1.2.4 二面角（教学课件）高二数学人教B版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦二面角的定义、平面角构成要素及空间向量求解步骤，通过体育馆屋顶双坡面、神舟飞船对接等生活与科技实例导入，从几何推理法（定义法、三垂线法）过渡到空间向量法，搭建从直观几何到代数运算的学习支架。 其亮点在于以“数学眼光”观察现实问题，“数学思维”实现几何问题代数化的化归，“数学语言”规范向量运算表达。通过互动探究辨析二面角与面面角范围，典例分析对比传统几何法与向量坐标法，小结四步骤及易错提醒。帮助学生掌握解题方法培养逻辑思维，为教师提供系统教学流程和重难点指导。

【新教材】人教B版·高二选择性必修第一册 第一章 空间向量与立体几何 1.2.4 二面角 1.2 空间向量在立体几何中 的应用 学 习 目 标 1 2 3 学生能准确复述二面角的定义、平面角的构成要素，清晰区分二面角与平面角的差异。 熟练掌握用空间向量求解二面角的完整步骤，能独立完成建系、求法向量、计算向量夹角的全流程操作。能准确判断二面角的实际大小与两平面法向量夹角的对应关系 通过从几何法过渡到向量法的探究过程，体会将空间几何问题转化为代数运算的化归思想。 新课引入 学校新建的体育馆，屋顶采用的是双坡面结构，施工时工人师傅要保证两个坡面形成的二面角完全符合设计图纸，才能让屋顶既美观又能顺利排水。以前用几何方法测量容易有误差，就需要用空间向量，精准算出这个二面角的大小。 生活应用类 科技热点类 咱们国家的神舟系列飞船和空间站对接时，两个飞行器的轨道平面必须形成精准的夹角，才能顺利完成对接任务。地面测控人员就是用空间向量的方法，计算两个轨道平面的二面角，来调整飞船姿态的，今天我们就来掌握这个核心计算逻辑。 目标一：几何推理法研究二面角及其度量 互动探究 概念定义 二面角及其度量 我们已经知道，平面内的一条直线把一个平面分成两部分，其中的每一部分都称为一个半平面。从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角，这条直线称为二面角的棱，这两个半平面称为二面角的面。 棱 半平面 半平面 二面角的度量 如图所示，在二面角 α-l-β 的棱上任取一点 o ，以 o 为垂足，分别在半平面 α 和 β 内作垂直于棱的射线 OA 和 OB ，则射线 OA 和 OB 所成的角称为二面角的平面角。二面角的大小用它的平面角大小来度量，即二面角大小等于它的平面角大小。特别地，平面角是直角的二面角称为直二面角。 互动探究 角的范围 二面角及其度量 二面角可以是钝角；面面所成角一定不会是钝角。 若二面角平面角为，则这两个平面所成角为（取其补角）。 书写规范： 二面角： 两平面所成角： 概念 取值范围 核心说明 图形理解 二面角的平面角 一个二面角本身对应一对互补的平面角；两个平面相交会形成四个二面角（两组互补角）。 平面重合；平面垂直；平面反向张开 两个平面所成的角（面面夹角） 取相交产生的四个二面角中锐角或直角，是日常解题中默认的面面夹角，舍弃钝角。 只看较小的那个角度，范围不会超过直角 关键辨析 典例分析 传统几何之定义法作二面角的平面角 平移 例1 定角 如图所示，已知二面角 的棱上有 两个点， ，若 ，求二面角 的大小。 如图所示，在平面 内过 作 的平行线 ，且使得 ，连接 因为四边形AEDB是一个矩形， 是二面角 的一个平面角， 面 ，所以 面 ，从而 在 中，由余弦定理可知： 因此 。即所求二面角的大小为 。 定义示法：平移CA到B，或平移BD到A，构成平面角。 求角 典例分析 传统几何之三垂线法作二面角的平面角 定理 例2 启示 如图所示，设 为二面角 的半平面 上的一点，过点 作半平面 的垂线 ，垂足为点 ，设 为棱 上一点。 （1）判断 是 的什么条件； （2）由二面角的平面角作法，你能得到什么启发？ 三垂线定理及逆定理在得线线垂直方面很实用。 因为 是 在平面 内的射影，所以 是 在平面 内的射影，从而根据三垂线定理及其逆定理可知， 是 的充要条件。 当二面角 是一个锐角时，由此我们能得到作出它的平面角的另一种方法：过其中一个半平面内一点 ，作另一个半平面的垂线段 ，过 （或 ）作棱的垂线 （或 ），连接 （或 ）即可。 互动探究 推论：余弦公式法求二面角大小 二面角 如果二面角 的大小为 ，则可以看出 与 在 边上的高之比为 ，因此这两个三角形的面积之比也为 。 说明：两个图形是斜图形和射影图形，不一定是三角形，也可以是四边形等平面图形。已知两者面积的条件下，用这个公式是最便利的，如果没有面积，肯定得回归到定义上来。 典例分析 应用三垂线定理法度量二面角示例 用图 例3 定角 求角 如图所示三棱锥 中，平面 平面 ，且 ，求二面角 的大小。 用三垂线法作二面角平面角 设 分别为 的中点，连接 。 因为 ，所以 ，又因为平面 平面 ，所以 平面 ，因此 在平面 内的射影为 。又因为 为 的中位线， ，所以 ，从而由三垂线定理可知 ，因此 为二面角 的一个平面角。 由 且 可知 ； 又因为 ； 而且 ； 从而可知 ，即所求二面角大小为 。 目标二：空间向量法研究二面角及其度量 知识讲解 二面角 空间向量法 如果 互动探究 解读空间向量法 二面角 一、核心原理 用空间向量求二面角的核心是通过两个半平面的法向量夹角，间接确定二面角的大小，二者可能相等也可能互补，需结合图形判断方向关系。 二. 坐标法（最常用）  建系：根据几何体的点线面垂直关系，选取合适原点建立空间直角坐标系，标注所有相关点的坐标。  求法向量：分别在两个半平面内取两个不共线向量，通过待定系数法列垂直方程组，求出两个平面的法向量；  算夹角：用点积公式计算法向量夹角的余弦值：  定二面角：根据法向量指向判断最终角度： o 一个法向量指向二面角内部、一个指向外部时，二面角等于法向量夹角。 o 两个法向量都指向内部或都指向外部时，二面角等于法向量夹角的补角 三.基向量法 若题目明确求锐二面角，可直接取绝对值计算基向量法  在二面角的棱上取一点，分别在两个半平面内作垂直于棱的向量。  将这两个向量用选定的一组基底表示，通过点积公式直接计算其夹角，该夹角即为二面角的大小。 典例分析 空间向量坐标示度量二面角示例 建系 例3 坐标 求值 如图所示，已知四棱锥 中， 平面ABCD，ABCD为直角梯形， ，且 。求平面SAB与SCD所成角的正弦值。 一般用空间向星坐标法，一般求正弦值，不必判断成角锐或钝。 依题意， 两两互相垂直。以 为原点， 的方向分别为 轴、 轴、 轴正方向， 的长为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系。 ，所以显然， 是平面SAB的一个法向量。设平面SCD的一个法向量为 ，则可求得n=(3,-2,1) 所以可知所求角的正弦值为： 典例分析 空间向量坐标示度量二面角示例 建系 例4 坐标 求值 如图所示，已知直三棱柱 中， ，且 是 的中点。求平面 与平面 所成角的大小。 这道题中的二面角是直二面角，所以，也回避了锐角与钝角的判断。 依题意， 两两互相垂直。以 为原点， 的方向分别为 轴、 轴、 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系。则 ，所以：设平面 的一个法向量为 ，则可得n=(-1,0,1)。设平面 的一个法向量为 ，则m=(1,2,1) 值为： 目标三：针对训练 举一反三 1.设平面与平面的夹角为，若平面的法向量分别为，，则( ) A. B. C. D. 1.答案：B 解析：由两个平面的夹角概念知，， 故选：B. 举一反三 2.已知向量，分别为平面，的法向量，则平面与的夹角为( ) A. B. C. D. 2.答案：C 解析：， 又平面与平面的夹角的取值范围为，平面与的夹角为. 举一反三 3.设，分别为两平面的法向量，若两平面所成的角为，则t等于( ) A.1 B. C.或1 D.2 解析：因为法向量a，b所成的角与两平面所成的角相等或互补，所以，得. 4.如图，点A、B、C分别在空间直角坐标系的三条坐标轴上，，平面ABC的法向量为，设二面角的大小为，则( ) 解析：， 故选：C. 举一反三 5.已知二面角中，平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则二面角的平面角满足( ) A.余弦值为 B.正弦值为 C.大小为 D.大小为 解析：设所求二面角的平面角的大小为，则， 所以或，故CD错误，又因为，故A错误，B正确. . 举一反三 6.已知二面角 的大小为60°，和是两条异面直线，且，则与所成的角的大小为（ ） A. B. C. D. 解析：设直线的方向向量，， 所以分别是平面的法向量，二面角的大小为60°， 夹角为或，因为异面直线所的角为锐角或直角， 所以与所成的角为. 举一反三 7.在正方体 中，二面角的大小为( ) A. B. C. 1 D. 解析：如图，以为原点，分别以所在直线为x轴，y轴，轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为a，则.设平面的法向量为，则，，∵，∴，令，则，同理可得平面的一个法向量为.，而二面角为钝角，故为. 目标四：小结 学海拾贝 本节核心：利用平面的法向量快速求解二面角大小，避开传统几何法找棱、作垂线的难点，是高考求解二面角的主流通用方法，核心逻辑为：二面角的大小 ≈ 两个面法向量的夹角或其补角。 一、核心公式 设平面α的法向量为n₁，平面β的法向量为n₂，法向量夹角为θ，二面角大小为φ，则： 核心关系： 或 学海拾贝 二、标准解题四步骤 建系找点：根据几何体结构，建立空间直角坐标系，准确求出两个半平面内所有关键点的坐标； 求面内向量：在两个平面内，分别选取两组不共线的向量（避免共线，保证可求法向量）； 求法向量：利用向量垂直数量积为0，列方程组求解两个平面的法向量n₁、n₂； 算角判型：代入公式计算法向量夹角余弦值，结合图形判断二面角是锐角或钝角，确定最终角度。 学海拾贝 三、必记重点和高频易错提醒（核心注意事项） 1. 最核心易错：不判断角度关系，直接代公式 向量公式算出的永远是法向量夹角的余弦绝对值（锐角），不能直接当作二面角！二面角可能是锐角、钝角或直角，必须结合图形判断： • 观察二面角实际开合状态：锐二面角取计算值，钝二面角取补角； • 无图无法直观判断时，可通过法向量方向判断：两法向量同时指向二面角内部/外部，夹角为补角；一内一外，夹角等于二面角。 学海拾贝 2. 法向量求解的常见错误 选面内向量时，误用共线向量，导致方程组无解，无法求出法向量；必须选取同一平面内不共线的两个向量； 解方程组时计算失误，法向量坐标写错，直接导致最终角度错误；法向量不唯一（可放大、缩小、反向），不影响最终夹角结果，无需纠结坐标数值大小； 遗漏零向量：法向量不能为零向量，求解后需简单验证。 【新教材】人教B版·高二选修第一册 感谢聆听! $