考点07 相似三角形 （4考点+9题型+能力强化）（专项训练）数学新教材沪教版五四制九年级上册

**基本信息** 以“概念-判定-性质-模型-综合”为逻辑链，系统整合相似三角形核心方法，提炼9类中考题型解题策略，强化模型识别与推理应用。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念与判定|多典例+变式|对应顶点顺序规范、AA判定优先、SAS夹角验证|从定义出发，通过五大判定定理构建相似判定体系，突出公共角等找角技巧| |性质与计算|多典例+变式|相似比与面积比转化、三点定型法|以相似比为核心，关联线性量与整体量性质，形成比例式证明通法| |模型应用|5大模型+多题型|A/X型比例计算、一线三等角K型相似|从基础模型到综合应用，结合网格、内接图形等场景，培养几何直观| |综合压轴|动点+存在性+旋转|分类讨论对应关系、动态线段表示|整合相似与函数、几何变换，提升推理能力与模型意识，适配中考压轴考法|

考点07 相似三角形 考点一：相似三角形基本概念 1. 定义 若两个三角形的三组对应角相等、三组对应边成比例，则两三角形相似，记作：。 应试硬性规范：相似符号书写时，对应顶点必须严格按顺序排列，直接决定对应边、对应角，是避免解题出错、规范答题的核心前提。 2. 相似比 相似三角形对应边的比值为相似比。若，相似比；反向相似，相似比为。 3. 传递性 若两个三角形均与第三个三角形相似，则这两个三角形互相相似。 考点二：相似三角形五大判定定理（考试核心） 1. 平行线预备定理（模型源头） 平行于三角形一边的直线，截三角形另外两边（或两边延长线），所得新三角形与原三角形相似。 几何语言：（A字型、X字型模型核心依据） 2. AA两角对应相等（性价比最高、最常用） 两个角对应相等的两个三角形相似。 快速找角思路：优先锁定公共角、对顶角、平行线同位角/内错角、同角余角/补角、三角形外角。无需计算边长，是考场首选判定方法。 3. SAS两边成比例且夹角相等（高频陷阱） 两组对应边成比例，且两边的夹角对应相等，三角形相似。 ⚠️致命易错：必须是夹角，非夹角相等无法判定相似，坚决规避SSA判定误区。 4. SSS三边对应成比例 三组对应边比值全部相等，两三角形相似，主要用于网格格点三角形判定题型。 5. 直角三角形专属判定（类比HL） 两个直角三角形，若斜边与一条直角边对应成比例，则两直角三角形相似。 考点三：相似三角形核心性质（计算题型必考） 设两相似三角形的相似比为，所有性质统一规律如下： 1. 基础性质：对应角相等，对应边成比例； 2. 线性量性质：对应高、对应中线、对应角平分线的比值，均等于相似比； 3. 整体量性质：周长比，面积比。 ⚠️考场顶级易错：由面积比求相似比必须开平方，由相似比求面积比必须平方，严禁直接混用。 考点四：上海中考/一模五大必考相似几何模型 模型一：A字型 & 反A（斜A）型 正A字型（平行型）：由平行线生成，，得，多用于基础线段比例计算。 如图一 斜A字型（共边共角型）：无平行线，依托公共角构造相似。条件：、为公共角，可证。 如图二 如图三 模型二：8字型（X型）& 斜8字型（蝴蝶型） 正8字型（平行型）：，结合对顶角相等，证； 条件：CD∥AB, 结论：ΔPAB∼ΔPCD(上下相似); 左右不一定相似,不一定全等，但面积相等; 四边形ABCD为一般梯形. 条件：CD∥AB,PD=PC. 结论：ΔPAB∼ΔPCD∼ΔPDC(上下相似) ΔPAD≌ΔPBC左右全等； 四边形ABCD为等腰梯形； 斜8字型（蝴蝶型）：无平行线，一组对角相等+对顶角相等，即可证相似，多用于角度推导与比例证明。 条件：∠CDP=∠BAP. 结论：ΔAPB∼ΔDPC(上下相似); ΔAPD∼ΔBPC(左右相似); 模型三：一线三等角（K型相似，压轴核心） 模型特征：同一直线上存在三个大小相等的角（常见、、）。 特殊形式：一线三垂直模型，广泛应用于正方形、矩形、平面直角坐标系动点压轴题。 模型四：三角形内接矩形/正方形模型 在三角形内部作矩形或正方形，图形上下结构天然形成A字型相似。核心思路：利用相似比例建立方程，求解边长、周长、面积，是期末统考高频计算题。 三角形内接正方形 三角形内接矩形 在∆ABC中，若水平底边BC=x，对应高AN=y 在正方形GFED中，边长为a，则， 在矩形GFED中，竖直边长为ma，水平边长为na，则 题型一：相似判定辨析（选择题必考） 1. 优先判角：找到两组等角，直接AA判定，最快最稳； 2. 比例判形：用SAS判定必须核验夹角相等，杜绝SSA错误； 3. 排除法：不确定结论时，通过举反例快速排除错误选项。 【典例1】（25-26九年级上·上海崇明·期末）在和中，，根据下列条件，一定能判断和相似的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】如图，在四边形中，已知，那么补充下列条件后不能判定和相似的是（    ） A．平分 B． C． D． 【变式1-2】（25-26九年级上·上海静安·期末）已知在中，点、分别在边、上，那么下列条件中能判定与相似的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2026·上海长宁·一模）在三角形纸片中，，那么按图中数据沿虚线剪下的阴影部分三角形与相似的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-4】（25-26九年级上·上海宝山·期末）关于等腰三角形相似的判定，某同学提出如下猜想，下列说法中正确的是（    ） ①两腰及一腰上的高对应成比例的两个等腰三角形相似； ②底边和底边上的高对应成比例的两个等腰三角形相似． A．①错误②正确 B．①正确②错误 C．①②均正确 D．①②均错误 题型二：平行线模型线段计算（基础压轴） 考法：依托A字型、8字型平行模型，求线段长、线段比值、分割比例。 标准解题步骤： 1. 由平行线条件锁定相似三角形； 2. 按顶点对应顺序列出正确比例式； 3. 代入已知线段长度，解方程求未知量。 关键提醒：注意线段延长形成的外A字、外8字模型，切勿遗漏延长线段长度。 【典例2-1】（25-26九年级上·上海普陀·期末）如图，中，、分别平分、，点M、N分别在边、上．过点O的线段．如果，，，那么___________． 【典例2-2】（25-26九年级上·上海青浦·期中）如图，在中，四边形为内接正方形，那么为______． 【典例2-3】（2026·上海·三模）如图，在平行四边形 中，对角线交于点O，点G在边 上，连接交 于点F，若 (1)求证：； (2)若，，求证：四边形是菱形． 【变式2-1】（2026·上海闵行·一模）如图①中小狗手影是一种常见的游戏，它利用的原理是：光是沿直线传播的．如图②我们把光源看成一个点，手面看成平行于墙面的一条线段．在一次游戏中，手距离墙壁3米，光源与手的距离为1米．在手的位置不变的情况下，如果光源与手的距离增加1米，那么小狗手影的高度变为原来的___________（填“几分之几”）． 【变式2-2】（2026·上海徐汇·一模）在数学活动课上，需要用三角形纸片裁剪出一张正方形纸片．如图，现有三角形纸片，已知.裁剪出的正方形的一个顶点是直角顶点，其余三个顶点、、分别在边、、上，那么正方形的边长是__________． 【变式2-3】（25-26九年级上·上海青浦·期中）如图，已知相交于点 E，， 且，连接． (1)求线段的长； (2)如果，求线段的长． 【变式2-4】（2026·上海黄浦·一模）如图，在中，，是的中位线，是线段上一点，连接并延长交的延长线于点． (1)如果，求证：； (2)过点作交于点，连接并延长交的延长线于点，再连接，求证：． 【变式2-5】（2026·上海金山·一模）某数学学习小组成员对“重差”开展了深入探究． 重差汉代天文学家测量太阳的高和远的方法．最早见于《周髀算经》．刘徽《九章算术注》序说：“凡望极高、测绝深而兼知其远者必用重差，勾股则必以重差为率，故曰重差也．”如图1，“日去地”减去表高与表高之比或“南戴日下”与南影之比，等于两表到“日下”距离之差与两表影长差之比．后者是两个差数，故有“重差”的称谓．下面作简要介绍． 如图1，为了测量海岛的高度，设为岛的顶点，过点的铅垂线与地面的交点为，则岛的高度即为．接下来要进行两次操作，第一次把一根木杆（算经中称之为“表”，下文称为“测量杆”）竖直立在地面上距离点较近的点处，从点处透过测量杆的上端望岛顶的连线（把它叫做测量线）延长后交地面于点．第二次，把测量杆竖直立在距离点较远的点处三点在一条直线上），同样地，从点处透过测量杆的上端望岛顶（即测量线）的连线延长后交地面于点．连接并延长交于点． 求证：①或②． 学习小组的成员经探究后都认为：要想证明①和②都成立，只需证明和①或②成立．大家分别提出了自己的分析或证明思路． 小海同学：针对问题及求证结论的数学结构特征自然想到应用三角形一边的平行线、合比性质、等比性质有关知识加以解决； 小明同学：锐角三角比是沟通边角关系的一座桥梁，记； 欢欢同学：利用相似三角形的性质； 乐乐同学：过点作的平行线．．．．．．； 请根据同学们提出的分析或思路完成（1）和（2）． (1)求证：； (2)求证：①； (3)在课本阅读材料二《漫谈“出入相补原理”》中，如图2，设是矩形的对角线上任意一点，过点分别作一组邻边的平行线，直线分别与边交于点，直线分别与边交于点，那么矩形的面积等于矩形的面积．说理如下：如果把图形看作由移置到处，同时、各移到、，那么依据出入相补原理，得（指面积相等）．请利用这个结论证明①成立． 题型三：等积式、比例式证明（大题核心） 万能方法：三点定型法（考场通用） 固定流程：等积式变形为比例式 → 三点定型锁定两个目标三角形 → 证相似 → 回代得结论。 示例：求证，先化为，锁定与，证明两三角形相似即可。 补位技巧：若无对应三角形，采用等线段代换、中间比传递间接证明。 【典例3-1】（2026·上海闵行·一模）如图，线段相交于点，点是线段的中点，连接，分别延长交于点．已知，且． (1)求证：； (2)如果平分，求证：． 【典例3-2】（25-26九年级上·上海崇明·期末）如图，在中，点、分别在边、上，，与交于点，且． (1)求证：； (2)如果，求证：． 【典例3-3】（2025·上海杨浦·一模）已知：如图，中，，点是边上一点，过点作交延长线于点． (1)求证：； (2)求证：． 【变式3-1】（25-26九年级上·上海普陀·期末）已知：如图，四边形中，点E在边上，交于点F，，． (1)求证：； (2)如果，求证：． 【变式3-2】（25-26九年级上·上海浦东新·期末）如图，在中，，，垂足为点，点是边上一点，，垂足为点，交于点． (1)如果平分，求证：； (2)如果，求证：． 【变式3-3】（25-26九年级上·上海宝山·期末）如图，在菱形中，是上一点，联结并延长交的延长线于点，交于点． (1)求证：； (2)若是的中点，且，求证：． 【变式3-4】（2025·上海杨浦·一模）在正方形中，E为正方形内一点，且，延长交于F，延长交于P． (1)求证： (2)求证： 题型四：周长、面积比例计算（填空高频） 核心公式牢记：相似比、周长比、面积比。 解题逻辑：面积比相似比，相似比面积比，所有比例计算严格遵循该逻辑。 【典例4-1】（2026·上海闵行·一模）如果两个相似三角形的面积之比为，那么它们的周长之比是___________． 【典例4-2】（2026·上海闵行·一模）如图，在中，点分别是的中点，连接交于点，交于点，那么___________． 【变式4-1】（25-26九年级上·上海静安·期末）已知一个三角形三边之比为，与它相似的另一个三角形最短边的长为，那么另一个三角形的周长为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2026·上海黄浦·一模）已知与相似，相似比为，如果的面积是36，那么的面积是________． 【变式4-3】（25-26九年级上·上海崇明·期末）如图，点是的重心，点是边的中点，交于点，交于点，则的比值为__________． 【变式4-4】（24-25九年级上·上海·期中）如图，在中，点D在边上，点F、E在边上，且 ，． (1)求证：； (2)如果，，求的值． 题型五：网格三角形相似判定 1. 借助网格，用勾股定理求出三角形三边长； 2. 计算三边对应比值，通过SSS判定相似； 3. 主动分类讨论，网格题多存在多组相似解。 【典例5-1】（23-24九年级上·上海普陀·期中）如图，是正方形网格中的格点三角形（顶点在格点上），点都是格点，下列三角形中与相似的是（    ）    A．以点为顶点的三角形 B．以点为顶点的三角形 C．以点为顶点的三角形 D．以点为顶点的三角形 【典例5-2】（23-24九年级上·上海长宁·期中）在每个小正方形的边长都为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都是格点的三角形称为格点三角形．如图，已知是的网格图形中的格点三角形，则该图中所有与相似的格点三角形中，最大的三角形面积是______．    【变式5-1】（23-24九年级上·上海金山·期末）如图在的方格中，每一个小正方形的顶点叫做格点，以其中三个格点为顶点的三角形称为格点三角形，△ABC就是一个格点三角形，现从的三个顶点中选取两个格点，再从余下的格点中选取一个格点联结成格点三角形，其中与相似的有(   ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式5-2】（2026·上海长宁·一模）如图，在由大小相同的小正方形组成的网格图中，连接格点的线段交网格线于两点，那么___________． 【变式5-3】（25-26九年级上·上海浦东新·期中）数学上把在平面直角坐标系中横纵坐标均为整数的点称为格点（）或整点．坐标平面内顶点为格点的三角形称为格点三角形．如图，点、、、都是格点，是一个格点三角形，且点的坐标是，若点、、、分别都和点、连接，且连接后构成的格点三角形和相似，则这个点的坐标是______． 题型六：一线三等角模型综合计算（期末重难点） 识别口诀：直线上三角等，必出相似形。 固定解题流程： 1. 利用互余、外角性质，推导两组对应等角； 2. 判定K型相似三角形； 3. 列比例方程，求解边长、参数。 【典例6-1】（25-26九年级上·上海·阶段检测）【模型构建】如图1，已知，如果，那么，我们把这种图形叫做“一线三等角”． 【探究应用】如图2，在梯形中，，，，点E在边上，，P、Q分别是边的中点．如果，且，那么的长为________． 【典例6-2】（25-26九年级上·上海虹口·阶段检测）如图，在四边形中，点E是边的中点，． (1)求证：； (2)设点F是的中点，连接、，记与、分别交于点P、Q．求证：． 【变式6-1】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，点D，E在的边上，点F在边上，连接，，，且，，， (1)求证：； (2)若， 时，求的长． 【变式6-2】（25-26九年级上·上海浦东新·期中）（1）如图1，在中，，，D是边上一点，，F是边上一点，．求的长； （2）如图2，在四边形中，点D是边的中点，，若，，求线段的长． （3）在中，，，以A为直角顶点作等腰直角三角形，点D在上，点E在上．若，，求y关于x的函数解析式及定义域． 【变式6-3】（25-26九年级上·上海·期中）在矩形中，，，点是边上一动点，交边于点，点在射线上，且是和的比例中项． (1)求证：； (2)如图1，当点在线段上时，设，，求关于的函数解析式，并写出的取值范围； (3)如图2，连接，交于点，如果与相似，求的长． 题型七：相似存在性分类讨论（压轴必考） 典型设问：线段上是否存在点，使两个三角形相似。 满分解题步骤： 1. 先找固定不变的等角（公共角、直角为主）； 2. 分两组对应关系分类讨论（唯一固定角，两种对应方式）； 3. 分别列比例式计算参数； 4. 检验解的合理性，舍去线段外、不符合题意的解。 ⚠️主要丢分点：漏分类、顶点对应混乱、不检验取值范围。 【典例7】（25-26九年级上·上海虹口·期中）如图1，在平面直角坐标系中，点O是原点，直线分别交x轴、y轴于点，点C在直线上，且． (1)求的长； (2)如图2，已知点P在线段上，过点P作x轴的垂线，交x轴于点E，交于点F，连接，． ①如果直线的表达式为，求t的值； ②延长交x轴于点D，连接，若在射线上有一点G，使得以C、B、G为顶点的三角形与相似，求点G的坐标． 【变式7-1】（25-26九年级上·上海·期中）已知一次函数的图象交轴于点，交反比例函数的图象于点、． (1)求反比例函数的表达式； (2)将一次函数的图象向下平移个单位长度所得的图象交轴于点，连接、，当时，求的值； (3)在（2）的条件下，在轴是否存在点，使得以，，为顶点的三角形与相似，若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【变式7-2】（25-26九年级上·上海·阶段检测）如图，已知等腰中，，，与轴交于点，， (1)求点B的坐标 (2)求的长 (3)探究：在x轴上是否存在点P，使以A，D，P为顶点的三角形与相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式7-3】（25-26九年级上·上海浦东新·期中）在平面直角坐标系中（如图），已知直线：交轴于点，交轴于点，点在轴正半轴上且，点在线段上，且，过点作的垂线，交的延长线于点，连接． (1)求直线的函数解析式； (2)求点的坐标； (3)如果点是直线上的动点，连接，当与相似时，求点坐标． 题型八：动点+相似综合压轴（一模核心） 解题核心策略： 1. 设运动时间，用含的代数式表示所有动态线段； 2. 抓不变量：锁定固定角度，匹配A字、一线三等角等经典模型； 3. 根据相似比例列方程，求解参数； 4. 结合动点运动区间，检验结果合规性。 【典例8-1】（25-26九年级上·上海崇明·期末）定义：当一个三角形有两个内角的差为时，这个三角形叫做“差直角三角形”．如图，在中，，点是边上的一动点（且），若是“差直角三角形”，则的长为__________． 【典例8-2】（25-26九年级上·上海徐汇·期中）如图1，在梯形中，，，点在上，满足，又，． (1)求证：； (2)如图2，若点是线段上的动点且与点不重合，连接并延长交的延长线于点，设，求与之间的函数关系式，并写出定义域； (3)若点是线段上的动点且与点不重合，连接交于点，当是等腰三角形时，求的长度． 【变式8-1】（25-26九年级上·上海嘉定·期中）如图，在等腰直角中，，，点为射线上一动点，以为腰且在的右侧作等腰直角，，射线与射线交于点，连接．若，则的长为________． 【变式8-2】（23-24九年级上·上海金山·阶段检测）如图，已知中，，是边的中点，是边上一动点，与相交于点． (1)如果，，且为的中点，求线段的长； (2)连接，如果，且，，求的值； (3)连接，如果，且，，求线段的长． 【变式8-3】（24-25九年级上·上海宝山·阶段检测）已知中，，E是射线上一点，直线、交于点P，过点P作，交直线于点Q． (1)当点E是中点时（如图），求线段的长度； (2)当点E在线段上运动时，设，，求y关于x的函数解析式； (3)当的长度为多少时，． 题型九：翻折、旋转+相似综合压轴（一模中考核心） 【典例9-1】（2026·上海闵行·一模）如图，矩形中，连接，点是的中点，过点作交于点，将沿直线翻折，点落在平面内点处，如果点恰在上，那么的值是___________． 【典例9-2】（25-26九年级上·上海杨浦·期末）如图，平行四边形中，，，过点D作，垂足为点E，将绕点E旋转得到，点A的对应点F落在边上，点D的对应点G落在边上，连接与交于点H，那么的值______． 【变式9-1】（2025·上海杨浦·一模）在平行四边形中，是锐角，将沿直线翻折至直线上，点的对应点分别是，且，直线与直线交于点G，，则__________． 【变式9-2】（25-26九年级上·上海普陀·期末）如图，中，，，，点D在边上，将沿着翻折得，其中点A与点对应，连接，如果，那么___________． 【变式9-3】（2025·上海嘉定·一模）如图，中，已知，将绕点逆时针旋转得到，点的对应点分别为，连接．如果直线垂直于，连接，那么此时的面积是___________．    【变式9-4】（25-26九年级上·上海·阶段检测）（）如图1，正方形的边长为，点为边的中点，连接，将绕点顺时针旋转至，连接交于点，爱思考的小王同学做了这样的辅助线，过点作，交于点……，请沿着小王同学的思路思考下去，则的值为__________； （）如图，菱形的边长为，，连接，点为边上一点，连接，将绕点顺时针旋转至，连接交于点，若，求的值； （）如图，在四边形中，，点为边上一点，将绕点顺时针旋转至，连接交于点，，求的长． 一、单选题 1．（25-26九年级上·上海宝山·期末）我国古书《墨经》中记载了世界上最早的“小孔成像”的现象．墨子曾进行如下实验：在暗室的墙上开一个小孔，一人立于墙前，当阳光照射时，屋内对面墙壁上会呈现一个倒立的人像．已知初始状态下，小孔O到人的距离、小孔O到所成像的距离均为6米，要使像的长度变为原来的倍，下列操作正确的是（   ） A．人向暗室后退2米 B．人向暗室前进2米 C．人向暗室后退4米 D．人向暗室前进4米 2．（25-26九年级上·上海杨浦·期末）如图，已知在中，点D、E分别在边、上，，，下列结论中错误的是（    ）    A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·上海奉贤·期末）如图，四边形和四边形是两个全等的矩形，是边的中点，连接．如果，那么的值为（   ） A．1 B． C． D． 4．（2026·上海金山·一模）在等边中，点分别在边上，将沿折叠，使得点与的重心重合，与交于点，延长交于点，那么的值为（    ） A． B． C． D．1 5．（25-26九年级上·上海闵行·阶段检测）如图，点是边长为1的正方形的对角线上的动点，过点分别作于点，于点，连接并延长，交射线于点，交射线于点，连接交于点，当点在上运动时（不包括，两点），以下结论中：①；②；③；④的最小值是．其中正确结论是（   ） A．①③ B．②③ C．③④ D．①④ 二、填空题 6．（2026·上海长宁·一模）如图，在中，，，分别是边上的点，满足，若为的中点，且，那么的值为___________． 7．（2026·上海闵行·一模）在中，点分别是的黄金分割点，且，，那么的长是______（结果保留根号）． 8．（24-25九年级上·上海虹口·期中）在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．如图，是格点三角形，在图中的正方形网格中作出格点三角形（不含），使得（同一位置的格点三角形只算一个），这样的格点三角形一共有________个． 9．（25-26九年级上·上海虹口·阶段检测）如图，在中，，，矩形的顶点E、F分别在、边上，在边上，连接，如果，那么与的周长比是______． 10．（25-26九年级上·上海金山·周测）如图，已知点D、E分别在线段和上，点F是与的交点，，如果，，，那么的长等于______． 11．（25-26九年级上·上海浦东新·阶段检测）如图，是的角平分线，交于点E，若的重心G在上，则的值是____________．    12．（25-26九年级上·上海奉贤·期末）如图，矩形的面积为18，对角线、交于点．如果E、F、G、H分别是，，，的重心，那么四边形的面积是_______． 13．（25-26九年级上·上海·阶段检测）定义：在同一平面内，如果两条线段所在直线形成的夹角是，且这两条线段相等，则称其中一条线段是另一条线段的双关联线段，也称这两条线段互为双关联线段．如图，在中，点D、E分别在边、上，于D，与相交于点若边是边的双关联线段，且，则_________． 14．（25-26九年级上·上海·阶段检测）如图，等腰中，，，为的中点，将一块三角板的角顶点放在点处，让三角板的两边分别交两腰于点，，那么___________． 三、解答题 15．（2026·上海松江·一模）如图，在梯形中，，，是边上一点，与交于点，如果平分，且． (1)求证：； (2)求证：． 16．（2026·上海徐汇·一模）如图，在梯形中，，分别交对角线、底边于点、，且． (1)求证：； (2)点在底边上，，，连接，如果与的面积相等，求的长． 17．（25-26九年级上·上海青浦·期末）如图，在中，点在边上，、的延长线交于点，连接，已知． (1)求证：； (2)求证：． 18．（2026·上海长宁·一模）已知，如图，在四边形中，，，，．其中． (1)求证：． (2)如果，求证：． 19．（25-26九年级上·上海静安·期末）如图，边长为的正方形中，对角线、相交于点，点、分别在边、上，交线段于点，，交于点． (1)求证：； (2)当等于时，求的值． 20．（25-26九年级上·上海奉贤·期末）如图，在中，点D、E分别在边上，相交于点，且，． (1)求证：； (2)连接．如果，求证：． 21．（25-26九年级上·上海宝山·阶段检测）如图，在与中，，，，过点作，垂足为点，延长、交于点，联结． (1)求证：； (2)设，，求关于的函数关系式及其定义域； (3)当与相似时，求边的长． 22．（25-26九年级上·上海·阶段检测）我们通常学习的几何证明，遵循的是《几何原本》所奠定的公理化体系，即从基本公设和定义出发，依靠逻辑推理来证明命题和解决问题．例如“如图1所示，在矩形中，点O为对角线上的一点，过点O分别作．求证：．” 对于这个问题，我们通常做法是根据，得出，再由得，进而得到． 我国古代数学没有形成这样的公理化体系，而是更强调机械化的程序算法，并形成了风格独特的另一套几何体系．他们如何解决上述问题呢？数学家杨辉在《详解九章算法》中给出了这样的一种解法：如果把图形看作由将移置到处，同时将分别移置到处，那么便可得到，再由矩形面积公式得．这种方法称为“出入相补原理”，它指明了这样一个事实：一个平面图形从一处移置他处，面积不变；如果把图形分割成若干块，那么各部分面积的和等于原来图形的面积． (1)魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》载有测海岛的高度的问题：如图2，点E，H，G在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，称为“表距”，和都称为“表目距”，与的差称为“表目距的差”．若表高、表距、表目距的差，那么海岛的高度___________；（用含h、l、s的式子表示） (2)如何用“出入相补原理”求（1）中的海岛高度呢？欢欢同学构造了如图3所示的矩形，请借助以及，求（1）中的海岛高度； (3)如图4为某条小河的局部俯视图，沿河两侧相互平行的护栏上均匀分布着石墩扶手，扶手A与对岸扶手B的连线与护栏沿线垂直．由于小河上没有桥，故无法直接测量河宽．现提供足够长的卷尺和直角三角板，请你设计方案测量小河宽度，测量出你认为必要的数据（数据可以用字母表示），并用含有这些字母的代数式表示小河宽度． 23．（25-26九年级上·上海静安·期末）在中，，已知射线在内部，射线与射线在边的两侧，，点、分别在射线、上，． (1)如图，连接、，求证：． (2)如果平分，线段与边的公共点为，，，，求关于的函数解析式，并写出定义域； (3)如果，垂足为点，且，，，求的长． 24．（2025·上海奉贤·二模）定义：如果一个三角形的三个顶点分别在另一个三角形的三边上，且这两个三角形相似，那么我们把这个三角形称为另一个三角形的镶嵌相似形：已知中，点P、D、E分别在，，上，连接，，． (1)如图1，P是中点，，时，求证：是的镶嵌相似形； (2)如图2，当，，是的镶嵌相似形，．求的值； (3)如图3，如果，，，是的镶嵌相似形，且与不平行，求的长． 25．（25-26九年级上·上海松江·期中）如图，已知中，D是边的中点，E是边上一点，，，连接交于点 (1)求的值； (2)如图2，若，，求的长； (3)若，且是等腰三角形，求的长． 26．（25-26九年级上·上海青浦·期末）中，已知，平分． (1)如图1，如果，，求的长； (2)如图2，过点作的垂线，与边的延长线交于点． ①试猜想线段与边的数量关系，并证明； ②在线段上截取，连接，当时，探究是否存在实数，使得成立？如果存在，请求出的值；如果不存在，请说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 考点07相似三角形 三角等、三边比例相等→相似 定义与规范 书写：顶点顺序必须对应 相似比k,反向比不，具有传递性 ①平行线→相似(A/X型) ②AA两角相等（万能首选） 判定定理（优先级） ③SAS:两边成比例+夹角相等（忌SSA) ④SSS:三边成比例（网格专用） ⑤Rt△：斜边+一直角边成比例 对应角等、对应边比例 线段比（高/中线/角分线）=k 核心性质 周长比-k,面积比=” 速记：面积开方得相似比，相似比平方得面积比 相似三角形 正A:平行出相似 A字/反A字 反A:非平行 反A:非平行母子型 五大必考模型 正8：平行+对顶角相似 (秒杀核心) 8字/蝴蝶型 斜8：等角+对顶角相似 一线三等角(K型) 内接矩形正方形 考点查缺 精准补漏 考点一：相似三角形基本概念 1.定义 1/126 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 若两个三角形的三组对应角相等、三组对应边成比例，则两三角形相似，记作：△ABC一△DEF。 应试硬性规范：相似符号书写时，对应顶点必须严格按顺序排列，直接决定对应边、对应角，是避免 解题出错、规范答题的核心前提。 2.相似比 相似三角形对应边的比值为相似比。若△ABC一△DEF,相似比k=A E ；反向相似△一△ABC 相位假5为是 3.传递性 若两个三角形均与第三个三角形相似，则这两个三角形互相相似。 考点二：相似三角形五大判定定理（考试核心） 1.平行线预备定理（模型源头】 平行于三角形一边的直线，截三角形另外两边（或两边延长线），所得新三角形与原三角形相似。 几何语言：DE‖BC一△ADE一△ABC(A字型、X字型模型核心依据) 2.AA两角对应相等（性价比最高、最常用） 两个角对应相等的两个三角形相似。 快速找角思路：优先锁定公共角、对顶角、平行线同位角内错角、同角余角补角、三角形外角。无 需计算边长，是考场首选判定方法。 3.SAS两边成比例且夹角相等（高频陷阱） 两组对应边成比例，且两边的夹角对应相等，三角形相似。 △致命易错：必须是夹角，非夹角相等无法判定相似，坚决规避SSA判定误区。 4.SSS三边对应成比例 三组对应边比值全部相等，两三角形相似，主要用于网格格点三角形判定题型。 5.直角三角形专属判定（类比HL) 两个直角三角形，若斜边与一条直角边对应成比例，则两直角三角形相似。 考点三：相似三角形核心性质（计算题型必考） 设两相似三角形的相似比为k,所有性质统一规律如下： 1.基础性质：对应角相等，对应边成比例 2.线性量性质：对应高、对应中线、对应角平分线的比值，均等于相似比k; 3.整体量性质：=k=k周长比，面积比。 2/126 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 △考场顶级易错：由面积比求相似比必须开平方，由相似比求面积比必须平方，严禁直接混用。 考点四：上海中考一模五大必考相似几何模型 模型一：A字型&反A(斜A)型 正A字型（平行型）：由平行线生成，DE‖BC,得△ADE一△ABC,多用于基础线段比例计算。 如图一 模型一：平行A字型 如图一，在A4BC中，DE7/BC台AD=AE_DE AB AC BC 斜A字型（共边共角型）：无平行线，依托公共角构造相似。条件：∠ACD=∠B、∠A为公共角，可 证△ADE~△ABC。 如图二 模型二：非平行A字型（也称为反A字型） 如图二，在△ABC中，∠AED=∠C台 AD AE DE AB AC BC 如图三 3/126 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 模型三：非平行A字型（也称为母子型）》 ①D=ABDB 如图三，在△ABC中，∠ABD=∠C台 AB AC BC (2)AB2=AD.AC 模型二：8字型(X型)&斜8字型（蝴蝶型） 正8字型（平行型）：ABCD,结合对顶角相等，证△APB一△CPD; 0 D 0 条件：CDI AB, 结论：△PAB~△PCD上下相以； 左右不一定相似，不一定全等，但面积相等： 四边形ABCD为—般梯形. D 条件：CDIIAB,PD=PC 结论：△PAB~△PCD△PDC(上下相似) △PAD≌APBC左右全等： 四边形ABCD为等腰梯形： 斜8字型（蝴蝶型）：无平行线，一组对角相等+对顶角相等，即可证相似，多用于角度推导与比例证明。 4/126 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 条件：∠CDP=∠BAP 结论：△APB~△DPC上下相以)： △APD△BPC(左右相似)： 模型三：一线三等角(K型相似，压轴核心) 模型特征：同一直线上存在三个大小相等的角（常见90°、60°、45）。 特殊形式：一线三垂直模型，广泛应用于正方形、矩形、平面直角坐标系动点压轴题。 D 模型四：三角形内接矩形正方形模型 在三角形内部作矩形或正方形，图形上下结构天然形成A字型相似。核心思路：利用相似比例建立方程 求解边长、周长、面积，是期末统考高频计算题。 G G M D 三角形内接正方形 三角形内接矩形 在△ABC中，若水平底边BC=x,对应高ANy 5/126 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 a=x 在正方形GFED中，边长为a,则 x+y, 在矩形GED中，竖直边长为m,水平边长为m,则a= x+y 题型突破 遥法楼冻 题型一：相似判定辨析（选择题必考） 点方法 1.优先判角： 找到两组等角，直接AA判定，最快最稳； 2.比例判形：用SAS判定必须核验夹角相等，杜绝SSA错误， 3.排除法：不确定结论时，通过举反例快速排除错误选项。 【典例1】(25-26九年级上上海崇明期未)在△ABC和aDEF中，AB=AC,DE=DF,根据下列条件， 一定能判断△ABC和△DEF相似的是() AB AC AB AC A. B DE DE DE EF C.∠B=D D.∠C=LE 【答案】D 【详解】解：已知△ABC中AB=AC,故∠B=∠C:△DEF中DE=DF,故∠E=∠F. AB AC A选项： DE DF,因AB=AC、DE=DF,该比例恒成立，但仅两边成比例且无夹角相等，无法判定 相似，故A错误： AB AC B选项：DEEF,由AB=AC可得DE=EF,结合DE=DF仅能说明ADEF为等边三角形，无法推出 △ABC与△DEF相似，故B错误； C选项：∠B=∠D,∠B是△ABC的底角，∠D是△DEF的顶角，无法推出两组角对应相等，故C错误： D选项：∠C=∠E,结合等腰三角形性质，可得∠B=∠C=∠E=∠F,即两组角对应相等，根据“两角 对应相等，两三角形相似”，可判定△ABC一aDEF,故D正确. 故选：D 【变式1-1】如图，在四边形ABCD中，已知∠ADC=∠BAC,那么补充下列条件后不能判定△ADC和 △BAC相似的是() 6/126 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.CA平分∠BCD B.∠DAC=∠ABC AD DC C.AC2=BC.CD D.AB AC 【答案】C 【详解】解：在△ADC和△BAC中，∠ADC=∠BAC, AD DC 如果。ADCBAC:需满足的条件有：①∠D4C=∠ABC或CA是∠BCD的平分线：②ABAC, ∴，不能判定△ADC和△BAC相似的是C, 故选：C 【变式1-2】(25-26九年级上·上海静安期末)己知在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，那么下 列条件中能判定△ABC与△ADE相似的是() ADAB AD AC A.DE BC B AD=AB D ADAB DE BC AE AC AE BC 【答案】C 【详解】解：：点D、E分别在边AB、AC上， :.∠DAE=∠BAC(公共角). AD AB AD AE 对于选项C::AEAC,即ABAC,且∠DAE=∠BAC: .△ADEP△ABC AD AB 对于选项A:DE=BC,但DE与BC的对应关系不明确，且夹角不一定是公共角，故不能判定相似， AD AC 对于选项B: DE BC. 类似地，对应边和夹角不匹配，不能判定相似， AD AB 对于选项D:AEBC,但AD、4E的夹角为∠A'AB、BC的夹角为∠B'夹角不相等，故不能判定相似 因此，能判定相似的是C 故选：C. 【变式1-3】(2026上海长宁·一模)在三角形纸片ABC中，AB=10,BC=12,AC=6,那么按图中数据 7/126 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 沿虚线剪下的阴影部分三角形与△ABC相似的是() 34 B3D C 3 D C 【答案】D 【详解】解：三角形纸片ABC中，AB=10,BC=12,AC=6, BE3_1 AB10_51 A、8BC124,对应边8C1264,则沿虚线剪下的阴影部分的三角形与。4BC不相似，故此选项 错误； BD 3 AB_10_53 B、AB10,对应边BC2610,则沿虚线剪下的阴影部分的三角形与。ABC不相似，故此选项错 误； AE 31 AC6_31 C、AC62,对应边AB105≠2，则沿虚线剪下的阴影部分的三角形与。ABC不相似，故此选项 错误： CD 3 1 AC61 D、CA62,对应边BC122,则沿虚线剪下的阴影部分的三角形与。ABC相似，故此选项正确： 故选：D 【变式14】(25-26九年级上·上海宝山期末)关于等腰三角形相似的判定，某同学提出如下猜想，下列 说法中正确的是() ①两腰及一腰上的高对应成比例的两个等腰三角形相似： ②底边和底边上的高对应成比例的两个等腰三角形相似， A.①错误②正确B.①正确②错误 C.①②均正确 D.①②均错误 【答案】A 【详解】解：猜想① 8/126 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 h m h B C B 设等腰△ABC中，AB=AC=m,腰AC上的高为h: 等腰△A'B'C'中，AB'=AC'=n, 腰1C上的高为：且员京太 则∠BAC与∠BAC可能相等或互补， 若∠BAC=120°，∠BAC'=60°， 两三角形顶角互补，底角分别为30°和60°，形状不同，不相似： 猜想①错误 分析猜想② h B a D a'D' 设等腰△ABC中，底边BC=a,底边高AD=h: 等腰人BC中，底边gC=g,底边高D,且。=行R ,等腰三角形底边高平分底边， 2.BD=4 ..BD= 2 BD=a12=k=AD 则B'Da12 A'D 又∠ADB=∠AD'B=90°， ∴.RtAABD∽Rt△A'B'D'(两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似) ∴∠B=∠B',等腰△ABC中∠B=∠C,等腰△A'B'C'中∠B=∠C', 故∠B=∠B',∠C=∠C :△ABC∽△A'B'C'(两角对应相等，两三角形相似) ∴.猜想②正确 综上，①错误②正确， 故选A 9/126 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型二：平行线模型线段计算（基础压轴） 点方法 考法：依托A字型、8字型平行模型，求线段长、线段比值、分割比例。 标准解题步骤： 1.由平行线条件锁定相似三角形； 2.按顶点对应顺序列出正确比例式， 3.代入已知线段长度，解方程求未知量。 关键提醒：注意线段延长形成的外A字、外8字模型，切勿遗漏延长线段长度。 【典例2-1】(25-26九年级上·上海普陀期末)如图，△ABC中，0B、0C分别平分ZABC、ZACB,点 MN分别在边AB、AC上.过点O的线段MN∥BC.如果AB=5,AC=4,BC=6,那么MN= B 8 【答案】5 【详解】解：如图所示： A B OB、OC分别平分∠ABC、∠ACB,MN∥BC, :.∠MBO=LOBC=∠MOB,∠NCO=LOCB=∠NOC, .MB=MO,NC=ON,AAMNAABC. AM AN MN ÷AB=ACBC: 设BM=m,CN=n, 5-m_4-nm+n ”AB=5”AC=4”BC=6'则AM=5-m'AN=4-n'54 6· 10/126 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 m=2 解得 8, n=- 5 MN =OM+ON=BM+CN=18 , 18 故答案为5· 【典例2-2】(25-26九年级上上海青浦期中)如图，在Rt△ABC中，∠C=90,BC-=3,AC=4,四边形 DEGF为内接正方形，那么AD:DE:EB为一 A D 【答案】16：12：9 【详解】解：过点C作CN⊥AB于点N,交FG于点M, ,在RtAABC中，∠C=90°，BC=3,AC=4, .AB=AC2+BC2=5, S.ABC zx4BxCN-xACxBC, 1 x5xCN-x4x3 .CW-12 ’ ,四边形DEGF为内接正方形， ..FGI DE .FGI AB ∴△CGF∽aCBA, CM FG ·CNAB 设正方形DEGF的边长为x, ÷CM=Cw-x=2 5x, 11/126 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 12 5 :ts60 7, FD⊥AB, .∠ADF=∠ACB=90°， ∠A=∠A, .△ADF∽△ACB, AD DF AC BC' 60 AD=37, 43 解得：AD=80 379 同理，△BEG∽△BCA, BE EG ∴BCAC 60 BE=37, 34 解得：BE= 37 ..AD:DE:BE= 806045 373737 =16:129 C 2 G M D 【典例2-3】(2026上海三模)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O,点G在边BC 上，连接AG交BD于点F,若AO=OF.OB 12/126 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D (1)求证：△AOF∽aDOC: (2)若AG⊥BC,∠BCA=∠ACD,求证：四边形ABCD是菱形. 【答案】(1)证明：在平行四边形ABCD中，对角线ACBD交于点O, ..OB=OD.AO=OC, .A02=OF.OB. CO DO ∴.OC2=0F.0D' 即 OF CO' A0 DO OF-CO 又：∠AOF=∠DOC, .△AOF∽aDOC; (2)证明：：△AOFADOC, .∠FAO=∠CDO」 :AG⊥BC, .∠BGF=90°， .∠GAC+∠ACG=90° ,∠BCA=∠ACD ∴.∠CDO+∠ACD=90° .∠C0D=90°， 即AC⊥BD, 又：四边形ABCD为平行四边形， ∴四边形ABCD是菱形. 【变式2-1】(2026上海闵行·一模)如图①中小狗手影是一种常见的游戏，它利用的原理是：光是沿直线 传播的.如图②我们把光源看成一个点，手面看成平行于墙面的一条线段.在一次游戏中，手距离墙壁3 米，光源与手的距离为1米.在手的位置不变的情况下，如果光源与手的距离增加1米，那么小狗手影的 高度变为原来的 (填“几分之几”)， 13/126 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 手 影 光源 墙 (图①) (图②) 【答案】8 【详解】解：如图， F由题意可知 米， 米，且 B D ABIICD OE=1 EF=3 OE⊥AB,OF⊥CD .△OAB∽△OCD .AB_OE。OE_1 CD OF OE+EF 4' 设AB=x,CD=4x, ∴光源与手的距离增加1米，即OE'=1+1=2(米)，E'℉'=3米， 如图， C B D' 同理，得△OAB∽aOC'D', AB OE' 0E=22 CD'OF OE+E'F'55· ∴CD5' ..CD'= t, CD 4x 8 14/126 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 故答案为：8 【变式2-2】(2026上海徐汇一模)在数学活动课上，需要用三角形纸片裁剪出一张正方形纸片.如图， 现有三角形纸片(aABC),已知∠ACB=90°，AC=40cm,BC=30cm.裁剪出的正方形cDEF的一个顶点是 直角顶点C,其余三个顶点D、E、F分别在边AC、AB、BC上，那么正方形的边长是 cm E F B 120 【答案】 1 【详解】解：设正方形CDEF的边长为xcm, 则CD=DE=xcm 四边形CDEF为正方形， .DE∥CF, ∴.△ADEn△ACB, AD DE AC BC 40-xx 即4030' 解得x=120 7 120 即正方形的边长为气cm 【变式2-3】(25-26九年级上上海青浦期中)如图，已知AD、BC相交于点E,AB=4,BE=2,BC=8, 且AE:ED=1:3,连接AC. (1)求线段CD的长： 15/126 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)如果AE=3,求线段AC的长， 【详解】(1)解：·BE=2,BC=8 EC=BC-BE=8-2=6, AE:ED=1:3, BE_2_1_AE CE63DE· ∠AEB=∠DEC, ∴AAEB△DEC, AB 1 CD 3' AB=4, 41 CD-3 解得CD=12: (2)解：AE=3, ∴.ED=9, AB=4BC=8,CE=6,CD=12. AB 4 2 BC 8 2 CE63'CD123, AB BC CE CD' ·△AEB∽△DEC. LB=∠DCE, .∴△ABC∽△ECD AC_2 ED 3' AC 2 .93, 解得AC=6 【变式2-4】(2026上海黄浦一模)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，OD是△ABC的中位线，P是线段 OA上一点，连接PD并延长交BC的延长线于点O. 16/126 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)如果CQ=OD,求证：∠PDO=∠POD: (2)过点P作PT∥BC交AC于点T,连接T0并延长交CB的延长线于点S,再连接O0,求证：OS=O0, 【答案】(1) 证明：：OD是△ABC的中位线， oD/c且o0-c, ∴.∠ADO=∠ACB=90°， .CO=OD OD 1 BO 3 ODI BC,即OD∥B0, .APODAPBO, PO OD 1 PBBO3,即PO=号PB, 3 1 P0=20B=201,即p为04的中点， 0p=01, ∵∠AD0=90°， ∴.OP=PD, .∠PDO=∠POD; (2) 证明：连接OC, 17/126 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B Q:ODI BC PT∥BC OPDT OB DC' ∴.AOPT∽AOBS,ADTP∽△DCQ. PT OP PT DT BSOB'CODC· PTPT BS CO :.BS=CO, :∠ACB=90°，O为AB的中点， ∴OC=AB=OB, 2 ∴.∠OBC=∠OCB, .∠0BS=∠OCQ, 在△OBS和△OC0中， OB=OC ∠OBS=∠OCQ. BS=CO ·.AOBS≌aOCQ(SAS) ∴.OS=00 【变式2-5】(2026上海金山一模)某数学学习小组成员对“重差”开展了深入探究. 重差汉代天文学家测量太阳的高和远的方法.最早见于《周髀算经》，刘徽《九章算术注》序说：“凡望 极高、测绝深而兼知其远者必用重差，勾股则必以重差为率，故曰重差也.”如图1，“日去地”减去表 BE CM 高与表高之比 CE 或“南戴日下”与南影之比 MK 等于两表到“日下”距离之差与两表影长差之比 CD-CM DA-MK 后者是两个差数，故有“重差”的称谓.下面作简要介绍. 如图1，为了测量海岛的高度，设B为岛的顶点，过点B的铅垂线与地面的交点为C,则岛的高度即为BC 18/126 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 接下来要进行两次操作，第一次把一根木杆（算经中称之为“表”，下文称为“测量杆”）竖直立在地面 上距离点C较近的点M处，从点M处透过测量杆的上端Q望岛顶B,BO的连线（把它叫做测量线）延长 后交地面于点K.第二次，把测量杆竖直立在距离点C较远的点D处(M、DC三点在一条直线上)，同 样地，从点D处透过测量杆的上端P望岛顶B,BP(即测量线)的连线延长后交地面于点A.连接P№并 延长交BC于点E. BE CD-CM CM CD-CM 求证： CE=DA-MK①或MK=DA-MK②. 日(B) S N Ⅲ T' T 0 E ' 表高 K 地(C) M南影D北影 R 图1 图2 BE CM 学习小组的成员经探究后都认为：要想证明0和②都成立，只需证明CEMK和①或②成立.大家分别 提出了自己的分析或证明思路。 小海同学：针对问题及求证结论的数学结构特征自然想到应用三角形一边的平行线、合比性质、等比性质 有关知识加以解决： 小明同学：锐角三角比是沟通边角关系的一座桥梁，记∠BKC=Q,∠A=B: 欢欢同学：利用相似三角形的性质： 乐乐同学：过点P作BK的平行线.·····： 请根据同学们提出的分析或思路完成(1)和(2)· BE CM (1)求证： CE MK; BE CD-CM (2)求证：CE=DA-MK①： (3)在课本阅读材料二《漫谈“出入相补原理”》中，如图2，设O是矩形FGHN的对角线FH上任意一点， 过点O分别作一组邻边的平行线TW、SR,直线TW分别与边FN、GH交于点TW,直线RS分别与边 FG、NH交于点R、S,那么矩形TOSW的面积等于矩形ROWG的面积.说理如下：如果把图形看作由 △FHN移置到△FHG处，同时I、IⅡ各移到P'、Ⅲ，那么依据出入相补原理，得ⅢI=Ⅲ'（指面积相等）. 请利用这个结论证明①成立. 19/126 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】(1) 证明：：OM L AC,BC⊥AC, .OM BC ÷.△KMgn△KCB. KM OM ·CK=BC, KM OM ·CM+MKBE+CE' CM+MK BE+CE :.KM OM CM MK BE,CE ·KMKM OM OM' ..KM =MK,CE=OM CM BE +1= ∴KMCE 1, CM BE KMCE· (2) 证明：PD⊥AC,BC⊥AC, PD∥BC, .△ADP∽△ACB 0股 AD PD ·AD+CDBE+CE' AD+CD BE+CE AD PD CD AD BE CE AD AD PD PD' AD=AD,CE=PD, +I-BE CD CE 1, CD BE ·ADCE 20/126 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 CM BE 由(1)得：KMCE' BE CD CM ·CEDA KM' BE CD-CM ∴由等比的性质得： CEDA-MK· (3) 证明：如图所示，在图1上分别以BC、CM为邻边构建矩形BCMN,以BC、CK为邻边构建矩形BCKS 以BC、CD为邻边构建矩形BCDR,以BC、CA为邻边构建矩形BCAG, B NSR o M K D 图1 由出入相补原理得：S矩形CMOE=S矩形QsV,S矩形CDPE=S矩形PFGR, :.OE×QM=OT×ON,PE×PD=PF×PR, ON OE PR PE 将上述等积式写成比例式得： QMQT,PDPF· .PR=ON=BE,PD=OM=CE. BE OE BE PE ·CEQT,CEPF, ..QE=CM,OT=MK,PE CD,PF=AD, BE CM BE CD ·CEMK' CE AD' BE CD CM CEAD MK' BE CD-CM .由等比的性质得： CEDA-MK· 题型三：等积式、比例式证明（大题核心) 点方法 21/126 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 万能方法：三点定型法（考场通用） 固定流程：等积式变形为比例式→三点定型锁定两个目标三角形→证相似→回代得结论。 不例末证BAC=DA北先化为沿 ,锁定△ABE与△ADC,证明两三角形相似即 可。 补位技巧：若无对应三角形，采用等线段代换、中间比传递间接证明。 【典例3-1】(2026上海闵行·一模)如图，线段AD、BC相交于点E,点F是线段ED的中点，连接 AE BE AB、BD、CD:分别延长BAFC交于点G·已知∠BAD=90,且CE-DE B D (1)求证：∠ABE=∠FCD: BG BC 2)如果DA平分∠BDC,求证： BD2CF· 【答案】(1) 证明：4E、BE CEDE' ∠AEB=∠CED, ∴.△AEB∽△CED .∠ECD=∠BAD=90°，∠ABE=∠ADC 又：在RtAECD中，点F为ED中点， :.CF=DF, ∴.∠ADC=∠FCD, ∠ABE=∠FCD; (2) 证明：DA平分∠BDC, ∴.∠ADC=∠ADB :∠ABE=∠FCD=∠ADC, ·∠ABE=∠ADB, 22/126 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 又：F点是DE中点，∠ECD=90°， ∴.DE=2CF,FC=FE, .∠FEC=∠FCE, ∠FEC+∠BED=∠FCE+∠BCG=180° ∴.∠BED=∠BCG, .△BED∽△GCB, BG BCBC BDDE2CF· 【典例3-2】(25-26九年级上·上海崇明期末)如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上， AB=AD,AD与BE交于点F,且BC2=AC·EC. D (1)求证：∠ADB=∠BEC」 (2)如果AB=BC,求证：AE·AD=AF·BE, 【答案】(1) 证明：：BC2=ACEC, BC EC ÷ACBC 又，∠C=∠C, .△BCA∽△ECB :.∠ABC=∠BEC 又，AB=AD, ∴.∠ABD=∠ADB .∠ADB=∠ABD=∠BEC,即LADB=∠BEC: (2) 证明：由(1)知△BCA∽aECB ∠BAC=∠EBC 23/126 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AB=BC, LBAC=∠C, ·.∠EBC=LC. AB=AD, ∴，∠ABD=∠ADB :∠ABD=∠ABE+∠EBC,∠ADB=∠FAE+∠C, ∴.∠ABE=∠FAE. 又：∠AEF=∠BEA, △AEF∽△BEA, AF AE .BA BE AB=AD, AF AE ·ADBE' ∴AE·AD=AF.BE 【典例3-3】(2025上海杨浦一模)己知：如图，△ABC中，∠A=90°，点D是AB边上一点，过点B作 BE⊥CD交CD延长线于点E,AD:BC=BE·CD. E B (1)求证：BE2=EDEC: (2)求证：AB·BC=2CE·BE 【答案】(1) 证明：ADBC=BECD, AD CD BE BC 在Rt△4DC与RtBEC中，∠E=∠A=90°，E=B, ,∴△ADCABEC. ∴∠ACD=∠BCE,∠ADC=∠EBC, 24/126 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 又∠ADC=∠EDB, .∠EDB=LEBC, 在△EBD与△ECB中，∠EDB=∠EBC,∠E是公共角， .∴△EBD∽AECB ED BE BE EC' 即BE2=ED·EC. (2) 解：延长CABE交于点H,如图所示： H E, D B C∠BEC=90° ∴.∠CEH=180°-90°=90°， .∠CBH+∠BCE=∠ACD+∠H=90°， ∠ACD=∠BCE, .∠EBC=∠H. ..BC=CH, ∠ACD=∠BCE, ∴.BH=2BE=2EH, 在Rt△ABH与RtaBEC中，∠BEC=∠BAH=90，°∠EBC=∠H, ∴.Rt△ABH∽Rt△BEC, AB BH CE BC' 即AB·BC=BH.CE=2BE·CE 【变式3-1】(25-26九年级上·上海普陀期末)已知：如图，四边形ABCD中，点E在边BC上，DE交 AC于点F,∠AED=∠B,AE=AF·AC. 25/126 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D A E (1)求证：△ABE∽aECF: AD AC 2如果EF=EC,求证： DE·AC=AE.BC 【答案】(1)证明：：AE2=AFAC, AEAF ·ACAE' ∠EAF=∠CAE, .△EAF∽aCAE, .∠AEF=∠ACE: :∠AED=∠B, .∠ACE=∠B」 ,∠AEC=∠AED+∠CEF=∠B+∠BAE, ∴.∠BAE=∠CEF. ∴.△ABEAECF. (2)证明：由(1)得△EAF∽aCAE,∠B=∠ACB, AE AC ·EF=EC,AB=AC: AD AC EFEC' .'AD=AE, .∠B=∠ACE=∠AED=∠ADE, △ABC∽△AED. AB BC ·AEDE' AB=AC. .DE·AC=AE.BC 【变式3-2】(25-26九年级上·上海浦东新·期末)如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC,垂足为 点D,点E是边AC上一点，EF⊥BC,垂足为点F,AD、BE交于点M. 26/126 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D F (1)如果BE平分∠ABC,求证：BM·CE=AM·BE: EF AB2 2如果BD=CF,求证： ADAC2· 【详解】(1)证明：：BE平分∠ABC, ·LABE=∠CBE, :∠BAC=90°，AD⊥BC, .∠ABC+∠BAD=90,∠ABC+∠ACB=90° ∴.∠BAD=∠ACB,即∠BAM=∠ECB, .△ABMACBE, AM BM .CE BE' BMCE=AM·BE: (2)证明：：∠BAD=∠ACB,∠ADB=∠BAC=90°， △ADBP△CAB, AB BC BD AB' .AB2=BD.BC, :∠BAC=∠ADC=90°，∠BCA=∠ACD. △BAC∽△ADC, AC BC CD-AC' .'AC2 CD.BC. 、AB2BD·BCBD AC-CD.BC CD' AD⊥BC,EF⊥BC, ∴.EF∥AD, ∴.△CFEACDA 27/126 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 EF CF ADCD’ ..BD=CF, EF BD :.AD-CD EF AB2 AD-ACT 【变式3-3】(25-26九年级上·上海宝山期末)如图，在菱形ABCD中，E是CD上一点，联结BE并延长 交AD的延长线于点G,交AC于点F. (1)求证：BE·BF=BG·EF； (2)若E是CD的中点，且AF,CF=2BF2,求证：BE⊥CD, 【答案】(1) 证明：，四边形ABCD是菱形， ·AB∥CD,AD∥BC,∠BCD=∠BAD ∴、∠G=∠EBC, ∴.△GAB∽△BCE. BE CE BG ABi .AB II CD .△ABFn△CEF, CE EF ∴ABBF' BE EF BG BF' .BE·BF=BG·EF: (2) 证明：如图所示，连接DF, 28/126 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,四边形ABCD是菱形， ∴∠ACD=∠ACB,AB=CD=BC, 又CF=CF, ·.ACFD≌aCFB(SAS), ∴.DF=BF, ,E是CD的中点， .CE-ICD-148 2 2 由(1)得△ABF∽△CEF, AF=45-2, :CF CE .'AF =2CF, .AF.CF =2BF2 ..2CF.CF =2BF2, ·CF=BF或CF=-BF(舍去)， ..CF=DF, 又：E是CD的中点， :EF⊥CD,即BE⊥CD G 【变式3-4】(2025·上海杨浦·一模)在正方形ABCD中，E为正方形内一点，且AE=AB,延长BE交CD 于F,延长DE交BC于P. D 备用图 29/126 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)求证：∠DEF=45° (2)求证：DE·DF=V2EF.BC 【详解】(1)证明：：四边形ABCD是正方形， .∠BAD=90°，AB=AD, .AE=AB, .AD=AE AB ∠ADE=∠AED,∠ABE=∠AEB, :四边形ABED的内角和为360°， ∴.∠BAD+∠ADE+∠AED+∠ABE+∠AEB=36O°， 即90°+2∠AED+2∠AEB=360°， ·∠MED+∠AEB=2×(360°-90)=135， ,∠AED+∠AEB+∠DEF=180°， .∠DEF=180°-（∠AED+∠AEB)=180°-135°=45°： (2)证明：过点A作AK⊥DE于点K,过点F作FH⊥DE于点H,如图所示： H P ,四边形ABCD是正方形，FH⊥DE,AK⊥DE, ·AD=BC,∠ADC=∠AKD=∠DHF=∠EHF=90°， 在Rt△ADK中，∠DAK+∠ADK=90°， ,∠FDH+∠ADK=∠ADC=90°， .∠DAK=∠FDH, 在△ADK和△DFH中，∠AKD=∠DHF=9O°，∠DAK=∠FDH, ,△ADK∽△DFH, DK AD FHDF· .DKDF=FH·AD, .AD=BC, 30/126 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 DK·DF=FHBC①， :AE=AD,AK⊥ED于点K, :DK=号DE②， 由(1)可知，∠DEF=45°， ,过点F作FH⊥DE于点H, ∴.△EHF是等腰直角三角形， .EH=FH 则结合勾股定理得EF=VEH+FH=√2FH FH=② EF③ 2 将@g代入0符DE×Dr=9FBC. 整理得DE×DF=V2EF·BC. 题型四：周长、面积比例计算（填空高频） 点方法 核心公式牢记：相似比k、周长比k、面积比k。 解题逻辑： 面积比二相似比，相似比二面积比，所有比例计算严格遵循该逻辑。 【典例4-1】(2026上海闵行·一模)如果两个相似三角形的面积之比为16：9，那么它们的周长之比是 【答案】4：3 【详解】解：设两个相似三角形的相似比为k(k>0)。 则面积比为2， 由题意，？=16 9 164 解得k=93 周长比等于相似比，即它们的周长之比是4：3， 31/126 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 故答案为：4：3」 【典例4-2】(2026上海闵行·一模)如图，在△ABC中，点M、N分别是AB、BC的中点，连接ANCM 交于点G,GF∥AC交BC于点F,那么SNGF:SG4c= M B 【答案】6 【详解】解：在△ABC中， :点M、N分别是AB、BC的中点， :.MN是△ABC的中位线， 则N∥4C,N-4C, 2 ∴.∠NMG=∠ACG,∠GNM=∠CAG, ∴.AGNM∽aGAC, MN MG NG 1 AC CG AG 2' S.GAC SGNM =4:1 .S.GNM S.GNC =MG:GC=1:2 :GF∥AC, .∠NGF=∠NAC, .△NGF∽△NAC, NG:AG=1:2, .GN:AW=1:3, S.NGE= S.NAC 8- 在△NAC中，△GAC和△NMC等高， S.GAC=AG2 S.NAC AN 3' 32/126 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 S.NAC 1 9 2 . 6 故答案为：1：6 【变式4-1】(25-26九年级上·上海静安期末)已知一个三角形三边之比为3：4：5，与它相似的另一个三角 形最短边的长为6cm,那么另一个三角形的周长为() A.12cm B.24cm C.36cm D.48cm 【答案】B 【详解】解：，相似三角形对应边成比例，且原三角形三边比为3：4：5， ∴，新三角形三边比也为3：4：5，设新三角形三边分别为3kcm、4kcm、5kcm, ,新三角形的最短边3k=6, k=2, ∴.新三角形的另两边长分别为8cm、l0cm, ∴.新三角形的周长为6+8+10=24cm, 故选：B 【变式4-2】(2026-上海黄浦一模)已知。4BC与ADEF相似，相似比为2，如果。DEF的面积是36，那 么△ABC的面积是 【答案】81 3 【详解】：△ABC与。DEF的相似比为2， 2 3 9 面积比为 4 ,△DEF的面积为36， 二A4BC的面积为36x4=81 故答案为：81 【变式4-3】(25-26九年级上上海崇明期末)如图，点G是△ABC的重心，点D是边AC的中点， S四边形CDFE GE∥AC交BC于点E'DF∥BC交EG于点F'则SA 的比值为. 33/126 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E 【答案】3 【详解】解：连接BG,DG,CG,延长DF交AB于点P,连接PG, E :点G为△ABC重心，点D为AC边中点， ·.点B、G、D在同一直线上， :DF∥BC, AD AP ·CDBP' ,点D为AC边中点， .AD=CD AD_AP=1. ·CDBP ∴.AP=BP ∴点P为AB边中点， ∴点C、P、G在同一直线上， ,点D为AC边中点，点P为AB边中点， .DP为△ABC的中位线， p8c,即8C DP 1 DF∥BC, .△GDP∽aGBC,△GDFAGBE 34/126 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 GD DP 1 GBBC2, SGDE GD)_1 GB_2 GB -4'BD3 FEI‖AC, .△BGEABDC, S GBE /GB24 :.S.8c (BD9 设SGDr=x,则SGBE=4x,SDBC=9x, .S四边形GEcD=S.DBc-SGBE=5x, ∴.S四边形cDFE=SAGDF+S四边形GECD=x+5x=6x, ,点D为AC边中点， .S.48c=2S,D8C=18x S四边形cDrE=6x=1 .SABC 18x3· 1 故答案为：3： 【变式4-4】(24-25九年级上上海期中)如图，在△ABC中，点D在边AB上，点F、E在边AC上，且 AF AE DFIBE·FECE· (1)求证：DE∥BC: AF 2 2)如果FE=3,SAD=3,求S4Bc的值. 【答案】(1)证明：DF/BE, AF AD FE DB AFAE FE CE' 35/126 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AD AE DB CE AD AE AB AC' 又LDAE=∠BAC, .△ADEn△ABC, .∠ADE=LABC, ∴.DEIIBC (2)解：“ AF2 FE 3' EF 3 AE 5 :ADEF与△ADE同高， S.DEE EF_3 S.ADE AE 5 SADEF =3 S.ADE =5 AFAE FE CE AE 2 CE 3' AE2 AC5' ,△ADEn△ABC, AE 12 =4 S。ABC 、AC 5 .S△ABc= 125 4. 题型五：网格三角形相似判定 点方法 1. 借助网格，用勾股定理求出三角形三边长； 36/126 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.计算三边对应比值，通过SSS判定相似； 3. 主动分类讨论，网格题多存在多组相似解。 【典例5-1】(23-24九年级上·上海普陀期中)如图，△ABC是正方形网格中的格点三角形（顶点在格点 上)，点D、E、FG都是格点，下列三角形中与△ABC相似的是() A A.以点AB、D为顶点的三角形 B.以点A、B、E为顶点的三角形 C.以点AB、F为顶点的三角形 D.以点AB、G为顶点的三角形 【答案】B 【详解】解：设每个正方格边长为1， AB=2,BC=22,AC=2V5,AF=5,BF=17,AE=2,BE=10, AE2 AB2 BE2 AB 2 BC 2 AC 2' ∴.△ABCP△EAB, 故选：B 【典例5-2】(23-24九年级上·上海长宁·期中)在每个小正方形的边长都为1的网格图形中，每个小正方 形的顶点称为格点，顶点都是格点的三角形称为格点三角形.如图，已知△ABC是4×6的网格图形中的格 点三角形，则该图中所有与△ABC相似的格点三角形中，最大的三角形面积是 【答案】4.5 【详解】图中所有与△ABC相似的格点三角形中，最大的△DEF如图所示： 1 DS.or-x3x3-4.5 37/126 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 故答案为：4.5 【变式5-1】(23-24九年级上：上海金山期末)如图在4×1的方格中，每一个小正方形的顶点叫做格点， 以其中三个格点为顶点的三角形称为格点三角形，△ABC就是一个格点三角形，现从△ABC的三个顶点中 选取两个格点，再从余下的格点中选取一个格点联结成格点三角形，其中与△ABC相似的有() B A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】C 【详解】解：如图所示，由网格的特点可知AB=2,BC=P+P=√2，AC=√P+32=√0， CE=1,BC=V1P+1?=√3，BE=V12+22=√5， BC ABAC CE EC BE' ∴.△ABCABCE, 同理可证明△ABC∽△CDA,△ABC∽△CBF, ∴.从△ABC的三个顶点中选取两个格点，再从余下的格点中选取一个格点联结成格点三角形，其中与 △ABC相似的有3个， 故选C. B 【变式5-2】(2026上海长宁·一模)如图，在由大小相同的小正方形组成的网格图中，连接格点AB的 线段交网格线于M、N两点，那么AM:MN:BN=」 ----- 【答案】4：5：3 【详解】解：如图， 38/126 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 设小正方形的边长为1，则AD=3,BD=4, 根据勾股定理得AB=√AD2+BD2=V32+42=5, ,ME∥BD .△AME∽△ABD. :6 AM1 AB=AD,即5=3 5 .AM= 3 BN BF 同理可得ABFNBDA,则BABD, BN 1 得54 .BN=5 4 MN=AB-AM-BN=5-5-5=25 3412· AM:MM:BN=:25:=4:5:3 3124 故答案为：4：5：3」 【变式5-3】(25-26九年级上·上海浦东新·期中)数学上把在平面直角坐标系中横纵坐标均为整数的点称 为格点(laticepoint)或整点.坐标平面内顶点为格点的三角形称为格点三角形.如图，点A、B、C、 D都是格点，△PQR是一个格点三角形，且点P的坐标是(4，)，若点A、B、C、D分别都和点P、Q连 接，且连接后构成的格点三角形和△PQR相似，则这个点的坐标是一 y染 --- 【答案】(2,2) 39/126 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】解：如图，点A、B、C、D分别都和点P、Q连接， PR=2,QR=P+F=2,P0=32+P=0,BP=P+2=5,B0=5, BP 5 10 Po 1o Be510 QRV22PR=2,Op1o=2 BP PO BO .OR PR OP, :△BPO和△ROP相似，即点B和点P、O连接后构成的格点三角形和△PQR相似，B(2,2), 故答案为：(2,2) B 题型六：一线三等角模型综合计算（期末重难点) 点方法 识别口诀：直线上三角等，必出相似形。 固定解题流程： 1.利用互余、外角性质，推导两组对应等角 2.判定K型相似三角形； 3.列比例方程，求解边长、参数。 【典例6-1】(25-26九年级上·上海阶段检测)【模型构建】如图1，已知∠B=∠C,如果∠AED=∠B, 那么△ABE∽△ECD,我们把这种图形叫做“一线三等角”. 【探究应用】如图2，在梯形ABCD中，AB∥CD,∠B=90°，BC=6,点E在边BC上，BE=4,P、 O分别是边AD、BE的中点.如果∠ABD=60,且4E=DE,那么P0的长为 40/126 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B O 图1 图2 【答案】7 【详解】解：如图，延长BA,过点D作DF⊥AB,垂足为F,根据题意四边形BCDF为矩形. F D P H B OGE C 取DE的中点H,连接AH, E-DE .AE EH DH=DE 2 ,∠AED=60°， “.△AEH是等边三角形， .AH=EH=DH,∠HAE=∠AHE=60°， :∠ADH=∠HAD=∠AHE=30°， ∴.∠DAE=30°+60°=90°. 又'∠DFA=∠ABE=90°， 根据“一线三等角”模型，△ADF∽aEAB, AB BE AE DF AF AD 在Rt△ADE中，假设AE=x,则DE=2x, 41/126 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由勾股定理可得，AD=VDE2-AE2=√5x, AD =V5 AE ..AB= DF 23.AF=3BE=4 CD-BF=63 过点P作BC的垂线，G为垂足，则PG∥AB∥CD. P是AD的中点， ,是梯形D的中位线，BG=CG=。=3,OG=BG二B0=1,PG=2=43 2 PO=0G2+PG2=7. 故答案为：7。 【典例6-2】(25-26九年级上上海虹口·阶段检测)如图，在四边形ABCD中，点E是边BC的中点， ∠AED=∠B=∠C (1)求证：△DAE∽△DEC: APPO 2)设点F是DE的中点，连接AFBD,记BD与AE、AF分别交于点卫O.求证：BP-PE, 【详解】(1)证明：：∠C+∠CDE+∠DEC=180°，∠DEC+∠AED+AEB=180°，∠AED=∠C, ∴∠AEB=∠CDE, :∠ABC=∠C, ∴.△ABE∽△ECD, BE AE CD ED' CE=BE, CEAE CD ED' ∠AED=∠C, ∴.△DAE∽ADEC 42/126 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 DC DE (2)证明：由(1)的结论DAEADEC得，EC=AE, ~点E是边BC的中点，点F是DE的中点， :EC=BC,DE =2EF, 2 DC2EF BC AE,即：DC_EF, 2 BC AE :∠AEF=∠C. ,∴.△AEF∽ABCD. .∠DBC=∠EAF, :∠BPE=∠APQ, ∴△BPEn△APg, AP PO 【变式6-1】(25-26九年级上·浙江杭州期中)如图，点D,E在△ABC的边BC上，点F在边AC上，连 接AD,DF,EF,且AD=AF,∠DAF=90°，∠B=∠DEF=45°， B E (1)求证：△ABDADEF; (2若AB=3,CF=25时，求CD的长. 【详解】(1)证明：AD=AF,∠DAF=90°， ∴.∠ADF=∠AFD=45°， 、.∠ADF=∠B=45°. ,∠ADE=∠ADF+∠EDF=∠B+∠BAD, .∠BAD=∠EDF, ∠B=∠DEF=45°. 43/126 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.△ABDADEF: (2)解：，AD=AF,∠DAF=90°， .DF=√AD2+FD2=√AD2+AD2=√2AD, ,△ABDP△DEF, AB AD 1 DEDF AB=3, .DE=3V2, :∠AFD=∠DEF=45°」 .LCDF+∠C=∠C+∠EFC, .∠CFE=∠CDF, .∠C=∠C, ∴.△CEFACFD, CE CF ∴CFCD, CE。25 2532+CE 解得CE=2√2（负值舍去）， .CD=DE+CE=32+2√2=5√2 【变式6-2】(25-26九年级上·上海浦东新期中)(1)如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°， AC=BC=4,D是AB边上一点，AD=V2,F是BC边上一点，∠CDF=45°.求BF的长： 图1 图2 图3 (2)如图2，在四边形ABFC中，点D是AB边的中点，∠A=∠B=∠CDF=45°，若AC=9,BF=8,求 线段CF的长. (3)在△ABC中，AB=4V2,∠B=45°，以A为直角顶点作等腰直角三角形ADE,点D在BC上，点E 在AC上.若CD=x,CE=y,求y关于x的函数解析式及定义域. 44/126 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】解：(1)：∠ABC=90°，AC=BC=4. ∴∠A=∠B=45°，AB=4V2, .BD=AB-AD=4V2-2=32, :∠A+∠ACD=∠CDF+∠BDF,∠A=∠CDF=45°， ∴.∠ACD=∠BDF ∴.△ACD∽aBDF, AC AD BD BF' 4√2 32BF :BF=3 2: (2)如图2中，延长AC交BF的延长线于点T. D 图2 :∠A=∠CDF=∠B=45°， .∠T=90°，TA=TB, ,∠CDB=∠A+∠ACD=∠CDF+∠BDF, ∴∠ACD=∠BDF, .△ACDr△BDF, AC AD ·BD=BF, AD DB, ∴，AD=6√2， .AB=2AD=12V2. ∴.TA=TB=12, 45/126 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .CT=12-9=3,T℉=12-8=4， .CF=VCT2+TF2=V32+42=5: (3)如图，过点E作EF与CD交于点E,使∠EFD=45°， B D F ∠B=∠ADE=45° ∴.∠BAD=∠EDF, .△ABD∽△DFE, …提-品， DE=V2AD,AB=42, .DF=√2AB=8, ,∠EFD=45°，∠ADE=45°， .∠EFC=∠DEC-135°， .△EFCn△DEC, FC_EC EC CD ,X-8=y y x' y=Vx2-8x(x>8). 【变式6-3】(25-26九年级上上海期中)在矩形ABCD中，AB=3,BC=4,点E是边AD上一动点， EM⊥EB交边CD于点M,点N在射线MC上，且DE是DM和DN的比例中项. D 图1 图2 B 备用图 (1)求证：∠DNE=∠ABE:； 46/126 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)如图1，当点N在线段CD上时，设AE=x,MN=y,求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围， (3)如图2，连接BD,交EN于点F,如果△BED与△EMN相似，求AE的长， 【详解】(1)证明：~四边形ABCD是矩形， ∴.∠A=∠D=90°， ∴.∠ABE+∠AEB=90°， :EM⊥EB, ∴∠BEM=90°， ∠AEB+DEM=90°， ∠ABE=∠DEM, :DE是DM和DN的比例中项， DM DE .DE DN, .∠EDM=∠NDE, AEDM∽aNDE, ∴.∠DEM=∠DNE, ∠DNE=∠ABE: (2)解：由(1)知：∠ABE=∠DEM,∠A=∠D, ∴△ABE∽ADEM, AB AE .DE DM' 3 .4-x DM, DM=4-) 3 DE是DM和DN的比例中项， :.DE2 DM.DN, DN=DE-(4-x34-x) DM x(4-x) 3 ,点N在线段CD上，即DN≤3， 3(4-≤3 47/126 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解得x≥2， :DE是DM和DN的比例中项， .DE2=DM·DN, e-g. y=4-09-x 3x y>0, 9-x2>0, x<3, .2≤x<3, y-4-09-2≤x<3): 3x (3)解：由(1)知：∠AEB=∠DME, ∴.∠BED=∠EMN. 当∠EBD=∠ENM时，△EBD∽aMNE, ∠ENM=∠ABE, .∠ABE=∠EBD, 如图1， E M C 图1 作EG⊥BD于G, :.AE=EG, ∠EDG=∠ADB,∠EGD=∠A=90°， ∴ADEG△DBA, 48/126 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 DE EG .BD AB' AB=3,AD=4,∠A=90°， BD=5, AE 4-AE 35, AE=3 ’ 当∠EDB=∠MNE时，△EDB∽aMNE, ∠MNE=∠ABE, ,∠ABE=∠EBD, ∠A=∠A, .∴AABEA△ADB, AB AE .AD AB' .AE=AB 9 AD 4, 3.9 综上所述：E=2或4： 题型七：相似存在性分类讨论（压轴必考） 点方法 典型设问：线段上是否存在点P,使两个三角形相似。 满分解题步骤； 1.先找固定不变的等角（公共角、直角为主）； 2.分两组对应关系分类讨论（唯一固定角，两种对应方式）； 3.分别列比例式计算参数； 4.检验解的合理性，舍去线段外、不符合题意的解。 △主要丢分点：漏分类、顶点对应混乱、不检验取值范围。 【典例7】(25-26九年级上·上海虹口期中)如图1，在平面直角坐标系xO中，点0是原点，直线AB分 别交x轴、y轴于点A(2,0八B(0,4),点C在直线y=4上，且CA⊥AB. 49/126 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B F C P E 图1 图2 (1)求AC的长： (2)如图2，已知点P在线段AC上，过点P作x轴的垂线，交x轴于点E,交BC于点F,连接BP, ∠BPF=∠APE ①如果直线EF的表达式为x=t,求t的值； ②延长BP交x轴于点D,连接CD,若在射线BP上有一点G,使得以C、B、G为顶点的三角形与△ACD 相似，求点G的坐标. 【详解】(1)解：过点C作CD⊥x轴于点D, y B C D衣 CA⊥AB, .∠BAC=90°， ·.∠BA0+∠CAD=90°，∠CAD+LACD=90, 、∠BAO=∠ACD 又，∠BOA=∠CDA=90°， ,△BAO∽△ACD, AC CD ·ABA0' 由题意得∠BOA=∠CDA=∠OBC=90°， ∴.四边形ODCB为矩形， ..DC=OB=4, .AB=VOA+0B2=25, 50/126 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AC 4 252 .AC=45, ∴.AD=VAC2-CD2=8, ∴.OD=OA+AD=10, ∴点C为10,4)， 设直线AC的解析式为y=kAcx+b2, 10k4c+b2=4 将点C(10,4)和A(2,0)代入得，2kc+b,=0, 1 2 解得 b2=-1 ·直线4C的方程为y=2x-1, (2)解：①：点P在线段AC上，直线EF为x=t且其交x轴于点E,交BC于点F, 1 P2-,F6,4) ..BF=t,CF=10-t, ,∠BPF=∠APE, 又：∠CPF=∠APE. .∠CPF=LBPF, EF⊥BC. ∴.∠BFP=∠CFP=90°， ∴.LFBP=LFCP, .BP=CP, .△BPC为等腰三角形， EF⊥BC, ∴.EF是BC边上的中线， .BF=CF, ∴.10-t=t, 51/126 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解得1=5； ②由①得，t=5, 3 ÷点P为5 点B为(0,4)， 设射线BP为y=kaPx+b, 56+4=3 2 3)和 将 代入得， B(0,4) b=4 1 心射线BP为y= x+4, 2 当y=0时，一2 +4=0 2=4, 解得x=8, D(8,0) 在△ACD的中，AD=6,AC=45,CD=V(8-10}+(0-4=2V5, :点G在射线BP上， 1 设点G为玉2x+4 C10,4),B(0,4) 在 ACBG 的中， c=c--o分4-5。 2 2 CB BG 当△CBG∽aCAD时，则AC=AD,如下图： B A E D 52/126 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5 10=2 456 x.4v5=60 2 10x=60, 解得x=6, ∴点G为(61)； CB BG 当ACBGADAC时，则DACA,如下图： y F E D G 102x 64N5 3W5x=40W5. 部每” 408 ·点G为33 408 综上所述，点G的坐标为(6,1)或33 【变式7-1】(25-26九年级上·上海·期中)已知一次函数y=x+4的图象交x轴于点A,交反比例函数 y-(k≠0，x<0)的图象于点BC(-1,a): (1)求反比例函数的表达式： (2)将一次函数y=x+4的图象向下平移m(m>0)个单位长度所得的图象交x轴于点D,连接BD、CD,当 DB⊥AC时，求m的值； 53/126 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3)在(2)的条件下，在x轴是否存在点E,使得以B,D,E为顶点的三角形与△ACD相似，若存在，请 求出E点坐标；若不存在，请说明理由。 【详解】(1)解：将C(-山，a)代入y=x+4,得：a=-1+4=3, C-1,3), 将C(1,3)代入y= 得：3= -1 解得k=-3, 3 y=-2(x<0). x 30 y=-2(x<0) (2)解：联立 得3 y=x+4 =x+4 解得=-1，七2=-3， 将x=-3代入y=x+4,得：y=1, B(-3,), 令y=x+4=0,得x=-4, A(-4,0) y=x+4的图象向下平移m(m>0)个单位长度所得的图象的解析式为：y=x+4-m, 令y=0,得x=m-4, .D(m-4,0). A(4,0),B(-3,1),D(m-4,0), .AB=(4+3+(0-=2,AD2=(m-4+4}=m2,BD2=(m-4+3}+(0-1=m2-2m+2, 当DB⊥AC时，∠ABD=90°， .AB2+BD2=AD2, .2+m2-2m+2=m2, 解得m=2; 3)解：存在：点的坐标为50成(】 如图，设平移后的一次函数图象与Y轴交于点F, 54/126 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由(2)知m=2, 则D(-2,0). A(-4,0),B(-3,1). ∴AD=[(-2)-(←4]+02=2，BD=[(-2-(←3]+0-1=2， :AB=V(-4+3}+(0-1=V2,∠ABD=90, ∴△ABD是等腰直角三角形， .∠BAD=∠BDA=45°， ..ACIl DF, .∠FD0=∠BAD=45°， 当点E在点A左侧，△DEB∽△ACD时， AC AD .DE BD' :AC=V[(-1-(-4)]+(3-0=32, 322 DE DE=3, ∴.OE=OD+DE=5, E(-5,0): 当点E在点A右侧，且在点D左侧，△DBEP△ACD时，如图， 55/126 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 VA AC AD .BD DE 3v22 ..2 DE' DE=2 3 OE=OD+DE=8 当点E在点D右侧时，如图， :∠BDA=45°， ∴∠BDE=135°， ,∠BAD=45°，ACI‖DF .∠FD0=∠BAD=45°. .∠ADC+∠CDF=135°，即∠ADC<135° .以B,D,E为顶点的三角形不与△ACD相似， 综上，点的生标为50减号0】 【变式7-2】(25-26九年级上·上海阶段检测)如图，已知等腰△ABC中，AB=AC,AD⊥BC,AC与x 轴交于点E,D(2,0),A(5,3) 56/126 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B (1)求点B的坐标 (2)求DE的长 (3)探究：在x轴上是否存在点P,使以A,D,P为顶点的三角形与△CDE相似？若存在，求出点P的坐标 若不存在，请说明理由。 【详解】(1)解：如图1， B D 图1 过点A作AH⊥x轴于H, A5,3),D(2,0), .AH=3,DH=OH-OD=5-2=3, :DH=AH, .∠ADH=45°， :AD⊥BC, ∴∠ADB=90°， .∠0DB=90°-∠ADH=45°， ∠BOD=90°， .∠OBD=45°=∠ODB, ∴OB=OD=2, B(0,2): (2)解：如图2，由(1)知B(0,2). 57/126 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B D 图2 D(2,0) .BD=V22+22=2√2， :AB=AC,AD⊥BC, .CD=BD=22 过点A作AH⊥x轴于H,过点C作CG⊥x轴于G, 由(1)知，AH=3, 由(2)知，∠0DB=45°， .∠CDG=∠DCG=45°， ..CG=DG. 设CG=DG=x, x2+x2=(22, x>0,x=2, .CG=2, 在RtADH中， AD=V32+32=3W2, SMCD= DE(CG) DB=D-CD=32x2212 CG+AH 2+3-59 (3)解：由(2知，MD=35,CD=25,DE-号.∠CDE=45 由(1)知，∠ADE=45°， .∠CDE=∠ADE, :以A、D、P为顶点的三角形与△CDE相似， ∴①当△ADP∽aCDE时， 58/126 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AD DP ∴.CDDE· 32 DP 2√212， 5 Dp=18 59 0P=0D+DP=2+18-28 5 ②当△PDA∽aCDE时， DPAD .CD DE' DP 3V2 2212, 5 .DP=5, OP=OD+DP=2+5=7, P(7,0) 28 即：满足条件的点p的坐标为 5 ,0或(7,0) 【变式7-3】(25-26九年级上·上海浦东新期中)在平面直角坐标系0少中（如图），已知直线1： y=x+4交x轴于点A,交y轴于点B,点C在x轴正半轴上且OC=2,点D在线段AC上，且 ∠CDB=∠ABC,过点C作BC的垂线，交BD的延长线于点E,连接AE. C (1)求直线CE的函数解析式： (2)求点D的坐标： (3)如果点P是直线CE上的动点，连接DP,当△DEP与△ABC相似时，求点P坐标 【详解】(1)解：如下图所示， 59/126 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 CE⊥BC, .∠BCE=90°， .∠BC0+∠ECO=90°， ∠B0C=90°， .∠BCO+∠OBC=90°， .∠OBC=∠OCE, 又：∠B0C=∠COF=90°， ∴BOCACOF, OC OF OB OC' 2 OF 42· ∴.OF=1, .点F的坐标是(0，-1)， 设直线CE的解析式是y=a+b(k≠O), 把点C(2,0)和F(0,-)的坐标代入y=c+b(k≠0)， 2k+b=0 可得： b=-1 1 K= 解得： b=-1 直线CE的解析式是y=2x-l; (2)解：当x=0时，y=x+4=4 .点B的坐标是(0,4)， 当y=0时， 60/126 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 可得：x+4=0, 解得：x=-4, .点A的坐标是（-4,0)， .AB=VOA2+0B2=V42+42=4V2, 0C=2, ∴点C的坐标是(2,0)， ∴.BC=VOB2+0C2=V42+22=25,AC=2-(-4)=6, :∠CDB=∠ABC,∠BCD=∠ACB, ∴.△ABC∽△BDC, BC DC AC BC' 25 DC ”625’ DC=10 3 0C=2, :0D=DC-0C=10-2= 4 3 3 (3)解：由(2)可知△ABCVABDC, .∠CBD=∠BAC, :点A的坐标是（(-4,0)，点B的坐标是(0,4)， ∴.OA=OB=4, ∴△OAB是等腰直角三角形，∠BAC=45°， ∴.∠CBD=∠BAC=45°， 在△BEC中，∠BCE=90°， ∴.∠BEC=45°， 由(2)可知AB=4V2,BC=25,AC=6, 如下图所示，过点E作EM⊥x轴于点M, 61/126 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 则∠MEC+∠ECM=90°， :∠BCO+∠ECM=90°， :∠BCO=∠MEC, ∠BOC=∠EMC=90° 在 和 中， ∠BCO=∠MEC △BCO△CEM BC=EC ∴.ABCO≌ACEM, ∴.EM=OC=2,MC=BO=4. .M0=CM-0C=4-2=2, ·点E的坐标是(-2，-2)， 点D的幽标是0 0e--2-(22 DEPBAC时， DE EP 当 AB AC 2W10 3 EP 4V2 6 解得：EP=5, 设点p的单标是-小。 则有+2+-1+2=5， 解得：x=0,x2=-4 当x=-4时，点P在CE的延长线上， 此时∠DEP=135°，不符合题意，应舍去， ∴x=0y2-1=-l, 点P的坐标是(0，-1)： 62/126 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B MDO DE EP 如下图所示，当DEP6CAB时，AC=AB, 2W10 3 EP 6 4W2 解得：Ep=8VS 9 设点p的坐标是2- 17 整理得： x2+x+ =0 81 分解因式可得： gg+-o 2 解得：x= 9,34 9 当x=- 34 时，点p点p在CE的延长线上， 此时∠DEP=135°，不符合题意，应舍去， 时1引19 210 点p的坐标是99月 B A MDO 63/126 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 综上所述， 当DEp与。ABC相时：点p坐标为Q-)安号9） 题型八：动点+相似综合压轴（一模核心） 点方法 解题核心策略： 1.设运动时间t,用含的代数式表示所有动态线段； 2.抓不变量：锁定固定角度，匹配A字、一线三等角等经典模型； 3.根据相似比例列方程，求解参数； 4.结合动点运动区间，检验结果合规性 【典例8-1】(25-26九年级上·上海崇明期末)定义：当一个三角形有两个内角的差为90°时，这个三角形 叫做“差直角三角形”，如图，在△ABC中，AC=BC=10,AB=16,点D是边AB上的一动点（且 AD>BD),若△BCD是“差直角三角形”，则CD的长为 15 【答案】2或35 【详解】解：如图，过点C作CM L AB于M,过点D作ON ICM,交BC于N, SB MD ,AC=BC=10,AB=16, M为AB中点，AM=MB=8, .CM=VBC2-MB2=V102-82=6. AD>BD, ∴.∠BDC为钝角 分两种情况： ①∠BDC-∠B=90°，则∠BDC=∠B+90°， 64/126 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠MDC=180°-∠BDC=90°-∠B :∠CMD=∠BMC=90°，∠MDC=∠BCM=90°-∠B, ∴.ACMDABMC, 58MCM86,解得D-6=9。 CM MD 6 MD 82 ∴.CD=VCM2+MD_ 28 ②∠BDC-∠BCD=90°，则∠BCD=∠BDC-90°， .∠CDN=∠BDC-90° ∴.∠CDN=∠BCD .DN I CM, .△NDB∽aCMB. ND DB BN ND BD BN CM=MB-CB,即6=8=10， ND-BD.BN-D :∠CDN=∠BCD. ..CN=DN, :BC=DN+BN-8D+BD=10,解得gD=5 4 4 .MD=BM-BD=8-5=3, ∴.CD=VCM2+MD2=35. 15 综上，CD的长为2或35 【典例8-2】(25-26九年级上上海徐汇期中)如图1，在梯形ABCD中，AB∥DC,AD=16,点P在 1B上，满足PD=PC=AD,又PG=2PB,∠PDA=∠DCP 图1 图2 (1)求证：PB=CD: 65/126 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)如图2，若点Q是线段PB上的动点且与点P不重合，连接CQ并延长交DP的延长线于点O,设 PQ=x,DO=y,求y与x之间的函数关系式，并写出定义域： (3)若点M是线段PA上的动点且与点P不重合，连接CM交DP于点N,当△PNM是等腰三角形时，求 PM的长度. 【详解1()证明：“PD=C-号D,PC-2Pg .'.PB=4,PC=PD=8. ABIIDC. .∠APD=∠PDC, ..PD=PC, ·LPDC=∠DCP, ,∠PDA=∠DCP .∠PDA=∠DCP=∠APD=∠PDC, .△PDA△DCP, PC CD AD PD' 8 CD 即168， CD=4, ∴PB=CD (2)解：AB/DC, ..OCDAOOP OD CD .OP PO' y=4 :y-8-x' 32 ..y= 4-x’ :点O是线段PB上的动点且与点P不重合， ∴0<x<4,即定义域为(0,4)： (3)解：分三种情况： 66/126 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ①PN=PM,如图， D C N M B 图1 .ABlIDC. .aCDN∽aMPN, CD DN PM PN ..CD=DN=4. ·.PM=PN=PD-DN=4, ②PM=MN,如图， D AM 图1 ,∠PDA=∠APD, .AP=AD=16, PM MN, ∴.∠MNP=∠APD ∴∠PDA=∠MNP, .MNIIAD. ∴四边形AMCD是平行四边形， .DC=AM=4, ∴.PM=AP-AM=12: ③当PN=MN时，等腰三角形不存在： 综上所述，PM的长度为4或12. 【变式8-1】(25-26九年级上上海嘉定期中)如图，在等腰直角△ABC中，∠C=90°，AC=4,点D为 射线CB上一动点，以AD为腰且在AD的右侧作等腰直角△ADF,∠ADF=9O°，射线AB与射线FD交于 点E,连接BF.若AB=2BE,则CD的长为 67/126 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A B 【答案】CD=3+V17 【详解】解：当点D在线段BC上时， A D B ,等腰直角△ABC中，∠C=90°，AC=4, .AB=2AC=42. AB=2BE, ∴AE=BE=2N2, 设CD=x,则AD=VAC2+CD2=V16+x2, 在Rt△4DE中，DE2=AE2-AD2=8-(I6+x2)=-8-x2<0(不符合题意)， ∴点D不在线段BC上： 当点D在线段CB的延长线上时，如图，过点E作EH⊥CD于H, B HD 设CD=x, AB=42,AB=2BE, BE=22, ,△ABC和△ADF是等腰直角三角形， .∠ADF=∠ADE=90°，∠ABC=∠BDE=45°， 68/126 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.△BEH是等腰直角三角形， G.BH=EH=BE=2 DH=CD-BC-BH=x :∠ADC+∠CDE=90°，∠DEH+∠CDE=90°， ∴.∠ADC=∠HED .∠C=∠EHD=90°， .△ACD∽△DHE. AC CD DHEH, x-62 即 整理得x2-6x-8=0, 解得x=3+7(负值舍去)， 经检验，x=3+√7是分式方程的解， ∴CD=3+V17. 故答案为：3+V17 【变式8-2】(23-24九年级上·上海金山阶段检测)如图，己知△ABC中，∠ACB=90°，D是边AB的中 点，P是边AC上一动点，BP与CD相交于点E 备用图1 备用图2 (1)如果BC=6,AC=8,且P为AC的中点，求线段BE的长； AC 2)连接PD:如果PD⊥AB,且CE=2ED=3,求BC的值： (3)连接PD,如果BP2=2CD2,且CE=2,ED=3,求线段PD的长. 【详解】(1)解：连接PD,如图， B D是边AB的中点，P为AC的中点， 69/126 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :.PD/BC,PD=BC, 2 .△PDE∽aBCE, PE PD BE BC' PE 1 BE2 PE+BE 1+2 BE 2 BE 2 BP3' :∠ACB=90°，BC=6,AC=8, .CP-CC2 :BE=BP=4丽 3 (2)解：D是边AB的中点，PD⊥AB, ∴，直线PD是线段AB的垂直平分线， ∴PB=PA, 取AP的中点G,连接DG, G :.DGWlBP,DG-BP.AP-2PG-2AG 1 2 ∴.APCEAGCD. PC CE ·CGCD' CE=2,ED=3, ∴CD=CE+ED=5, PC 2 CG-3' 70/126 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 PC=2x,CG=5x,PG=CG-PC=3x, ∴.AP=2PG=2AG=6x, ..AC=PC+AP=8x, :∠ACB=90°， .BC=PB2-PC2=42x, AC8x=√2 ·.BC4W2x (3)解：：∠ACB=90°，D是边AB的中点， .AB=2CD=2BD=2AD. .∠A=∠DCA, .BP2 =2CD2. .BP2 =2CD-CD AB.BD. BP BD ·ABBP' ,∠PBD=∠ABP, .△PBD∽△ABP ∴∠BPD=∠A, ∠A=∠DCA, ∠DPE=∠DCP, ∠PDE=∠CDP, .△DPE∽△DCP, 、DPDE DC DP .PD=DE·DC, CE=2,ED=3, .'CD=CE+ED=5. .PD=√15，负的舍去. 【变式8-3】(24-25九年级上·上海宝山阶段检测)己知口ABCD中，AB=2,E是射线DC上一点，直线 AC、BE交于点P,过点P作PQ/AB,PO交直线AD于点Q. 71/126 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 备用图 备用图 (1)当点E是CD中点时（如图），求线段P的长度； (2)当点E在线段DC上运动时，设DE=x,P吧=y,求y关于x的函数解析式： DE 1 3)当DE的长度为多少时，Pg2: 【详解】(1)解：：四边形ABCD是平行四边形，AB=2, .CD=2 E是DC中点， .CE =ED=1, :PQ∥AB .△APQ∽△ACD PO AP ·DCAC' CP CE 是 (2)解：DE=x, .CE=2-x, 又，PQ∥AB .△APQ∽△ACD PO AP DC AC' AP AB 2 CP-CE-2-x' PO 2 DC-4-x' 72/126 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .'.Po= 2DC 4-x 即y= 40sxs2。 (3)解：①当点E在线段DC上时， DE 1 4-xP02, 4 2x=4-x,即2-4x+2=0解得x=2士2： 0≤x≤2， x=2-V2: ②如图，当点E在DC的延长线上，点P在AC的延长线上时， D 0 DE=x CE=x-2 PO=2x ,PO∥AB∥DE △ACD△APO,△PCE∽△PAB, AC CD 21 PC CE x-2 ·APPQ2xx,PAAB 2 解得x=2±√2， x>2, x=2+V2: ③如图，当点E在DC的延长线上，点P在CA的延长线上时， 73/126 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 DE=x CE=x-2 PO=2x :·PQ∥AB∥DE .APOA△CDA,△PABn△PCE, AC CD 2_1 PC CEx-2 ·APP02xx,PAAB2, PC AC 又：PAAP =1. 21 =1,即x2-4x-2=0 2 x 解得x=2±V6】 x>2, .x=2+V6, 综上所述，DE的长为2±√2或2+V6 题型九：翻折、旋转+相似综合压轴（一模中考核心） 【典例9-1】(2026上海闵行·一模)如图，矩形ABCD中，连接BD,点E是BC的中点，过点E作 EF‖BD交CD于点F,将△CEF沿直线EF翻折，点C落在平面内点G处，如果点G恰在AE上，那么 BG:AE的值是 B 【答案】 2V5 9 【详解】解：连接CG交EF于点M, 74/126 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 设CD=2a,BC=2b,BD=2c, :点E是BC的中点， ∴BE=CE=b, ,过点E作EF∥BD交CD于点F, CF_CE=1. ·DFBE ∴CF=DF=a, :矩形ABCD中，AB=CD=2a,AD=BC=2b,AD BC,∠BAD=∠ABC=∠BCD=90° .BD=AB2+AD2=2va2+b2,AE=AB2+BE2=4a2+b2, 由折叠知，EF垂直平分CG, S.cwr-CM.EF-1CF-CE, 2 ..CM=ab c ..CG=2CM=2ab c, 设△BCD的边BD上的高为h, 则SmDh0D-BC, .h=2ab C, ..CG=h, ∴点G在BD上， ADI BC .△ADG∽△EBG, .4G_DG=4D=2, ·EG BG BE ∴.AG=2EG=2b, ..AE=3b, .V4a2+b2=3b, 4a2+b2=9b2, 解得a=V2b(b>0), 75/126 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.BD=2Wa2+b2=23b, .DG=2BG, ..BD=3BG, .3BG=2√3b :BG=256. 3 b2 ..BG3 AE 3b 9 D B 【典例9-2】(25-26九年级上上海杨浦期末)如图，平行四边形ABCD中，AB=6,BC=5,过点D作 DE⊥AB,垂足为点E,将△ADE绕点E旋转得到△FGE,点A的对应点F落在边AD上，点D的对应点 FH G落在边BC上，连接FG与DE交于点H,那么GH的值一· D 7 【答案】32 【详解】解：如图所示，分别延长CB,DE,FE交于N,M D H G A E M 由题知：AE=EF, ∴，∠A=∠EFA=∠EFG 76/126 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,平行四边形ABCD :'AB=DC=6,BC=AD=5,AD//BC, AD∥BC, :.∠A=∠EBM=∠EMB=∠EFA=∠EFG, ∴.FG=MG,EB=EM, 即FG=MG=AD=BC=5, .EG⊥FM, ∴.EF=EM EF-EM-AE-EB-7AB-3.EF+EM-MF-AB-6' ·.△FDE≌aMNE(SAS), .FD=MN, ,∠A=∠EFG,∠EMB=∠EFA, ∴.△EAF∽△GMF, AF AE ·MF-GM AF 3 即65， 解得AF=18 7 .FD=MN=AD-AF-5. AD∥BC, .△DFH∽aNGH, 7 FH FD 5 7 532 GHGN7 7 故答案为：32 【变式9-1】(2025上海杨浦·一模)在平行四边形ABCD中，∠ABC是锐角，将CD沿直线I翻折至直线 AB上，点C、D的对应点分别是EF,且BE:AE=6:5,直线BD与直线CE交于点G,∠EGB=∠ABC ,则AB:BC= 77/126 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 11V138 【答案】 138 【详解】解：如图，设I交CE,DF于点M,N, F y G M 设AE=5k,BE=6k(k>0),则AB=11k. :四边形ABCD是平行四边形， .CD‖AB,CD=AB=11k. ∴.△BEGADCG EG BE 6 ∴CG-CD11' 设EG=6a,CG=1la(a>0),则EC=EG+CG=17a, :∠EGB=∠ABC,∠GEB=∠CEB. .△BEG△CEB. BE EG CE BE .BE2 EG.CE=6a.17a=102a2, ∴BE=V102a. 6k=V102a, :k=02 6 . 由题意，CD∥EF,CD=EF, ∴四边形CDFE为平行四边形， .CE=DF,CE∥DF, ,翻折， 78/126 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴I垂直平分CE,DF 则FN=EM=CE, ∴.四边形EFNM为矩形， .∠FEC=90°， ∴.∠BEC=90° 在Rt△BCE中，BC2=BE2+CE2=102a2+289a2=391a2, ∴BC=V391a. 又：AB=11k=11x102,-1V102 a 6 6 11V10 .AB 、 6 a1110211v138, BC 391a 6391138 11V138 故答案为： 138 【变式9-2】(25-26九年级上上海普陀期末)如图，△ABC中，∠BAC=90°，AC=3,AB=4,点D在 边AB上，将△ACD沿着CD翻折得△ACD,其中点A与点A对应，连接AB,如果∠ACD=∠ABA,那么 AD= B 【答案】9-35 2 【详解】解：如图所示： B 由题意可知：∠DAC=∠DAC=90°，AC=C=3,∠ACD=∠ACD,AH=AH,AA'⊥CD: ∴.△A'DH∽aCDA, 79/126 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :∠ACD+∠CAH=90°，∠DAA'+∠CAH=90°， ∴∠DAA'=∠ACD: ∠ACD=∠ABA, ∴∠DAA'=∠BAA=∠A'BA, .AA'=BA', AA'AD 六6BA4644D所以ABA: ,AB=4,设AD=x, .AA=x ·4=AA,即A4=4x AD AH ”A'DHACDA,CDAC, CD=VAC2+AD2=32+x2=9+x2, AH 3,即AH= 3x 9+x V9+x2, :.AA=24H=- 6x 9+x2, 12 6x V9+x2 =4x,解得x 9±3v5 2 点D在边AB上， AD<AB,即x<4, :AD=9-3V5 2 【变式9-3】(2025上海嘉定·一模)如图，Rt△ABC中，已知∠C=90°，AC=2,BC=4,将△ABC绕点A 逆时针旋转C(O°<a<90)得到△AB'C',点B、C的对应点分别为B、C',连接BC.如果直线BC垂直 于AB,连接BB,那么此时△AB'B的面积是 80/126 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】4v6 【详解】解：，∠C=90°，AC=2,BC=4, .AB=AC2+BC2=25, 延长B'C交AB于D,则CD⊥AB, B D CL-- ∠ACB=90°， ∴.∠ACD=∠ABC=90°-∠BAC, 又∠ADC=∠ACB=90°， :.△ACD∽△ABC, AD AC ·AC=AB,即225， 解得AD- 5, 旋转， .AB'=4B=215, BD=AB-AD30 5mx25g0=46, 故答案为：4V6 81/126 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式9-4】(25-26九年级上·上海阶段检测)(1)如图1，正方形ABCD的边长为2，点E为边BC的中 点，连接AE，将△ABE绕点A顺时针旋转9O°至△ADF,连接EF交AD于点G,爱思考的小王同学做了 AG 这样的辅助线，过点E作EH∥CF,交AD于点H,请沿着小王同学的思路思考下去，则AE的值为 (2)如图2，菱形ABCD的边长为6，∠BAD=6O°，连接BD,点E为边BD上一点，连接AE,将 AG △ABE绕点A顺时针旋转60至AADF,连接Er交AD于点G,若BE=2求AE的值： (3)如图3，在四边形ABCD中，AB∥CD,AB=BC=AD=4,∠ABC=120°，点E为边BC上一点，将 △ABE绕点A顺时针旋转12O°至△ADF,连接EF交AD于点G,∠AEG=2∠BAE,求BE的长. 图1 图2 图3 【详解】解：(1)四边形ABCD是边长为2的正方形， .∠B=∠ADC=∠C=90°，AB=BC=CD=2, ,点E是BC的中点， BE=CE=B= ..AE=4B2+BE2=22+1=5 由旋转的性质得，∠ADF=∠B=90°，DF=BE=1, .∠ADF+∠ADC=180°， ∴C、D、F三点共线， ,EH∥CF, .∠EHD=180°-∠HDC=90°， ∴四边形CDHE是矩形， ∴DH=CE=1,HE=CD=2. EH∥CF, ·.△EHG∽△FDG 82/126 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 HG_HE-2=2. ∴DGDF1 ..HG=2DG, 1 ·AG=AD-DG=2-1-5 33· .AG_3 √5 故答案为： 39 (2)如图，过点E作EM∥AB交AD于M,作EN⊥AB于N, B ,四边形ABCD是边长为6的菱形， AB=AD=6,AB∥CD ∠BAD=60°， △ABD是等边三角形，∠ADC=120°， .∠ABD=60°，BD=AB=6, BE=2, ∴.DE=6-2=4, 在Rt△BEN中，∠BEN=90°-60°=30°， &BN=2BE=1, 、ANW=6-1=5,NE=VBE2-BW2=V22-1P=V5, :AE=VAW2+NE2=52+N5=27, ,EM∥AB, 83/126 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠DME=∠DAB=60°，∠DEM=∠DBA=60°， ∴，△DME是等边三角形， ∴.ME=DE=DM=4, ,将△ABE绕点A顺时针旋转60°至△ADF, ·、∠ADF=∠ABE=60°，DF=BE=2, ∴.∠ADF+∠ADC=60°+120°=180°， C、D、F三点共线， ,EM∥AB,AB∥CD, ∴EM∥CD」 ∴.aFDG∽aEMG, MG_ME-4=2, DGDF 2 ∴.MG=2DG. 、.DG三3D/4 3, ·41G=AD-DG=6-4-14 3=3 14 ..AG 3 AE2√73 (3)如图3-1所示，过点E作EK∥AB交AD于K,作EO1AB于点O,QE的延长线交AB延长线于点 R, B R E 图3-1 :AB∥CD, .AB∥CD∥EK, ∴∠BAE=∠AEK,∠EFC=∠FEK, ,∠AEG=2∠BAE】 ∴.∠BAE=∠AEK=∠FEK=∠EFC, 84/126 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,∠ABC=120°， .∠C=∠EBR=60°， ∴∠CEQ=∠BER=30° 设BE=2x,则BR=x,ER=V3x,EC=4-2x, .E0=V5(2-x),0C=2-x,AR=4+x, :将△ABE绕点A顺时针旋转120°至△ADF, .DF=BE=2x,∠ADF=∠ABE=120°， :AB=AD=AC,AB∥CD ∴四边形ABCD是等腰梯形， ∴∠ADC=∠C=60°，∠BAD=∠ABC=120°， .∠ADF+∠ADC=120°+60°=180°， ∴CD、F三点共线， :∠BAE=∠EFC,∠ARE=∠FQE=90°， .△ARE∽△FQE. ER AR EO OF' 如图3-2所示，过点B作BP⊥CD,过点A作AO⊥CD,则∠AOP=∠AOD=∠BPO=∠BPC=90°， B 图3-2 :AB∥OP, .∠OAB=∠AOD=90° ∴四边形OABP是矩形， OP=AB=4,∠ABP=90°. .∠PBC=∠DAO=30°， :PC=8c=2,0D=4D=2, .CF=2+4+2+2x=8+2x, 85/126 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 0F=8+2x-(2-x)=6+3x. 3x 4+x 3(2-x)6+3x’ 解得x=5-1,为=-3-1（不合，舍去）， .BE=2x=2V5-2 三融汇黄通 镜力是化 一、 单选题 1.(25-26九年级上·上海宝山期末)我国古书《墨经》中记载了世界上最早的“小孔成像”的现象.墨 子曾进行如下实验：在暗室的墙上开一个小孔，一人立于墙前，当阳光照射时，屋内对面墙壁上会呈现一 个倒立的人像.已知初始状态下，小孔O到人AB的距离、小孔O到所成像CD的距离均为6米，要使像 CD的长度变为原来的1.5倍，下列操作正确的是() 暗室 小孔 A.人向暗室后退2米 B.人向暗室前进2米 C.人向暗室后退4米 D.人向暗室前进4米 【答案】B 【详解】解：由题意得，△AOB∽aDOC, ∴小孔O到人AB的距离：小孔O到所成像CD的距离=AB:CD, ,操作前小孔O到人AB的距离、小孔O到所成像CD的距离均为6米， ∴操作前AB:CD=1:L: ,操作后像CD的长度变为原来的1.5倍， ∴操作后小孔O到人AB的距离：小孔O到所成像CD的距离=AB:CD=1:1.5=2:3, 当人向暗室后退2米时，小孔O到人AB的距离：小孔O到所成像CD的距离=(6+2)：6=4：3，不满足题 意，故A不符合题意： 当人向暗室前进2米时，小孔O到人4B的距离：小孔O到所成像CD的距离=(6-2)：6=2：3，满足题意， 故B符合题意； 86/126 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 当人向暗室后退4米时，小孔0到人AB的距离：小孔0到所成像CD的距离=(6+4)：6=5：3，不满足题 意，故C不符合题意： 当人向暗室前进4米时，小孔O到人AB的距离：小孔O到所成像CD的距离=(6-4)：6=1：3，不满足题意， 故D不符合题意： 故选：B 2.(25-26九年级上上海杨浦期未)如图，己知在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DEBC, ∠ACD=∠B,下列结论中错误的是() D E DC2 AE DE2 AD A. BC-AC B. DC2 AB c. AD2 AE EC2 DE AC AB D. 【答案】C 【详解】解：：DEI‖BC,∠ACD=∠B,∠A=∠A, ∴∠EDC=∠DCB, .△ABCP△ACD∽△ADE,△DBCAECD, AC AB BC AB AC BC AC AD CD EC_DECD ·ADAC CD,ADAE DE,ADAE DE'BD DC BC· BC CD CD DE'AD2=AC.AE'AC2=AB.AD' .'CD2=BC.DE. CD2BC·.DE DE AE ∴BC2 BC2 CC,放A正确：不符合题意： DE2 DE2 DE AD DC BC.DE=BC=AB,故B正确，不符合题意： AD2_AC·AE+AE AC AB.AD*AB,故C错误，符合题意： 87/126 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 EC2 DE2 DE2 DE BD2 BC·DE BC 故D正确，不符合题意， 故选：C 3.(25-26九年级上·上海奉贤·期末)如图，四边形ABCD和四边形EFGH是两个全等的矩形，E是边BC 的中点，连接DF、AG.如果DF⊥AG,BC=4,那么AB的值为() D B E 3 A.1 B.2 C.2 D.5 【答案】D 【详解】解：如图所示，设AG,BC交于M,BC,DF交于N, ,四边形ABCD和四边形EFGH是两个全等的矩形， .AB=GH,∠ABM=∠GHM=90°，EH=BC=4: 又：∠AMB=∠GMH, ·.△ABM≌aGHM(AAS), ∴.BM=HM: :E是边BC的中点， :BE-CE-1BC-2, 2 ∴.BH=BE+EH=6, ÷BM=M=2BH=3, .CM=BC-BM=1,EM=BM-BE=1, ∴.EM=CM; 同理可证明△EFV≌△CDN, :EN =CN=CE=1, “.EM=EN,即点M和点N重合： 88/126 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,DF⊥AG, .∠AMD=90°， ∴∠BMA+∠CMD=90°， 由矩形的性质可得AB=CD,∠B=∠BCD=90°， .∠BAM+∠BMA=90°， ∴.∠BAM=∠CMD. .△ABM∽△MCD. AB BM AB 3 ∴CMCD,即1=AB, ÷AB=V3或AB=-3(舍去)， 故选：D D B H E M(N) G 4.(2026:上海金山一模)在等边△ABC中，点E、F分别在边AB、AC上，将△ABC沿EF折叠，使得点 A与△ABC的重心G重合，EF与AG交于点O,延长AG交BC于点D,那么EF:OD的值为() A号 3 B 2 c.3 D.1 3 【答案】C 【详解】解：如图：设等边△ABC的边长为2√3，建立平面直角坐标系： B D 则B(-5,0),C(3,0),A0,3) :BC中点D0,0),重心G0,)(AD=3,根据重心性质，重心G将AD分为2：1) ：.AG中点00,2)(A0,3)与G(0,1)的中点， :折叠后EF为AG的垂直平分线， 89/126 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :.EF为水平线y=2(垂直于y轴且过O) 设直线AB解析式：y=c+b过A(0,3),B(-√3，O)两点， 3=b k=5 ·0=-V3k+b解得{b=3 线0试，=+3联，-商52。 设直线AC解析式：y=mx+n过A(0,3),C(√5,0)两点， 3=n m=-√5 六0=5m+n解得n=3, .EF 3. 3V3-2w3 3 3 .0D=|2-0=2 ..EF:OD= 25 2 3 3, 故选：C. 5.(25-26九年级上·上海闵行阶段检测)如图，点P是边长为1的正方形ABCD的对角线BD上的动点， 过点P分别作PE⊥BC于点E,PF⊥DC于点F,连接AP并延长，交射线BC于点H,交射线DC于点 M,连接EF交AH于点G,当点P在BD上运动时（不包括B,D两点），以下结论中：①AH⊥EF; ②MF=MC;③AP2=PM·PH;④EF的最小值是2.其中正确结论是() D H A.①③ B.②③ C.③④ D.①④ 【答案】A 【详解】解：①如图：连接PC交EF于O.根据对称性可知∠DAP=∠DCP,AP=PC, 90/126 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M B -H :∠DCE=90°，PE⊥BC,PF⊥DC, 四边形PECF是矩形， ..OF=OC,PC=EF, ∴.∠OCF=∠OFC, ∴.∠OFC=∠DAP,. ∠DAP+∠AMD=90°， ∴.∠GFM+∠AMD=90°， .∠FGM=90°， ∴AH⊥EF.即①正确： ②当点P与BD中点重合时，CM=0:MF-2CD,显然FM+CM:即②错误； 2 ③，AD∥BH, ∴.∠DAP=∠H, ·∠DAP=∠PCM, ∴∠PCM=∠H, ,∠CPM=∠HPC, .aCPM∽aHPC, PC PM HP PC .PC2=PM-PH, .PC=EF, EF2=PMPH,即③正确： ④，四边形PECF是矩形，· ∴PC=EF, ∴当CP⊥BD时，PC的值最小，此时A、P、C共线， :AC=VP+12=√2， 91/126 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 √2 ·PC的最小值为2， 2 ·EF的最小值为2. 故④不正确 综上，正确的有①③. 故选：A 二、填空题 6.(2026上海长宁：一模)如图，在△ABC中，∠A=60°，∠B=70°，D、E分别是边AB、AC上的点， AD 4 AB 满足AB5,若E为AC的中点，且∠ADE=5O°，那么AC的值为， D B V10 【答案】4 【详解】解：，在△ABC中，∠A=60°，∠B=70°， ,∠C=180°-60°-70°=50°， ,∠ADE=50°， .∠ADE=∠C, 又∠A=∠A, ∴.△ADE∽aACB, AD AE ·AC=AB’ .AD·AB=AE·AC, :0号E西C的巾点 &4D-=号484E=4C, 1 号484B4c4c,即4g-× AC=2×48 AB>0,AC>0 92/126 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AB510 ACV8 4； 10 故答案为： 7.(2026上海闵行·一模)在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的黄金分割点，且AD>DB,AE>EC, BC=2,那么DE的长是 (结果保留根号)· 【答案】5-1 【详解】解：，点D是AB的黄金分割点，且AD>DB, AD 5-1 AB 2 AE 5-1 同理可得4C 2 AD AE AB AC' 又，∠A=∠A, .△ADE-△ABC, DE AD ·BCAB' E=5-1 即2 2 .DE=V5-1, 故答案为：V5-1. 8.(24-25九年级上·上海虹口·期中)在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的 三角形叫做格点三角形.如图，△ABC是格点三角形，在图中的6×6正方形网格中作出格点三角形△ADE (不含△ABC),使得△ADE∽△ABC(同一位置的格点三角形△ADE只算一个)，这样的格点三角形一 共有个. 93/126 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A B 【答案】6 【详解】解：有图可知：△ABC的三边为： AB=V42+22=25,AC=V42+22=25, BC=V22+22=2√2 :AB:AC:BC=:: 如图所示： 可能出现的相似三角形共有以下六种情况： E 故答案为：6 9.(25-26九年级上上海虹口阶段检测)如图，在△ABC中，AB=AC=2V3,BC=8,矩形DEFG的 顶点E、F分别在AB、AC边上，DG在边BC上，连接DF,如果∠EDF=∠C,那么△AEF与△ABC的 周长比是 94/126 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】7 【详解】解：，矩形DEFG ∴EF∥BC,LDEF=∠EDG=LDGF=90°，DE=FG, .∠BDE=∠FGC=90°， .AB=AC=2v13. .∠B=∠C, :∠EDF=∠C, ∴∠B=∠EDF, 又：∠BDE=∠DEF=90°， ∴.△BDE∽△DEF, BD DE DE EF' 过A作AH⊥BC于H点，故∠AHD=90°， ,∠BDE=90° ∴.ED∥AH, .△BDESABHA, BD BH ·DEAH' AB=AC=2v13,BC=8, .BH=4,AH=AB2-BH2=6, BD BH 2 ·DE=AH3' 设BD=2x,DE=3x,故BE=VBD2+DE2=V13x, BD DE DEEF' ..EF=DE2 9 BD=2* EF∥BC, :.△AEF△ABC, 95/126 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 9 E职=4E-AB-BE,即2_2丽-Bx, BC AB AB 8 2W13 解得=台 916 F-27-9 -X BC 817 9 “AAEF与△ABC的周长比为 D H G 9 故答案为：17 10.(25-26九年级上·上海金山周测)如图，己知点D、B分别在线段AB和AC上，点F是BE与CD的 交点，∠B=∠C,如果DF=4EF,AB=6,AC=4,那么AD的长等于一· D B 【答案】2 【详解】解：~∠DFB=∠EFC,∠B=∠C, ·△DBF∽△ECF, EFFC-EC-4 DF BF BD ∠B=∠C,∠A=∠A, △ABEP△ACD, AB AE .AC AD' AB=6,AC=4, AE 63 .AD42, 96/126 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 设CE=x,则BD=4x, AE=AC-CE=4-x,AD=AB-BD=6-4x, 4-x_3 .6-4x2· x=1 经检验x=1是原方程的解， .AD=6-4×1=2. 故答案为：2. 11.(25-26九年级上·上海浦东新阶段检测)如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC交AB于点E,若 △ABC的重心G在DE上，则AB:BC的值是 E G B 【答案】2 【详解】解：连接AG,并延长AG交BC于点H, 4 H G是△ABC的重心， AG=2, ÷AH是AABC中线，且G .ED II BC, AE AG ∴BEGH =2, :BD是△ABC的角平分线， ∠EBD=∠DBC, .DE∥BC, 97/126 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠EDB=∠DBC, ∴∠EBD=∠EDB, ∴EB=ED, 设EB=ED=a, 则AE=2a, DE∥BC, .△AEDP△ABC, ED AE BC AB' a 2a BC-3a' 解得：BC= 20, AB3a=2 .BC 3a 2 故答案为：2」 12.(25-26九年级上·上海奉贤期末)如图，矩形ABCD的面积为18，对角线AC、BD交于点O.如果 E、R、G、H分别是△ABO,△BCO,△CDO,△ADO的重心，那么四边形EFGH的面积是 D B 【答案】4 【详解】解：如图，连接OE,OH,OG,OF,并分别延长，与AB,AD,CD,BC分别交于P、Q R、S,连接PO、OR、SR、PS, R ,四边形是矩形，AC与BD是对角线， 98/126 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ·AC=BD OA C =AC,OB-OD-1BD. 2 2 ..OA=OB=OC=OD E、R、G、H分别是△ABO,△BCO,△CDO,△ADO的重心， :.OP是△ABO的中线，OS是△BCO的中线，OR是△CDO的中线，O是△ADO的中线， .OP⊥AB,OR⊥AB,O0⊥AD,SO⊥BC, .Q、O、C三点共线，P、O、R三点共线， :E、H分别是△ABO,△ADO的重心， .OE:PE=2:1,OH:HQ=2:1, .OE:OP=2:3,0H:0Q=2:3 .OE:OP=OH:00,OH:00=2:3 又∠HOE=∠QOP .△HOE△QOP, S.HOE OH :.S00 .S△HoE= S△Po, ,四边形ABCD是矩形， ∴.∠PA0=90°， .OP⊥AB,OR⊥AB, ∴.∠AP0=∠A00=90° ∴四边形APO卫是矩形， 同理可得：四边形BSOP是矩形，四边形CSOR是矩形，四边形DQOR是矩形， :四边形APO0是矩形， .AP=00.A0=OP. 又PQ=P9 .△APQ≌aQOP(SSS). 1 99/126 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4 41 2 同理可得：50e-号Se,Sau-弓S起0am,Soo-子 2 2 ∴.S四t边形ErGH=S△HOE+S△OBF+S△OFG+S△OHG 2 2 2 S矩形D0oR =二S形APO0十。S矩形B5Op十亏花8r大一C 9 9 9 SE形ABCD 2 ×18 9 =4, 故答案为：4. 13.(25-26九年级上·上海阶段检测)定义：在同一平面内，如果两条线段所在直线形成的夹角是60°， 且这两条线段相等，则称其中一条线段是另一条线段的双关联线段，也称这两条线段互为双关联线段.如 图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，AD⊥BC于D,BE与AD相交于点F.若边BE是边AD EF 的双关联线段，且BD=V5DC,则BF B D 【答案】6 【详解】解：过点E作EH⊥AD于点H,如图所示： HE D C:.∠EHD=90° ∴△EHF是直角三角形， 100/126