弹力做功，只发生弹性势能与动能的相互转化，机械能守恒。 ③弹簧处于最长(最短)状态时两物体速度相等，弹性势能最大，系统动能通常最小(相当于完全非弹性碰撞，两物体减少的动能转化为弹簧的弹性势能)。即 m1v0＝(m1＋m2)v，ΔEp＝m1(m1＋m2)v2。 ④弹簧恢复原长时，弹性势能为零，系统动能最大(相当于刚完成弹性碰撞)。即m1v0＝m1v1＋m2v2，m1m1m2。 【例1】(2025·河南省三模)如图(a)所示，相距较远的两物体A、B放在光滑水平面上，物体B左端固定一轻弹簧并处于静止状态，物体A以速度v0沿A、B连线向物体B运动。t=0时，物体A与轻弹簧接触(不粘连)，此后的一段时间内，两物体的速度v与时间t的关系如图(b)所示。已知0~t0(t0<t2)时间内，物体B运动的距离为v0t0，物体A的质量为m，运动过程中弹簧始终处于弹性限度内，下列说法正确的是(　　) A.物体B的质量为2m B.物体A与轻弹簧分离时，速度为-v0 C.0~t0时间内，物体A运动的距离为v0t0 D.弹簧压缩最短时弹性势能为m 【总结提升】 1.“滑块—弹簧”模型的解题方法 (1)首先判断弹簧的初始状态是处于原长、伸长还是压缩状态。 (2)分析碰撞前、后弹簧和物体的运动状态，根据动量守恒定律和机械能守恒定律列出方程。 (3)判断解出的结果是否满足“实际情境可行性原则”，如果不满足，则要舍掉该结果。 2.过程讨论： 当甲、乙两物体与弹簧组成的系统动能最小时，弹簧压缩到最短或伸长到最长(两物体共速)，弹簧的弹性势能最大，物体间发生“完全非弹性碰撞”，只不过动能的减少是暂时的，储存在弹性势能中； 当弹簧恢复到原长时，两物体发生“弹性碰撞”，大多数都可类比弹性碰撞“一动碰一静模型”分析求解，但是特殊情况不可照搬。 例2. 如图甲所示，物块A、B用轻弹簧拴接，放在光滑水平面上，B左侧与竖直墙壁接触。物块C以速度向左运动，与A相碰后立即粘在一起后不分开并开始计时。A、B运动的图像如图乙所示，、分别表示到时间内A、B的图线与坐标轴所围面积的大小。已知三个物块质量均为，下列说法正确的是（　　） A. B. C. 内墙对B的冲量大小为 D. 在时刻弹簧的弹性势能为 【针对性训练】 1 .(2025·北京朝阳模拟)如图所示，光滑水平地面上的P、Q两物体质量均为m，P以速度v向右运动，Q静止且左端固定一轻弹簧。当弹簧被压缩至最短时(　　) A.P的动量为0 B.Q的动量达到最大值 C.P、Q系统总动量小于mv D.弹簧储存的弹性势能为mv2 2 .(2025·北京昌平高三月考)如图甲所示，一轻弹簧的两端分别与质量为m1和m2的两物块相连接，并且静止在光滑的水平桌面上。现使m1瞬时获得水平向右的速度3 m/s，以此刻为计时零点，两物块的速度随时间变化的规律如图乙所示，以下说法正确的是(　　) A.两物块的质量之比为m1∶m2＝2∶1 B.在t1时刻和t3时刻弹簧的弹性势能均达到最大值 C.t1~t2时间内，弹簧的长度大于原长 D.t2~t3时间内，弹簧的弹力逐渐减小 3 如图所示，在光滑的水平面上静止一质量M＝8 kg的小车B，小车左端固定一根轻质弹簧，弹簧的自由端C到小车右端的距离L＝1 m，这段车厢板与木块A(可视为质点)之间的动摩擦因数μ＝0.1，而弹簧自由端C到弹簧固定端D所对应的车厢板上表面光滑。木块A以速度v0＝15 m/s由小车B右端开始沿车厢板表面向左运动。已知木块A的质量m＝2 kg，重力加速度g取10 m/s2。则木块A压缩弹簧过程中弹簧的最大弹性势能为(　　) A.45 J B.178 J C.225 J D.270 J 4 .如图所示，位于光滑水平桌面上的小滑块P和Q都可视作质点，P的质量为m，Q的质量为3m，Q与轻质弹簧相连。Q原来静止，P以一定初动能E向Q运动并与弹簧发生碰撞。在整个过程中，弹簧具有的最大弹性势能等于(　　) A.E B.E C.E D.E 5 .(2025·河北邯郸市二模)如图所示，质量均为m的物块A、B中间用一根原长为L0的轻弹簧相连，放在光滑水平面上，开始时两物块均静止，弹簧处于原长。用一小锤敲击物块A给其一个水平向右的速度v0，此后A、B向右运动，弹簧始终处于弹性限度内。下列关于弹簧的弹性势能Ep与弹簧的长度L、形变量x之间的关系图像可能正确的是(　　) 6. 如图所示，滑块A、B、C位于光滑水平面上，已知A、B、C的质量均为m＝1 kg。滑块B的左端连有轻质弹簧，弹簧开始处于自由伸长状态。现使滑块A以v0＝2 m/s速度水平向右运动，弹簧被压缩到最短时，B与C恰好相碰并粘接在一起，然后继续运动。假设B和C碰撞过程时间极短，则B和C碰撞过程中整个系统损失的机械能为(　　) A.0.25 J B.0.50 J C.0.75 J D.1.00 J 7 .(2026·河南省百师联盟联考)如图所示，轻弹簧的一端固定在竖直墙上，质量为2m的光滑弧形槽静置在光滑水平面上，弧形槽底端与水平面相切，质量为m的小物块从槽上高为h处由静止释放，已知弹簧始终处于弹性限度内，重力加速度为g，则(　　) A.小物块下滑过程中，其机械能守恒 B.小物块下滑过程中，小物块和槽的动量大小始终相等 C.小物块第一次滑到槽底端时，槽的动能为mgh D.小物块第一次被弹簧反弹后能追上槽，且能回到槽上高h处 8 .(2025·安徽省六安第一中学检测)如图甲所示，物块A、B的质量分别是mA=4 kg和mB=2 kg，用水平轻弹簧拴接，放在光滑的水平地面上，物块B右侧与竖直墙壁相接触。另有一物块C在t=0时刻以一定速度向右运动，在t=4 s时与物块A相碰(碰撞时间极短，可忽略不计)，并立即与A粘在一起不再分开，物块C的v-t图像如图乙所示，下列说法正确的是(　　) A.物块B离开墙壁前，弹簧的最大弹性势能为48 J B.4~12 s的时间内，墙壁对物块B的冲量大小为48 N·s，方向向右 C.物块B离开墙壁后，弹簧的最大弹性势能为10 J D.物块B离开墙壁后B的最大速度大小为6 m/s 9 .(2025·江西赣州模拟)如图甲所示，光滑水平地面上有A、B两物块，质量分别为2 kg、6 kg，B的左端拴接着一劲度系数为 N/m的水平轻质弹簧，它们的中心在同一水平线上。A以速度v0向静止的B运动，从A接触弹簧开始计时至A与弹簧脱离的过程中，弹簧长度l与时间t的关系如图乙所示，弹簧始终处在弹性限度范围内，已知弹簧的弹性势能Ep＝kx2(x为弹簧的形变量)，则(　　) A.在0~2t0内B物块先加速后减速 B.整个过程中，A、B物块构成的系统机械能守恒 C.v0＝2 m/s D.物块A在t0时刻时速度最小 10 .如图所示，两光滑且平行的固定水平杆位于同一竖直平面内，两静止小球m1、m2分别穿在两杆上，两球间拴接一竖直轻弹簧，弹簧处于原长状态。现给小球m2一个水平向右的初速度v0，两杆足够长，则在此后的运动过程中(　　) A.m1、m2组成的系统动量不守恒 B.m1、m2组成的系统机械能守恒 C.弹簧最长时，其弹性势能为 D.m1的最大速度是 11 （2024湖南永州重点高中质检）如图所示，水平面上有一质量的小车，其右端固定一水平轻质弹簧，弹簧左端连接一质量的小物块，小物块与小车一起以的速度向右运动，与静止在水平面上质量的小球发生弹性碰撞，碰撞时间极短，弹簧始终在弹性限度内，忽略一切摩擦阻力。则下列说法中正确的是（　　） A. 小车与小球碰撞后小球的速度大小 B. 当弹簧被压缩到最短时小车的速度大小为 C. 从碰后瞬间到弹簧被压缩至最短的过程中，弹簧弹力对小物块的冲量大小为 D. 若从碰后瞬间到弹簧被压缩至最短用时，则小车在这内的位移x与弹簧最大形变量l的关系式为 12. （2024高考名校学术联盟押题卷）如图，质量为m的小球A和质量为3m的小球B用长为L的弹性绳连接，小球B静止在光滑水平面上，小球A在小球B正上方高为0.72L处以一定的初速度水平向右抛出，小球落地时弹性绳刚好拉直（第一次处于原长），小球A落地时，与地面碰撞过程，竖直方向的速度减为零，水平方向的速度保持不变，弹性绳始终处于弹性限度内，重力加速度为g，不计小球大小，则（　　） A. 小球A抛出时的初速度大小为 B. 小球A抛出时的初速度大小为 C. 弹性绳具有最大弹性势能为 D. 弹性绳具有的最大弹性势能为 13. 如图所示，质量M=0.5kg带有光滑弧形槽的滑块放在足够长的水平面a处，弧形槽上圆弧对应的圆心角60，半径R0.8m，与其处于同一竖直平面内的光滑半圆轨道cd的半径r0.5m，轨道与水平面相切固定于c点，已知水平面bc段粗糙且长度L2m，其余光滑。质量分别为m11kg、m20.5kg的物块P、Q静置在水平面上，两者之间有一压缩并用细线锁定的轻弹簧（弹簧与两物块均不拴接），弹簧此时储存的弹性势能Ep6J。某时刻将细线烧断，两物块与弹簧分离时均未从ab之间滑出，随即撤去弹簧。物块Q与水平面bc段间的动摩擦因数0.25，重力加速度g10m/s，两物块均可视为质点且滑上圆弧时均无能量损失。 （1）求物块P与弹簧分离时的速度大小； （2）判断物块P能否从M左端冲出；并求出P的最终速度； （3）求物块Q最终静止位置距离b点的距离。 14. 如图所示，水平地面上固定着一足够长的木板，板上静置两小球。一轻质弹簧的左端固定在球上，右端与球接触但未连接。一带有圆弧轨道的小车紧靠木板放置，其轨道底端的切线与木板上表面重合，紧靠车左端有一挡板。现让小球从车轨道上距轨道底端高度为处静止滑下，当球离开车后，立即撤去挡板。球与球碰撞时间极短，碰后球返回到车轨道底端时的速度大小为。已知球、及车的质量分别为。小球均可视为质点，不计所有阻力，弹簧始终处于弹性限度内。求： （1）球碰撞结束时球的速度大小； （2）当球与弹簧分离时，球的速度大小； （3）球冲上车的最高点距轨道底端的高度。 15. （2024安徽名校联盟期末）如图所示，质量均为m的物体B、C分别与轻质弹簧的两端相拴接，将它们放在倾角为θ=30°的光滑斜面上，静止时弹簧的形变量为x0。斜面底端有固定挡板D，物体C靠在挡板D上。将质量也为m的物体A从斜面上的某点由静止释放，A与B相碰。已知重力加速度为g，弹簧始终处于弹性限度内，不计空气阻力。 （1）求弹簧的劲度系数k； （2）若A与B相碰后粘连在一起开始做简谐运动，当A与B第一次运动到最高点时，C对挡板D的压力恰好为零，求挡板D对C支持力的最大值及A开始下滑时离物块B的距离。 16 .(2025·福建泉州模拟)如图，左端固定在墙壁上的水平轻质弹簧，处于自然状态时另一端在光滑水平台面右端;质量为3m的小车静置于光滑的水平面上且紧靠平台，其左侧a端与台面等高，小车的上表面由长度为R的粗糙水平面ab和半径为R的四分之一圆弧形光滑轨道bc组成。质量为m的小物块P(与弹簧不拴接)在外力作用下将弹簧压缩至某一位置，由静止释放后从a端以大小为2(g为重力加速度大小)的速度滑上小车，恰好能到达顶端c。 (1)求P由静止释放时弹簧的弹性势能Ep; (2)求P与ab间的动摩擦因数μ; (3)请通过计算判断P是否会滑离小车? 17.(12分)(2025·山东卷·17)如图所示，内有弯曲光滑轨道的方形物体置于光滑水平面上，P、Q分别为轨道的两个端点且位于同一高度，P处轨道的切线沿水平方向，Q处轨道的切线沿竖直方向。小物块a、b用轻弹簧连接置于光滑水平面上，b被锁定。一质量m= kg的小球自Q点正上方h=2 m处自由下落，无能量损失地滑入轨道，并从P点水平抛出，恰好击中a，与a粘在一起且不弹起。当弹簧拉力达到F=15 N时，b解除锁定开始运动。已知a的质量ma=1 kg，b的质量mb= kg，方形物体的质量M= kg，重力加速度大小g=10 m/s2，弹簧的劲度系数k=50 N/m，整个过程弹簧均在弹性限度内，弹性势能表达式Ep=kx2(x为弹簧的形变量)，所有过程不计空气阻力。求： (1)(4分)小球到达P点时，小球及方形物体相对于地面的速度大小v1、v2； (2)(8分)弹簧弹性势能最大时，b的速度大小vb及弹性势能的最大值Epm。 1 学科网（北京）股份有限公司 $