2026年高二数学秋季开学学情自测卷02（江苏专用，范围：苏教版必修第二册+选修一第1～2章）

**基本信息** 2026年高二开学学情自测卷聚焦苏教版必修二及直线与圆内容，以航天知识竞赛、阿波罗尼斯圆等情境设计，考查数学眼光观察现实、数学思维推理及数学语言表达能力，适配开学学情诊断需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|向量、立体几何直观图、直线倾斜角、圆锥体积、解三角形、圆与直线位置关系、概率、统计量|单选基础巩固，多选综合辨析，如第7题结合骰子概率考查互斥与对立事件| |填空题|3题15分|复数象限、点到直线距离、三角函数取值范围|注重运算能力，如第13题结合向量求点到直线距离| |解答题|5题77分|统计（频率分布直方图）、阿波罗尼斯圆、四边形解三角形、立体几何证明与线面角、三角形形状与面积最值|情境真实，如15题航天竞赛统计分析数据意识；16题阿氏圆体现数学史与创新应用；18题立体几何证明发展空间观念与推理能力|

2026年秋季高二开学学情自测卷 数学·答案及评分参考 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 7 8 A B D C B B D C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ABC ABD BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，其中13题第一空2分，第二空3分． 12．四 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．【详解】（1）由频率分布直方图，得成绩不低于分的学生所占的频率为， 则在参加这次竞赛的3000名学生中，“航天达人”的人数约为人. 3分 （2）由频率分布直方图得， 成绩在，，，，五组内的频率分别为 ， ， ， ， . 因为，， 所以参加这次竞赛的学生成绩的分位数一定在内. 6分 设成绩的分位数为，则， 解得 ，即参加这次竞赛的学生成绩的分位数为. 9分 （3）由（2）知：成绩在和内的频率分别为，其比例为， 利用分层抽样的方法得， 在内抽取的人数为人， 在内抽取的人数为人， 所以从成绩在，内的学生中抽取的人数分别为人和人. 13分 16．【详解】（1）设点.由，可得， 3分 整理可得， 化为标准方程可得，所以点的轨迹方程为； 5分 （2）由阿波罗尼斯圆的定义可知，若为定值， 则点的轨迹(即圆)应为的阿波罗尼斯圆， 当分别位于和时，满足为定值， 7分 可得，解得 (舍去)或，所以. 9分 设点，因为， ， 所以可得， 13分 经验算，当点的坐标为时，满足， 故存在点，使得为定值，此时. 15分 17．【详解】（1）在中，由正弦定理得， 即， 解得，所以， 3分 则为等腰直角三角形，所以， 则． 5分 在中，由余弦定理得 ， 所以． 7分 （2）设，则由题意可知，． 在中，由正弦定理得，即， 即， 10分 在中，由正弦定理得，即，即， 又，所以， 13分 所以，解得，所以． 15分 18．【详解】(1)证明：因为，，则，即． 1分 因为平面平面，平面平面，平面，所以平面． 3分 （2）取中点，连接，取中点，连接. 由得平面，因为，所以平面，平面， 5分 又因为，所以四边形均为矩形， 所以多面体为直三棱柱， 因为为等边三角形，平面平面， 所以平面平面，为等边三角形，即， 7分 因为为的中点，平面平面，所以平面， 所以为直线与平面的夹角， 9分 因为，所以， 所以， 即，所以直线与平面夹角余弦值为. 11分 （3）存在，为线段的中点. 取中点，连接，设点在底面的投影为，连接， 由（2）可知，直线在底面上的投影为直线，所以点在线段上. 14分 假设，所以平面，即， 在正方形中，当时，为对角线的交点， 即为线段的中点，所以为线段的中点 17分 19．【详解】（1）在中，由正弦定理，得. 因为， 所以. 2分 因为，所以， 所以， ， . 4分 因为， 所以， . 6分 (2)（i）是直角三角形，在中，，，由（1）知. 在中，由正弦定理， 得. 因为，所以， 所以，， 所以是直角三角形. 9分 （ⅱ）在中，因为，所以. 设，. 在中，由余弦定理， 得. 12分 因为， 所以，所以， 当且仅当时等号成立. 所以面积的最大值为. 15分 在中，因为，，，所以. 在中，因为，，所以，，则. 在中，， 所以点在边上靠近的三等分点. 17分 ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2026年秋季高二开学学情自测卷 ! 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 0.5m黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 烘 3. 请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂 选择题（每小题5分，共40分） ■ 1 [A][B]IC][D] 5[A][B][C][D] 2[A][B][C][D] 6[A][B][C][D] 3[A][B][CD] 7[A][B][C][D] 4[A][B][C]D] 8[A][B][C][D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分，共18分) 9[A][B][C]D] 10[A][B][C][D] 11[A][B][C][D] 舒 三、填空题（每小题5分，共15分) 相 12 13 14. 剂 请在各题目磨靆！内，贝超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(13分) 频率/组距 0.035 0.020 0.015 0.010 05060708090100成绩/分 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页）·● 2026年秋季高二开学学情自测卷 : O 数学 . : (考试时间：120分钟试卷满分：150分) : 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 舒 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 : 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.考试范围：苏教版必修第二册+直线方程+圆方程 : 第一部分（选择题共58分） : 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 : 1.己知向量a=(1,m,b=(m,4),则m=2”是“a/i”的(） : A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.如图所示，正方形OAB'C'的边长为2cm,它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积 是() : : : : : : A.16cm2 B.8v2 cm2 C.8cm2 D.4+43cm2 : 3.已知直线1的方程为2x+23y-3=0,则直线的倾斜角为() A.30° B.60° C.120° D.150° 4.已知圆锥的体积为16,5r,且它的侧面展开图是一个圆心角为120°的扇形，则这个圆锥的母线长是() 3 A.2 B.4 C.6 D.8 5.在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a,b,c且b=a(2sinC+cosC),且a=2√5，那么△ABC : 外接圆的半径为() : 试题第1页（共6页) : 6学科网·上好课 A.3 B.5 C.√10 D.2W3 6.己知圆C:(x+cos)+(y-sin0)=1,那么直线1：+by=0与圆的位置关系是() A.相离或相切B.相交或相切 C.一定相交 D.不能确定 7.己知一枚质地均匀的正六面体骰子的六个面分别标以数字1,2,3,4,5,6，现抛掷该骰子两次，观 察并记录它每次落地时朝上的面的数字记事件A=“两次数字之和为偶数”，事件B,=“第i次的数字为奇 数(=1,2)，则下列说法正确的是() A.事件A与事件B,互斥 B.事件B与事件B互为对立事件 C.P(AUB)>P(BB2) D.P(AB)=P(BB2) 8.己知点P是△ABC所在平面内一点，3PA+4PB+AC=0,延长AP交BC于D,则△ABP与△PDC的面 积之比为() A.5:2 B.1:4 C.5:8 D.4:1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.已知一组大小不等的数据x(i=1,2,,n)的极差为，平均数为x,方差为52，标准差为5，若%=-3x+2, 则下列关于数据y(i=1,2,,n)的结论正确的有() A.极差为3m B.方差为9s2 C.平均数为-3x+2 D.标准差为-35 10.已知k为正整数，⊙M,的方程为x2+y2-4-2y+4k2=0,则下列结论正确的有() A.对任意正整数k,直线y=2x平分OM:的面积 4 B.对任意正整数k,直线y=。x与⊙Mk相切 3 C.存在正整数k,使得直线y=2x与OM,相交 D.对任意正整数k,⊙M与⊙M+1相交 11.已知函数f(x)=co2x+2cox,其在(0,2)上的零点从小到大依次为，x,下列说法正确的是（) A.f(x)是最小正周期为兀偶函数 B。J的值域为[】 C.1+x2=2π D.cosx +cosr,=-1 试题第2页（共6页） 6学科网·上好课 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.设iz=5+6i,则复数z对应的点在第 象限. 13.设m∈R,直线1：2x+y+=0经过点P,若向量PQ=1,3),则点Q到直线l的距离为 14.已知=b=1,(ā，b)=60°，a.c+6.c=2,则(2ā-c)(⑥-2c)的取值范围为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。 15.(13分)为了普及航天知识，某校开展了“航天知识竞赛”活动.现从参加竞赛的学生中随机抽取120人， 统计他们的成绩（满分100分），其中成绩不低于90分的学生被评为“航天达人”，将数据分成[50,60)，[60,70)， [70,80),[80,90),[90,100]五组，绘制成如图所示的频率分布直方图. 频率/组距 0.035 0.020 0.015 0.010 5060708090100成绩/分 (1)若该校参加这次竞赛的共有3000名学生，试估计该校这次竞赛中“航天达人”的人数； (2)估计参加这次竞赛的学生成绩的80%分位数： (3)若在抽取的120名学生中，利用分层随机抽样的方法从成绩不低于80分的学生中随机抽取9人，求从 成绩在[80,90)，[90,100]内的学生中分别抽取的人数. 16.(15分)古希腊著名数学家阿波罗尼斯同欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点A,B的 距离之比为定值(2>0且入≠1)的点的轨迹是圆.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆， 简称阿氏圆.在平面直角坐标系xOy中，点A(-2,0),B(1,O),点P满足 PAL=2 PB (1)求点P的轨迹方程 (2)设点C(3,0),在x轴的正半轴上是否存在异于点C的点D(a,0),使得对于点P的轨迹上任意一点M, MC 满足MD 为定值？若存在，求a的值；若不存在，请说明理由 试题第3页（共6页） 17.(15分)如图，在四边形ABCD,AD=2√2BC,∠BCD=45°，∠ADC=120°. (1)若BD=10V2,CD=-20,求AC: (2)若∠BAD=30°，求tan∠BDC的值 D 18.(17分)如图，在五面体ABCDEF中，AB∥CD∥EF,∠DAB=90,AB=AD=EF=1CD=2,△ADE 为等边三角形，平面ADE⊥平面ABCD, 炸 D B (I)证明：直线CD⊥平面ADE: (2)求直线FC与平面ABCD所成角的余弦值： (3)在线段EF上是否存在点P,使得BD⊥AP,若存在，请求出点P的位置；若不存在，请说明理由 : 些 O 19.(17分)在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,√3 bsin A=a1+cosB). (1)求B; (2)若a=1,b=√5 (i)试判断△ABC的形状，并说明理由： (ii)设点M在边AC上，连接BM并延长至点D,且∠ADC= 亚，求△4CD面积的最大值及此时点M的 位置 O 试题第4页（共6页） 2026年秋季高二开学学情自测卷 数学•全解全析 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知向量，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】因为，所以，， 所以，所以，故充分性成立； 因为，所以，又，， 所以，所以， 解得，故必要性不成立. 故“”是“”的充分不必要条件. 2．如图所示，正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据斜二测画法的性质，原图形面积与直观图面积满足关系. 本题中直观图是边长为的正方形，因此直观图面积. 代入公式得原图形面积. 3．已知直线l的方程为，则直线的倾斜角为 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可知，所以直线的斜率， 因，则直线的倾斜角． 4．已知圆锥的体积为，且它的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则这个圆锥的母线长是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【详解】设圆锥的底面半径为，高为，母线长为， 因为圆锥的侧面展开图是一个圆心角为，即圆心角为的扇形， 则，即， 又，即， 由，得，解得， 则. 5．在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a，b，c且，且，那么△ABC外接圆的半径为（    ） A． B．5 C． D． 【答案】B 【详解】已知，则. 因为，因此. 因为，所以，化简得. 进而，解得. 因为，所以，解得. 因此，解得. 6．已知圆，那么直线与圆的位置关系是（    ） A．相离或相切 B．相交或相切 C．一定相交 D．不能确定 【答案】B 【详解】由题意可知，圆心到直线的距离， 由辅助角公式可知，，其中， 所以，即， 由于圆的半径，所以圆心到直线的距离， 当时，直线与圆相切；当时，直线与圆相交； 所以直线与圆的位置关系是相交或相切，故B正确. 7．已知一枚质地均匀的正六面体骰子的六个面分别标以数字1，2，3，4，5，6，现抛掷该骰子两次，观察并记录它每次落地时朝上的面的数字.记事件“两次数字之和为偶数”，事件“第次的数字为奇数”，则下列说法正确的是（    ） A．事件与事件互斥 B．事件与事件互为对立事件 C． D． 【答案】D 【详解】∵ 抛掷两次骰子，每次出现奇数、偶数的概率均为，且两次抛掷结果相互独立. 事件为两次数字之和为偶数，等价于两次均为奇数或两次均为偶数， ∴ . 事件为第次数字为奇数，故. 对于选项A，当第一次数字为奇数、第二次数字也为奇数时，事件与同时发生， ∴ 事件与不互斥，A错误. 对于选项B，对立事件要求两事件不能同时发生，且并集为样本空间、概率和为1， 当两次数字均为奇数时，与同时发生， ∴ 与不是对立事件，B错误. 对于选项C，由概率加法公式： ，其中表示第一次为奇数且两次和为偶数，即第二次也为奇数， 故， ∴ . 同理， ∴ ，C错误. 对于选项D，，表示两次均为奇数，概率为， ∴ ，D正确. 8．已知点是所在平面内一点，，延长交于，则与的面积之比为（   ） A．5：2 B．1：4 C．5：8 D．4：1 【答案】C 【详解】因为，， 所以， 解得 因为共线，所以设 ， 因为共线，所以设，且， 因为，即， 所以， 因为 共线，所以系数和为 1，即， 解得，即， 即，所以， 因为，， 所以， 解得， 即，即， 所以， 设， 因为，所以 ， 因为，所以 ， 因此， 则选项C正确. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知一组大小不等的数据的极差为m，平均数为，方差为，标准差为s，若，则下列关于数据的结论正确的有（     ） A．极差为3m B．方差为 C．平均数为 D．标准差为 【答案】ABC 【详解】对于A，不妨设数据的最大值为，最小值为，则， 由，得，， 所以数据的极差为，故A正确； 对于BC，因为数据的平均数为，方差为， 所以，， 所以， 所以的方差 ，故BC正确； 对于D，由选项B可得数据的标准差为，故D错误. 10．已知为正整数，的方程为，则下列结论正确的有（    ） A．对任意正整数，直线平分的面积 B．对任意正整数，直线与相切 C．存在正整数，使得直线与相交 D．对任意正整数与相交 【答案】ABD 【详解】对于A，将的方程化简得，所以圆心坐标为. 可知直线经过的圆心，所以对任意正整数，直线平分的面积，A正确； 将的方程化简得， 可知圆心到直线的距离为，与轴相切， 故直线关于直线的对称直线也与相切，所以B正确； 结合B选项可知圆心到直线的距离，所以直线与相离，所以C错误； 将的方程化简得，其圆心坐标为，半径为. 的方程为，化简为，其圆心坐标为，半径为. 所以与的圆心距始终为，而对任意正整数与的半径之和， 对任意正整数有，半径之差，所以对任意正整数与相交，D正确. 11．已知函数，其在上的零点从小到大依次为下列说法正确的是（     ） A．是最小正周期为偶函数 B．的值域为 C． D． 【答案】BC 【详解】选项A：，所以是偶函数； 又，因此最小正周期是不是，故A错误； 选项B：， 令，则. 当时， 当时，为.故B正确； 选项C： 令，即， 解得（另一根，舍去）. 在内，（其中）的两个根， 满足（余弦函数的对称性），故C正确， 选项D，由方程， 根据C选项可知，但只有符合， 所以，故D错误. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．设，则复数z对应的点在第________象限． 【答案】 四 【详解】由已知等式， 因此对应的点坐标为，故位于第四象限. 13．设，直线经过点，若向量，则点到直线的距离为___________． 【答案】 【详解】由直线经过点，设， 由向量，得， 所以点到直线的距离. 故答案为： 14．已知，，，则的取值范围为__________． 【答案】 【详解】如图，令，以为坐标原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系， 因为，，则，设， 则，所以，则， 又， 所以， 当时，取到最小值，最小值为， 所以的取值范围为. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）为了普及航天知识，某校开展了“航天知识竞赛”活动.现从参加竞赛的学生中随机抽取120人，统计他们的成绩（满分100分），其中成绩不低于90分的学生被评为“航天达人”，将数据分成，，，，五组，绘制成如图所示的频率分布直方图. (1)若该校参加这次竞赛的共有3000名学生，试估计该校这次竞赛中“航天达人”的人数； (2)估计参加这次竞赛的学生成绩的分位数； (3)若在抽取的120名学生中，利用分层随机抽样的方法从成绩不低于80分的学生中随机抽取9人，求从成绩在，内的学生中分别抽取的人数. 【详解】（1）由频率分布直方图，得成绩不低于分的学生所占的频率为， 则在参加这次竞赛的3000名学生中，“航天达人”的人数约为人. 3分 （2）由频率分布直方图得， 成绩在，，，，五组内的频率分别为 ， ， ， ， . 因为，， 所以参加这次竞赛的学生成绩的分位数一定在内. 6分 设成绩的分位数为，则， 解得 ，即参加这次竞赛的学生成绩的分位数为. 9分 （3）由（2）知：成绩在和内的频率分别为，其比例为， 利用分层抽样的方法得， 在内抽取的人数为人， 在内抽取的人数为人， 所以从成绩在，内的学生中抽取的人数分别为人和人. 13分 16．（15分）古希腊著名数学家阿波罗尼斯同欧几里得、阿基米德齐名，他发现:平面内到两个定点，的距离之比为定值且的点的轨迹是圆.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系中，点，，点满足. (1)求点的轨迹方程. (2)设点，在轴的正半轴上是否存在异于点的点，使得对于点的轨迹上任意一点，满足为定值?若存在，求的值;若不存在，请说明理由. 【详解】（1）设点.由，可得， 3分 整理可得， 化为标准方程可得，所以点的轨迹方程为； 5分 （2）由阿波罗尼斯圆的定义可知，若为定值， 则点的轨迹(即圆)应为的阿波罗尼斯圆， 当分别位于和时，满足为定值， 7分 可得，解得 (舍去)或，所以. 9分 设点，因为， ， 所以可得， 13分 经验算，当点的坐标为时，满足， 故存在点，使得为定值，此时. 15分 17．（15分）如图，在四边形，，，. (1)若，，求； (2)若，求的值. 【详解】（1）在中，由正弦定理得， 即， 解得，所以， 3分 则为等腰直角三角形，所以， 则． 5分 在中，由余弦定理得 ， 所以． 7分 （2）设，则由题意可知，． 在中，由正弦定理得，即， 即， 10分 在中，由正弦定理得，即，即， 又，所以， 13分 所以，解得，所以． 15分 18．（17分）如图，在五面体中，，，，为等边三角形，平面平面. (1)证明：直线平面； (2)求直线与平面所成角的余弦值； (3)在线段上是否存在点，使得，若存在，请求出点的位置；若不存在，请说明理由. 【详解】(1)证明：因为，，则，即． 1分 因为平面平面，平面平面，平面，所以平面． 3分 （2）取中点，连接，取中点，连接. 由得平面，因为，所以平面，平面， 5分 又因为，所以四边形均为矩形， 所以多面体为直三棱柱， 因为为等边三角形，平面平面， 所以平面平面，为等边三角形，即， 7分 因为为的中点，平面平面，所以平面， 所以为直线与平面的夹角， 9分 因为，所以， 所以， 即，所以直线与平面夹角余弦值为. 11分 （3）存在，为线段的中点. 取中点，连接，设点在底面的投影为，连接， 由（2）可知，直线在底面上的投影为直线，所以点在线段上. 14分 假设，所以平面，即， 在正方形中，当时，为对角线的交点， 即为线段的中点，所以为线段的中点 17分 19．（17分）在中，内角，，的对边分别为，，，. (1)求； (2)若，. （i）试判断的形状，并说明理由； （ii）设点在边上，连接并延长至点，且.求面积的最大值及此时点的位置. 【详解】（1）在中，由正弦定理，得. 因为， 所以. 2分 因为，所以， 所以， ， . 4分 因为， 所以， . 6分 (2)（i）是直角三角形，在中，，，由（1）知. 在中，由正弦定理， 得. 因为，所以， 所以，， 所以是直角三角形. 9分 （ⅱ）在中，因为，所以. 设，. 在中，由余弦定理， 得. 12分 因为， 所以，所以， 当且仅当时等号成立. 所以面积的最大值为. 15分 在中，因为，，，所以. 在中，因为，，所以，，则. 在中，， 所以点在边上靠近的三等分点. 17分 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2026年秋季高二开学学情自测卷 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026年秋季高二开学学情自测卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：苏教版必修第二册+直线方程+圆方程 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知向量，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．如图所示，正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积是（     ） A． B． C． D． 3．已知直线l的方程为，则直线的倾斜角为 （    ） A． B． C． D． 4．已知圆锥的体积为，且它的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则这个圆锥的母线长是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 5．在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a，b，c且，且，那么△ABC外接圆的半径为（    ） A． B．5 C． D． 6．已知圆，那么直线与圆的位置关系是（    ） A．相离或相切 B．相交或相切 C．一定相交 D．不能确定 7．已知一枚质地均匀的正六面体骰子的六个面分别标以数字1，2，3，4，5，6，现抛掷该骰子两次，观察并记录它每次落地时朝上的面的数字.记事件“两次数字之和为偶数”，事件“第次的数字为奇数”，则下列说法正确的是（    ） A．事件与事件互斥 B．事件与事件互为对立事件 C． D． 8．已知点是所在平面内一点，，延长交于，则与的面积之比为（   ） A．5：2 B．1：4 C．5：8 D．4：1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知一组大小不等的数据的极差为m，平均数为，方差为，标准差为s，若，则下列关于数据的结论正确的有（     ） A．极差为3m B．方差为 C．平均数为 D．标准差为 10．已知为正整数，的方程为，则下列结论正确的有（    ） A．对任意正整数，直线平分的面积 B．对任意正整数，直线与相切 C．存在正整数，使得直线与相交 D．对任意正整数与相交 11．已知函数，其在上的零点从小到大依次为下列说法正确的是（     ） A．是最小正周期为偶函数 B．的值域为 C． D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．设，则复数z对应的点在第________象限． 13．设，直线经过点，若向量，则点到直线的距离为___________． 14．已知，，，则的取值范围为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）为了普及航天知识，某校开展了“航天知识竞赛”活动.现从参加竞赛的学生中随机抽取120人，统计他们的成绩（满分100分），其中成绩不低于90分的学生被评为“航天达人”，将数据分成，，，，五组，绘制成如图所示的频率分布直方图. (1)若该校参加这次竞赛的共有3000名学生，试估计该校这次竞赛中“航天达人”的人数； (2)估计参加这次竞赛的学生成绩的分位数； (3)若在抽取的120名学生中，利用分层随机抽样的方法从成绩不低于80分的学生中随机抽取9人，求从成绩在，内的学生中分别抽取的人数. 16．（15分）古希腊著名数学家阿波罗尼斯同欧几里得、阿基米德齐名，他发现:平面内到两个定点，的距离之比为定值且的点的轨迹是圆.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系中，点，，点满足. (1)求点的轨迹方程. (2)设点，在轴的正半轴上是否存在异于点的点，使得对于点的轨迹上任意一点，满足为定值?若存在，求的值;若不存在，请说明理由. 17．（15分）如图，在四边形，，，. (1)若，，求； (2)若，求的值. 18．（17分）如图，在五面体中，，，，为等边三角形，平面平面. (1)证明：直线平面； (2)求直线与平面所成角的余弦值； (3)在线段上是否存在点，使得，若存在，请求出点的位置；若不存在，请说明理由. 19．（17分）在中，内角，，的对边分别为，，，. (1)求； (2)若，. （i）试判断的形状，并说明理由； （ii）设点在边上，连接并延长至点，且.求面积的最大值及此时点的位置. 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年秋季高二开学学情自测卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：苏教版必修第二册+直线方程+圆方程 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知向量，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．如图所示，正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积是（     ） A． B． C． D． 3．已知直线l的方程为，则直线的倾斜角为 （    ） A． B． C． D． 4．已知圆锥的体积为，且它的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则这个圆锥的母线长是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 5．在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a，b，c且，且，那么△ABC外接圆的半径为（    ） A． B．5 C． D． 6．已知圆，那么直线与圆的位置关系是（    ） A．相离或相切 B．相交或相切 C．一定相交 D．不能确定 7．已知一枚质地均匀的正六面体骰子的六个面分别标以数字1，2，3，4，5，6，现抛掷该骰子两次，观察并记录它每次落地时朝上的面的数字.记事件“两次数字之和为偶数”，事件“第次的数字为奇数”，则下列说法正确的是（    ） A．事件与事件互斥 B．事件与事件互为对立事件 C． D． 8．已知点是所在平面内一点，，延长交于，则与的面积之比为（   ） A．5：2 B．1：4 C．5：8 D．4：1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知一组大小不等的数据的极差为m，平均数为，方差为，标准差为s，若，则下列关于数据的结论正确的有（     ） A．极差为3m B．方差为 C．平均数为 D．标准差为 10．已知为正整数，的方程为，则下列结论正确的有（    ） A．对任意正整数，直线平分的面积 B．对任意正整数，直线与相切 C．存在正整数，使得直线与相交 D．对任意正整数与相交 11．已知函数，其在上的零点从小到大依次为下列说法正确的是（     ） A．是最小正周期为偶函数 B．的值域为 C． D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．设，则复数z对应的点在第________象限． 13．设，直线经过点，若向量，则点到直线的距离为___________． 14．已知，，，则的取值范围为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）为了普及航天知识，某校开展了“航天知识竞赛”活动.现从参加竞赛的学生中随机抽取120人，统计他们的成绩（满分100分），其中成绩不低于90分的学生被评为“航天达人”，将数据分成，，，，五组，绘制成如图所示的频率分布直方图. (1)若该校参加这次竞赛的共有3000名学生，试估计该校这次竞赛中“航天达人”的人数； (2)估计参加这次竞赛的学生成绩的分位数； (3)若在抽取的120名学生中，利用分层随机抽样的方法从成绩不低于80分的学生中随机抽取9人，求从成绩在，内的学生中分别抽取的人数. 16．（15分）古希腊著名数学家阿波罗尼斯同欧几里得、阿基米德齐名，他发现:平面内到两个定点，的距离之比为定值且的点的轨迹是圆.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系中，点，，点满足. (1)求点的轨迹方程. (2)设点，在轴的正半轴上是否存在异于点的点，使得对于点的轨迹上任意一点，满足为定值?若存在，求的值;若不存在，请说明理由. 17．（15分）如图，在四边形，，，. (1)若，，求； (2)若，求的值. 18．（17分）如图，在五面体中，，，，为等边三角形，平面平面. (1)证明：直线平面； (2)求直线与平面所成角的余弦值； (3)在线段上是否存在点，使得，若存在，请求出点的位置；若不存在，请说明理由. 19．（17分）在中，内角，，的对边分别为，，，. (1)求； (2)若，. （i）试判断的形状，并说明理由； （ii）设点在边上，连接并延长至点，且.求面积的最大值及此时点的位置. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $