专题2.4 直角三角形（举一反三讲义）数学新教材浙教版八年级上册

本讲义聚焦直角三角形核心知识点，系统梳理两锐角互余的性质与判定，斜边上中线等于斜边一半的性质，以及含30°角直角三角形中30°角对直角边等于斜边一半的特殊性质，构建从基础到应用的学习支架。 资料以题型归纳为特色，涵盖6类典型题型及变式，结合台球桌面、钢缆等生活实例，培养学生用数学眼光抽象问题，通过辅助线构造、推理证明提升数学思维，课中助力教师分层教学，课后帮助学生强化练习查漏补缺。

专题2.4 直角三角形（举一反三讲义） 【新教材浙教版】 题型归纳 【题型1 利用直角三角形的两个锐角互余求角度】 1 【题型2 利用有两个角互余的三角形是直角三角形判断三角形的形状】 4 【题型3 直角三角形的性质的简单应用】 7 【题型4 构造辅助线利用直角三角形的性质】 10 【题型5 含30°角的直角三角形的性质的简单应用】 15 【题型6 作垂线构造含30°角的直角三角形】 17 考点1 直角三角形的性质及判定 知识点1 直角三角形的性质及判定 1.直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余． 在△ABC 中，∵∠C=90°,∴∠A+∠B=90°． 2.直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形． 在△ABC中，∵∠A+∠B=90°,∴∠C=90°，即△ABC是直角三角形 ． 【题型1 利用直角三角形的两个锐角互余求角度】 【例1】（25-26七年级下·浙江杭州·期中）如图，，将一副直角三角板作如下摆放，，，则（   ） A． B． C．140° D．145° 【答案】B 【详解】解：如图，延长交于点， ， ， ， ， 在中，， ． 【变式1-1】（25-26七年级下·四川·期中）如图，在中，，，垂足为．，则________度． 【答案】 【分析】由题意可得，，，则有． 【详解】解：， ， ， 又有， ． 【变式1-2】（2026·广东深圳·二模）如图是一张矩形台球桌面，一个球从桌面的点处滚向桌边，在上的点处反弹后，滚向桌边上的点，再次反弹后滚入点，共反弹两次．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据对称的性质求出，然后根据矩形的性质得到，，然后根据直角三角形两锐角互余求解． 【详解】解：∵ 根据题意得， ∵四边形是矩形 ∵， ∴ 根据题意得， ∵ ∴． 【变式1-3】（25-26八年级上·陕西延安·期末）如图，在中，，，平分交于点，为线段上的一点，过点作交线段的延长线于点，求的度数． 【答案】 【分析】根据三角形内角和为可以求出，根据角平分线定义可知，根据三角形内角和定理即可求出，再根据直角三角形的两个锐角互余求出的度数． 【详解】解：在中，，， ， 平分， ， 在中，， ， ， ， ． 【题型2 利用有两个角互余的三角形是直角三角形判断三角形的形状】 【例2】如图，平分，，，，则是____三角形． 【答案】直角 【分析】通过三角形的内角和等于，计算，再利用角平分线的定义得到，根据直角三角形的判定定理即可得到答案． 【详解】解：， ∵平分， ∴， ∵， ∴是直角三角形． 【变式2-1】（25-26八年级上·湖南常德·期末）下列条件中，不能判定为直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形内角和定理的应用，锐角互余的三角形是直角三角形等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 根据三角形内角和定理，锐角互余的三角形是直角三角形等知识点，对四个选项逐一分析，再判断是否存在的角． 【详解】解：∵， ∴是直角三角形， 故A不符合题意； ∵， ∴， ∴是直角三角形， 故B不符合题意； ∵， ∴， ∴是直角三角形， 故C不符合题意； ，仅知道一个角为，无法确定是否存在的角（如等边三角形三个角均为）， 不能判定△ABC为直角三角形， 故D符合题意； 故选：D． 【变式2-2】（25-26八年级上·福建福州·期中）如图，在中，，、分别在、上，连接，若，则是________三角形． 【答案】直角 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理和直角三角形的判定，掌握这些是解题的关键． 根据三角形内角和定理得到，进而等量代换得到，进一步推出，由此可得结论． 【详解】解：在中，， ， ， ， ， 是直角三角形． 故答案为：直角． 【变式2-3】（25-26八年级上·贵州黔西南·阶段检测）如图，平分．求证：是直角三角形． 【答案】详见解析 【分析】本题考查直角三角形的证明，角平分线性质和三角形内角和定理，熟练掌握基础知识点是解题关键； 先通过三角形内角和定理求出，再通过角平分线求出，进而可求出，从而可得到，进而得证． 【详解】证明：， ． 平分， ． ， ， ， 是直角三角形． 考点2 直角三角形的性质 知识点2 直角三角形的性质 1.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 2.如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°， 在△ABC内作∠ACD=∠A，可得AD=DC(等角对等边），由∠B与∠A互余，∠BCD与∠ACD互余，可得∠B=∠BCD(等角的余角相等)，从而可得BD=DC(等角对等边），于是得到CD=-AB（这里 CD是斜边AB上的中线). 【题型3 直角三角形的性质的简单应用】 【例3】（25-26八年级下·云南昭通·阶段检测）如图，一根长为8米的钢缆斜拉在竖直的电线杆与地面之间，电线杆与地面垂直，垂足为点．若点是钢缆的中点，则，两点间的距离为（     ） A．6米 B．5米 C．4米 D．3米 【答案】C 【分析】连接，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可． 【详解】解：连接， ∵电线杆与地面垂直， ∴， ∵点D是的中点， ∴在中，（米）， 即，两点间的距离为4米． 【变式3-1】（25-26八年级下·福建南平·期中）如图，在中，，为中点，且，则的度数为________． 【答案】60 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，证明是等边三角形，可知的度数． 【详解】解：∵，为中点， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴． 【变式3-2】（25-26八年级下·全国·单元测试）如图，一根木杆斜靠在竖直的墙上，，木杆的顶端沿墙面下滑至位置，此时，，分别是斜边，上的中线，则的度数为______． 【答案】/26度 【分析】本题主要考查了直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质，根据直角三角形斜边中线的性质，，则有，，再通过角度和差即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，分别是斜边，上的中线， ∴，， ∴，， ∵， ∴． 故答案为：． 【变式3-3】（25-26八年级上·上海普陀·期末）如图，已知：在中，，，点在边的延长线上，，． (1)求证：； (2)如果是的中点，求证：． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和性质，斜边上的中线等于斜边的一半，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先整理得，再结合，，证明； （2）结合，得，又因为三角形内角和性质，得出，根据是的中点，得，即可作答． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 则， ∴， ∵，， 即， （2）证明：依题意，如图所示： 由（1）得， ∴， ∵， ∴， 即， ∵是的中点， ∴． 【题型4 构造辅助线利用直角三角形的性质】 【例4】（25-26八年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，在中，是边上的高线，是边上的中线，于G，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记性质是解答本题的关键．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和等腰三角形三线合一的性质，即可得到结论． 【详解】证明：如图，连接， ∵是边上的高线， ∴． ∵是边上的中线， ∴． ∵， ∴． ∵于G， ∴． 【变式4-1】（25-26八年级上·江苏镇江·阶段检测）如图，已知在中，于，于，，分别是，的中点． (1)求证：； (2)若，，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题综合考查了直角三角形斜边上的中线定理； （1）由直角三角形，线段中点的条件和定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”得到辅助线作法，连接进而得到等腰三角形，再根据定理“三线合一”即可证明． （2）根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得，根据三角形的周长公式即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接 , , 是的中点， 同理可得, 是的中点, ； （2）， ∴， ∴的周长为． 【变式4-2】（25-26八年级上·广东湛江·期末）经过三角形一个顶点及其对边上一点的直线，若能将此三角形分割成两个等腰三角形，则称这个三角形为“黄金三角形”，这条直线称为这个三角形的“黄金分割线”． (1)如图①，在中，，，平分交于点．求证：是“黄金三角形”． (2)如图②，在中，，求证：是“黄金三角形”． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查等腰三角形的性质与判定，三角形的内角和性质，三角形外角性质，直角三角形的性质． （1）根据等腰三角形的性质与判定，进行角度的推导即可； （2）取的中点连接，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，进行判断可得两个等腰三角形，进而可求出结论． 【详解】（1）证明：，， ． 平分， ． ， 是等腰三角形， ， ，． ， 是等腰三角形， 是“黄金三角形”． （2）证明：如图，取的中点连接， ，点为的中点， ， 和是等腰三角形， 是“黄金三角形”． 【变式4-3】（25-26八年级下·河南南阳·期末）如图，在正方形 中，点 是 上一点，连接 ，点 是线段 的中点，连接，，． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)证明：连接， ∵正方形， ∴，， ∵点 是线段 的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； (2)． 【分析】（1）连接，求得，推出，得到，利用证明，即可得到； （2）证明是等边三角形，再利用等边对等角求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵，，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴． 考点3 含30°角的直角三角形的性质 知识点3 含30°角的直角三角形的性质 1. 性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 2. 拓展：（1）该性质是含30°角的特殊直角三角形的性质，一般的直角三角形或非直角三角形没有这个性质，更不能应用． （2）这个性质主要应用于计算或证明线段的倍分关系． （3）该性质的证明出自于等边三角形，所以它与等边三角形联系密切． （4）在有些题目中，若给出的角是15°时，往往运用一个外角等于和它不相邻的两个内角的和将15°的角转化后，再利用这个性质解决问题 【题型5 含30°角的直角三角形的性质的简单应用】 【例5】（25-26八年级下·广东深圳·期中）景区正殿梁架（如图1），其顶部可近似地看成一个等腰三角形，记为等腰三角形（如图2），若，于点，，则的长为（  ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】D 【详解】解：∵，， ∴． 【变式5-1】（25-26八年级下·陕西汉中·期中）如图，是等边三角形，点D在边上，过点D作于点E．若，则的长为（     ） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】B 【分析】证明，结合，，可得． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵，， ∴． 【变式5-2】（26-27八年级·全国·暑假作业）如图，为等边三角形，，，相交于点P，于Q．已知，，则的长是________． 【答案】11 【分析】先证出，则，，进而可得，再根据含角的直角三角形的性质求出的长，由此即可得． 【详解】解：是等边三角形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴在中，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式5-3】（25-26八年级下·江苏宿迁·期末）如图，将矩形纸片沿对角线折叠，使得点B落在点E处，交于点F，若平分，，则的长为________． 【答案】 【分析】根据矩形的性质和轴对称的性质，求出，然后根据等腰三角形的判定，求出，再根据直角三角形的性质求得，所以，，即可得到答案． 【详解】解：矩形纸片沿对角线折叠， ，，， 平分， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ． 【题型6 作垂线构造含30°角的直角三角形】 【例6】（25-26八年级下·江西萍乡·期末）在等腰中，已知，，则的面积为________． 【答案】25 【分析】过点作，交的延长线于点，先求出的度数，得到的长度，再利用三角形面积公式计算即可． 【详解】解：过点作，交的延长线于点，如图， ，， ， ∴， 的面积为． 【变式6-1】（2026·内蒙古包头·二模）如图，左图为《天工开物》记载的用于舂（）捣谷物的工具——“碓（）”的结构简图．已知交于点与水平线相交于点，．若分米，，则点到水平线的距离为___________分米． 【答案】 【分析】作于点，求得，利用直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：作于点， ∵，， ∴， ∵， ∴，即点到水平线的距离为分米． 【变式6-2】（2026·四川凉山·中考真题）如图，点P是的平分线上一点，过点P作交于点C，若，，则点P到的距离的长是_______． 【答案】1 【分析】根据角平分线定义和平行线性质证得是等腰三角形，求出的长，过点作于点，求出，根据角平分线的性质得出点到的距离． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∴， ∵， ∴,, ∴， 过点作于点， ∴， ∵平分，， ∴, 即点到的距离为1． 【变式6-3】（2026·上海浦东新·二模）如图是地铁入口双翼闸机示意图．已知双翼边缘，与闸机侧立面夹角，双翼展开时端点、的间距为．当双翼收起时，可通过闸机的物体最大宽度为_______． 【答案】68 【分析】过点作于点，过点作于点，求出的长即可． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点， ∵，， ∴，， ∵双翼展开时端点、的间距为， ∴当双翼收起时，可通过闸机的物体最大宽度为． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.4 直角三角形（举一反三讲义） 【新教材浙教版】 题型归纳 【题型1 利用直角三角形的两个锐角互余求角度】 1 【题型2 利用有两个角互余的三角形是直角三角形判断三角形的形状】 2 【题型3 直角三角形的性质的简单应用】 4 【题型4 构造辅助线利用直角三角形的性质】 5 【题型5 含30°角的直角三角形的性质的简单应用】 6 【题型6 作垂线构造含30°角的直角三角形】 7 考点1 直角三角形的性质及判定 知识点1 直角三角形的性质及判定 1.直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余． 在△ABC 中，∵∠C=90°,∴∠A+∠B=90°． 2.直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形． 在△ABC中，∵∠A+∠B=90°,∴∠C=90°，即△ABC是直角三角形 ． 【题型1 利用直角三角形的两个锐角互余求角度】 【例1】（25-26七年级下·浙江杭州·期中）如图，，将一副直角三角板作如下摆放，，，则（   ） A． B． C．140° D．145° 【变式1-1】（25-26七年级下·四川·期中）如图，在中，，，垂足为．，则________度． 【变式1-2】（2026·广东深圳·二模）如图是一张矩形台球桌面，一个球从桌面的点处滚向桌边，在上的点处反弹后，滚向桌边上的点，再次反弹后滚入点，共反弹两次．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26八年级上·陕西延安·期末）如图，在中，，，平分交于点，为线段上的一点，过点作交线段的延长线于点，求的度数． 【题型2 利用有两个角互余的三角形是直角三角形判断三角形的形状】 【例2】如图，平分，，，，则是____三角形． 【变式2-1】（25-26八年级上·湖南常德·期末）下列条件中，不能判定为直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26八年级上·福建福州·期中）如图，在中，，、分别在、上，连接，若，则是________三角形． 【变式2-3】（25-26八年级上·贵州黔西南·阶段检测）如图，平分．求证：是直角三角形． 考点2 直角三角形的性质 知识点2 直角三角形的性质 1.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 2.如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°， 在△ABC内作∠ACD=∠A，可得AD=DC(等角对等边），由∠B与∠A互余，∠BCD与∠ACD互余，可得∠B=∠BCD(等角的余角相等)，从而可得BD=DC(等角对等边），于是得到CD=-AB（这里 CD是斜边AB上的中线). 【题型3 直角三角形的性质的简单应用】 【例3】（25-26八年级下·云南昭通·阶段检测）如图，一根长为8米的钢缆斜拉在竖直的电线杆与地面之间，电线杆与地面垂直，垂足为点．若点是钢缆的中点，则，两点间的距离为（     ） A．6米 B．5米 C．4米 D．3米 【变式3-1】（25-26八年级下·福建南平·期中）如图，在中，，为中点，且，则的度数为________． 【变式3-2】（25-26八年级下·全国·单元测试）如图，一根木杆斜靠在竖直的墙上，，木杆的顶端沿墙面下滑至位置，此时，，分别是斜边，上的中线，则的度数为______． 【变式3-3】（25-26八年级上·上海普陀·期末）如图，已知：在中，，，点在边的延长线上，，． (1)求证：； (2)如果是的中点，求证：． 【题型4 构造辅助线利用直角三角形的性质】 【例4】（25-26八年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，在中，是边上的高线，是边上的中线，于G，．求证：． 【变式4-1】（25-26八年级上·江苏镇江·阶段检测）如图，已知在中，于，于，，分别是，的中点． (1)求证：； (2)若，，求的周长． 【变式4-2】（25-26八年级上·广东湛江·期末）经过三角形一个顶点及其对边上一点的直线，若能将此三角形分割成两个等腰三角形，则称这个三角形为“黄金三角形”，这条直线称为这个三角形的“黄金分割线”． (1)如图①，在中，，，平分交于点．求证：是“黄金三角形”． (2)如图②，在中，，求证：是“黄金三角形”． 【变式4-3】（25-26八年级下·河南南阳·期末）如图，在正方形 中，点 是 上一点，连接 ，点 是线段 的中点，连接，，． (1)求证：； (2)求的度数． 考点3 含30°角的直角三角形的性质 知识点3 含30°角的直角三角形的性质 1. 性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 2. 拓展：（1）该性质是含30°角的特殊直角三角形的性质，一般的直角三角形或非直角三角形没有这个性质，更不能应用． （2）这个性质主要应用于计算或证明线段的倍分关系． （3）该性质的证明出自于等边三角形，所以它与等边三角形联系密切． （4）在有些题目中，若给出的角是15°时，往往运用一个外角等于和它不相邻的两个内角的和将15°的角转化后，再利用这个性质解决问题 【题型5 含30°角的直角三角形的性质的简单应用】 【例5】（25-26八年级下·广东深圳·期中）景区正殿梁架（如图1），其顶部可近似地看成一个等腰三角形，记为等腰三角形（如图2），若，于点，，则的长为（  ） A．10 B．11 C．12 D．13 【变式5-1】（25-26八年级下·陕西汉中·期中）如图，是等边三角形，点D在边上，过点D作于点E．若，则的长为（     ） A．1 B．2 C．4 D．6 【变式5-2】（26-27八年级·全国·暑假作业）如图，为等边三角形，，，相交于点P，于Q．已知，，则的长是________． 【变式5-3】（25-26八年级下·江苏宿迁·期末）如图，将矩形纸片沿对角线折叠，使得点B落在点E处，交于点F，若平分，，则的长为________． 【题型6 作垂线构造含30°角的直角三角形】 【例6】（25-26八年级下·江西萍乡·期末）在等腰中，已知，，则的面积为________． 【变式6-1】（2026·内蒙古包头·二模）如图，左图为《天工开物》记载的用于舂（）捣谷物的工具——“碓（）”的结构简图．已知交于点与水平线相交于点，．若分米，，则点到水平线的距离为___________分米． 【变式6-2】（2026·四川凉山·中考真题）如图，点P是的平分线上一点，过点P作交于点C，若，，则点P到的距离的长是_______． 【变式6-3】（2026·上海浦东新·二模）如图是地铁入口双翼闸机示意图．已知双翼边缘，与闸机侧立面夹角，双翼展开时端点、的间距为．当双翼收起时，可通过闸机的物体最大宽度为_______． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $