抛体运动 专练（运动模型）-2026-2027学年高一下学期物理人教版必修第二册

**基本信息** 聚焦抛体运动全类型问题，以运动分解为核心方法，构建从基础平抛到复杂类抛的递进式训练体系，强化物理观念与科学思维。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |平抛相遇问题|4题|弹性碰撞对称性分析、轨迹方程联立|水平竖直运动独立性→多体运动关联| |平抛与斜面结合|7题|斜面倾角分解、速度反向延长线推论|平抛规律→斜面约束条件应用| |平抛与曲面结合|3题|曲面几何关系转化、速度方向临界分析|平抛模型→曲面边界条件拓展| |斜面上类平抛|4题|斜面坐标系建立、加速度分解|平抛迁移→非重力场曲线运动| |外力类平抛|5题|正交分解法、动量定理应用|恒力作用→曲线运动条件分析| |斜抛运动|6题|运动可逆性、极值问题不等式求解|斜抛分解→射程与最值规律|

抛体运动和圆周运动 一．平抛运动中的相遇问题（共4小题） 1．（2026•磁县模拟）在某次训练中，乒乓球运动员将A、B两个相同的乒乓球从同一位置先后水平击出。A球以初速度v1水平击出后直接落到e点；B球以初速度v2水平击出后先落到本方场地后弹起，并再次反弹后也落到e点。已知两球与地面发生弹性碰撞，两球的运动轨迹如图所示，忽略空气阻力，且两球在空中的运动互不影响。下列说法正确的是（　　） A．两球一定会在b点相遇 B．两球的初速度之比为 C．a、b两点的竖直距离与c、d两点的竖直距离之比为4：7 D．a、b两点的水平距离小于d、e两点的水平距离 2．（2025秋•吉林期末）如图所示，人形机器人陪伴小孩玩接球游戏。机器人在高度为2.2米的固定点以速率v1水平向右抛球，小孩以2m/s的速率水平向左匀速运动，接球时手掌离地面高度为0.4米。当小孩与机器人水平距离为6米时，机器人将小球抛出。忽略空气阻力，重力加速度g取10m/s2。若小孩恰好能接到球，则v1为（　　） A．10m/s B．8m/s C．7m/s D．6m/s （多选）3．（2026春•琼山区校级期中）如图所示，一半径为R的半球形坑，其中坑边缘两点与圆心等高且在同一竖直面内。现甲、乙两位同学分别将M、N两个小球以v1、v2的速度沿图示方向水平抛出，发现两球刚好落在坑中同一点Q，已知∠MOQ＝53°，sin53°＝0.8。cos53°＝0.6，重力加速度为g，忽略空气阻力。则下列说法正确的是（　　） A．v1 B．v2 C．两球的初速度无论怎样变化，只要落在坑中的同一点，两球抛出的速率之和不变 D．若仅从M点水平抛出小球，无论小球抛出的速度大小如何，小球都不可能垂直于坑壁落入坑中 （多选）4．（2026春•永宁县校级月考）在同一水平直线上的两位置分别沿同一方向水平抛出两个小球A、B，其运动轨迹如图所示。不计空气阻力，要使两球在空中相遇，则必须满足（　　） A．A球的初速度大于B球的初速度 B．A球的初速度小于B球的初速度 C．使两球质量相等 D．同时抛出两球 二．平抛运动与斜面的结合（共7小题） 5．（2026春•东莞市校级月考）斜面上有P、R、S、T四个点，如图所示，PT＝TS＝SR，从P点正上方的Q点以速度v水平抛出一个物体，物体落于T点，若从Q点以速度2v水平抛出一个物体，不计空气阻力，则物体落在斜面上的（　　） A．S与R间的某一点 B．S点 C．T与S间某一点 D．T点 6．（2026春•包河区校级期末）如图所示，一质量为m的小球放在倾角为θ（0＜θ＜90°）的斜面上，斜面足够长。现将小球从斜面一确定位置A以初速度v水平抛出，碰撞点距抛出点的距离为l，落点为C点，不计空气阻力，重力加速度大小为g，则下列说法正确的是（　　） A．小球刚好下落到斜面时，垂直于斜面方向的速度分量大小为vg＝vsinθ+2vtanθcosθ B．小球从被抛出到与斜面碰撞所用的时间为 C．若小球在离斜面最远处沿垂直于斜面方向的投影点为B点，则AB：BC＝1：3 D．若将小球速度增加到2v，则碰撞点距抛出点的距离增加至2l 7．（2026春•庐江县校级期末）如图所示，AB为斜面，BC为水平面且足够长，在斜面顶端A点以速度v0水平抛出一小球，经过时间t1恰好落在斜面的中点P；若在A点以速度2v0水平抛出小球，经过时间t2完成平抛运动。不计空气阻力，则（　　） A．t2＜2t1 B．t2＝2t1 C．t2＞2t1 D．落在斜面底端B点 8．（2026春•禹州市期末）如图所示，坡面AB的倾角为60°，坡面CB的倾角为30°，某战士在坡面AB上的P点以垂直AB面的方向投出一枚手榴弹，手榴弹恰好垂直落在CB面上。已知，重力加速度为g，不计手榴弹的大小，不计空气阻力，下列说法错误的是（　　） A．手榴弹在空中的运动是匀变速运动 B．手榴弹在空中的运动轨迹是抛物线的一部分 C．手榴弹在空中运动的时间为2 D．手榴弹被抛出时的速度大小为 9．（2026•市南区校级模拟）跳台滑雪是一种勇敢者运动，运动员在滑雪道上获得一定速度后从跳台飞出，在空中飞行一段距离后着陆。如图，某运动员从跳台a处沿水平方向飞出，已知2s时运动员离斜坡面最远，a到b的水平距离为60m。不计空气阻力，重力加速度g＝10m/s2，下列说法正确的是（　　） A．运动员离坡面的最大距离为12m B．运动员离坡面的最大距离为20m C．运动员在a处的速度大小为10m/s D．斜坡的倾角为37° 10．（2026春•西青区期末）如图所示是位于同一竖直平面内的某装置，M是固定的直三棱柱，O是三棱柱表面上的一点。N是倾角为θ＝37°的固定斜面，A是斜面上的点。小球从距离O点为H＝11.25m高度处静止落下，与三棱柱碰撞于O点（不计碰撞时间），碰后速度方向水平向右，速度大小与碰前相同，之后小球恰能垂直斜面打在A点。重力加速度g取10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，不计空气阻力。求： （1）小球落在A点的速度大小vA； （2）小球从O点运动到A点的水平位移大小x； （3）小球从开始运动至运动到A点的总时间t。 11．（2026春•滨海新区期末）跳台滑雪是一种勇敢者的滑雪运动，运动员穿专用滑雪板，在滑雪道上获得一定速度后从跳台飞出，在空中飞行一段距离后着陆。现有某运动员从跳台A处沿水平方向速度飞出，在斜坡B处着陆，如图所示。测得AB间的距离为75m，斜坡与水平方向的夹角为37°，不计空气阻力，g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。求： （1）运动员在空中飞行的时间； （2）运动员在A处的速度大小。 三．平抛运动与曲面的结合（共3小题） 12．（2026春•南安市月考）水车是古代中国劳动人民发明的灌溉工具。图甲为赤峰市道须沟风景区内的一架水车，图乙为水车工作时的示意图。高处的水从水槽沿水平方向流出，水流出后垂直落在与水平面夹角为θ＝30°的水轮边缘上，冲击轮叶使水车转动。已知槽口到水车轴所在水平面距离为2R，水车轮轴到轮缘距离为R。水在空中的运动可视为平抛运动。重力加速度为g。求： （1）水流从槽口到轮叶的运动时间t； （2）水流初速度大小v0； （3）水流打在轮叶上速度大小v。 13．（2025秋•张家口期末）跑酷是以日常生活的环境为运动场所的极限运动。一跑酷运动员在水平高台上水平向右跑到高台边缘，以v0的速度从边缘上的A点水平向右跳出，运动t1＝0.6s后落在一倾角为53°的斜面上的B点，速度方向与斜面垂直。随后运动员迅速转身并调整姿势，以的速度从B点水平向左蹬出，刚好落到斜面的底端C点。D点为平台的下边缘点，假设该运动员可视为质点，不计空气阻力，重力加速度g取10m/s2，sin53°＝0.8，cos53°＝0.6。求： （1）运动员从高台边缘跳出时的水平速度v0的大小； （2）DC间的距离。 14．（2025春•江西月考）如图所示，足够长的竖直轨道AB与半圆槽BCD在同一竖直面内，O点为半圆槽的圆心，B、D点的连线水平，C为圆槽的最低点。安装在竖直轨道AB上的弹射器可上下移动，能水平向右发射出不同速率的弹丸（视为质点，出射点处于B点正上方）。已知半圆槽的半径R＝3m，P点为半圆槽上O点右侧的一点，∠POD＝θ＝53°。取重力加速度大小g＝10m/s2，sin53°＝0.8，cos53°＝0.6，不计空气阻力。 （1）调整弹射器的位置，使得弹丸出射点到B点的距离d1＝4.8m，水平向右发射弹丸后弹丸恰好落在P点，求弹丸的初速度大小v1； （2）调整弹射器的位置和弹丸的出射速率，使得弹丸均能击中半圆槽上的P点，求弹丸落到P点的最小速率vmin； （3）调整弹射器的位置和弹丸的出射速率，使得弹丸垂直击中半圆槽上O点右侧的Q点（图中未画出），若已知弹丸击中Q点时的速度方向与水平方向的夹角为α（0＜α＜90°），求弹丸出射点到B点的距离d和弹丸击中Q点时的速度大小v。（均用α表示） 四．在斜面上的类平抛运动（物体在斜面上运动）（共4小题） （多选）15．（2026•模拟）如图，一光滑宽阔的斜面，倾角为θ，高为h，现有一小球在A处以水平速度v0射出，最后从B处离开斜面，下列说法正确的是（　　） A．小球的运动轨迹可能为圆弧 B．小球的加速度为gsinθ C．小球从A处到达B处所用的时间为 D．小球到达B处的水平方向位移大小 （多选）16．（2026春•青山湖区校级月考）如图所示，光滑斜面体abcdfe的斜面倾角为θ＝30°，斜面长ab＝cd＝10m，斜面宽ad＝bc＝5m，第一次将小球从a点以速度v1沿ad方向抛出，小球在斜面内运动恰好经过c点，所用时间为t1；第二次将小球从a点以速度v2沿平行eb方向抛出，小球离开斜面运动恰好经过b点，所用时间为t2，不计空气阻力，重力加速度g取10m/s2，小球在a→c点运动的过程中，以下说法正确的是（　　） A．t1：t2＝2：1 B．v1：v2＝1：2 C．第二次小球离开斜面的最远距离为 D．第二次小球离开斜面的最远距离为 17．（2024春•蓝田县期中）如图所示，光滑斜面长L＝10m，倾角为30°，一小球从斜面的顶端以v0＝10m/s的初速度水平射入，求：（g取10m/s2） （1）小球沿斜面运动到底端时的水平位移x； （2）小球到达斜面底端时的速度大小。 18．（2021春•定远县校级月考）如图所示的光滑固定斜面长为l、宽为b、倾角为θ，一物块（可看成质点）从斜面左上方顶点P沿水平方向射入，恰好从底端右侧Q点离开斜面，已知重力加速度为g，不计空气阻力，求： （1）物块加速度的大小a； （2）物块由P运动到Q所用的时间t； （3）物块由P点水平射入时初速度的大小v0。 五．在外力作用下的类平抛运动（共5小题） 19．（2026•模拟）如图，某人从高出水平地面h的山坡上P点处水平击出一个质量为m的高尔夫球，高尔夫球在飞行中受到恒定的水平风力作用，最终竖直落入距击球点水平距离为L的洞穴Q中，则（　　） A．高尔夫球飞行中做的是平抛运动 B．高尔夫球飞行的时间为 C．高尔夫球飞行中受到的水平风力大小为 D．高尔夫球被击出时的初速度大小为 20．（2026春•温州期中）如图所示，在光滑水平面上，一质量为m做匀速直线运动的小球，经过a点时受一水平恒力的作用，经过b点时速度方向偏转90°。已知经过a点的速度大小为v、方向与ab连线夹角为30°，ab连线长度为L。对小球从a到b的运动过程中，下列说法正确的是（　　） A．小球在b点的速度为v B．所用的时间为 C．最小速度大小为v D．若仅改变小球在a点的速度大小，小球下一次经过ab连线时的速度偏转角也发生变化 （多选）21．（2025秋•东湖区校级期末）如图所示，一质量为m的物体受水平面内恒力作用，在光滑水平面上运动。从A点经一段时间运动到B点，速度大小分别为v和，方向分别与虚线AB成60°和30°。则下列说法中正确的是（　　） A．物体从A点运动到B点做匀变速曲线运动 B．物体从A点运动到B点速度变化量大小为 C．该恒力沿AB方向 D．从A点到B点的过程中，物体速率的最小值为 22．（2026春•思明区校级月考）如图所示，某实验测试空间内存在水平向右的恒定风力，为测量风力大小，将一个质量为m的小球从水平地面竖直向上抛出，运动过程中小球离地面的最大高度为H，落地点到出发点的距离为L，运动过程中小球在竖直方向只受重力，重力加速度为g，求： （1）小球运动到最高点时的速度大小v； （2）小球落地时，瞬时速度与水平方向夹角的正切值tanθ。 23．（2025春•辽宁月考）如图所示，在风洞实验室中，从A点以水平速度v0向左抛出一质量为m的小球（可视为质点），小球被抛出后受到大小为F＝2mg、方向水平向右的恒定风力，经过一段时间后小球运动到A点正下方的B点处，重力加速度为g（小球在运动过程中除了受水平风力和重力外，不受其他作用力）。求： （1）此过程中小球离A、B两点所在直线的最远距离； （2）小球运动到B点时的速度。 六．斜抛运动（共6小题） 24．（2026春•河南期末）如图所示，从水平地面上的A点分别向左、右斜向上同时抛出两个小球，速度分别为v1、v2，与水平面的夹角分别为θ1、θ2，经过时间t1、t2分别落在地面上的B、C两点。不计空气阻力，已知两个小球上升的最大高度相同，AC的距离大于AB的距离，下列说法正确的是（　　） A．t1＜t2 B．t1＝t2 C．v1sinθ1＜v2sinθ2 D．v1＞v2 25．（2026春•阳江期末）如图所示，在水平地面上的A点以速度v1与地面成θ角射出一弹丸，恰好以速度v2垂直击中墙壁上的B点，忽略空气阻力，重力加速度为g。下列有关说法中正确的是（　　） A．弹丸在水平方向做匀速直线运动，在竖直方向做自由落体运动 B．在B点以v1水平射出弹丸，可能落在A点 C．在B点以v2水平射出弹丸，一定落在A点 D．弹丸在空中飞行的时间为 26．（2026春•李沧区校级期末）如图所示为鲤鱼在空中运动的轨迹，鲤鱼以VM＝2m/s的速度在M点跃出水面，轨迹最高点为N点，P点为轨迹上一点，MN与水面夹角θ＝60°，MN垂直于NP，不计空气阻力，鲤鱼视为质点，在鲤鱼从M点运动到P点过程中，下列说法正确的是（　　） A．鲤鱼运动的最小速度为1m/s B．MN段鲤鱼运动时间为NP段鲤鱼运动时间的3倍 C．MN段鲤鱼位移大小为NP段鲤鱼位移大小的6倍 D．鲤鱼在P点的加速度比在N点的加速度大 27．（2026•衡阳县校级模拟）毽球是由中国传统踢毽子发展而来的竞技体育项目，最早可追溯至汉代民间“蹴毛丸”活动。毽球比赛在场地中央设网，运动员仅能用头、脚及身体触球完成进攻与防守，通过将毽球击入对方场区得分。已知球网网高1.5m，某同学在球网前1.2m、距离地面0.6m处，将毽球击出。不计空气阻力，毽球可视为质点，重力加速度大小为10m/s2，则该同学将毽球踢回对方场区的最小初速率为（　　） A． B．2 C．2 D．5m/s 28．（2026春•重庆期末）如图所示，将一可视为质点的小球先后两次从足够大的水平地面上O点斜向上抛出，第一次的水平射程为x0，第二次的水平射程为3x0，小球两次运动轨迹的最高点在同一水平线上。已知小球先后两次抛出时的速度大小分别为v1、v2，先后两次在空中运动的时间分别为t1、t2，不计空气阻力，不考虑反弹，则下列说法正确的是（　　） A．t1＜t2 B．t1＞t2 C．v2＞3v1 D．v2＜3v1 29．（2026春•昆明期末）昆明市某学校举行篮球比赛，一男生定点投篮，篮球运动轨迹如图甲所示，投篮时出手点与篮筐的水平距离为6m，篮筐离地高度为3m。不计空气阻力，篮球从投出到落入篮筐的过程中，速度与水平方向之间夹角的正切值tanθ随时间t变化的图像如图乙所示，取重力加速度g＝10m/s2。则出手点离地高度为（　　） A．1.8m B．1.9m C．2.0m D．2.1m 参考答案与试题解析 一．平抛运动中的相遇问题（共4小题） 1．（2026•磁县模拟）在某次训练中，乒乓球运动员将A、B两个相同的乒乓球从同一位置先后水平击出。A球以初速度v1水平击出后直接落到e点；B球以初速度v2水平击出后先落到本方场地后弹起，并再次反弹后也落到e点。已知两球与地面发生弹性碰撞，两球的运动轨迹如图所示，忽略空气阻力，且两球在空中的运动互不影响。下列说法正确的是（　　） A．两球一定会在b点相遇 B．两球的初速度之比为 C．a、b两点的竖直距离与c、d两点的竖直距离之比为4：7 D．a、b两点的水平距离小于d、e两点的水平距离 【分析】两球从同一位置水平击出后均做平抛运动，A球直接落地。B球与地面发生弹性碰撞，竖直分运动具有对称性，每次下落或上升的时间相同。两球水平位移相等，通过比较总运动时间可确定初速度关系。两球轨迹存在交点，但到达交点的时刻不同，不会相遇。利用平抛运动规律分别建立两球轨迹方程，联立可求交点坐标，进而得到竖直距离之比和水平距离关系。 【解答】解：两球在空中均做平抛或类平抛运动。设抛出点高度为H，根据平抛运动规律，球A的落地时间；由于球B与地面发生弹性碰撞，其竖直分运动具有对称性，单次下落并弹回原高度所用时间为2t0。由轨迹图可知，球B到达e点经历了初次下落及两次完整的反弹过程，故其运动总时间TB＝t0+2t0+2t0，解得：TB＝5t0。 A、两球并非同时击出且水平速度v1≠v2，抵达轨迹交点b的时刻不同，不会在此相遇，故A错误； B、两球水平位移L相等，由L＝v1t0＝v2•5t0可得初速度之比，故B错误； C、设单个半弧段对应的水平距离X＝v2t0，球A的轨迹方程为；球B在第一个反弹弧段（x∈[X，3X]）与第二个反弹弧段（x∈[3X，5X]）的轨迹方程分别为和。联立方程求得交点b、c、d的水平坐标分别为、xc＝2.5X、，代入相应轨迹方程得到对应高度、、。已知ya＝H，则a、b两点竖直间距hab＝ya﹣yb，解得：；c、d两点竖直间距，解得：。二者比值为，解得：hab：hcd＝4：7，故C正确； D、由坐标分析可知，a、b两点水平距离Δxab＝xb﹣xa，解得：；d、e两点水平距离，解得：。两段水平距离相等，故D错误。 故选：C。 【点评】本题以乒乓球运动为背景巧妙考查了平抛运动规律及其拓展应用，涉及弹性碰撞下的竖直分运动对称性、多段类平抛运动的合成与分解。题目将运动过程图形化，要求学生具备较强的物理图像分析能力和运动建模能力。解题关键在于准确分析B球多次反弹对应的总时间，并利用水平位移相等建立速度关系。通过轨迹方程联立求解特定点坐标的过程，综合考查了学生运用数学工具处理物理问题的能力。本题计算量适中，但思维链条较长，需细致分析各阶段运动特征，是一道能有效区分学生综合应用水平的好题。 2．（2025秋•吉林期末）如图所示，人形机器人陪伴小孩玩接球游戏。机器人在高度为2.2米的固定点以速率v1水平向右抛球，小孩以2m/s的速率水平向左匀速运动，接球时手掌离地面高度为0.4米。当小孩与机器人水平距离为6米时，机器人将小球抛出。忽略空气阻力，重力加速度g取10m/s2。若小孩恰好能接到球，则v1为（　　） A．10m/s B．8m/s C．7m/s D．6m/s 【分析】本题涉及平抛运动与匀速直线运动的相遇问题。机器人抛出的小球做平抛运动，小孩水平向左匀速运动，两者恰好相遇。核心是分析水平方向的相对运动和竖直方向的自由落体运动。竖直方向小球下落高度已知，可由自由落体规律求出运动时间。水平方向小孩和小球相向运动，在相同时间内位移之和等于初始水平距离，从而建立方程求解v1。关键在于抓住竖直方向运动确定时间，水平方向利用位移关系列式。 【解答】解：根据题意，小球在竖直方向做自由落体运动，在水平方向做匀速直线运动，小孩向左做匀速直线运动。 小球在竖直方向下落的高度Δh＝H﹣h，代入数据得Δh＝1.8m，根据自由落体位移公式，解得：t＝0.6s。 在水平方向上，小球与小孩在时间t内发生的位移之和等于初始距离l，即（v1+v2）t＝l，代入数据解得：v1＝8m/s，故B正确，ACD错误。 故选：B。 【点评】本题以人机互动接球为情境，巧妙融合了平抛运动与相对运动两个核心知识点，是一道中等的综合性题目。题目考查了学生将实际问题抽象为物理模型的能力，特别是如何将“恰好接到球”这一条件转化为小球与小孩在水平方向相对运动的位移关系。计算量适中，但需要学生清晰构建水平方向位移方程，即小球位移与小孩位移之和等于初始距离。解题关键在于理解两者在运动时间相同时水平位移的矢量合成，并准确运用自由落体公式求时间，能有效锻炼学生的运动合成与分解思维以及应用数学工具解决物理问题的能力。 （多选）3．（2026春•琼山区校级期中）如图所示，一半径为R的半球形坑，其中坑边缘两点与圆心等高且在同一竖直面内。现甲、乙两位同学分别将M、N两个小球以v1、v2的速度沿图示方向水平抛出，发现两球刚好落在坑中同一点Q，已知∠MOQ＝53°，sin53°＝0.8。cos53°＝0.6，重力加速度为g，忽略空气阻力。则下列说法正确的是（　　） A．v1 B．v2 C．两球的初速度无论怎样变化，只要落在坑中的同一点，两球抛出的速率之和不变 D．若仅从M点水平抛出小球，无论小球抛出的速度大小如何，小球都不可能垂直于坑壁落入坑中 【分析】需要分析平抛运动规律，结合几何关系确定初速度大小，并判断相关命题。已知落点Q与圆心O的连线与竖直方向夹角为53°，可确定落点的竖直位移和两个抛出点到落点的水平位移。根据平抛运动竖直方向自由落体规律，由竖直位移求出运动时间，再结合水平方向匀速运动分别求出两个初速度。对于C选项，需明确当落点确定时，两个初速度之和由总水平位移与时间决定，但落点改变时该和会变化，且初速度必须满足特定关系才能落在同一点。对于D选项，需分析小球速度方向与坑壁垂直的条件，利用平抛运动速度反向延长线过水平位移中点的推论，结合几何关系判断是否可能实现。 【解答】解：小球从边缘水平抛出后做平抛运动，在水平方向做匀速直线运动，在竖直方向做自由落体运动。 AB、由几何关系可知，落点Q的纵坐标y＝Rsin53°＝0.8R，点Q到抛出点M的水平距离x1＝R﹣Rcos53°＝0.4R，点Q到抛出点N的水平距离x2＝R+Rcos53°＝1.6R；根据，解得运动时间，代入数据解得，，故A正确，B错误； C、根据可知，当落点Q确定时，运动时间t唯一确定，初速度之和也唯一确定，但初速度必须取特定值才能落在同一点，不能“无论怎样变化”，且落点改变时速率之和也会随之改变，故C错误； D、若小球垂直于坑壁落入坑中，其速度方向的反向延长线必过圆心O，设落点到圆心的水平距离为d，由平抛运动推论可知落点到抛出点的水平位移应为2d，即R±d＝2d，解得或d＝R，经分析可知在坑内（y＞0）均不满足速度矢量与半径矢量重合且同向的条件，故无论初速度多大小球都不可能垂直于坑壁落入坑中，故D正确。 故选：AD。 【点评】本题以半球形坑为背景，巧妙地将平抛运动与几何约束相结合，是一道综合性较强的中等偏上难度题目。它主要考查平抛运动的基本规律、位移与速度的分解、以及几何关系的灵活应用。计算量适中，但需要学生具备较强的空间想象能力和数形结合的分析能力。题目通过两个不同位置抛出的小球落在同一点的情境，引导学生深入理解平抛运动各物理量间的内在联系，并利用几何关系建立方程。D选项涉及平抛运动速度方向与坑壁垂直的临界条件，需要运用速度反向延长线过水平位移中点的推论，并严谨分析其几何可能性，对学生的逻辑推理和模型分析能力提出了较高要求。 （多选）4．（2026春•永宁县校级月考）在同一水平直线上的两位置分别沿同一方向水平抛出两个小球A、B，其运动轨迹如图所示。不计空气阻力，要使两球在空中相遇，则必须满足（　　） A．A球的初速度大于B球的初速度 B．A球的初速度小于B球的初速度 C．使两球质量相等 D．同时抛出两球 【分析】根据平抛运动竖直方向自由落体、水平方向匀速直线运动的规律，结合两球相遇的竖直位移与水平位移条件，分析初速度与抛出时间的要求。 【解答】解：AB.两小球在空中做平抛运动，相遇时，A、B下落的高度相同，根据 下落的时间相同；由图知A球的水平位移大于B球的水平位移，根据x＝v0t A球的初速度大于B球的初速度，故A正确，B错误； C.平抛运动与物体的质量无关，故C错误； D.相遇时，A、B下落的高度相同，根据 下落的时间相同，则两球同时抛出，故D正确。 故选：AD。 【点评】本题以平抛运动轨迹为背景，考查平抛运动的分解规律，侧重对运动独立性的理解，是基础题型。 二．平抛运动与斜面的结合（共7小题） 5．（2026春•东莞市校级月考）斜面上有P、R、S、T四个点，如图所示，PT＝TS＝SR，从P点正上方的Q点以速度v水平抛出一个物体，物体落于T点，若从Q点以速度2v水平抛出一个物体，不计空气阻力，则物体落在斜面上的（　　） A．S与R间的某一点 B．S点 C．T与S间某一点 D．T点 【分析】解答本题需要掌握：平抛运动的特点并能灵活应用，应用相关数学知识求解，如假设没有斜面的限制，将落到那点，有斜面和没有斜面的区别在哪里。 【解答】解：过T作一条与水平面平行的一条直线，若没有斜面，当小球从Q点以速度2v水平抛出时，小球将落在我们所画水平线上S点的正下方，但是现在有斜面的限制，小球将落在斜面上的T与S之间，故C正确，ABD错误。 故选：C。 【点评】本题考查角度新颖，很好的考查了学生灵活应用知识解题的能力，在学习过程中要开阔思路，多角度思考；如本题中学生可以通过有无斜面的区别，找到解题的突破口。 6．（2026春•包河区校级期末）如图所示，一质量为m的小球放在倾角为θ（0＜θ＜90°）的斜面上，斜面足够长。现将小球从斜面一确定位置A以初速度v水平抛出，碰撞点距抛出点的距离为l，落点为C点，不计空气阻力，重力加速度大小为g，则下列说法正确的是（　　） A．小球刚好下落到斜面时，垂直于斜面方向的速度分量大小为vg＝vsinθ+2vtanθcosθ B．小球从被抛出到与斜面碰撞所用的时间为 C．若小球在离斜面最远处沿垂直于斜面方向的投影点为B点，则AB：BC＝1：3 D．若将小球速度增加到2v，则碰撞点距抛出点的距离增加至2l 【分析】平抛运动分解为水平的匀速直线运动和竖直的自由落体运动，平抛运动的位移偏角与速度偏角的关系为：2tanθ＝tanα；同时也要注意由运动的合成与分解的知识，结合分运动的独立性求解。 【解答】解：AC、将小球的运动沿斜面和垂直于斜面方向分解，则小球在沿斜面方向做匀加速直线运动，在垂直斜面方向为类竖直上抛运动，如图所示： 根据速度的分解，可得v⊥＝vsinθ；可知小球A到B的时间等于B到C的时间，而沿斜面方向的初速度为vcosθ，加速度为gsinθ，即在沿斜面方向小球做初速度不为0的匀加速直线运动，所以AB：BC＞1：3，故AC错误； B．由题分析，可知位移夹角为斜面的倾角θ，根据平抛运动推论，可得，解得，故B正确； D．根据平抛运动规律，可得，小球初速度增加至2v，碰撞点距抛出点的距离变为4l，故D错误。 故选：B。 【点评】考查对平抛运动规律的理解，熟悉关系式的运用。 7．（2026春•庐江县校级期末）如图所示，AB为斜面，BC为水平面且足够长，在斜面顶端A点以速度v0水平抛出一小球，经过时间t1恰好落在斜面的中点P；若在A点以速度2v0水平抛出小球，经过时间t2完成平抛运动。不计空气阻力，则（　　） A．t2＜2t1 B．t2＝2t1 C．t2＞2t1 D．落在斜面底端B点 【分析】小球抛出后做平抛运动，小球落在斜面上，结合竖直位移和水平位移的关系求出运动的时间，从而得出水平位移的表达式，确定初速度增倍后，小球将落在水平面。根据下降的高度关系求出运动的时间关系。 【解答】解：在斜面顶端A以初速度v0水平抛出一小球，经过时间t1恰好落在斜面的中点P，由平抛运动规律可得：，解得：，水平位移为：；若初速度变为原来的2倍，小球若仍落在斜面上，水平位移应变为原来的4倍，可知在A点以初速度2v0水平抛出小球，小球将落在水平面上且不在B点，由几何关系可知两次小球下落的高度之比为1：2，根据知，，所以有：，则t2＜2t1，故A正确，BCD错误。 故选：A。 【点评】解决本题的关键知道平抛运动在水平方向和竖直方向上的运动规律，结合运动学公式灵活求解，难度不大。 8．（2026春•禹州市期末）如图所示，坡面AB的倾角为60°，坡面CB的倾角为30°，某战士在坡面AB上的P点以垂直AB面的方向投出一枚手榴弹，手榴弹恰好垂直落在CB面上。已知，重力加速度为g，不计手榴弹的大小，不计空气阻力，下列说法错误的是（　　） A．手榴弹在空中的运动是匀变速运动 B．手榴弹在空中的运动轨迹是抛物线的一部分 C．手榴弹在空中运动的时间为2 D．手榴弹被抛出时的速度大小为 【分析】将手榴弹的运动分解为沿垂直坡面AB方向和沿平行坡面AB方向，利用平抛运动的规律及几何关系，分别分析其运动性质、轨迹，求解运动时间和抛出速度大小来判断各选项。 【解答】解：A.手榴弹在空中只受重力作用，加速度恒为重力加速度g，方向竖直向下，所以手榴弹做匀变速运动，故A正确； B.手榴弹有水平方向的初速度分量，且加速度方向与初速度方向不共线，所以手榴弹做匀变速曲线运动，轨迹是抛物线的一部分，故B正确； CD.设初速度为v0，运动时间为t，建立坐标系：B为原点，水平向右为x轴，竖直向上为y轴，将初速度沿坐标轴分解，有vx＝v0cos30°，vy0＝v0sin30°末速度垂直CB（CB倾角30°，因此末速度与水平方向成60°，有 代入数据解得，初始位置坐标为， 根据位移公式有 根据几何关系可知 解得，，故C正确，D错误。 本题选错误的，故选：D。 【点评】题目结合实际的坡面场景考查平抛运动知识，对运动的分解和几何关系的运用能力有一定要求，能较好地检验对平抛运动规律的理解与应用。 9．（2026•市南区校级模拟）跳台滑雪是一种勇敢者运动，运动员在滑雪道上获得一定速度后从跳台飞出，在空中飞行一段距离后着陆。如图，某运动员从跳台a处沿水平方向飞出，已知2s时运动员离斜坡面最远，a到b的水平距离为60m。不计空气阻力，重力加速度g＝10m/s2，下列说法正确的是（　　） A．运动员离坡面的最大距离为12m B．运动员离坡面的最大距离为20m C．运动员在a处的速度大小为10m/s D．斜坡的倾角为37° 【分析】运动员做平抛运动，当垂直于坡面方向的分速度为零时运动员离坡面的距离最大，根据运动的合成与分解应用运动学公式求解。 【解答】解：CD、运动员做平抛运动，运动员初速度大小为v0，斜面的倾角为θ，运动员的做平抛运动的时间为t，已知t′＝2s时运动员离斜坡面最远，此时运动员速度的方向与斜面平行，则有，解得t＝2t'＝4s，初速度v0m/s＝15m/s，，即斜坡的倾角为53°，CD错误； AB、将运动按沿斜面方向和垂直斜面方向分解，如图所示 运动员做匀变速运动，当沿y方向的分速度减为0时，运动员离坡面最远，最远距离为 代入数据解得l＝12m，故A正确，B错误。 故选：A。 【点评】运动员做平抛运动，分析清楚运动员的运动过程，应用运动的合成与分解、运动学公式即可解题。 10．（2026春•西青区期末）如图所示是位于同一竖直平面内的某装置，M是固定的直三棱柱，O是三棱柱表面上的一点。N是倾角为θ＝37°的固定斜面，A是斜面上的点。小球从距离O点为H＝11.25m高度处静止落下，与三棱柱碰撞于O点（不计碰撞时间），碰后速度方向水平向右，速度大小与碰前相同，之后小球恰能垂直斜面打在A点。重力加速度g取10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，不计空气阻力。求： （1）小球落在A点的速度大小vA； （2）小球从O点运动到A点的水平位移大小x； （3）小球从开始运动至运动到A点的总时间t。 【分析】（1）小球从距O点H高处静止下落，过程只受重力，做自由落体运动，可由自由落体运动的速度与位移关系，直接根据下落高度H求解落到O点的速度大小；小球从O点开始做平抛运动，垂直打在斜面A点，说明速度方向与斜面垂直，结合斜面倾角θ，将速度分解为水平与竖直分量，利用几何关系求解A点速度大小； （2）由平抛运动水平方向匀速直线运动的规律，代入O点速度与运动时间，计算从O到A的水平位移大小； （3）线求出自由落体运动所用的时间，然后求出平抛运动的时间，两者之和就是所求的时间。 【解答】解：（1）小球自由落体运动，则有：，代入数据解得：，小球从O点开始做平抛运动，垂直打在斜面A点，在A点，将速度沿水平方向与竖直方向分解如图所示： 由运动的分解可得：； （2）小球在竖直方向的分速度为：，所以小球做平抛运动的时间为：，所以小球从O点运动到A点的水平位移大小为：x＝v0t2＝15×2m＝30m； （3）设小球做自由落体运动所用的时间为t1，则有：，解得：，所以小球从开始运动至运动到A点的总时间为：t＝t1+t2＝1.5s+2s＝3.5s。 答：（1）小球落在A点的速度大小为25m/s； （2）小球从O点运动到A点的水平位移大小为30m； （3）小球从开始运动至运动到A点的总时间为3.5s。 【点评】本题综合自由落体与平抛运动规律，核心是平抛运动的速度分解与几何关系的结合。需理清碰撞前后的运动状态，抓住“垂直打在斜面”的关键条件，将几何关系与运动学公式结合，对运动过程的分析和几何能力有一定要求。 11．（2026春•滨海新区期末）跳台滑雪是一种勇敢者的滑雪运动，运动员穿专用滑雪板，在滑雪道上获得一定速度后从跳台飞出，在空中飞行一段距离后着陆。现有某运动员从跳台A处沿水平方向速度飞出，在斜坡B处着陆，如图所示。测得AB间的距离为75m，斜坡与水平方向的夹角为37°，不计空气阻力，g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。求： （1）运动员在空中飞行的时间； （2）运动员在A处的速度大小。 【分析】（1）平抛运动竖直方向做自由落体运动，由求解运动员在空中飞行时间； （2）平抛运动水平方向做匀速运动，由x＝vt求解运动员在A处的速度大小。 【解答】解：（1）运动员在空中做平抛运动，设AB间的距离为L。 运动员竖直方向下落的高度，解得t3s； （2）运动员的水平位移x＝Lcos37°＝v0t 解得v020m/s。 答：（1）运动员在空中飞行的时间为3s； （2）运动员在A处的速度大小为20m/s。 【点评】本题主要考查平抛运动在生活中的应用，理解平抛运动的特点是解题关键。 三．平抛运动与曲面的结合（共3小题） 12．（2026春•南安市月考）水车是古代中国劳动人民发明的灌溉工具。图甲为赤峰市道须沟风景区内的一架水车，图乙为水车工作时的示意图。高处的水从水槽沿水平方向流出，水流出后垂直落在与水平面夹角为θ＝30°的水轮边缘上，冲击轮叶使水车转动。已知槽口到水车轴所在水平面距离为2R，水车轮轴到轮缘距离为R。水在空中的运动可视为平抛运动。重力加速度为g。求： （1）水流从槽口到轮叶的运动时间t； （2）水流初速度大小v0； （3）水流打在轮叶上速度大小v。 【分析】（1）水流做平抛运动，竖直方向为自由落体，已知下落高度由槽口高度与水车轮缘位置关系确定。通过几何关系得到下落高度，利用自由落体位移与时间的关系即可求出运动时间。 （2）水流垂直冲击轮叶，意味着冲击瞬间速度方向与轮叶表面垂直。已知轮叶与水平面夹角，结合平抛运动末速度方向与水平方向夹角的关系，可由竖直分速度与初速度的几何关系求出初速度大小。 （3）水流打在轮叶上的速度是平抛运动的合速度，由水平初速度与竖直末速度根据矢量合成法则求得。竖直分速度可通过自由落体运动规律由运动时间求出。 【解答】解：（1）水流垂直落在与水平面成30°角的轮叶边缘上，其下落高度为h＝2R﹣Rsin30°，解得：。 水流从槽口到轮叶的运动过程中，在竖直方向上做自由落体运动，满足，解得水流从槽口到轮叶的运动时间。 （2）设水流打在轮叶上时竖直分速度为vy，则有vy＝gt，解得：。由于水流垂直落在与水平面成30°角的轮叶边缘上，故满足，解得水流初速度。 （3）根据速度的合成可知，水流打在轮叶上的速度大小为，解得：。 答：（1）水流从槽口到轮叶的运动时间为。 （2）水流初速度大小为。 （3）水流打在轮叶上速度大小为。 【点评】本题以水车灌溉为背景，巧妙地将平抛运动模型与几何关系相结合，是一道中等难度的综合应用题。题目重点考查平抛运动的基本规律，包括竖直方向的自由落体运动公式和速度的合成与分解。解题的关键在于准确理解“水流垂直落在轮叶上”这一条件，并将其转化为速度方向与轮叶表面（即与水平面成30°角）的几何关系，从而建立竖直分速度vy与水平初速度v0的联系。本题计算量适中，但需要学生具备清晰的物理图景构建能力和运用几何知识处理物理问题的能力，能有效锻炼学生的模型应用与综合分析素养。 13．（2025秋•张家口期末）跑酷是以日常生活的环境为运动场所的极限运动。一跑酷运动员在水平高台上水平向右跑到高台边缘，以v0的速度从边缘上的A点水平向右跳出，运动t1＝0.6s后落在一倾角为53°的斜面上的B点，速度方向与斜面垂直。随后运动员迅速转身并调整姿势，以的速度从B点水平向左蹬出，刚好落到斜面的底端C点。D点为平台的下边缘点，假设该运动员可视为质点，不计空气阻力，重力加速度g取10m/s2，sin53°＝0.8，cos53°＝0.6。求： （1）运动员从高台边缘跳出时的水平速度v0的大小； （2）DC间的距离。 【分析】（1）运动员从A运动到B点做平抛运动，到达B点时速度方向与斜面垂直，由公式vy＝gt求出运动员刚落在B点时竖直方向的速度，再由分速度关系求运动员从高台边缘跳出的水平速度v0大小； （2）根据水平方向的运动规律求解运动员从A点落到B点水平方向的位移。运动员从B点落到C点做平抛运动，根据水平分位移和竖直分位移公式，以及它们的关系分别列式，即可求BC间的水平位移，从而求出DC间的距离。 【解答】解：（1）设运动员刚落在B点时竖直方向的速度为vy，运动员从A点落到B点时间为t1，有vy＝gt1运动员到达B点时速度方向与斜面垂直，再次进行速度合成与分解，如图所示： 则到达B点的速度与竖直方向的夹角为53°，则v0＝vytan53° 解得：v0＝8m/s； （2）运动员从A点落到B点，水平位移：x1＝v0t1＝8×0.6m＝4.8m 运动员从B点落到C点做平抛运动，设时间为t2，水平位移和竖直位移分别为： x2v0t2，y2 又tan53° 联立解得：x2＝2.4m DC间的距离为：x＝x1﹣x2＝4.8m﹣2.4m＝2.4m。 答：（1）运动员从高台边缘跳出时的水平速度v0的大小为8m/s； （2）DC间的距离为2.4m。 【点评】本题通过运动员两次做平抛运动分别涉及到速度分解和位移分解，考查了学生对平抛运动规律的理解与运用，体现了学生学科素养理解能力的考查。 14．（2025春•江西月考）如图所示，足够长的竖直轨道AB与半圆槽BCD在同一竖直面内，O点为半圆槽的圆心，B、D点的连线水平，C为圆槽的最低点。安装在竖直轨道AB上的弹射器可上下移动，能水平向右发射出不同速率的弹丸（视为质点，出射点处于B点正上方）。已知半圆槽的半径R＝3m，P点为半圆槽上O点右侧的一点，∠POD＝θ＝53°。取重力加速度大小g＝10m/s2，sin53°＝0.8，cos53°＝0.6，不计空气阻力。 （1）调整弹射器的位置，使得弹丸出射点到B点的距离d1＝4.8m，水平向右发射弹丸后弹丸恰好落在P点，求弹丸的初速度大小v1； （2）调整弹射器的位置和弹丸的出射速率，使得弹丸均能击中半圆槽上的P点，求弹丸落到P点的最小速率vmin； （3）调整弹射器的位置和弹丸的出射速率，使得弹丸垂直击中半圆槽上O点右侧的Q点（图中未画出），若已知弹丸击中Q点时的速度方向与水平方向的夹角为α（0＜α＜90°），求弹丸出射点到B点的距离d和弹丸击中Q点时的速度大小v。（均用α表示） 【分析】（1）根据P点在圆弧上的位置，确定平抛运动的水平和竖直位移，再联立平抛运动的位移公式求解初速度； （2）利用平抛运动规律，将弹丸落到P点的合速度大小表示为运动时间的函数，再通过数学方法（如均值不等式）求该函数的最小值； （3）根据“垂直击中”的条件，确定弹丸击中Q点时的速度方向与Q点处的半径方向平行，然后结合平抛运动的速度和位移公式，联立求解出射高度和击中速度。 【解答】解：（1）弹丸做平抛运动，水平方向上有x1＝v1t1 竖直方向上有 其中x1＝R+Rcosθ，h1＝d1+Rsinθ 代入数据得v1＝4m/s （2）弹丸做平抛运动，有R+Rcosθ＝v2t2 弹丸落到P点时竖直方向上的分速度大小vy2＝gt2 弹丸击中P点时的速度大小 代入数据得 即弹丸落到P点的最小速率 （3）弹丸做平抛运动，有R+Rcosα＝v3t3， 弹丸垂直击中Q点时有 弹丸击中Q点时的速度大小 解得， 答：（1）调整弹射器的位置，使得弹丸出射点到B点的距离d1＝4.8m，水平向右发射弹丸后弹丸恰好落在P点，弹丸的初速度大小是4m/s； （2）调整弹射器的位置和弹丸的出射速率，使得弹丸均能击中半圆槽上的P点，弹丸落到P点的最小速率是； （3）调整弹射器的位置和弹丸的出射速率，使得弹丸垂直击中半圆槽上O点右侧的Q点（图中未画出），若已知弹丸击中Q点时的速度方向与水平方向的夹角为α（0＜α＜90°），弹丸出射点到B点的距离d是，弹丸击中Q点时的速度大小是。 【点评】这是一道平抛运动与圆周几何结合的综合题，需结合平抛运动规律和圆周的几何性质联立求解，考查了运动分解、几何分析和物理规律的综合应用能力，难度适中，能检验对平抛运动和圆周几何知识的掌握程度。 四．在斜面上的类平抛运动（物体在斜面上运动）（共4小题） （多选）15．（2026•模拟）如图，一光滑宽阔的斜面，倾角为θ，高为h，现有一小球在A处以水平速度v0射出，最后从B处离开斜面，下列说法正确的是（　　） A．小球的运动轨迹可能为圆弧 B．小球的加速度为gsinθ C．小球从A处到达B处所用的时间为 D．小球到达B处的水平方向位移大小 【分析】分析小球在光滑斜面上的受力与运动性质，判断其为类平抛运动，轨迹为抛物线；通过受力分析，沿斜面方向由牛顿第二定律推导出加速度；根据斜面位移与匀变速直线运动规律，求解运动时间；根据匀速直线运动的位移公式直接计算沿初速度方向位移。 【解答】解：A．小球在光滑斜面上运动时，受重力和斜面支持力两个力的作用，合力沿斜面向下，大小恒定不变，且合力方向与初速度方向垂直，所以小球做类平抛运动，运动轨迹为抛物线，故A错误； B．对小球受力分析，沿斜面方向由牛顿第二定律可得mgsinθ＝ma，解得小球的加速度a＝gsinθ，故B正确； C．小球沿斜面方向上的位移为，根据匀变速直线运动规律可得，解得运动时间，故C正确； D．小球沿初速度方向做匀速直线运动，到达B处的水平方向位移大小，故D错误。 故选：BC。 【点评】本题考查斜面上的类平抛运动分析，涵盖运动性质判断、加速度推导、运动时间计算及位移求解，是曲线运动分解思想在斜面问题中的应用。 （多选）16．（2026春•青山湖区校级月考）如图所示，光滑斜面体abcdfe的斜面倾角为θ＝30°，斜面长ab＝cd＝10m，斜面宽ad＝bc＝5m，第一次将小球从a点以速度v1沿ad方向抛出，小球在斜面内运动恰好经过c点，所用时间为t1；第二次将小球从a点以速度v2沿平行eb方向抛出，小球离开斜面运动恰好经过b点，所用时间为t2，不计空气阻力，重力加速度g取10m/s2，小球在a→c点运动的过程中，以下说法正确的是（　　） A．t1：t2＝2：1 B．v1：v2＝1：2 C．第二次小球离开斜面的最远距离为 D．第二次小球离开斜面的最远距离为 【分析】AB．第一次小球由a到c在斜面内做类平抛运动，第二次小球在竖直平面abe内做平抛运动，根据平抛运动规律分析； CD．沿斜面和垂直斜面建立直角坐标系，垂直斜面方向做匀减速直线运动，速度减小为零时离开斜面最远。 【解答】解：AB．第一次小球由a到c在斜面内做类平抛运动，ad＝v1t1，ab，代入数据可得t1＝2s，v1＝2.5m/s， 第二次小球在竖直平面abe内做平抛运动，如图所示： 由平抛运动规律可知eb＝v2t2，，代入数据可得t2＝1s，， 所以t1：t2＝2：1，，故A正确，B错误； CD．沿斜面和垂直斜面建立直角坐标系，如图所示： 垂直斜面方向做匀减速直线运动，小球与斜面的最远距离H，代入数据可得H，故C正确，D错误。 故选：AC。 【点评】考查了平抛运动和类平抛运动的分析方法，关键是建立直角坐标系分别讨论，分析小球离斜面最远距离时要沿斜面和垂直斜面建立直角坐标系。 17．（2024春•蓝田县期中）如图所示，光滑斜面长L＝10m，倾角为30°，一小球从斜面的顶端以v0＝10m/s的初速度水平射入，求：（g取10m/s2） （1）小球沿斜面运动到底端时的水平位移x； （2）小球到达斜面底端时的速度大小。 【分析】小球做类平抛运动，加速度为重力加速度在斜面方向分量，以抛出点为原点建立平面直角坐标系沿初速度方向为x轴，做匀速直线运动；垂直初速度向下为y轴，做匀加速直线运动。由加速度和L求时间，匀速直线运动求水平位移，y轴方向求匀加速直线运动的末速度，平行四边形定则（勾股定理）求低端的速度大小。 【解答】解：（1）以抛出点为原点建立平面直角坐标系，沿初速度方向为x轴，在斜面内垂直于初速度方向向下为y轴，小球在x轴方向做匀速直线运动，y轴方向做初速度为零、加速度为a的匀加速直线运动， 根据牛顿第二定律有mgsin30°＝ma，L 联立代入数据解得，所以水平位移为x＝v0t＝v020m。 （2）小球运动到斜面底端时的速度大小用v表示，则x轴方向分速度为vx＝v0＝10m/s，y轴方向分速度为vy10m/s 故到达低端时的速度大小为vm/s。 答：（1）小球沿斜面运动到底端时的水平位移x为20m； （2）小球到达斜面底端时的速度大小为。 【点评】在斜面上做类平抛运动，加速度为gsin30°，按照平抛运动的规律求解。 18．（2021春•定远县校级月考）如图所示的光滑固定斜面长为l、宽为b、倾角为θ，一物块（可看成质点）从斜面左上方顶点P沿水平方向射入，恰好从底端右侧Q点离开斜面，已知重力加速度为g，不计空气阻力，求： （1）物块加速度的大小a； （2）物块由P运动到Q所用的时间t； （3）物块由P点水平射入时初速度的大小v0。 【分析】（1）物体的运动是类平抛运动，水平方向是匀速直线运动，沿斜面方向是匀变速运动，根据受力分析可求沿斜面方向的受力情况； （2）根据斜面长度和在沿着斜面做匀加速直线运动可求物块运动的时间； （3）分运动的时间与合运动的时间相同，根据沿斜面分运动的时间可求水平初速度； 【解答】解：（1）对物块进行受力分析，物块合力沿斜面向下，故 mgsinθ＝ma 解得a＝gsinθ； （2）物块沿斜面方向 l 解得 t （3）水平方向上物块做匀速直线运动，沿水平方向有 b＝v0t 解得 。 答：（1）物块加速度的大小gsinθ； （2）物块由P运动到Q所用的时间； （3）物块由P点水平射入时初速度的大小。 【点评】根据题意分析属于类平抛运动，水平方向是匀速直线运动，沿斜面方向是匀变速直线运动。 五．在外力作用下的类平抛运动（共5小题） 19．（2026•模拟）如图，某人从高出水平地面h的山坡上P点处水平击出一个质量为m的高尔夫球，高尔夫球在飞行中受到恒定的水平风力作用，最终竖直落入距击球点水平距离为L的洞穴Q中，则（　　） A．高尔夫球飞行中做的是平抛运动 B．高尔夫球飞行的时间为 C．高尔夫球飞行中受到的水平风力大小为 D．高尔夫球被击出时的初速度大小为 【分析】高尔夫球水平受风力做匀减速、竖直只受重力自由下落，不满足平抛运动条件；由竖直自由落体位移公式推导出飞行时间表达式；落地竖直入地说明水平末速度为0，结合匀变速平均速度公式求出初速度；利用水平速度变化公式求出水平加速度，结合牛顿第二定律算出水平风力大小。 【解答】解：A．高尔夫球飞行过程中水平方向受恒定风力，做匀减速直线运动，竖直方向只受重力，做自由落体运动，所以高尔夫球飞行中做的不是平抛运动，故A错误。 B．高尔夫球竖直方向上做自由落体运动，下落高度，解得高尔夫球飞行的时间，故B错误。 D．高尔夫球落到洞穴Q时竖直落入地面，说明落地瞬间水平方向速度减为0，设高尔夫球被击出时的初速度大小为v0，水平方向上有，解得，故D错误。 C．已知小球落地时水平末速度为0，由匀变速直线运动的速度公式有0＝v0+at，可得高尔夫球水平方向上的加速度大小；由牛顿第二定律可得高尔夫球飞行中受到的水平风力大小，故C正确。 故选：C。 【点评】本题考查匀变速曲线运动的正交分解，区分平抛运动的条件，综合运用自由落体公式、匀变速直线运动速度与平均速度公式、牛顿第二定律，结合落地速度特征分析水平匀减速分运动的加速度与受力。 20．（2026春•温州期中）如图所示，在光滑水平面上，一质量为m做匀速直线运动的小球，经过a点时受一水平恒力的作用，经过b点时速度方向偏转90°。已知经过a点的速度大小为v、方向与ab连线夹角为30°，ab连线长度为L。对小球从a到b的运动过程中，下列说法正确的是（　　） A．小球在b点的速度为v B．所用的时间为 C．最小速度大小为v D．若仅改变小球在a点的速度大小，小球下一次经过ab连线时的速度偏转角也发生变化 【分析】题目描述小球在光滑水平面上受水平恒力作用，从a点到b点速度方向偏转90°，已知a点速度大小与方向及ab长度。小球在恒力作用下做匀变速曲线运动，可类比类平抛运动处理。分析需利用速度矢量关系，由于a、b点速度垂直，且平均速度方向沿ab连线，结合几何关系可建立速度与位移的联系。通过速度矢量三角形确定b点速度与最小速度，并利用位移与平均速度关系求时间。对于偏转角问题，需明确抛体运动中速度方向仅由初速度方向与力方向夹角决定，与初速度大小无关。 【解答】解：小球在恒力作用下做类平抛运动，其加速度为恒矢量。根据匀变速运动的位移公式与速度公式，联立可得，这表明平均速度的方向与ab连线方向相同。 A、由于，速度矢量、构成直角三角形的两直角边，其合矢量为斜边。已知与ab连线夹角为30°，根据几何关系有，解得：，故A错误； B、合矢量的大小为，代入，解得：。根据位移公式，代入数据解得：，故B错误； C、在速度矢量图中，由于加速度方向固定，速度矢量的终点在一条直线上运动。当速度矢量与加速度方向（即方向）垂直时，速度大小最小。在由、构成的直角三角形中，最小速度即为原点到斜边的垂线长度，由面积关系可得，代入va＝v，，解得：，故C正确； D、根据抛体运动的规律，小球再次经过ab连线时的速度方向仅由初速度方向与恒力方向的夹角决定，与初速度大小无关，因此其偏转角不会随初速度大小变化，故D错误。 故选：C。 【点评】本题以匀变速曲线运动为核心，考查了类平抛运动模型的分析。题目巧妙地将位移中点速度公式的矢量形式作为核心桥梁，将几何关系与运动学规律紧密结合，对学生的矢量运算能力和运动合成与分解思想提出了较高要求。求解过程需要学生准确构建速度矢量三角形和位移关系，并灵活运用几何知识求解时间及最小速度，计算量和思维量均属中等偏上。其中选项C对运动过程中瞬时速度极值的探讨，深化了对匀变速曲线运动速度变化规律的理解，是本题的亮点。选项D则考查了对抛体运动对称性的深刻认识。 （多选）21．（2025秋•东湖区校级期末）如图所示，一质量为m的物体受水平面内恒力作用，在光滑水平面上运动。从A点经一段时间运动到B点，速度大小分别为v和，方向分别与虚线AB成60°和30°。则下列说法中正确的是（　　） A．物体从A点运动到B点做匀变速曲线运动 B．物体从A点运动到B点速度变化量大小为 C．该恒力沿AB方向 D．从A点到B点的过程中，物体速率的最小值为 【分析】根据受力情况和速度变化情况进行判断；速度是矢量，作出矢量图，由几何知识求速度变化量大小。由动量定理求解恒力大小及方向。将初速度分解为竖直恒力方向的运动和沿着恒力水平方向的运动，再求物体速率的最小值。 【解答】解：A、物体受水平面内恒力作用，速度方向不断变化，为匀变速曲线运动，故A正确； BC、速度是矢量，根据题意可知初速度的方向与末速度的方向之间的夹角为90°，作出其矢量图如图所示。 速度的变化量为Δv2v，其速度变化量的方向与AB成60°角，则物体从A点运动到B点动量变化量为Δp＝mΔv＝2mv，根据题意可知，该恒力即为物体所受合外力，由动量定理可得Ft＝mΔv＝ 2mv，解得该恒力大小为F，恒力方向与速度变化量方向相同，故BC错误； D、将初速度分解为竖直恒力方向的运动和沿着恒力水平方向的运动，其分解图如图所示 可知，当分速度vay减为零时速率最小，此时只有垂直恒力方向的分速度vax，根据几何关系可得最小速率为vax＝vacos30v，故D正确。 故选：AD。 【点评】本题主要考查在恒力作用下的匀变速曲线运动，考查了牛顿第二定律、动量定理和运动的分解等知识，要注意的是速度的变化遵循平行四边形定则。 22．（2026春•思明区校级月考）如图所示，某实验测试空间内存在水平向右的恒定风力，为测量风力大小，将一个质量为m的小球从水平地面竖直向上抛出，运动过程中小球离地面的最大高度为H，落地点到出发点的距离为L，运动过程中小球在竖直方向只受重力，重力加速度为g，求： （1）小球运动到最高点时的速度大小v； （2）小球落地时，瞬时速度与水平方向夹角的正切值tanθ。 【分析】（1）将小球的运动分解为水平方向和竖直方向，在竖直方向做竖直上抛运动，在水平方向上做初速度为零的匀加速直线运动，根据分运动合运动具有等时性求出小球运动到最高点时的速度大小； （2）小球落地时，瞬时速度与水平方向夹角的正切值等于竖直方向的分速度与水平方向分速度的比值，由此求出。 【解答】解：（1）小球在竖直方向做竖直上抛运动，设到达最高的的时间为t，则H 可得t 根据运动的对称性可知小球在空中运动的总时间为2t，即 设小球沿水平方向的加速度为a，则L 联立可得a 小球运动到最高点时的速度大小v＝at （2）小球落地时，瞬时速度沿水平方向的分速度vx＝a•2t 竖直方向的分速度vy＝gt 小球落地时，瞬时速度与水平方向夹角的正切值tanθ 联立解得 答：（1）小球运动到最高点时的速度大小v为； （2）小球落地时，瞬时速度与水平方向夹角的正切值为。 【点评】解决本题的关键将小球的运动分解在水平方向和竖直方向，在竖直方向做自由落体运动，在水平方向上做匀加速直线运动，知道分运动与合运动具有等时性，以及会运用动能定理求出落地的速度。 23．（2025春•辽宁月考）如图所示，在风洞实验室中，从A点以水平速度v0向左抛出一质量为m的小球（可视为质点），小球被抛出后受到大小为F＝2mg、方向水平向右的恒定风力，经过一段时间后小球运动到A点正下方的B点处，重力加速度为g（小球在运动过程中除了受水平风力和重力外，不受其他作用力）。求： （1）此过程中小球离A、B两点所在直线的最远距离； （2）小球运动到B点时的速度。 【分析】（1）将小球的运动沿水平方向和竖直方向分解，在水平方向上先做匀减速后做匀加速直线运动，具有对称性。当水平方向的速度减为零时，小球离A、B两点所在直线的距离最远，根据牛顿第二定律与运动学公式解答； （2）由小球水平方向的运动求得小球从A点运动到B点的总时间，小球在竖直方向上做自由落体运动，由此求得到达B点时的竖直分速度，由矢量合成求得小球运动到B点时的速度大小与方向。 【解答】解：（1）将小球的运动沿水平方向和竖直方向分解，在水平方向上先做匀减速后做匀加速直线运动，具有对称性。设水平方向的加速度为ax，根据牛顿第二定律得： F＝max，解得：ax＝2g 当水平方向的速度减为零时，小球离A、B两点所在直线的距离最远，则有： 解得： （2）小球水平方向速度减小为零所需时间为： 由对称性可知，小球从A点运动到B点的总时间为：t＝2t1 小球在竖直方向上做自由落体运动，到达B点时的竖直分速度为：vy＝gt＝v0 小球到达B点时的水平分速度为：vx＝v0 小球运动到B点时的速度大小为： 因vx＝vy，故其方向斜向右下方，与竖直方向的夹角θ＝45°。 答：（1）此过程中小球离A、B两点所在直线的最远距离为； （2）小球运动到B点时的速度大小为，方向斜向右下方，与竖直方向的夹角θ＝45°。 【点评】本题考查了匀变速曲线运动，处理此类型运动的方法是“化曲为直”，将运动正交分解为两直线运动，根据分运动的独立性与等时性解答。 六．斜抛运动（共6小题） 24．（2026春•河南期末）如图所示，从水平地面上的A点分别向左、右斜向上同时抛出两个小球，速度分别为v1、v2，与水平面的夹角分别为θ1、θ2，经过时间t1、t2分别落在地面上的B、C两点。不计空气阻力，已知两个小球上升的最大高度相同，AC的距离大于AB的距离，下列说法正确的是（　　） A．t1＜t2 B．t1＝t2 C．v1sinθ1＜v2sinθ2 D．v1＞v2 【分析】题目描述两个小球从同一点斜向上抛出，上升最大高度相同且落地点水平距离不同。需分析时间与速度关系。将斜抛分解为竖直上抛与水平匀速运动，最大高度仅由竖直分速度决定，已知高度相同可推知竖直分速度大小相等。运动总时间由竖直分速度决定，因此两球飞行时间相等。水平位移取决于水平分速度与时间，已知AC距离大于AB，时间相等则水平分速度满足v2cosθ2大于v1cosθ1。结合竖直分速度相等，通过合速度表达式可比较两球初速度大小。 【解答】解：AB、小球从抛出到落地的总运动时间，由于v1sinθ1＝v2sinθ2，因此t1＝t2，故A错误，B正确； C、将斜抛运动分解为竖直方向的竖直上抛运动和水平方向的匀速直线运动，则竖直方向的初速度vy＝vsinθ，斜抛运动上升的最大高度，解得：，已知两球最大高度h相同，因此可得v1sinθ1＝v2sinθ2，故C错误； D、水平方向的初速度vx＝vcosθ，则水平射程x＝（vcosθ）•t，已知AC＞AB，即x2＞x1，且t1＝t2，可得v2cosθ2＞v1cosθ1，合速度，由于v1sinθ1＝v2sinθ2，因此v2＞v1，故D错误。 故选：B。 【点评】本题以斜抛运动为背景，巧妙地将竖直分运动与水平分运动进行关联，综合考查了运动的分解与合成、竖直上抛运动规律以及平抛运动相关公式的灵活应用。题目通过“最大高度相同”“水平射程不同”两个核心条件，构建了关于竖直分速度、水平分速度、飞行时间以及合速度的逻辑关系链，计算量适中，但思维层次清晰，能有效锻炼学生运用运动分解思想分析复杂运动过程的能力。其中，判断合速度大小关系需结合竖直分速度相等与水平分速度不等进行综合分析，体现了对物理量间内在联系的深度考查。 25．（2026春•阳江期末）如图所示，在水平地面上的A点以速度v1与地面成θ角射出一弹丸，恰好以速度v2垂直击中墙壁上的B点，忽略空气阻力，重力加速度为g。下列有关说法中正确的是（　　） A．弹丸在水平方向做匀速直线运动，在竖直方向做自由落体运动 B．在B点以v1水平射出弹丸，可能落在A点 C．在B点以v2水平射出弹丸，一定落在A点 D．弹丸在空中飞行的时间为 【分析】弹丸从A点斜向上抛出，在B点垂直击中墙壁，涉及斜抛运动。分析需明确弹丸在水平和竖直方向的运动特性：水平方向不受力，速度保持不变；竖直方向受重力作用，速度变化。关键点在于B点速度方向竖直，可由此确定竖直分速度与水平分速度的关系。结合已知条件v1、θ和g，通过运动学规律推导时间等量，并利用运动可逆性判断选项。 【解答】解：A、由题意可知，弹丸做斜抛运动，在最高点处水平方向为匀速直线运动，竖直方向为竖直上抛运动，故A错误； B、在B点以大小为v1、方向与v2相反的速度射出弹丸，与C选项分析对比，平抛运动的初速度增大，运动时间不变，水平位移增大，落点位于A点左侧，故B错误； C、根据AB段运动的可逆性，在B点以v2为初速度水平射出弹丸，弹丸必定落在A点，故C正确； D、弹丸在空中运动的时间为，故D错误。 故选：C。 【点评】本题以斜抛运动为核心，考查了运动的合成与分解、平抛运动规律及运动的可逆性。题目将斜抛运动与平抛运动巧妙结合，通过分析弹丸从A到B的特定轨迹，逆向推理B到A的运动情况，对学生的逆向思维能力与模型转化能力提出了较高要求。计算量不大，但需要清晰理解斜抛运动在最高点处的速度特征，并准确应用平抛运动的时间与位移关系。选项C的判断是本题的关键，它深刻体现了物理过程中能量与运动路径的可逆性思想，是题目设计的亮点所在。 26．（2026春•李沧区校级期末）如图所示为鲤鱼在空中运动的轨迹，鲤鱼以VM＝2m/s的速度在M点跃出水面，轨迹最高点为N点，P点为轨迹上一点，MN与水面夹角θ＝60°，MN垂直于NP，不计空气阻力，鲤鱼视为质点，在鲤鱼从M点运动到P点过程中，下列说法正确的是（　　） A．鲤鱼运动的最小速度为1m/s B．MN段鲤鱼运动时间为NP段鲤鱼运动时间的3倍 C．MN段鲤鱼位移大小为NP段鲤鱼位移大小的6倍 D．鲤鱼在P点的加速度比在N点的加速度大 【分析】利用MN段倾角正切建立竖直、水平分速度关系，结合合速度大小求出水平分速度，明确最高点速度为全程最小速度；由几何关系得到NP段倾角，通过平抛位移偏角公式求出两段运动时间，算出时间倍数关系；结合三角函数表示两段轨迹长度，利用水平位移与时间比例推出轨迹长度比值；抛体全程只受重力，加速度恒为重力加速度，N、P两点加速度完全相同。 【解答】解：A．设鲤鱼在M点的水平分速度为vx，竖直分速度为vy，鲤鱼从M运动到最高点N 的过程中竖直分速度会减小至零，所用时间为，对应的水平位移为，竖直位移为。根据几何关系，MN与水面夹角的正切值满足，所以。已知M点的合速度大小为2m/s，根据速度合成关系有，解得。鲤鱼运动过程中的最小速度出现在最高点N，此时速度只有水平分量，即，故A错误。 B．由于MN⊥NP，而MN与水平面夹角为60°，所以NP与水平面夹角为30°。设鲤鱼从最高点N运动到P点的时间为tNP，从N到P可视为平抛运动，水平位移xNP＝vxtNP，竖直位移，所以，可得。又，所以，即MN段鲤鱼的运动时间是NP段运动时间的3倍，故B正确。 C．由几何关系有，；水平方向速度恒定，水平位移之比等于运动时间之比，即，所以，故C错误。 D．鲤鱼跃出水面之后全程仅受到重力作用，做斜抛运动，加速度始终等于重力加速度g，所以鲤鱼在P点和N点的加速度大小、方向完全相同，故D错误。 故选：B。 【点评】本题考查抛体运动正交分解、竖直上抛与平抛分运动规律、位移偏角公式、速度合成、抛体加速度恒定特点，结合几何角度关系推导分速度、运动时间、轨迹长度的比例关系。 27．（2026•衡阳县校级模拟）毽球是由中国传统踢毽子发展而来的竞技体育项目，最早可追溯至汉代民间“蹴毛丸”活动。毽球比赛在场地中央设网，运动员仅能用头、脚及身体触球完成进攻与防守，通过将毽球击入对方场区得分。已知球网网高1.5m，某同学在球网前1.2m、距离地面0.6m处，将毽球击出。不计空气阻力，毽球可视为质点，重力加速度大小为10m/s2，则该同学将毽球踢回对方场区的最小初速率为（　　） A． B．2 C．2 D．5m/s 【分析】对斜抛运动做正交分解，水平按匀速直线运动、竖直按匀变速直线运动列式；选取轨迹刚好擦过球网作为初速度最小的临界条件，代入坐标联立方程，把竖直分速度用水平分速度表示，代入合速度平方的表达式，套用基本不等式求取速度平方的最小值，开方得到最小初速度。 【解答】解：毽球做斜抛运动，将初速度拆分为水平分速度vx和竖直分速度vy，合初速度。 毽球水平方向做匀速直线运动，位移x＝vxt；竖直方向受重力作用做匀变速运动，位移。 若要让毽球成功落到对方场区，初速度取最小值的临界条件是运动轨迹刚好擦过球网，即1.2＝vxt，。 联立可得，整理可得 则有 根据基本不等式可知 解得，故ABD错误，C正确。 故选：C。 【点评】本题考查斜抛运动水平、竖直方向的分运动规律、运动临界条件筛选，结合均值不等式求解物理量极值，是平抛斜抛板块融合不等式的最值计算题。 28．（2026春•重庆期末）如图所示，将一可视为质点的小球先后两次从足够大的水平地面上O点斜向上抛出，第一次的水平射程为x0，第二次的水平射程为3x0，小球两次运动轨迹的最高点在同一水平线上。已知小球先后两次抛出时的速度大小分别为v1、v2，先后两次在空中运动的时间分别为t1、t2，不计空气阻力，不考虑反弹，则下列说法正确的是（　　） A．t1＜t2 B．t1＞t2 C．v2＞3v1 D．v2＜3v1 【分析】AB、小球抛出后竖直方向上均做竖直上抛运动，根据匀变速运动规律分析； CD、小球在水平方向均做匀速直线运动，根据水平位移分析水平速度关系，然后比较抛出的初速度关系。 【解答】解：AB、小球抛出后竖直方向上均做竖直上抛运动，两次运动轨迹最高点在同一水平线上，可知在空中运动时间相等，t1＝t2，故AB错误； CD、小球在水平方向均做匀速直线运动，有x0＝vx1t1，3x0＝vx2t2，代入数据可得vx2＝3vx1，设两小球竖直方向初速度为vy，有，，由数学知识可知v2＜3v1，故C错误，D正确。 故选：D。 【点评】考查了斜抛运动的分析方法，将运动正交分解，沿水平和竖直方向分析即可。 29．（2026春•昆明期末）昆明市某学校举行篮球比赛，一男生定点投篮，篮球运动轨迹如图甲所示，投篮时出手点与篮筐的水平距离为6m，篮筐离地高度为3m。不计空气阻力，篮球从投出到落入篮筐的过程中，速度与水平方向之间夹角的正切值tanθ随时间t变化的图像如图乙所示，取重力加速度g＝10m/s2。则出手点离地高度为（　　） A．1.8m B．1.9m C．2.0m D．2.1m 【分析】根据斜抛运动的水平方向做匀速直线运动，竖直方向上做自由落体运动求解高度。 【解答】解：设篮球初速度的水平分量为vx，竖直分量为vy0，由图乙可知，投出时速度与水平方向夹角的正切值为，即 落入篮筐时速度方向斜向下，其与水平方向夹角的正切值为1，即vy＝﹣vx 设篮球飞行时间为t，已知水平位移为6m，则vxt＝6m 竖直方向根据速度公式有vy﹣vy0＝﹣gt 代入数据解得 篮球在竖直方向上的向上位移，代入数据解得y＝1m 已知篮筐离地高度为3m，则出手点离地高度为3m﹣1m＝2m，故C正确，ABD错误。 故选：C。 【点评】本题主要考查斜抛运动，会根据斜抛运动可以分解为水平方向和竖直方向上的运动求解相关的物理量。 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $