专题01 圆的概念（题型专练）数学新教材浙教版九年级上册

专题01 圆的概念 （题型突破·举一反三） 题型01 判断点与圆的位置关系 题型02 圆的基本概念辨析 题型03 圆的周长与面积计算 题型04 根据点与圆的的位置关系确定半径范围 题型05 三角形外心的概念与作图 题型06 确定三角形外心的坐标 题型07 三角形外接圆半径的计算 题型08 点与园上一点的最值问题 题型09 二次函数与圆的综合问题 ▌题型01 判断点与圆的位置关系 1．弦：连接圆上任意两点的线段。直径是经过圆心的弦，是圆中最长的弦。 2．弧：圆上任意两点间的部分。半圆、优弧（大于半圆）、劣弧（小于半圆）。 3．等弧：在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫等弧，等弧长度一定相等。 4．等圆：半径相等的两个圆叫等圆，周长相等的两个圆是等圆。 【典例1】（25-26九年级上·浙江宁波·期末）在同一平面内，已知的半径为，，则点与的位置关系为（   ） A．点P在圆外 B．点P在圆上 C．点P在圆内 D．无法确定 【变式1-1】（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）已知在同一平面内，的半径为，点到圆心的距离，则点在（     ） A．外 B．上 C．内 D．无法确定 【变式1-2】（25-26九年级上·浙江宁波·阶段检测）在中，，D为BC边上的中点，以D为圆心，为半径作，则点A与的位置关系为（） A．点A在内 B．点A在上 C．点A在外 D．不能确定 【变式1-3】如图，在中，，，，，分别是上的高线和中线．如果是以点为圆心，4为半径的圆，那么下列判断中，正确的是（　　） A．点，均在内 B．点，均在外 C．点在内，点在外 D．以上选项都不正确 ▌题型02 圆的基本概念辨析 1．弦：连接圆上任意两点的线段。直径是经过圆心的弦，是圆中最长的弦。 2．弧：圆上任意两点间的部分。半圆、优弧（大于半圆）、劣弧（小于半圆）。 3．等弧：在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫等弧，等弧长度一定相等。 4．等圆：半径相等的两个圆叫等圆，周长相等的两个圆是等圆。 【典例2】有下列说法：①直径是弦；②弦是直径；③半径相等的两个半圆是等弧；④长度相等的两条弧是等弧；⑤半圆是弧，但弧不一定是半圆．其中正确的说法有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2-1】（25-26九年级上·浙江丽水·期末）已知圆的半径为，则圆中一条弦的长度不可能的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26九年级上·浙江金华·阶段检测）已知是半径为4的圆内的一条弦，则的长不可能是（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 【变式2-3】（25-26九年级上·江苏连云港·期中）下列说法中，不正确的是（  ） A．过圆心的弦是圆的直径 B．同一条弦所对的两条弧一定是等弧 C．周长相等的两个圆是等圆 D．等弧的长度一定相等 ▌题型03 圆的周长与面积计算 1．圆的周长公式：，其中r为半径，d为直径。 2．圆的面积公式：，圆环面积。 3．易错提醒：周长增加量只与半径增加量有关（），与原半径无关。 【典例3】（24-25九年级上·浙江嘉兴·期中）如图，是的直径，把分成几条相等的线段，以每条线段为直径分别画小圆，设，那么的周长，的面积． (1)探究：①把分成两条相等的线段，每个小圆的周长； ②把分成三条相等的线段，每个小圆的周长记作， ③把分成四条相等的线段，每个小圆的周长，… ④把分成条相等的线段，每个小圆的周长． 分别求出，，； (2)类比探究：仿照（1）的探索过程，当把大圆直径平均分成等分时，以每条线段为直径画小圆，求每个小圆的面积与大圆面积之间的关系． 【变式3-1】（2025·江西·模拟预测）火星和地球的赤道可以近似地看作一个圆，其中火星赤道的半径是地球的，若把它们的半径都增加，则赤道周长增加更多的是（　　） A．地球 B．火星 C．一样多 D．无法确定 【变式3-2】如图，两个同心圆组成的圆环面积是16，则以圆心O为一个顶点，分别以两圆半径为边长作正方形和正方形，点D在OA上，点F在OC上，则图中阴影部分的面积是______．（结果保留） 【变式3-3】某校社团实践活动中，有若干个同学参加．先到的个同学均匀围成一个以点为圆心，为半径的圆圈，如图所示（每个同学对应圆周上一个点）． （1）若，则相邻两人间的圆弧长是______．（结果保留） （2）又来了两个同学，先到的同学都沿各自所在半径往后移米，再左右调整位置，使这个同学之间的圆弧长与原来个同学之间的圆弧长相等．这个同学排成圆圈后，又有一个同学要加入队伍，重复前面的操作，则每人须再往后移米，才能使得这个同学之间的圆弧长与原来个同学之间的圆弧长相同，则________________． ▌题型04 根据点与圆的的位置关系确定半径范围 1．弦：连接圆上任意两点的线段。直径是经过圆心的弦，是圆中最长的弦。 2．弧：圆上任意两点间的部分。半圆、优弧（大于半圆）、劣弧（小于半圆）。 3．等弧：在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫等弧，等弧长度一定相等。 4．等圆：半径相等的两个圆叫等圆，周长相等的两个圆是等圆。 【典例4】平面上有及一点P，P到上一点的距离最长为，最短为，则的半径为（     ）． A．4 B．2或4 C．3或2 D．4或3 【变式4-1】（25-26九年级上·山东济宁·期中）已知一个点到圆上的点的最大距离是，最小距离是，则这个圆的半径是（    ）． A． B． C．或 D．不能确定 【变式4-2】（24-25九年级上·浙江宁波·阶段检测）点P到圆心O的距离为6，若点P在圆O外，则圆O的半径r满足（ ） A． B． C． D． 【变式4-3】已知矩形的边，． (1)以点A为圆心、为半径作，求点B，C，D与的位置关系； (2)若以点A为圆心作，使B，C，D三点中至少有一个点在圆内，且至少有一点在圆外，求的半径r的取值范围． ▌题型05 三角形外心的概念与作图 1．弦：连接圆上任意两点的线段。直径是经过圆心的弦，是圆中最长的弦。 2．弧：圆上任意两点间的部分。半圆、优弧（大于半圆）、劣弧（小于半圆）。 3．等弧：在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫等弧，等弧长度一定相等。 4．等圆：半径相等的两个圆叫等圆，周长相等的两个圆是等圆。 【典例5】（2025九年级上·江苏苏州·专题练习）对于三角形的外心，下列说法正确的是（　　） A．它到三角形三边的距离相等 B．它是三角形三条高的交点 C．它一定在该三角形的内部 D．它到三角形三个顶点的距离相等 【变式5-1】（2025九年级·全国·专题练习）如图，为锐角三角形ABC的外接圆，有下列结论：①；②若，则；③若，则直线．其中错误的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式5-2】（24-25九年级上·云南保山·期末）已知：不在同一直线上的三点．求作，使它经过点． 作法：如图，（1）连接，作线段的垂直平分线； （2）连接，作线段的垂直平分线，交于点； （3）以为圆心，长为半径作．就是所求作的圆． 根据以上作图过程及所作图形，下列结论中正确的是（   ） A．连接，则点是的内心 B． C．连接，则不是的半径 D．若连接，则点在线段的垂直平分线上 【变式5-3】如图，在中，，边上的中线． (1)请用尺规作图法，求作的外接圆（保留作图痕迹，不写作法）； (2)求的外接圆的半径． ▌题型06 确定三角形外心的坐标 1．坐标法：外心到三顶点距离相等，设外心(x,y)，列距离方程求解。 2．垂直平分线法：作两条边的垂直平分线，交点即为外心坐标。 3．易错提醒：网格题中先建立坐标系，再利用垂直平分线性质确定圆心。 【典例6】（24-25八年级下·广东中山·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，一条圆弧经过网格点A，B，C，其中点A的坐标为、点B的坐标为、点C的坐标为，那么该圆弧所在的圆心坐标为______． 【变式6-1】（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，将放在每个小正方形的边长为1的网格中，点均在格点上，若点的坐标为，则的外心坐标是______． 【变式6-2】如图，平面直角坐标系中有一个．    (1)利用网格，只用无刻度的直尺作出的外接圆的圆心点O； (2)的外接圆的圆心坐标是 ； (3)该圆圆心到弦的距离为 ； (4)最小覆盖圆的半径为 ． 【变式6-3】如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点，，，在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点为原点建立直角坐标系． (1)过，，三点的圆的圆心坐标为______； (2)请通过计算判断点与的位置关系． ▌题型07 三角形外接圆半径的计算 1．直角三角形：外接圆直径=斜边，（c为斜边）。 2．等边三角形：外接圆半径（a为边长）。 3．一般三角形：作垂直平分线找外心，利用勾股定理列方程求半径。 【典例7】（25-26九年级上·浙江舟山·阶段检测）在中，两直角边分别为6和8，那么这个三角形的外接圆直径是（    ） A．5 B．4 C．10 D．8 【变式7-1】（24-25九年级上·江西宜春·阶段检测）在中，，，，则这个三角形的外接圆的直径是（   ） A．8 B． C． D．4 【变式7-2】已知等腰，，请用圆规和直尺作出的外接圆，并计算此外接圆的半径． 【变式7-3】（24-25九年级上·浙江杭州·期中）在如图所示的方格纸中存在，其中，点，，均在格点上． (1)用直尺作出的外接圆圆心； (2)若方格纸中每个小正方形的边长为2，求外接圆半径的长． ▌题型08 点与园上一点的最值问题 1．弦：连接圆上任意两点的线段。直径是经过圆心的弦，是圆中最长的弦。 2．弧：圆上任意两点间的部分。半圆、优弧（大于半圆）、劣弧（小于半圆）。 3．等弧：在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫等弧，等弧长度一定相等。 4．等圆：半径相等的两个圆叫等圆，周长相等的两个圆是等圆。 【典例8】左图是传统的手工磨豆腐设备，根据它的原理设计了右图的机械设备，磨盘半径，把手，点O，M，Q成一直线，用长为的连杆将点Q与动力装置P相连（大小可变），点P在轨道上滑动并带动磨盘绕点O转动，，． 则最大为______；若磨盘转动100周，则点P在轨道上滑动的路径长为 _________． 【变式8-1】（2025·山西临汾·二模）如图，在菱形中，点是边的中点，动点在边上运动，以为折痕将折叠得到，连接．若，，则的最小值是______． 【变式8-2】（25-26九年级上·浙江宁波·阶段检测）如图，的半径为2，圆心的坐标为，点是上的任意一点，，且与轴分别交于两点，若点、点关于原点对称，则的最大值为（    ） A．10 B．12 C．14 D．16 【变式8-3】（2026·浙江绍兴·二模）如图，在矩形中，，．点E为的中点，点F为边上的动点，连接，作点A关于的对称点G，连接，则点F从点A运动到点B的过程中，的最大值与最小值之和为（     ） A． B． C． D． ▌题型09 二次函数与圆的综合问题 1．综合思路：先求二次函数与坐标轴交点，再利用外心性质（到三顶点等距）求解。 2．外心定位：过点A、B、C的外接圆圆心在AB和BC的垂直平分线交点上。 3．易错提醒：四点共圆时，利用圆周角定理和垂直平分线建立方程求解。 【典例9】（2026·浙江宁波·三模）如图，二次函数（其中）的图像与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点，连接，，点为的外心．记的面积为，的面积为，则的值为_____． 【变式9-1】在直角坐标系中，抛物线y=ax2－4ax＋2(a>0)交y轴于点A，点B是点A关于对称轴的对称点，点C是抛物线的顶点，若△ABC的外接圆经过原点O，则a的值为________． 【变式9-2】如图，已知抛物线与x轴正半轴交于点，与y轴交于点，点P是线段上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点C，交直线于点D． (1)求抛物线的函数表达式； (2)在和中，当其中一个三角形的面积是另一个三角形面积的2倍时，求点P的坐标； (3)若的外接圆恰好经过点A，求此时点C的坐标． 【变式9-3】如图1，已知抛物线经过原点，它的对称轴是直线，动点从抛物线的顶点出发，在对称轴上以每秒1个单位的速度向上运动，设动点运动的时间为秒，连接并延长交抛物线于点，连接，． (1)求抛物线的函数解析式； (2)当为直角三角形时，求的值； (3)如图2，为的外接圆，在点的运动过程中，点也随之运动变化，请你探究：在时，求点经过的路径长度． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 圆的概念 （题型突破·举一反三） 题型01 判断点与圆的位置关系 题型02 圆的基本概念辨析 题型03 圆的周长与面积计算 题型04 根据点与圆的的位置关系确定半径范围 题型05 三角形外心的概念与作图 题型06 确定三角形外心的坐标 题型07 三角形外接圆半径的计算 题型08 点与园上一点的最值问题 题型09 二次函数与圆的综合问题 ▌题型01 判断点与圆的位置关系 1．弦：连接圆上任意两点的线段。直径是经过圆心的弦，是圆中最长的弦。 2．弧：圆上任意两点间的部分。半圆、优弧（大于半圆）、劣弧（小于半圆）。 3．等弧：在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫等弧，等弧长度一定相等。 4．等圆：半径相等的两个圆叫等圆，周长相等的两个圆是等圆。 【典例1】（25-26九年级上·浙江宁波·期末）在同一平面内，已知的半径为，，则点与的位置关系为（   ） A．点P在圆外 B．点P在圆上 C．点P在圆内 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查点与圆的位置关系，需根据点到圆心的距离与圆半径的大小关系来判断，根据题意可得，即可求解． 【详解】解：设的半径为，点到圆心的距离为， ∵，， ∴， ∴点在上 故选：B． 【变式1-1】（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）已知在同一平面内，的半径为，点到圆心的距离，则点在（     ） A．外 B．上 C．内 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查点与圆的位置关系，解题关键是掌握点到圆心的距离与圆半径的大小关系对应点与圆的位置关系，通过比较与半径的大小即可判断点的位置． 【详解】解：的半径，点到圆心的距离 点在内 故选：C． 【变式1-2】（25-26九年级上·浙江宁波·阶段检测）在中，，D为BC边上的中点，以D为圆心，为半径作，则点A与的位置关系为（） A．点A在内 B．点A在上 C．点A在外 D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查点与圆的位置关系的判断方法，关键在于比较点到圆心的距离与圆的半径之间的大小关系．由于已知中，D是边上的中点，且以D为圆心，为半径作圆，因此需要判断点A到点D的距离与半径的大小关系，从而确定点A在圆内、圆上或圆外． 【详解】是的中点，是以为直径的圆． 当时，即， 点A在以为直径的圆的内部． 故选A 【变式1-3】如图，在中，，，，，分别是上的高线和中线．如果是以点为圆心，4为半径的圆，那么下列判断中，正确的是（　　） A．点，均在内 B．点，均在外 C．点在内，点在外 D．以上选项都不正确 【答案】C 【分析】本题考查了点与圆的位置关系的判定，根据点与圆心之间的距离和圆的半径的大小关系作出判断即可． 先利用勾股定理求得的长，再根据面积公式求出的长，根据勾股定理求出的长，根据中线的定义求出的长，然后由点、到点的距离判断点、与的位置关系即可． 【详解】解：在中，，，， ， 、分别是上的高和中线， ，， ，， ，， 点在内、点在外． 故选：C． ▌题型02 圆的基本概念辨析 1．弦：连接圆上任意两点的线段。直径是经过圆心的弦，是圆中最长的弦。 2．弧：圆上任意两点间的部分。半圆、优弧（大于半圆）、劣弧（小于半圆）。 3．等弧：在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫等弧，等弧长度一定相等。 4．等圆：半径相等的两个圆叫等圆，周长相等的两个圆是等圆。 【典例2】有下列说法：①直径是弦；②弦是直径；③半径相等的两个半圆是等弧；④长度相等的两条弧是等弧；⑤半圆是弧，但弧不一定是半圆．其中正确的说法有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了圆的基本概念辨析，解题关键是掌握圆的基本概念． 根据圆的基本概念判断各说法的正确性：直径是特殊的弦，但弦不一定是直径；等弧需在同圆或等圆中长度相等且重合；半圆是弧的一种，但弧不一定是半圆． 【详解】解：∵直径是圆中最长的弦， ∴①正确； ∵弦是连接圆上任意两点的线段，不一定通过圆心， ∴②错误； ∵半径相等的两个半圆长度相等且形状相同，属于等弧， ∴③正确； ∵在同圆或等圆中，能够完全重合的弧才叫等弧， ∴仅长度相等不一定是等弧， ∴④错误； ∵半圆是弧的一种，但弧包括优弧、劣弧和半圆， ∴⑤正确． ∴正确的说法有①、③、⑤，共3个， 故选：C． 【变式2-1】（25-26九年级上·浙江丽水·期末）已知圆的半径为，则圆中一条弦的长度不可能的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆的基本概念，先计算出直径长度，再根据圆中最长的弦为直径，判断各选项弦长是否合理，即可． 【详解】解：∵圆的半径为， 故圆的直径为， 故圆中弦长的取值范围是弦长； 又∵， ∴弦长不可能是． 故选：D． 【变式2-2】（25-26九年级上·浙江金华·阶段检测）已知是半径为4的圆内的一条弦，则的长不可能是（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了圆的认识，基本概念，掌握“圆中最长的弦是直径”是解题的关键．根据圆内弦的性质，弦的长度不超过直径，直径为8，因此的长度不能大于8． 【详解】解：由题意知，该圆的直径为8， 圆中最长的弦为直径， ， 选项A中，故的长不可能为9，符合题意， 故选：A． 【变式2-3】（25-26九年级上·江苏连云港·期中）下列说法中，不正确的是（  ） A．过圆心的弦是圆的直径 B．同一条弦所对的两条弧一定是等弧 C．周长相等的两个圆是等圆 D．等弧的长度一定相等 【答案】B 【分析】本题考查圆的基本概念，熟练掌握圆的基本概念是解题的关键． 根据直径、弦、弧、等圆和等弧的定义和性质，逐项判断即可． 【详解】解：选项A、过圆心的弦是圆的直径，这是直径的定义，则A正确； 选项B、在同一个圆中，当弦为直径时，所对的两条弧相等，且都为半圆，其他情况下一条弦所对的两条弧，是一条优弧和一条劣弧，两条弧不相等，因此同一条弦所对的两条弧不一定是等弧，则B错误； 选项C、根据圆的周长公式半径，周长相等的圆，半径也相等，为等圆，则C正确； 选项D、等弧能完全重合，长度一定相等，则D正确； 故选：B． ▌题型03 圆的周长与面积计算 1．圆的周长公式：，其中r为半径，d为直径。 2．圆的面积公式：，圆环面积。 3．易错提醒：周长增加量只与半径增加量有关（），与原半径无关。 【典例3】（24-25九年级上·浙江嘉兴·期中）如图，是的直径，把分成几条相等的线段，以每条线段为直径分别画小圆，设，那么的周长，的面积． (1)探究：①把分成两条相等的线段，每个小圆的周长； ②把分成三条相等的线段，每个小圆的周长记作， ③把分成四条相等的线段，每个小圆的周长，… ④把分成条相等的线段，每个小圆的周长． 分别求出，，； (2)类比探究：仿照（1）的探索过程，当把大圆直径平均分成等分时，以每条线段为直径画小圆，求每个小圆的面积与大圆面积之间的关系． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了圆的周长、面积．正确求出小圆的半径是解题的关键． （1）把分成三条相等的线段，则小圆半径为，每个小圆的周长为；同理，把分成四条相等的线段，每个小圆的周长为；把分成条相等的线段，每个小圆的周长为； （2）由题意知，把大圆直径平均分成等分时，小圆半径为，则每个小圆的面积． 【详解】（1）解：由题意知，把分成三条相等的线段，则小圆半径为， ∴每个小圆的周长为； 把分成四条相等的线段，则小圆半径为， ∴每个小圆的周长为； 把分成条相等的线段，则小圆半径为， ∴每个小圆的周长为； ∴，，； （2）解：由题意知，把大圆直径平均分成等分时，小圆半径为， ∴每个小圆的面积， ∴． 【变式3-1】（2025·江西·模拟预测）火星和地球的赤道可以近似地看作一个圆，其中火星赤道的半径是地球的，若把它们的半径都增加，则赤道周长增加更多的是（　　） A．地球 B．火星 C．一样多 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题的解题关键是认识到圆的周长公式中，周长的增加量仅与半径的增加量有关，而与原始半径的具体大小无关．这意味着，只要两个圆的半径增加相同的量，无论它们原本的半径大小如何，周长的增加量将是一样的． 【详解】解：地球赤道半径增加后的周长增加量为． 火星赤道半径增加后的周长增加量为． 从计算结果来看，无论地球还是火星，只要半径增加相同的量，周长的增加量是相同的，都等于． 故选：C． 【变式3-2】如图，两个同心圆组成的圆环面积是16，则以圆心O为一个顶点，分别以两圆半径为边长作正方形和正方形，点D在OA上，点F在OC上，则图中阴影部分的面积是______．（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查了求出阴影部分面积，设大圆的半径为，小圆半径为，利用圆环面积等于即可求出． 【详解】解： 因为两个同心圆组成的圆环面积是16， ∴， ∴， ∴图中阴影部分的面积=， 故答案为：． 【变式3-3】某校社团实践活动中，有若干个同学参加．先到的个同学均匀围成一个以点为圆心，为半径的圆圈，如图所示（每个同学对应圆周上一个点）． （1）若，则相邻两人间的圆弧长是______．（结果保留） （2）又来了两个同学，先到的同学都沿各自所在半径往后移米，再左右调整位置，使这个同学之间的圆弧长与原来个同学之间的圆弧长相等．这个同学排成圆圈后，又有一个同学要加入队伍，重复前面的操作，则每人须再往后移米，才能使得这个同学之间的圆弧长与原来个同学之间的圆弧长相同，则________________． 【答案】 【分析】本题考查圆的周长和弧长， （1）先计算出圆的周长，再计算出圆的弧长即可； （2）先计算出半径往后移米的圆的周长，求出弧长，根据弧长相等建立等式即可求出a，再计算出b，即可得到答案． 【详解】解：（1）当时，圆的周长为：， ∴相邻两人间的圆弧长是， 故答案为：； （2）又来了两个同学后圆的周长为：， ∴， ∴， 当又有一个同学要加入队伍后，圆的周长为：， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． ▌题型04 根据点与圆的的位置关系确定半径范围 1．弦：连接圆上任意两点的线段。直径是经过圆心的弦，是圆中最长的弦。 2．弧：圆上任意两点间的部分。半圆、优弧（大于半圆）、劣弧（小于半圆）。 3．等弧：在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫等弧，等弧长度一定相等。 4．等圆：半径相等的两个圆叫等圆，周长相等的两个圆是等圆。 【典例4】平面上有及一点P，P到上一点的距离最长为，最短为，则的半径为（     ）． A．4 B．2或4 C．3或2 D．4或3 【答案】B 【分析】根据点P在内或外分类讨论，由最长最短距离与圆直径的关系计算半径即可． 【详解】当点P在外时， ∵ 点P到上点的最长距离为，最短距离为， ∴ 的直径为 ，半径为 ． 当点P在内时， ∵ 点P到上点的最长距离为，最短距离为， ∴的直径为 ，半径为 ． 因此的半径为或． 【变式4-1】（25-26九年级上·山东济宁·期中）已知一个点到圆上的点的最大距离是，最小距离是，则这个圆的半径是（    ）． A． B． C．或 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查点与圆的位置关系，根据点在圆内还是圆外分类讨论是解题关键． 设这个点到圆心距离为，圆的半径为．当这个点在圆外时，其到圆上一点的最小距离为，最大距离为；当这个点在圆内时，其到圆上一点的最小距离为，最大距离为，分别计算出结果即可． 【详解】设圆的半径为 ，点 到圆心 的距离为 ． ∵ 点 到圆上点的最大距离为 ，最小距离为 ． 情况一：点 在圆外时， 有 ，， ∴ 两式相加：，， 代入 ，得 ； 情况二：点 在圆内时， 有 ，， ∴ 两式相加：，． 故选：C． 【变式4-2】（24-25九年级上·浙江宁波·阶段检测）点P到圆心O的距离为6，若点P在圆O外，则圆O的半径r满足（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查对点与圆的位置关系的判断．解题的关键：要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系，若点到圆心的距离为，圆的半径，则时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内，反过来与成立． 【详解】解：∵点到圆心的距离为，点在圆外， ∴，即． 故选：A． 【变式4-3】已知矩形的边，． (1)以点A为圆心、为半径作，求点B，C，D与的位置关系； (2)若以点A为圆心作，使B，C，D三点中至少有一个点在圆内，且至少有一点在圆外，求的半径r的取值范围． 【答案】(1)点B在内，点C在外，点D在上 (2) 【分析】此题考查的知识点是点与圆的位置关系，勾股定理，矩形的性质，解题关键是要注意点与圆的位置关系，要熟悉勾股定理，及点与圆的位置关系． （1）根据勾股定理求出的长，进而得出点B，C，D与的位置关系； （2）利用（1）中所求，即可得出半径r的取值范围． 【详解】（1）解：如图所示，连接， ∵在矩形中，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴点在内， ∵， ∴点在上， ∵， ∴点在外； （2）∵以点A为圆心作，使B，C，D三点中至少有一个点在圆内，且至少有一点在圆外， ∴的半径r的取值范围是． ▌题型05 三角形外心的概念与作图 1．弦：连接圆上任意两点的线段。直径是经过圆心的弦，是圆中最长的弦。 2．弧：圆上任意两点间的部分。半圆、优弧（大于半圆）、劣弧（小于半圆）。 3．等弧：在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫等弧，等弧长度一定相等。 4．等圆：半径相等的两个圆叫等圆，周长相等的两个圆是等圆。 【典例5】（2025九年级上·江苏苏州·专题练习）对于三角形的外心，下列说法正确的是（　　） A．它到三角形三边的距离相等 B．它是三角形三条高的交点 C．它一定在该三角形的内部 D．它到三角形三个顶点的距离相等 【答案】D 【分析】本题考查了三角形外心的定义．根据三角形的外心是三角形外接圆的圆心，到三角形三个顶点的距离相等，它是三角形三条边垂直平分线的交点，据此即可求得答案． 【详解】解：三角形的外心是三角形外接圆的圆心，到三角形三个顶点的距离相等，它是三角形三条边垂直平分线的交点，故A、B错误；D正确；锐角三角形的外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边的中点，钝角三角形的外心在三角形外部，故C错误． 故选：D． 【变式5-1】（2025九年级·全国·专题练习）如图，为锐角三角形ABC的外接圆，有下列结论：①；②若，则；③若，则直线．其中错误的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的外接圆和等腰三角形的性质，熟练掌握相对应的知识点是解答本题的关键． 通过分析每个结论的正确性来判断错误结论的数量即可． 【详解】解：∵为锐角的外接圆， ∴ 当时，，故结论①②正确，不符合题意； 若，则直线，直线不一定垂直于，故结论③错误，符合题意； 故选：B． 【变式5-2】（24-25九年级上·云南保山·期末）已知：不在同一直线上的三点．求作，使它经过点． 作法：如图，（1）连接，作线段的垂直平分线； （2）连接，作线段的垂直平分线，交于点； （3）以为圆心，长为半径作．就是所求作的圆． 根据以上作图过程及所作图形，下列结论中正确的是（   ） A．连接，则点是的内心 B． C．连接，则不是的半径 D．若连接，则点在线段的垂直平分线上 【答案】D 【分析】本题考查作图，三角形的外接圆与外心等知识；根据三角形的外心的定义和性质一一判断即可． 【详解】解：连接， 由作图可知，∵点是，垂直平分线上的焦点， ∴点是的外心， ∴点在线段的垂直平分线上， ∴A错误，D正确， ∵点的位置不确定， ∴的长度不确定，∴B错误； ∵点是的外心，且以为圆心，长为半径作 ∴ ∴是的半径，∴C错误； 故选：D． 【变式5-3】如图，在中，，边上的中线． (1)请用尺规作图法，求作的外接圆（保留作图痕迹，不写作法）； (2)求的外接圆的半径． 【答案】(1) 如图所示，即为所求； (2) 【分析】（ ）作线段的垂直平分线交于点，以为圆心，为半径作即可； （）连接，利用勾股定理求出，设，在中，利用勾股定理构建方程求出即可； 本题考查了作三角形的外接圆，等腰三角形的性质，勾股定理，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接， ∵，是边上的中线， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， ∴， 即的外接圆的半径为． ▌题型06 确定三角形外心的坐标 1．坐标法：外心到三顶点距离相等，设外心(x,y)，列距离方程求解。 2．垂直平分线法：作两条边的垂直平分线，交点即为外心坐标。 3．易错提醒：网格题中先建立坐标系，再利用垂直平分线性质确定圆心。 【典例6】（24-25八年级下·广东中山·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，一条圆弧经过网格点A，B，C，其中点A的坐标为、点B的坐标为、点C的坐标为，那么该圆弧所在的圆心坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查确定圆心的方法，理解圆弧所在圆的圆心是圆弧中任意两条弦的垂直平分线的交点是解题的关键． 由网格容易得出的垂直平分线和的垂直平分线，它们的交点即为圆心． 【详解】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，作弦和的垂直平分线，如图所示， 它们的交点D为该圆弧所在圆的圆心， 由图知，， 该圆弧所在的圆心坐标为， 故答案为：． 【变式6-1】（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，将放在每个小正方形的边长为1的网格中，点均在格点上，若点的坐标为，则的外心坐标是______． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的外心，线段垂直平分线的性质，两点之间距离公式，确定外心的性质是解题的关键． 先根据点坐标建立平面直角坐标系，由外心的性质得到点为与垂直平分线的交点，设，通过两点之间距离公式建立方程求解即可． 【详解】解：∵， ∴建立如图所示平面直角坐标系， 则， 设外心为，连接， ∴点为与垂直平分线的交点， ∴点在直线上，， 设， 由得，， 解得：， ∴， 故答案为：． 【变式6-2】如图，平面直角坐标系中有一个．    (1)利用网格，只用无刻度的直尺作出的外接圆的圆心点O； (2)的外接圆的圆心坐标是 ； (3)该圆圆心到弦的距离为 ； (4)最小覆盖圆的半径为 ． 【答案】(1)见解析 (2) (3) (4) 【分析】本题考查了三角形外心的性质，等腰三角形三线合一，勾股定理，熟练掌握以上知识点并利用数形结合思想是解题的关键． （1）根据三角形外心的性质，分别作与的垂直平分线，两直线相交于点，则点即是的外接圆的圆心； （2）根据（1）所求，可由坐标系直接得到答案； （3）取的中点，连接，根据等腰三角形三线合一可知，利用勾股定理求出即为所求； （4）利用勾股定理求出即可． 【详解】（1）解：分别作与的垂直平分线，两直线相交于点，则点即是的外接圆的圆心，如图即为所求：    （2）解：由（1）可知，点坐标为 故答案为：． （3）解：取的中点，连接，如图，    则 该圆圆心到弦的距离为 故答案为：． （4）解：由图可知，最小覆盖圆的半径为长 如图所示，可知为所求，利用网格    故答案为：． 【变式6-3】如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点，，，在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点为原点建立直角坐标系． (1)过，，三点的圆的圆心坐标为______； (2)请通过计算判断点与的位置关系． 【答案】(1) (2)在圆外 【分析】本题考查了垂径定理推论，勾股定理，平面坐标系中点的坐标，点与圆的位置关系，根据垂径定理得出圆心位置是解答本题的关键． （1）连接，，分别作，的垂直平分线，两直线交于点，就是过，，三点的圆的圆心，由图形可得的坐标； （2）分别求出和的长度进行比较即可作出判断． 【详解】（1）解：如图，连接，，分别作，的垂直平分线，两直线交于点， 是过，，三点的圆的圆心，    ． （2），，， ，， ， 点在的外部． ▌题型07 三角形外接圆半径的计算 1．直角三角形：外接圆直径=斜边，（c为斜边）。 2．等边三角形：外接圆半径（a为边长）。 3．一般三角形：作垂直平分线找外心，利用勾股定理列方程求半径。 【典例7】（25-26九年级上·浙江舟山·阶段检测）在中，两直角边分别为6和8，那么这个三角形的外接圆直径是（    ） A．5 B．4 C．10 D．8 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理，求特殊三角形的外接圆直径． 根据勾股定理可得的斜边长，即为这个三角形的外接圆直径． 【详解】解：∵在中，两直角边分别为6和8， ∴斜边长为 ， ∵的圆周角所对的弦是直径， ∴这个三角形的外接圆直径是． 故选：C． 【变式7-1】（24-25九年级上·江西宜春·阶段检测）在中，，，，则这个三角形的外接圆的直径是（   ） A．8 B． C． D．4 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的外接圆的性质，直角三角形角的性质以及勾股定理．根据所对的直角边等于斜边的一半，然后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴， 根据勾股定理得：， 即， 解得：， ∴这个三角形的外接圆的直径是， 故选：C． 【变式7-2】已知等腰，，请用圆规和直尺作出的外接圆，并计算此外接圆的半径． 【答案】如图，⊙O即为所求； 的外接圆的半径为4 【分析】由三角形的外接圆的圆心是线段垂直平分线的交点，确定圆心，然后作外接圆即可，由等腰三角形的性质可求，证明是等边三角形，然后作答即可． 【详解】解：作的垂直平分线，交点即为的外接圆的圆心，连接，以为圆心，为半径画圆，则即为所求； ∵， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴的外接圆的半径为4． 【点睛】本题考查了作三角形的外接圆，作垂线，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质．熟练掌握三角形的外接圆，作垂线，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质是解题的关键． 【变式7-3】（24-25九年级上·浙江杭州·期中）在如图所示的方格纸中存在，其中，点，，均在格点上． (1)用直尺作出的外接圆圆心； (2)若方格纸中每个小正方形的边长为2，求外接圆半径的长． 【答案】(1) 如图，点即为所求； (2) 【分析】本题考查作图应用与设计作图，三角形的外接圆等知识，解题的关键是理解三角形外接圆的圆心的三边垂直平分线的交点． （1）线段，的垂直平分线的交点即为所求； （2）连接，利用勾股定理求解． 【详解】（1）略 （2）解：连接． ． 故外接圆半径的长为． ▌题型08 点与园上一点的最值问题 1．弦：连接圆上任意两点的线段。直径是经过圆心的弦，是圆中最长的弦。 2．弧：圆上任意两点间的部分。半圆、优弧（大于半圆）、劣弧（小于半圆）。 3．等弧：在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫等弧，等弧长度一定相等。 4．等圆：半径相等的两个圆叫等圆，周长相等的两个圆是等圆。 【典例8】左图是传统的手工磨豆腐设备，根据它的原理设计了右图的机械设备，磨盘半径，把手，点O，M，Q成一直线，用长为的连杆将点Q与动力装置P相连（大小可变），点P在轨道上滑动并带动磨盘绕点O转动，，． 则最大为______；若磨盘转动100周，则点P在轨道上滑动的路径长为 _________． 【答案】 150 18000 【分析】连接，根据题意可得，则，由勾股定理可得，据此求出的最大值和最小值即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴当有最大值时，有最大值，当有最小值时，有最小值， ∴的最大值为，的最小值为； ∴若磨盘转动100周，则点P在轨道上滑动的路径长为． 【变式8-1】（2025·山西临汾·二模）如图，在菱形中，点是边的中点，动点在边上运动，以为折痕将折叠得到，连接．若，，则的最小值是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，一点到圆上一点的距离的最值问题、折叠问题、勾股定理、直角三角形的性质等知识点，确定点F在以E为圆心，为半径的半圆上是解题的关键． 根据中点的定义以及折叠的性质可求得，如图：当D、E、F在同一直线上时，最短，过点E作于点H，依据，，即可得到的长度，进而得出的最小值． 【详解】解：∵点E是边的中点， ∴， ∵以为折痕将折叠得到， ∴， ∴点F在以E为圆心，为半径的半圆上， ∵， ∴当F在上时，有最小值，最小值为； 如图，过点E作交于延长线点H，连接， ∵在边长为4的菱形中，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴ ∴的最小值． 故答案为：． 【变式8-2】（25-26九年级上·浙江宁波·阶段检测）如图，的半径为2，圆心的坐标为，点是上的任意一点，，且与轴分别交于两点，若点、点关于原点对称，则的最大值为（    ） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】C 【分析】本题考查直角三角形斜边上的中线的性质，关于原点对称的点，勾股定理，确定何时有最大值是解题关键．连接，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，即，当取得最大时，有最大值，当点P在的延长线上与交于点P时，最大，即可求出的最大值． 【详解】解：连接，如图： ∵点A、点B关于原点O对称， ∴， ∵， ∴是直角三角形， ∴，即， 当取得最大时，有最大值， ∵点P是上的任意一点， ∴当点P在的延长线上与交于点P时，最大，如图： ∵的半径为2，圆心M的坐标为， ∴， ∴的最大值为14． 故选：C． 【变式8-3】（2026·浙江绍兴·二模）如图，在矩形中，，．点E为的中点，点F为边上的动点，连接，作点A关于的对称点G，连接，则点F从点A运动到点B的过程中，的最大值与最小值之和为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定点G的运动轨迹，再由勾股定理求解即可． 【详解】解：∵点F为边上的动点，连接，作点A关于的对称点G， 则由对称的性质可知，， ∴点G的运动轨迹是以点E为圆心，为半径的一段弧，如图， 当点F与点A重合时，有最大值为， 则由勾股定理， ∴的最大值为10， 当点E，点G，点C三点共线时，有最小值， ∴， ∴， ∴的最小值为， ∴的最大值与最小值之和为． ▌题型09 二次函数与圆的综合问题 1．综合思路：先求二次函数与坐标轴交点，再利用外心性质（到三顶点等距）求解。 2．外心定位：过点A、B、C的外接圆圆心在AB和BC的垂直平分线交点上。 3．易错提醒：四点共圆时，利用圆周角定理和垂直平分线建立方程求解。 【典例9】（2026·浙江宁波·三模）如图，二次函数（其中）的图像与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点，连接，，点为的外心．记的面积为，的面积为，则的值为_____． 【答案】/ 【分析】先求得、，易得，则是等腰直角三角形，即；由三角形外接圆的性质、圆周角定理可得，．易得是等腰直角三角形，如图：过D作于N，过C作于M，证明可得，设，则，，即，解得：；然后用m表示出、，最后代入求值即可． 【详解】解：∵令时， ∴，解得：， ∴， ∴， ∵令时，， ∴，即， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵点D为的外心． ∴，． ∵， ∴是等腰直角三角形， 如图：过D作于N，过C作于M，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，， ∴，解得：， ∴，， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴的面积； ∵过D作于N，， ∴， ∴的面积为， ∴． 【变式9-1】在直角坐标系中，抛物线y=ax2－4ax＋2(a>0)交y轴于点A，点B是点A关于对称轴的对称点，点C是抛物线的顶点，若△ABC的外接圆经过原点O，则a的值为________． 【答案】 【分析】想办法求出抛物线顶点坐标，利用待定系数法即可解决问题； 【详解】连接OB交对称轴于点O′． ∵抛物线的对称轴x=2，A（0，2），A，B关于对称轴对称， ∴B（4，2）， ∵△ABC的外接圆经过原点O， ∴外接圆的圆心是线段OB的中点O′， ∴O′（2，1）， ∴OB==2， ∴O′C=， ∴点C坐标为（2，1-）， ∴1-=4a-8a+2， ∴a=， 故答案为． 【点睛】此题考查三角形的外接圆与外心，二次函数的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 【变式9-2】如图，已知抛物线与x轴正半轴交于点，与y轴交于点，点P是线段上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点C，交直线于点D． (1)求抛物线的函数表达式； (2)在和中，当其中一个三角形的面积是另一个三角形面积的2倍时，求点P的坐标； (3)若的外接圆恰好经过点A，求此时点C的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）用待定系数法求出抛物线解析式即可； （2）先确定出，，再分两种情况解绝对值方程即可； （3）利用四个点在同一个圆上，得出过点，，的外接圆的圆心既是线段的垂直平分线上，也在线段的垂直平分线上，建立方程即可． 【详解】（1）解：抛物线与轴正半轴交于点，与轴交于点， ，， ， 抛物线解析式为； （2），， 设直线解析式为， 则，解得：， 直线解析式为， 设， ，， ， ，， ①当时， ， 即：， 或（舍）或（舍）， ②当时， ， 即：， 或（舍）或（舍）， 即点P的坐标为：或； （3）直线解析式为，，， 线段的中点为， 线段的垂直平分线的解析式为， 过点，，的外接圆恰好经过点， 过点，，的外接圆的圆心既在线段的垂直平分线上，也在线段的垂直平分线上， 是直角三角形， 过点，，，的圆心是的中点， ， ， ，， 点在直线的垂直平分线上， ， （舍）或， 此时点C的坐标为． 【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，绝对值方程，四点共圆的特点，解本题的关键是，． 【变式9-3】如图1，已知抛物线经过原点，它的对称轴是直线，动点从抛物线的顶点出发，在对称轴上以每秒1个单位的速度向上运动，设动点运动的时间为秒，连接并延长交抛物线于点，连接，． (1)求抛物线的函数解析式； (2)当为直角三角形时，求的值； (3)如图2，为的外接圆，在点的运动过程中，点也随之运动变化，请你探究：在时，求点经过的路径长度． 【答案】(1)； (2)当为直角三角形时，的值为1或2或5； (3)经过的路径长度为 【分析】（1）待定系数法求解析式即可； （2）分分别为直角，三种情况讨论，利用勾股定理进行求解即可； （3）根据为的外接圆，可知，点在线段的中垂线上，当时，点的运动路径是在线段中垂线上的一条线段，分别求出当、和时，点的坐标，然后利用两点间的距离公式，进行求解即可． 【详解】（1）解：抛物线经过原点，且对称轴是直线， ，， 则、， 抛物线解析式为； （2）解：设点， ， 点， 则、、， ①若，则， 解得（舍或， ， 则直线解析式为， 当时，，即， ； ②若，则， 解得（舍或， ， 则直线解析式为， 当时，，即， ； ③若，则， 整理，得：， ， ， ， ， 则或（舍， ， 直线解析式为， 当时，，即， ； 综上，当为直角三角形时，的值为1或2或5． （3）为的外接圆， 点在线段的中垂线上， 当时，点的运动路径是在线段中垂线上的一条线段， 当时，如图1， 由（2）知， 此时的外接圆圆心是的中点， ， ； 当时，如图2， 由（2）知，， 此时的外接圆圆心是的中点， 、， ； 当时，如图3， 由（2）知，， 此时的外接圆圆心是的中点， ， ； 则点经过的路径长度为． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用．正确的求出函数解析式，利用二次函数的性质，以及数形结合，分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．本题的综合性强，属于中考压轴题． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $