精品解析：浙江宁波市奉化区2025-2026学年高一下学期期末考试数学试题

2025学年第二学期期末考试高一数学试题 说明：本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分. 考试时间120分钟，本次考试不得使用计算器，请考生将所有题目都做在答题卡上. 第I卷（选择题 共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，，且，则（ ） A. B. C. 3 D. 12 2. 在中，，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 3. 若复数，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知，表示两个不同的平面，，，表示三条不同的直线，则下列结论正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，，则 C. 若，，，，则 D. 若，，则 5. 为提高学生学习数学的热情，实验中学举行高二数学竞赛，以下数据为参加数学竞赛决赛的10人的成绩：（单位：分）56，70，72，78，79，80，81，83，84，86，则这10人成绩的第80百分位数是（ ） A. 83 B. 83.5 C. 84 D. 70 6. 玩陀螺不仅可以释放往日情怀，找回童年的乐趣，也可锻炼人体协调性和腕部力量，培养敏锐观察力．如图，一个实木陀螺近似的看成同底的一个圆柱和一个圆锥构成．已知这个陀螺是由一个底面直径为6cm．高也为6cm的圆柱实木制成的，为了陀螺旋转的稳定性，设计圆柱部分与圆锥部分的高比为，则这个陀螺的体积最大约为（ ） A. B. C. D. 7. 设随机事件A，B满足，，则（ ）． A. B. C. D. 8. 如图，在中，，为CD上一点，且满足，若的面积为，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错得0分，部分选对得部分分. 9. 已知向量，则下列结论正确的是（ ） A. 若与方向相反，则 B. 若，则 C. 若，则在方向上的投影向量坐标为 D. 若 则与夹角的余弦值为 10. 一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字，连续抛掷这个正四面体木块两次，并记录每次正四面体木块朝下的面上的数字，记事件为“两次记录的数字之和为偶数”，事件为“第一次记录的数字为偶数”，事件为“第二次记录的数字为偶数”，则下列结论正确的是（ ） A. 事件与事件是互斥事件 B. 事件与事件是相互独立事件 C. D. 11. 如图，在正方体中，M为 中点，P为线段上一点，记平面截正方体所得截面为. 当A，P，C三点共线时， 则（） A. 正方体 的体积为64 B. 当AB的中点在α上时，截面图形的面积为 C. 记MP的中点为Q，CQ的最小值为 D. 的最小值为 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知的内角的对边为，且，，则外接圆的面积为________. 13. 已知一组数据，，，，满足，，则这组数据的方差是________. 14. 已知点是所在平面上一点，且满足为线段中点，且，若，则的取值范围是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答： 已知复数，，满足，________________. （1）若为实数，求复数； （2）若复数，在复平面内的对应点为，，且，求复数. 16. 从某学校的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，…，第八组，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人. （1）求第六组和第七组的频率； （2）估计该校的800名男生的身高的平均数和中位数； （3）若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，求两名男生在同一组的概率. 17. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是菱形，，E为棱PA的中点，，，直线PA与BC所成的角的大小为. （1）证明：平面BDE； （2）证明：平面ABCD； （3）求二面角的正弦值. 18. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 （1）求角C的值 （2）若，的面积为，求的周长． （3）若为锐角三角形，且，求的周长取值范围． 19. 如图所示，设，是平面内相交成角的两条轴，，分别是与，轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为放射坐标系，若在放射坐标系下，，则把有序数对叫作向量的放射坐标，记为，若满足，则称为放射坐标系下的“完美向量”.已知在放射坐标系下，，. （1）求以及（用表示）； （2）求向量放射坐标；若时，直接写出两组“完美向量”的放射坐标； （3）设，对任意实数，恒成立，求的取值范围，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第二学期期末考试高一数学试题 说明：本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分. 考试时间120分钟，本次考试不得使用计算器，请考生将所有题目都做在答题卡上. 第I卷（选择题 共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，，且，则（ ） A. B. C. 3 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】由可得即可. 【详解】，，解得． 2. 在中，，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用余弦定理计算即可. 【详解】由题可知：， 所以. 故选：A 3. 若复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的除法运算求出，结合复数的几何意义求出复数的模即可. 【详解】因为，所以. 故选：C 4. 已知，表示两个不同的平面，，，表示三条不同的直线，则下列结论正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，，则 C. 若，，，，则 D. 若，，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间中直线与平面、平面与平面的平行和垂直的判定定理与性质定理判断即可. 【详解】选项A：若，，和可能平行，也可能异面，不是一定平行，A错误. 选项B：由线面垂直的判定定理可知：直线垂直于平面内两条相交直线才能推出线面垂直， 题干中未指明和不相交，不满足定理条件，B错误. 选项C：由面面平行的判定定理可知：一个平面内两条相交直线都平行于另一个平面，才能推出面面平行， 题干中和可能平行，此时和仍可以相交，C错误. 选项D：根据线面垂直的性质：若一条直线垂直于一个平面，另一条直线与该直线平行， 则另一条直线也垂直于这个平面，结论成立，D正确. 5. 为提高学生学习数学的热情，实验中学举行高二数学竞赛，以下数据为参加数学竞赛决赛的10人的成绩：（单位：分）56，70，72，78，79，80，81，83，84，86，则这10人成绩的第80百分位数是（ ） A. 83 B. 83.5 C. 84 D. 70 【答案】B 【解析】 【详解】成绩按从小到大排列为. ， 第80百分位数为第个和第个数据的算术平均数，即. 6. 玩陀螺不仅可以释放往日情怀，找回童年的乐趣，也可锻炼人体协调性和腕部力量，培养敏锐观察力．如图，一个实木陀螺近似的看成同底的一个圆柱和一个圆锥构成．已知这个陀螺是由一个底面直径为6cm．高也为6cm的圆柱实木制成的，为了陀螺旋转的稳定性，设计圆柱部分与圆锥部分的高比为，则这个陀螺的体积最大约为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设圆锥部分的高为,则圆柱部分的高为,得,则这个陀螺的体积为:,进行求解即可. 【详解】设圆锥部分的高为,则圆柱部分的高为, 依题意得,得, 则这个陀螺的体积为:, 因为,则, 得这个陀螺的体积最大约为: . 故选:C 7. 设随机事件A，B满足，，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】应用条件概率公式、互斥事件的概率的性质计算判断. 【详解】， ， ， 故选：B． 8. 如图，在中，，为CD上一点，且满足，若的面积为，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，先由的面积求出及的值，再根据平面向量共线定理，向量的加法法则和平面向量基本定理求出，进而确定，求出，再利用基本不等式即可求出的最小值. 【详解】由，可得， 所以. 由可得. 因为为CD上一点，所以设， 则 . 因为， 所以，解得， 所以， 所以 (当且仅当，即时等号成立). 所以的最小值是. 故选：D 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错得0分，部分选对得部分分. 9. 已知向量，则下列结论正确的是（ ） A. 若与方向相反，则 B. 若，则 C. 若，则在方向上的投影向量坐标为 D. 若 则与夹角的余弦值为 【答案】AC 【解析】 【分析】利用共线向量的坐标表示判断A；利用向量垂直的坐标表示判断B；求出投影向量及向量夹角余弦判断CD. 【详解】对于A，由，得，解得，当时，，与方向相同， 当时，，与方向相反，A正确； 对于B，，由， 得，解得或，B错误； 对于CD，当时，，， 则在方向上的投影向量，C正确； 与夹角的余弦值为，D错误. 10. 一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字，连续抛掷这个正四面体木块两次，并记录每次正四面体木块朝下的面上的数字，记事件为“两次记录的数字之和为偶数”，事件为“第一次记录的数字为偶数”，事件为“第二次记录的数字为偶数”，则下列结论正确的是（ ） A. 事件与事件是互斥事件 B. 事件与事件是相互独立事件 C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据互斥事件的定义可判定A,根据可判定B,根据古典概型的概率公式求解，可判定CD. 【详解】对于A，事件与事件不是互斥事件，因为它们有可能同时发生，如第一次和第二次都是数字4 ，故A错误； 对于B，对于事件与事件， ,, 事件与事件是相互独立事件,故B正确； 对于C，,所以，故C正确； 对于D，事件表示第一次记录的数字为偶数，第二次记录的数字为偶数，故，故D正确. ​​​​​​​故选:BCD. 11. 如图，在正方体中，M为 中点，P为线段上一点，记平面截正方体所得截面为. 当A，P，C三点共线时， 则（） A. 正方体 的体积为64 B. 当AB的中点在α上时，截面图形的面积为 C. 记MP的中点为Q，CQ的最小值为 D. 的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据A，P，C三点共线确定点位置，利用直角三角形勾股定理求出棱长即可判断A，找出截面图形为矩形，求出面积判断B，分析出点Q的轨迹为线段，再确定 时，CQ 取得最小值，解三角即可判断C，利用展开图及余弦定理求解即可判断D. 【详解】对于A，当A，P，C三点共线时，P为BD 中点，取的中点，连接, 则 解得AD=2， 所以正方体的体积 故A 错误; 对于B，记中点为E，连接， 显然有 故点在上，则截面图形为矩形，又 所以 则截面图形的面积为 故 B正确； 对于C，取 MB中点F，MD中点G，连接FG， 点Q的轨迹为线段 又 所以 因为点G到平面BB₁C₁C的距离为所以 则 ， 所以 均为锐角，故当 时，CQ 取得最小值， 因为， 所以， 故CQ的最小值为 ， 故C正确； 对于D，将 沿BD 向下翻折与平面BDD₁B₁共面，连接 则B₁P+PC的最小值即为线段B₁C的长度，P为 与 BD 的交点，因为 所以由余弦定理得， 则 故 D正确. 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知的内角的对边为，且，，则外接圆的面积为________. 【答案】 【解析】 【分析】利用正弦定理即可求解. 【详解】设外接圆的半径为，由正弦定理，得，所以外接圆的面积为. 13. 已知一组数据，，，，满足，，则这组数据的方差是________. 【答案】3.6## 【解析】 【分析】结合题设中的数据，根据平均数和方差的定义和计算方法，即可求解. 【详解】由可知，，，，的平均数， 方差 . 14. 已知点是所在平面上一点，且满足为线段中点，且，若，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】通过建立平面直角坐标系，将向量条件转化为代数方程，利用点在线段上的参数表示和向量数量积求出参数范围，再将目标向量模长转化为二次函数，结合定义域分析其取值范围. 【详解】由，可知点在线段上。 因为，以为原点，分别以所在直线为轴，建立如图所示平面直角坐标系， 则，设，，则，为中点，故，， 由​，得，整理得，将代入， 化简得，则， 由得或，由得或，所以或， 则， 所以 ， 该二次函数开口向上，对称轴​， 当时，该二次函数单调递减，，当时，函数递增，， 所以，故 综上，的取值范围是. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答： 已知复数，，满足，________________. （1）若为实数，求复数； （2）若复数，在复平面内的对应点为，，且，求复数. 【答案】（1）或 （2）或. 【解析】 【分析】（1）选择①，设，由条件可得，由条件为实数，结合复数运算可得，解方程可求结论； 选择②，由为实数，结合复数运算可得，解方程可得结论， 选择③，设，由条件可得，由条件为实数，结合复数运算可得，解方程可求结论； （2）选择①或③，设，由条件可得，，解方程求可得结论. 选择②，由条件可得，解方程求可得结论. 【小问1详解】 选择条件①，设，，， 又为实数， ，，即，，解得或， 故或. 选择条件②，，为实数，， 即，， 则，解得， 当为偶数时， ； 当为奇数时， 故或. 选择条件，为实数，设， ,则，解得或， 故或. 【小问2详解】 选择条件①、，，， 设，则， 又，，即， 又，， 解得或， 故或. 选择条件②，，，， ，即， 化简得，又， 则，解得， 当为偶数时，； 当为奇数时， ， 故或. 16. 从某学校的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，…，第八组，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人. （1）求第六组和第七组的频率； （2）估计该校的800名男生的身高的平均数和中位数； （3）若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，求两名男生在同一组的概率. 【答案】（1）， （2）平均数，中位数 （3） 【解析】 【小问1详解】 因为第六组为人，频率为，由图可知，组距为， 所以第七组频率为. 【小问2详解】 平均数为. 因为前三组频率和为，前四组频率和为， 所以中位数位于第四组内，. 【小问3详解】 已知第六组人数为，第八组人数为. 所以. 17. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是菱形，，E为棱PA的中点，，，直线PA与BC所成的角的大小为. （1）证明：平面BDE； （2）证明：平面ABCD； （3）求二面角的正弦值. 【答案】（1） 连接，设与相交于点，连接. 四边形是菱形，为的中点. 是棱的中点，. 又平面平面， 平面. （2） 直线与所成的角为，且， 就是直线与所成的角或其补角. ，，， 在中，由正弦定理得，， 即，解得. ，即，从而. 四边形是菱形，且，, 是等边三角形，从而. 又，. ，从而. 又平面平面， 平面. （3）. 【解析】 【分析】（1）设与相交于点，连接，证明，利用线面平行的判定即可证明； （2）利用正弦定理得，再证明，最后利用线面垂直的判定定理即可证明； （3）过点作，垂足为.过作，垂足为，连接，找到二面角即为，解三角形即可得到答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 过点作，垂足为. 过作，垂足为，连接. 由（2）平面，又平面， 平面平面. 又平面平面平面，平面. 平面平面，. 平面平面，平面. 平面，， 二面角的平面角是， 在中，，， ， 二面角的正弦值是. 18. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 （1）求角C的值 （2）若，的面积为，求的周长． （3）若为锐角三角形，且，求的周长取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理和三角恒等变换求得以及的值； （2）由三角形的面积公式和余弦定理，即可求得的周长； （3）利用正弦定理和三角恒等变换，结合正弦函数的性质，即可求得周长的取值范围. 【小问1详解】 已知等式利用正弦定理化简得：， 整理得：，，， ，又，； 【小问2详解】 由余弦定理得，， ，，，， 的周长为 【小问3详解】 由正弦定理得，可得， ， 为锐角三角形，且， 则，，，， ，的周长取值范围是. 19. 如图所示，设，是平面内相交成角的两条轴，，分别是与，轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为放射坐标系，若在放射坐标系下，，则把有序数对叫作向量的放射坐标，记为，若满足，则称为放射坐标系下的“完美向量”.已知在放射坐标系下，，. （1）求以及（用表示）； （2）求向量放射坐标；若时，直接写出两组“完美向量”的放射坐标； （3）设，对任意实数，恒成立，求的取值范围，求的最大值. 【答案】（1），. （2）放射坐标为，可取如下两个完美向量，其放射坐标为. （3），的最大值为. 【解析】 【分析】（1）根据放射坐标的定义结合数量积可求以及； （2）根据放射坐标的定义结合平面向量的线性运算可求放射坐标，根据“完美向量”的定义结合特殊角的三角函数可求“完美向量”的坐标； （3）根据数量积结合二次函数的性质可求，再根据数量积求出，结合前者可求的最大值. 【小问1详解】 因为，故，，其中， 又，则， 则， 其中. 【小问2详解】 ，故. 设完美向量的坐标为，则， 故或，其中， 故或，其中， 同理，或，其中， 故可取如下两个完美向量，其放射坐标为. 【小问3详解】 因为对任意实数，恒成立， 故，故， 由（1）可得，， 同理， 故， 整理得对任意的恒成立， 所以， 故，故， 而，故. 又， ， 而，故，故的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $