2.2 基本不等式课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦基本不等式√ab ≤ (a+b)/2（a,b>0），通过知识回顾从完全平方公式出发，引导学生用√a、√b代换得到基本不等式，构建重要不等式与基本不等式的关联，形成递进式学习支架。 其亮点在于以数学思维中的推理意识和数学语言中的模型意识为核心，通过分析法证明不等式培养逻辑推理，结合“一正、二定、三相等”总结求最值条件建立模型。如例2求函数最大值、课堂习题证明ab+ac+bc≤1/3，帮助学生发展应用能力，教师可借助系统流程和典型例题提升教学效率。

人教A版必修一数学教学同步课件 第二章 函数的概念与性质 2.2 基本不等式 学习目标 1. 理解基本不等式 (a>0,b>0).； 2. 能用基本不等式模型解决求积的最大值或和的最小值问题；3. 能运用基本不等式证明不等式和比较代数式的大小. 知识回顾 1、什么是完全平方公式？根据完全平方公式得出的重要不等式是什么？ 3、不等式的条件a>0,b>0是否可以去掉？ 4、不等式中的“=”成立的条件是什么？ 2、在a>0,b>0的条件下，把 中的a,b分别由 代换，可以得到一个什么样的不等式？ 不可以 基本不等式 替换后得到： 即： 即： 基本不等式 我们称不等式 为基本不等式,其中a　　　　,b　　　　,当且仅当a=b时,等号成立.  不等式 适用范围 文字叙述 “=”成立的条件 >0 >0 a>0,b>0 两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数 a=b 问题探讨 (1)我们知道一个重要不等式:若a,b∈R,则a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时,等号成立).如果a>0,b>0,我们用 分别代替不等式中的a,b,可得到什么形式? 得到a+b≥2 . (2)我们称为a,b的几何平均数,称为a,b的算术平均数.如何用这两个概念描述基本不等式?能否用图形来表示基本不等式的证明? 基本不等式可叙述为:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.具体图形证明如图.在圆中,令AC=a,CB=b,AB为圆的直径,则圆的半径 R=,CD=,容易知道,CD≤R,即. 证明不等式 证明：要证 只要证 只要证 只要证 显然, 上式是成立的.当且仅当a=b时取等。 证明不等式： 分析法 重要不等式与基本不等式比较 适用范围 文字叙述 “=”成立条件 a=b a=b 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 两数的平方和不小于它们积的2倍 a,b∈R a>0,b>0 典型例题 【例1】已知a,b,c为不全相等的正实数,求证:a+b+c> 利用基本不等式求最值 已知x,y都是正数. 　 常数  (1)若x+y=S(和为定值),则当x=y时,积xy取得　　　　　　　　　.  (2)若xy=P(积为定值),则当x=y时,和x+y取得　　　　　　　　.  最大值 S2 最小值 求最值注意事项 1.应用基本不等式求最值时,要识别基本不等式的模型结构,把握正数的和或积这两个关键要素及之间的关系.积为定值和有最小值;和为定值积有最大值. 2.基本不等式的代数变形(识别本质): (1)对于基本不等式,两边平方可得ab≤()2(a>0,b>0),当且仅当a=b时,等号成立; (2)对于基本不等式,可以隐性表示定值关系,如x+≥2(x>0),≥2(ab>0)都是隐性表示积为定值,0<x<1时,x(1-x)≤()2隐性表示和为定值; (3)及时验证基本不等式等号条件是否成立.例如中,虽然的积为定值1,但是当时,有x2=-1不成立.所以≥2中等号不成立,即基本不等式不成立,不能用. 问题探讨 不等式x+ ≥2(x>0)是一个真命题,若把x>0改为x∈R是否成立?把x>0改为x>1是否成立?把x+ ≥2(x>0)改为x- ≥2(x>0)是否成立? 均不成立.第1个改变,x不是正数,不适用于基本不等式模型;第2个改变,不满足等号成立的条件,x=1取不到,不适用于基本不等式模型;第3个改变,根本不是基本不等式模型. 典型例题 【例2】函数y=4x(3-2x)的最大值 ： 当且仅当，2x=3-2x即时，等号成立 利用基本不等式求最值的条件： 一正、二定、三相等。 课堂习题 1. 已知0<x<1,则当x(1-x)取最大值时,x的值为(　　) B 解析 ∵0<x<1,∴1-x>0. 14 课堂习题 2. 已知a>0,b>0,且ab=1,则a+4b的最小值为　　　　.  4 15 课堂习题 3.设a,b,c为正实数,且a+b+c=1,证明:ab+ac+bc≤. a2+b2+c2≥ab+ac+bc. 因为(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc, 所以(a+b+c)2=1≥3(ab+ac+bc), 16 课后作业 1. 完成课本第46和49页练习以及习题2.2; 2. 预习课本2.3二次函数与一元一次方程、不等式的内容. . 证明 ∵a>0,b>0,c>0, ∴a+b≥2>0,b+c≥2>0,c+a≥2>0. ∴2(a+b+c)≥2(), 即a+b+c≥. ∵a,b,c为不全相等的正实数, ∴等号不成立. ∴a+b+c>. 2 A. B. C. D. ∴x(1-x)≤()2=,当且仅当x=1-x,即x=时,等号成立. 解析 因为a>0,b>0,且ab=1,所以a+4b≥2=4,当且仅当a=4b,即a=2,b=时,等号成立. 证明 因为所以2(a2+b2+c2)≥2ab+2ac+2bc,即 所以ab+ac+bc≤,当且仅当a=b=c=时,等号成立. $