专题08 二次函数与几何图形的综合问题（题型专练）数学新教材浙教版九年级上册

**基本信息** 以二次函数为载体，系统整合8类几何综合题型，通过分类讨论、公式应用及易错提醒构建解题方法体系，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |角度问题|1典例+4变式|坐标法转化角度关系|二次函数性质→几何量计算| |等腰三角形存在性|1典例+4变式|三点分类+距离公式|方程思想→图形存在性判定| |直角三角形存在性|1典例+5变式|直角顶点分类+勾股定理|代数推理→几何位置关系| |平行四边形存在性|1典例+3变式|对角线中点重合|中心对称→坐标关系建立| |矩形/菱形/正方形存在性|各1典例+3变式|矩形(对角线等)、菱形(邻边等)、正方形(双条件)|特殊四边形性质→多条件方程求解| |字母参数讨论|1典例+5变式|参数影响分类+端点验证|函数图象特征→参数范围确定|

专题08 二次函数与几何图形的综合问题 （题型突破·举一反三） 题型01 二次函数角度问题 题型02 二次函数与等腰三角形的存在性问题 题型03 二次函数与直角三角形的存在性问题 题型04 二次函数与平行四边形的存在性问题 题型05 二次函数与矩形的存在性问题 题型06 二次函数与菱形的存在性问题 题型07 二次函数与正方形的存在性问题 题型08 二次函数的字母参数讨论问题 ▌题型01 二次函数角度问题 【典例1】（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）已知关于的二次函数．图象与轴交于，两点，点在点左边，图象与轴负半轴交于点． (1)求点坐标； (2)若面积为8，求的值； (3)若中有一个内角为，求的值． 【变式1-1】（25-26九年级上·湖北黄冈·阶段检测）如图所示，已知抛物线与轴相交于点和，与轴相交于点，对称轴为直线． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图甲所示，若是线段上的一个动点（不与点重合），过点作轴的平行线，交抛物线于点，连结，当线段的长最大时，判断四边形的形状，并说明理由； (3)如图乙所示，在（2）的条件下，是的中点，过点的直线与抛物线相交于点，且，连结．在轴上是否存在一点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式1-2】（25-26九年级上·浙江·单元复习）二次函数的图象经过点，，与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上一点，连接交于点Q，过点P作轴于点D． (1)求二次函数的表达式； (2)如图1，连接BC，当时，求直线的解析式； 【变式1-3】（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如图，二次函数的图象与轴相交于点和点，与轴交于点，连接 (1)求此二次函数的解析式； (2)点在二次函数图象上，且位于直线上方，求面积的最大值 (3)若点在二次函数图象上，且满足，直接写出所有符合条件的点的坐标． 【变式1-4】如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点P是直线上方抛物线上的一动点，过点P作y轴的平行线交直线于点E，过点P作x轴的平行线交直线于点F，求面积的最大值及此时点P的坐标； (3)如图2，连接，，抛物线上是否存在点Q，使？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． ▌题型02 二次函数与等腰三角形的存在性问题 1．分类讨论：设出动点坐标，分三种情况讨论——分别以两个已知点为等腰三角形的顶点，或以已知线段为底边。 2．距离公式：用两点间距离公式 表示各边长，令两腰相等列方程求解。 3．易错提醒：三种情况都要讨论，不能漏解；求出的点要检验三点是否共线（共线时不构成三角形，须舍去）。 【典例2】（25-26九年级上·浙江·单元复习）如图，抛物线经过两点，与y轴交于点C，点P是抛物线上的一个动点，且点P在对称轴的右侧，x轴的下方，连接． (1)求抛物线的对称轴及b，c的值； (2)当四边形的面积等于11时，求点P的坐标； (3)在（2）的条件下，若点M是对称轴上的一点，试判断是否存在这样的点M，使得以点C，P，M为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由． 【变式2-1】（25-26九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，已知抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，在直线上方的抛物线上有一点M，使得的面积最大，求出M点的坐标． (3)在抛物线的对称轴上是否存在以为腰的点P，使得是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的点P的坐标． 【变式2-2】（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知抛物线的图象经过原点和点，顶点为B，且顶点B的纵坐标为2． (1)求抛物线的对称轴； (2)求证：是以点B为直角顶点的等腰直角三角形； (3)设点P是抛物线上一点（P不与点O，A，B重合），点Q在x轴上．是否存在正三角形？若存在，请求出满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式2-3】（2025·黑龙江齐齐哈尔·三模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与直线相交于点和点． (1)求该抛物线的解析式； (2)在抛物线上有一点，使得是以底的等腰三角形，求点的坐标： (3)设为直线上方的抛物线上一点，连接，以为邻边作平行四边形，则平行四边形面积的最大值为___________； (4)如图2，若在x轴上有两个动点，且，则的最小值为___________． 【变式2-4】（2025·山东济南·一模）已知抛物线与x轴交于点，与y轴交于点，点M是抛物线对称轴上的一动点，过点M作轴交抛物线于点C和点D（点C在对称轴的左侧）． (1)如图1，求该抛物线的解析式； (2)作交抛物线于点E，连接． ①如图2，当点E在x轴上时，求点M的坐标； ②若是以为底角的等腰三角形，求点E的坐标． ▌题型03 二次函数与直角三角形的存在性问题 1．分类讨论：按直角顶点的位置分三种情况——直角顶点为动点或为两个已知点，分别利用勾股定理 列方程。 2．求解方法：设动点坐标，用距离公式表示三边的平方，按直角所在位置列出勾股关系式求解。 3．易错提醒：直角顶点不同则所列方程不同，三种情况都要讨论；注意舍去不符合题意的解。 【典例3】如图，已知二次函数经过A，B两点，轴于点C，且点，，． (1)求抛物线的解析式； (2)点E是线段上一动点（不与A，B重合），过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F，当线段的长度最大时，求点E的坐标及； (3)点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在这样的P点，使成为直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式3-1】在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“齐点”．例如，…都是“齐点”．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），P是抛物线上一点，连接BP，以点P为直角顶点，构造等腰，点C恰好为第三象限内的“齐点”，则C点坐标为___________． 【变式3-2】（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，抛物线与x轴交于点A，B（点B在A的右侧），与y轴交于点C，其中，点P在第一象限的抛物线上，若是以为底的等腰直角三角形，则m的值为______. 【变式3-3】（25-26九年级上·浙江·单元复习）如图，抛物线与x轴交点A、B，与y轴交于点C． (1)在抛物线对称轴上是否存在一点P，使为等腰三角形，如果存在，求出P点坐标； (2)抛物线上有一动点N，y轴上有一动点M，当是以为直角的等腰直角三角形时，求N点坐标． 【变式3-4】（25-26九年级上·浙江·单元复习）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点 ，且，直线与抛物线交于、两点，与轴交于点 ，点是抛物线的顶点，设直线上方抛物线上的动点的横坐标为. (1)求该抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)连接、，当为何值时，； (3)在直线上是否存在一点使为等腰直角三角形，若存在请直接写出点的坐标，不存在请说明理由. 【变式3-5】（25-26九年级上·浙江·单元复习）已知如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点E是抛物线上的第一象限的点，求的最大值，并求取得最大值时x的值； (3)如图2，在抛物线上是否存在一点P，使是以为斜边的等腰直角三角形？若存在，求点P的坐标，若不存在请说明理由． ▌题型04 二次函数与平行四边形的存在性问题 1．判定依据：利用"平行四边形对角线互相平分"——设动点坐标，由两条对角线中点重合列方程。 2．中点公式：线段中点坐标为 ，平行四边形两条对角线的中点重合。 3．易错提醒：要分三种情况讨论以哪条线段为对角线；求出点后可用"对边平行且相等"验证。 【典例4】（25-26九年级上·浙江嘉兴·阶段检测）如图所示，已知抛物线交轴A，B两点，交轴于点，抛物线的对称轴交轴于点，点的坐标为． (1)求抛物线的对称轴及点的坐标； (2)过点作轴的平行线交抛物线的对称轴于点，你能判断四边形是什么四边形？并证明你的结论． 【变式4-1】如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点，且与轴交于另一点． (1)求抛物线的解析式及点的坐标 (2)若点是线段上一动点，过点的直线平行于轴，交轴于点，交抛物线于点，求的最大值，并求此时四边形的面积； (3)若点是抛物线上一动点，是轴上一点，是否存在点使以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式4-2】如图，抛物线与y轴交于A点，其顶点为D．直线分别与x轴、y轴交于B、C两点，与直线相交于E点． (1)求A、D的坐标（用m的代数式表示）； (2)将沿着y轴翻折，若点E的对称点P恰好落在抛物线上，求m的值； (3)抛物线上是否存在一点P，使得以P、A、C、E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求此抛物线的解析式；若不存在，请说明理由． 【变式4-3】（24-25九年级上·广东中山·期中）抛物线与轴交于点，两点，与轴交于点，点是抛物线上的一个动点． (1)求抛物线的函数解析式和直线的解析式； (2)如图，点在线段上方的抛物线上运动（不与重合），过点作，垂足为，交于点．若点的横坐标为，请用的式子表示，并求的最大值； (3)如图，点是抛物线的对称轴上的一个动点，抛物线上存在一点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形，请求写出所有符合条件的点的坐标． ▌题型05 二次函数与矩形的存在性问题 1．判定方法：矩形是有一个角为直角的平行四边形，先按平行四边形（对角线互相平分）设点，再令对角线相等。 2．求解步骤：先用对角线中点重合求动点坐标，再由对角线相等列方程确定参数。 3．易错提醒：矩形对角线相等且互相平分，两个条件都要用上；注意检验求出的点是否满足矩形定义。 【典例5】如图1，若二次函数的图象与轴交于点和点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，连接，点为直线下方抛物线上的动点，求面积的最大值及此时点的坐标； (3)如图3，将抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到新的抛物线，在的对称轴上有一点，坐标平面内有一点，使得以点，，，为顶点的四边形是矩形，求点的坐标． 【变式5-1】（25-26九年级上·四川眉山·期中）如图，矩形在平面直角坐标系中，，抛物线经过点A和点B． (1)求抛物线的解析式； (2)点在轴上方的抛物线上，当时，求点E的坐标； (3)点P在抛物线的对称轴上，点Q在坐标平面内，以为顶点的四边形为矩形，请直接写出点P的坐标． 【变式5-2】（25-26九年级下·四川达州·阶段检测）综合与探究 如图，抛物线的顶点为，与轴交于和两点，交轴于点． (1)求抛物线的函数表达式及点，，的坐标； (2)如图1，点是直线上方的抛物线上的动点，当面积最大时，求点的横坐标； (3)如图2，若点是坐标轴上一点，点为平面内一点，是否存在这样的点，使以、、、为顶点的四边形是以为对角线的矩形？若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【变式5-3】如图，在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于、两点，抛物线经过、两点，且交轴于另一点．点为抛物线在第一象限内的一点，过点作，交于点，交轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)设点的横坐标为，在点的移动过程中，存在，求出的值； (3)在抛物线上取点，在平面直角坐标系内取点，问是否存在以、、、为顶点且以为边的矩形？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． ▌题型06 二次函数与菱形的存在性问题 1．判定方法：菱形是邻边相等的平行四边形，先按平行四边形（对角线互相平分）设点，再令邻边相等。 2．求解步骤：用对角线中点重合求出动点，再由邻边相等（距离公式）列方程求参数。 3．易错提醒：菱形对角线互相垂直平分，也可用对角线互相垂直的条件列方程，注意选择计算量小的方法。 【典例6】如图，抛物线经过点．为轴上一动点，过点且垂直于轴的直线与直线及抛物线分别交于点． (1)求抛物线的函数表达式． (2)若点在线段上且位于抛物线对称轴左侧，当为何值时，的面积为4？ (3)在（2）的条件下，若点为直线上一点，点为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点和点，使得以点为顶点的四边形是菱形？若存在，写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式6-1】（25-26九年级上·全国·期末）综合运用：如图，一次函数的图象与x轴和y轴分别交于点A和点C，二次函数的图象经过A，C两点，并与x轴交于点．点是线段上一个动点（不与点O，A重合），过点M作x轴的垂线，分别与二次函数图象和直线相交于点E和点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)用含m的代数式表示，； (3)点F是平面内一点，是否存在以C，D，E，F为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式6-2】综合运用：如图，抛物线与轴交于和两点（点在点左侧），与轴交于点，连接，直线经过点． (1)求直的函数表达式； (2)是位于直线上方抛物线上的一个动点，过点作于点，连接．求△面积的最大值及此时点的坐标； (3)在（2）的条件下，将抛物线沿着射线方向平移个单位长度得到新抛物线与原抛物线相交于点是新抛物线对称轴上的一个动点，为平面内一点，若以为顶点的四边形是以为边的菱形，求出符合条件的点的坐标． 【变式6-3】（24-25九年级上·湖南长沙·开学考试）如图，抛物线交x轴于点和点，交y轴于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)若点P是直线下方抛物线上一动点，连接，当的面积最大时，求点P的坐标及面积的最大值； (3)在（2）的条件下，若点N是直线上的动点，在平面内的是否存在点Q，使得以为边、以P、B、N、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出符合条件的所有Q点的坐标:若不存在，请说明理由． 【变式6-4】定义：在平面直角坐标系xOy中，当点N在图形M的内部，或在图形M上，且点N的横坐标和纵坐标相等时，则称点N为图形M的“梦之点”． (1)如图①，矩形的顶点坐标分别是，，，，在点，，中，是矩形 “梦之点”的是 ； (2)如图②，已知点A，B是抛物线上的“梦之点”，点C是抛物线的顶点．连接，，，求的面积； (3)在（2）的条件下，点P为抛物线上一点，点Q为平面内一点，是否存在点P、Q，使得以为对角线，以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由． ▌题型07 二次函数与正方形的存在性问题 1．判定方法：正方形既是矩形又是菱形，需同时满足对角线相等、互相垂直且互相平分。 2．求解步骤：设动点坐标，由对角线中点重合、对角线相等且互相垂直列方程组求解。 3．易错提醒：正方形的条件最多，要同时满足三个条件；注意分类讨论对角线的不同取法，避免漏解。 【典例7】（25-26九年级上·浙江绍兴·阶段检测）如图，已知二次函数的图象经过三点，它的顶点为，且正比例函数的图象与二次函数的图象相交于两点． (1)求该二次函数的表达式和顶点的坐标； (2)若点的坐标是，且二次函数的值小于正比例函数的值时，试根据函数图象求出符合条件的自变量的取值范围； (3)试探究：点是轴上一动点，以为边作正方形，除点外还有一个顶点在抛物线上，求出满足条件的点的坐标． 【变式7-1】（25-26九年级上·浙江嘉兴·阶段检测）如图，正方形的顶点，在二次函数（为常数，且）的图象上，点在点的左侧，点在轴正半轴上，设点，的横坐标分别为，，则，的关系为（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】（25-26九年级上·浙江·单元复习）如图，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，其中点A在y轴的左侧，点C在x轴的下方，且． (1)求抛物线对应的函数解析式； (2)点P为抛物线对称轴上的一动点，当的值最小时，求点P的坐标； (3)在（2）条件下，点E为抛物线的对称轴上的动点，点F为抛物线上的动点，以点P、E、F、M为顶点作四边形，当四边形为正方形时，请直接写出坐标为整数的点M的坐标． 【变式7-3】如图，抛物线与y轴交于点C．已知抛物线顶点坐标为点P在此抛物线上，其坐标为． (1)求抛物线的解析式． (2)当时，结合图象，直接写出n的取值范围． (3)若此抛物线在点P左侧部分(包括点P)恰有三个点到x轴的距离为1，求m的取值范围． (4)当时，以为边作正方形，当此正方形的另外两个顶点中有一个顶点在此抛物线的对称轴上时，直接写出m的值． ▌题型08 二次函数的字母参数讨论问题 1．参数范围：含字母参数的二次函数，常由开口方向（ 或 ）、对称轴位置、判别式 的符号确定参数范围。 2．分类讨论：参数影响图象形状或位置时，需按参数的不同取值范围分类讨论，再综合得出结论。 3．易错提醒：讨论时要做到不重不漏；注意端点值能否取到，结合题目条件判断等号是否成立。 【典例8】如图，一光点M从原点O出发，其路径为抛物线L的一部分，在点处达到最高，并落在x轴上的点P处，并在点P处向右侧弹起，路径为抛物线的一部分，其中抛物线G与抛物线L的开口方向和形状相同，线段的端点，． (1)直接写出点P的坐标，并求出抛物线L的解析式； (2)若抛物线G经过点，求抛物线G的函数解析式； (3)将抛物线L向右平移个单位长度使它与线段有交点，直接写出k的取值范围． 【变式8-1】（25-26八年级下·浙江宁波·期末）已知抛物线（，为常数），经过点，其图象对称轴为直线． (1)求抛物线表达式； (2)已知，在该抛物线上，且， ①若，对于，都有，求的取值范围； ②若，为该抛物线在上的两点，且，的最大值为2，求的值． 【变式8-2】已知二次函数（k为常数且） (1)若函数图象的对称轴是直线． ①求该二次函数的表达式． ②二次函数的图象上有，两点，其中，且满足，试比较s，t的大小． (2)若抛物线的顶点在一次函数图象上，且当时，都有，求k的取值范围． 【变式8-3】在平面直角坐标系中，设二次函数（m为常数），已知函数图象的对称轴为直线，点，都在函数图象上，． (1)求二次函数的解析式及顶点坐标． (2)当，始终有，直接写出的取值范围． (3)若点在一次函数的图象上，过点的直线平行于轴，且与二次函数的图象交于点P，Q，若，求的取值范围． 【变式8-4】抛物线（b为常数）经过点． (1)求二次函数的表达式． (2)当时，二次函数的最大值为15，求t的值． (3)已知正方形的边长为9，轴，在下方，点A在点B的左侧．在正方形任意平移的过程中，抛物线的一段（）在正方形的边界及其内部，其中，当达到最大值时，求点D横坐标的取值范围． 【变式8-5】已知抛物线． (1)若，求图象与轴的交点坐标； (2)若，是抛物线上不同的两点，且点也在抛物线上，求的值； (3)在（1）的条件下，作一条垂直于轴的直线，交抛物线于点，交直线于点，当线段随的增大而增大时，求字母的取值范围． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 二次函数与几何图形的综合问题 （题型突破·举一反三） 题型01 二次函数角度问题 题型02 二次函数与等腰三角形的存在性问题 题型03 二次函数与直角三角形的存在性问题 题型04 二次函数与平行四边形的存在性问题 题型05 二次函数与矩形的存在性问题 题型06 二次函数与菱形的存在性问题 题型07 二次函数与正方形的存在性问题 题型08 二次函数的字母参数讨论问题 ▌题型01 二次函数角度问题 【典例1】（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）已知关于的二次函数．图象与轴交于，两点，点在点左边，图象与轴负半轴交于点． (1)求点坐标； (2)若面积为8，求的值； (3)若中有一个内角为，求的值． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题考查了二次函数综合问题，求三角形的面积，等腰三角形的性质与判定． （1）令，进而解方程，即可求解； （2）令得出，根据三角形的面积公式建立方程，解方程，即可求解； （3）分两种情况讨论，，，根据等腰三角形的性质以及三角形的面积公式，建立方程解方程即可求解． 【详解】（1）解：当时， ∵ ∴ 解得： ∴， （2）解：∵图象与轴负半轴交于点 当时， ∴，则 ∵， ∴ ∵面积为8， ∴ 解得： （3）解：∵， ∴抛物线的对称轴为轴， 当时，则 ∴ 解得： 当时，如图，过点，作于点 ∴是等腰直角三角形， ∴ ∵ 又∵ ∴, ∵ ∴ 解得：（负值舍去） 综上所述，或 【变式1-1】（25-26九年级上·湖北黄冈·阶段检测）如图所示，已知抛物线与轴相交于点和，与轴相交于点，对称轴为直线． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图甲所示，若是线段上的一个动点（不与点重合），过点作轴的平行线，交抛物线于点，连结，当线段的长最大时，判断四边形的形状，并说明理由； (3)如图乙所示，在（2）的条件下，是的中点，过点的直线与抛物线相交于点，且，连结．在轴上是否存在一点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)四边形为平行四边形，理由见解析 (3)存在，点的坐标为或 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）设点P的坐标为，则点Q的坐标为，则，根据二次函数的性质求出最值，可得，进而求解； （3）当，则，则直线和直线关于直线对称，进而求出点E的坐标为，设点F的坐标为，再根据，可得关于m的方程，解方程即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得， 故抛物线的表达式为①； （2）解：四边形为平行四边形，理由如下： 对于， 令， 解得或4， 令，则， 故点B的坐标为，点， 设直线的表达式为，则， 解得， 故直线的表达式为， 设点P的坐标为，则点Q的坐标为， 则， ∵， 故有最大值， 当时，的最大值为， 此时点Q的坐标为； ∵，， 故四边形为平行四边形； （3）解：∵D是的中点， ∴点， 设直线的表达式为，则， 解得， 直线的表达式为， 过点Q作轴于点H， 则，故， 而， ∴， 则直线和直线关于直线对称， ∵点在直线上， ∴点在直线上， 故设直线的表达式为，则， 解得， 故直线的表达式为②， 联立①②并解得（不合题意的值已舍去）， 故点E的坐标为， 设点F的坐标为， 由点B、E的坐标得：， 由点B、F的坐标得：， 当时，则， 解得， 故点F的坐标为或． 【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 【变式1-2】（25-26九年级上·浙江·单元复习）二次函数的图象经过点，，与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上一点，连接交于点Q，过点P作轴于点D． (1)求二次函数的表达式； (2)如图1，连接BC，当时，求直线的解析式； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用待定系数法即可求出答案； （2）设与y轴交于点E，设，则，，运用勾股定理可求得，得出，再利用待定系数法即可求出答案． 【详解】（1）解：∵的图象经过点，， ∴， 解得：， ∴该二次函数的表达式为； （2）解：如图，设与y轴交于点E， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 令，得， ∴，， 设，则， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得 ， ∴， 设所在直线表达式为 ， ∴， 解得：， ∴直线的表达式为． 【点睛】本题是与二次函数有关的综合题，主要考查了待定系数法，一次函数图象和性质，二次函数图象和性质，勾股定理等，属于中考数学压轴题，综合性强，难度较大，熟练掌握二次函数图象和性质等相关知识是解题关键． 【变式1-3】（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如图，二次函数的图象与轴相交于点和点，与轴交于点，连接 (1)求此二次函数的解析式； (2)点在二次函数图象上，且位于直线上方，求面积的最大值 (3)若点在二次函数图象上，且满足，直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查了二次函数与几何综合，求二次函数解析式，数形结合是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）连接，设，然后根据列出函数关系式，再根据二次函数的性质求解即可； （3）根据待定系数法求出直线解析式为，则可求直线与直线相交于，设为点D，连接并延长交抛物线于P，根据抛物线的对称性得出A、C关于直线对称，则，即，同理可求出直线解析式为，联立方程组，即可求出点P的坐标；作点D关于x轴的对称轴点E，连接并延长交抛物线于，则，，即同理可求点的坐标，即可求解． 【详解】（1）解：把和代入， 得， 解得， ∴； （2）解：如图，连接，设， 当，则， 解得，， ∴， ∴． ∵， ∴． ， ∵，抛物线开口向下， ∴当时，的面积取得最大值； （3）解：∵， ∴对称轴为直线 设直线解析式为， 则， ∴， ∴， 当时，， ∴与直线相交于，设为点D，连接并延长交抛物线于P， ∵A、C关于直线对称， ∴，即， 同理可求出直线解析式为， 联立方程组， 解得或， ∴， 作点D关于x轴的对称轴点E，连接并延长交抛物线于， 则，，即， 同理可求直线解析式为， 联立方程组， 解得或， ∴， 综上，当时，点P的坐标为或． 【变式1-4】如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点P是直线上方抛物线上的一动点，过点P作y轴的平行线交直线于点E，过点P作x轴的平行线交直线于点F，求面积的最大值及此时点P的坐标； (3)如图2，连接，，抛物线上是否存在点Q，使？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)面积的最大值为，此时点P的坐标为 (3)存在，Q的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）可得，求出直线的解析式为，又可得，进而得为等腰直角三角形，得到，设，则，可得，得到当时，即取最大值，此时的面积最大，据此即可求解； （3）分点在上方和点在下方两种情况，画出图形解答即可求解； 【详解】（1）解：把代入得，， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：由可得，， 设直线的解析式为， 把代入得，， 解得， ∴直线的解析式为， ， ， ， ∵轴，轴， ， ∴为等腰直角三角形， ， 设，则， ， 当时，即取最大值，此时的面积最大， 则； （3）解：存在． 当点在上方时，作点关于轴的对称点，过点作交抛物线于点， ∵与关于轴对称， ， 又 ∵， ， ， ， ， 同理可得直线解析式为， 设直线解析式为，将代入得，， ， ， 由， 解得或， ； 当点在下方时，作点，直线与抛物线交于点， ， 同理可得直线解析式为， ， ， ， ， 联立， 解得或， ， 综上，点的坐标为或． 【点睛】本题考査了待定系数法求二次函数解析式和一次函数解析式，二次函数的最值，二次函数的几何问题，轴对称的性质，全等三角形的性质和判定等知识点，掌握二次函数的性质并运用分类讨论思想解答是解题的关键． ▌题型02 二次函数与等腰三角形的存在性问题 1．分类讨论：设出动点坐标，分三种情况讨论——分别以两个已知点为等腰三角形的顶点，或以已知线段为底边。 2．距离公式：用两点间距离公式 表示各边长，令两腰相等列方程求解。 3．易错提醒：三种情况都要讨论，不能漏解；求出的点要检验三点是否共线（共线时不构成三角形，须舍去）。 【典例2】（25-26九年级上·浙江·单元复习）如图，抛物线经过两点，与y轴交于点C，点P是抛物线上的一个动点，且点P在对称轴的右侧，x轴的下方，连接． (1)求抛物线的对称轴及b，c的值； (2)当四边形的面积等于11时，求点P的坐标； (3)在（2）的条件下，若点M是对称轴上的一点，试判断是否存在这样的点M，使得以点C，P，M为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)对称轴是直线，b的值是，c的值是 (2) (3)存在这样的点M，使得以点C，P，M为顶点的三角形是等腰三角形，点M的坐标为或或或或 【分析】（1）将A，B点的坐标代入中即可求出二次函数表达式，即可得抛物线的对称轴及b，c的值； （2）设，根据可得关于m的方程，解方程求出m的值，由题意得出，即可得点P的横坐标，代入即可求解； （3）设，根据勾股定理可表示出，分三种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：， ∴， ∴对称轴是直线，b的值是，c的值是； （2）解：存在．设 ， ∵， ∴， ∵， ∴， 连接， ∴， 整理得：，解得：， ∵点P在对称轴的右侧，x轴的下方， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：存在， 设， 则， ， ∵是等腰三角形， ∴分三种情况， ①当时， ， 解得：， ∴点M的坐标为或； ②当时， 解得：， ∴点M的坐标为或； ③当时， 解得：， ∴点M的坐标为； ∴存在这样的点M，使得以点C，P，M为顶点的三角形是等腰三角形，点M的坐标为或或或或． 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了利用待定系数法求函数的解析式，二次函数的性质，等腰三角形的性质和判定，面积的计算等知识点，此类问题要熟练掌握利用解析式表示线段的长，并利用勾股定理列方程解决问题． 【变式2-1】（25-26九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，已知抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，在直线上方的抛物线上有一点M，使得的面积最大，求出M点的坐标． (3)在抛物线的对称轴上是否存在以为腰的点P，使得是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)共存在3个点，，，使是以为腰的等腰三角形 【分析】本题考查用待定系数法求二次函数解析式，等腰三角形的性质，三角形面积的求法等； （1）利用待定系数法即可求得解析式； （2）设M的坐标为，根据即可得出的面积S关于n的函数关系式，进而求得M的坐标． （3）根据点P在抛物线对称轴上，可设点P的坐标为，分两种情况讨论，①，②，求出m的值后即可得出答案． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， ∵抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点． ∴ 解得： ∴抛物线的解析式为. （2）解：如图，设M的坐标为， ∵． ∴， ∴，， ， ∴， ∴当时，的面积最大，最大值是， ∴， ∴. （3）解：存在，理由如下： ∵抛物线与x轴交于、两点， ∴抛物线的对称轴为：，假设存在满足题意： ①当时， ， 解得：， ∴， ②当时，， 解得：，， ∴，， 综上，共存在3个点，，，使是以为腰的等腰三角形． 【变式2-2】（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知抛物线的图象经过原点和点，顶点为B，且顶点B的纵坐标为2． (1)求抛物线的对称轴； (2)求证：是以点B为直角顶点的等腰直角三角形； (3)设点P是抛物线上一点（P不与点O，A，B重合），点Q在x轴上．是否存在正三角形？若存在，请求出满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)存在，点Q的坐标为或 【分析】（1）根据的图象经过点，即可求解． （2）由（1）可计算得二次函数图象的顶点坐标为，可画出图象，则，即可得，即可证明是等腰直角三角形． （3）根据点在抛物线上，且抛物线经过与三点，设，将代入，可解得，即可得．要使是正三角形，设点为，过点作轴，交轴于点，分三种情况：当时， 当时， 当时，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵的图象经过点， ∴抛物线的对称轴为直线； （2）解：由（1）可计算得二次函数图象的顶点坐标为，可画图象如图． ， ， 又∵， ， ， ∴是等腰直角三角形． （3）解：∵点在抛物线上，且抛物线经过与三点，设， 将代入，可解得． ， 要使是正三角形， 设点为，过点作轴，交轴于点， 分三种情况： 当时，， ， ， ∴， 解得（与点重合，舍去），（不符合题意舍去）． 当时，则有：， ， 解得， 根据正三角形对称性，点在轴上， ∴点坐标为． 当时，则有：， ， 解得， ， ∴点的坐标为． 综上所述，点的坐标为：或． 【点睛】此题考查了二次函数的图像和性质、待定系数法、等腰三角形的性质、勾股定理，一次函数的图像和性质，数形结合和准确计算是解题的关键． 【变式2-3】（2025·黑龙江齐齐哈尔·三模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与直线相交于点和点． (1)求该抛物线的解析式； (2)在抛物线上有一点，使得是以底的等腰三角形，求点的坐标： (3)设为直线上方的抛物线上一点，连接，以为邻边作平行四边形，则平行四边形面积的最大值为___________； (4)如图2，若在x轴上有两个动点，且，则的最小值为___________． 【答案】(1) (2)或 (3) (4) 【分析】本题主要考查了二次函数综合，轴对称最短路径问题，两点距离计算公式，平行四边形的性质与判定等等，正确作出辅助线是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）设点M的坐标为，，，根据等腰三角形的定义可得，即，则，解方程即可得到答案； （3）求出直线解析式为，设，则，则，根据，得到，则由平行四边形的性质可得，故当最大时，最大值，据此求解即可； （4）作点A关于x轴的对称点L，作且，连接，则，由轴对称的性质可得，证明四边形是平行四边形，得到，则，故当A、E、T三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与直线相交于点和点， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解：设点M的坐标为， ∵，， ∴， ， ∵是以底的等腰三角形， ∴， ∴， ∴ ∴ ∴， 解得， ∵， ∴， ∴， ∴当时，； 当时，； ∴点M的坐标为或； （3）解；设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 设，则， ∴， ∵， ∴当时，有最大值； ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴当最大时，最大值， ∴的最大值为； （4）解：如图所示，作点A关于x轴的对称点L，作且，连接，则， 由轴对称的性质可得， ∵且， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴当A、E、T三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长， ∵， ∴的最小值为． 【变式2-4】（2025·山东济南·一模）已知抛物线与x轴交于点，与y轴交于点，点M是抛物线对称轴上的一动点，过点M作轴交抛物线于点C和点D（点C在对称轴的左侧）． (1)如图1，求该抛物线的解析式； (2)作交抛物线于点E，连接． ①如图2，当点E在x轴上时，求点M的坐标； ②若是以为底角的等腰三角形，求点E的坐标． 【答案】(1)； (2)①或；②点E的坐标为或． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）①分两种情况讨论：当在轴上方时和当在轴下方时，结合含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理确定点的坐标，然后代入函数解析式并求解，进一步即可获得答案； ②分两种情况讨论，当点在的上方时，作于点，设，求得，，利用待定系数法求得；当点在的下方时，点在的垂直平分线上，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点，与y轴交于点， ∴抛物线的解析式为， 把代入，可得， 解得， ∴该抛物线的解析式为； （2）解：①分两种情况讨论： 当在轴上方时，如下图，设抛物线的对称轴交x轴于点，过点作于点， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 设， ∵轴， ∴， 令，则， 解得或， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴，， ∵， ∴， 将代入， 得， 整理得， 解得或， ∴； 当在轴下方时，如下图，设抛物线的对称轴交x轴于点，过点作于点， 设， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴，， ∵， ∴， 将代入， 得， 整理得， 解得或， ∴． 综上所述，点的坐标为或； ②当点在的上方时，，且，如图，作于点， ∴，，，设， ∵抛物线的对称轴为直线，轴， ∴， ∴，， ∴， 在中，， ∴，， ∴，， ∴，代入得， 整理得， 解得或（舍去）， ∴，， ∴； 当点在的下方时，，且，如图， ∴点在的垂直平分线上， ∴， 综上，点E的坐标为或． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到等腰三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，二次根式的混合运算等，其中（2）要注意分类求解，避免遗漏． ▌题型03 二次函数与直角三角形的存在性问题 1．分类讨论：按直角顶点的位置分三种情况——直角顶点为动点或为两个已知点，分别利用勾股定理 列方程。 2．求解方法：设动点坐标，用距离公式表示三边的平方，按直角所在位置列出勾股关系式求解。 3．易错提醒：直角顶点不同则所列方程不同，三种情况都要讨论；注意舍去不符合题意的解。 【典例3】如图，已知二次函数经过A，B两点，轴于点C，且点，，． (1)求抛物线的解析式； (2)点E是线段上一动点（不与A，B重合），过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F，当线段的长度最大时，求点E的坐标及； (3)点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在这样的P点，使成为直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点E的坐标为，； (3)存在；点P的坐标为或或或 【分析】（1）先求出点B坐标，再利用待定系数法求出抛物线的解析式； （2）先利用待定系数法求出直线的解析式，点，则， 得出，利用二次函数求最值方法进一步求解即可； （3）根据题意，分三种情况①点B为直角顶点；②点A为直角顶点；③点P为直角顶点分别讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵点，， ∴，， ∵， ∴， 把和代入二次函数中得： ， 解得：， ∴二次函数的解析式为：； （2）解：如图1，∵直线经过点和， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为：， ∵二次函数， ∴设点，则， ∴， ∴当时，的最大值为， ∴点E的坐标为； ∴； （3）解：存在， ∵， ∴对称轴为直线， 设，分三种情况： ①点B为直角顶点时，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴； ②点A为直角顶点时，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴； ③点P为直角顶点时，由勾股定理得：， ∴， 解得：或， ∴或； 综上，点P的坐标为或或或． 【变式3-1】在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“齐点”．例如，…都是“齐点”．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），P是抛物线上一点，连接BP，以点P为直角顶点，构造等腰，点C恰好为第三象限内的“齐点”，则C点坐标为___________． 【答案】或 【分析】设“齐点”点C的坐标为，点P的坐标为，过点P作x轴的平行线交过点C与y轴平行的直线于点D，交过点B与y轴平行的直线于点E，证明，得到，，列出方程进行求解即可. 【详解】解：由题意知，抛物线与x轴交于A，B两点， ，，点C在直线上，故设“齐点”点C的坐标为， 设点P的坐标为， 当点C在第三象限，有图①，图②两种情形，，． 过点P作x轴的平行线交过点C与y轴平行的直线于点D， 交过点B与y轴平行的直线于点E， 则，，，， ， ∵点P为直角顶点，构造等腰， ∴，， ∴， ∴， ，， ∴，， 解得（舍去）或或， 当时，；当时，； ∴点C的坐标为或． 【变式3-2】（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，抛物线与x轴交于点A，B（点B在A的右侧），与y轴交于点C，其中，点P在第一象限的抛物线上，若是以为底的等腰直角三角形，则m的值为______. 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质、全等三角形的性质与判定及等腰直角三角形的性质，熟练掌握二次函数的图象与性质、全等三角形的性质与判定及等腰直角三角形的性质是解题的关键；过点P作轴于点E，由题意易得，然后可得，则有，进而代入二次函数解析式进行求解即可． 【详解】解：过点P作轴于点E，如图所示： 令，则有，解得：， 令时，则， ∴， ∴， ∵是以为底的等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点P在第一象限的抛物线上， ∴， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）， 故答案为． 【变式3-3】（25-26九年级上·浙江·单元复习）如图，抛物线与x轴交点A、B，与y轴交于点C． (1)在抛物线对称轴上是否存在一点P，使为等腰三角形，如果存在，求出P点坐标； (2)抛物线上有一动点N，y轴上有一动点M，当是以为直角的等腰直角三角形时，求N点坐标． 【答案】(1)存在，或或或或 (2)或或 【分析】（1）由抛物线得出点A、B、C的坐标以及抛物线的对称轴，设点，分三种情况，根据等腰三角形的性质即可求出P点坐标； （2）过点N分别作轴于D，轴于E，证明，，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线， 当时，， 当时，， 解得或3， ∴， ∴抛物线的对称轴为直线， 设点， ∴， ， ， 当时， ， 解得， ∴P点坐标为； 当时， ， 解得， ∴P点坐标为或； 当时， ， 解得， ∴P点坐标为或； 综上所述，P点坐标为或或或或； （2）解：过点N分别作轴于D，轴于E， ∴四边形是矩形，， ∴， ∵是以为直角的等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点N是抛物线上一动点， ∴设N点坐标为， ∴， 解得或， ∴N点坐标为或或或 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，运用分类思想是解题的关键． 【变式3-4】（25-26九年级上·浙江·单元复习）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点 ，且，直线与抛物线交于、两点，与轴交于点 ，点是抛物线的顶点，设直线上方抛物线上的动点的横坐标为. (1)求该抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)连接、，当为何值时，； (3)在直线上是否存在一点使为等腰直角三角形，若存在请直接写出点的坐标，不存在请说明理由. 【答案】(1)；顶点Q坐标为 (2)或1 (3)存在；或 【分析】（1）分别求出点A，B的坐标，设抛物线的解析式为交点式，代入点C的坐标，求出抛物线的解析式即可； （2）根据题意将的面积和的面积表示出来，令，即可解出m的值； （3）分、、三种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴点的坐标为，点A的坐标为， 设抛物线的表达式为，将点的坐标代入，得， 解得， ∴抛物线的表达式为， ∵， ∴抛物线的顶点Q坐标为：． （2）解：联立， 解得：，， ∴点的坐标为， 如图1，过点作轴的平行线，交于点，设点，则点， ∴， 解得：或1． （3）解：存在； 设点，点，，而点， ①当时，如图2，过点作轴的平行线，过点，点作轴的平行线，交过点且平行于轴的直线于点，， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 即，， 解得：或， 当时，，解得，（舍去） ∴点； ②当时，如图3所示， 此时，则点P、H关于抛物线对称轴对称，即垂直抛物线的对称轴，而对称轴与x轴垂直，故轴，则， 同理可得，（舍去）， 故点坐标为． ③当时， （Ⅰ）当点P在抛物线对称轴右侧时，如图所示： 点P在AD下方，与题意不符，故舍去； （Ⅱ）当点P在抛物线对称轴左侧时，同理可得， 解得：（舍去），， 点； 综上可得，点的坐标为或． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，难度较大，涉及到一次函数、二次函数、三角形全等、图形的面积计算等，要注意分类求解，避免遗漏，熟练掌握这些性质、判定，二次函数的图像和性质是解决本题的关键． 【变式3-5】（25-26九年级上·浙江·单元复习）已知如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点E是抛物线上的第一象限的点，求的最大值，并求取得最大值时x的值； (3)如图2，在抛物线上是否存在一点P，使是以为斜边的等腰直角三角形？若存在，求点P的坐标，若不存在请说明理由． 【答案】(1) (2)时，取得最大值4 (3)不存在，理由见解析 【分析】（1）待定系数法求解可得； （2）作轴，设点，表示出、、的长，根据列出函数解析式并配方成顶点式，从而得出最值情况； （3）若要使是以为斜边的等腰直角三角形，则点P在线段的中垂线上，据此可先求出线段中垂线的解析式，结合二次函数解析式从而求得中垂线与抛物线的交点坐标，再根据勾股定理逆定理判断此时的交点能否使是以为斜边的直角三角形，从而得出答案． 【详解】（1）解：将点，代入， 得：， 解得：， ∴抛物线解析式为：； （2）解：如图1，过点E作轴于点D， 设点， 则，，， ∴ ， 则当时，取得最大值4； （3）解：不存在， 如图2，设的中垂线交轴于点， ∵点，， ∴，，， ∵的中垂线交于点， ∴，设，则， 由勾股定理得， 解得， ∴点的坐标为， ∵点，， ∴的中点F的坐标为， 设所在直线解析式为， 将点，代入，得：， 解得：， ∴所在直线解析式为， 由得或， 若点P坐标为， ∵ ，， ∴，即不是等腰直角三角形，舍去； 若点P坐标为， ∵ ，， ∴，即不是等腰直角三角形，舍去； 综上，这样的点P不存在． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合运用，熟练掌握待定系数法求函数解析式、二次函数的性质及线段中点公式、勾股定理逆定理是解题的关键． ▌题型04 二次函数与平行四边形的存在性问题 1．判定依据：利用"平行四边形对角线互相平分"——设动点坐标，由两条对角线中点重合列方程。 2．中点公式：线段中点坐标为 ，平行四边形两条对角线的中点重合。 3．易错提醒：要分三种情况讨论以哪条线段为对角线；求出点后可用"对边平行且相等"验证。 【典例4】（25-26九年级上·浙江嘉兴·阶段检测）如图所示，已知抛物线交轴A，B两点，交轴于点，抛物线的对称轴交轴于点，点的坐标为． (1)求抛物线的对称轴及点的坐标； (2)过点作轴的平行线交抛物线的对称轴于点，你能判断四边形是什么四边形？并证明你的结论． 【答案】(1)抛物线的对称轴为直线，点的坐标为 (2)四边形是平行四边形，证明见详解 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，平行四边形的判定，二次函数与坐标轴的交点问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据，得出抛物线的对称轴为直线，再结合点的坐标为，进行列式计算，得出点的坐标，即可作答． （2）先求出，因为抛物线交轴于点，所以，则，再求出，即，根据过点作轴的平行线交抛物线的对称轴于点，得，即可证明四边形是平行四边形． 【详解】（1）解：∵抛物线， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线交轴A，B两点，点的坐标为， ∴， ∴， 即点的坐标为． （2）解：四边形是平行四边形，证明如下： 由（1）得抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线的对称轴交轴于点， ∴， ∵抛物线交轴于点， ∴， 则， 由（1）得点的坐标为， ∵点的坐标为， ∴， 即， ∵过点作轴的平行线交抛物线的对称轴于点， ∴， ∴四边形是平行四边形． 【变式4-1】如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点，且与轴交于另一点． (1)求抛物线的解析式及点的坐标 (2)若点是线段上一动点，过点的直线平行于轴，交轴于点，交抛物线于点，求的最大值，并求此时四边形的面积； (3)若点是抛物线上一动点，是轴上一点，是否存在点使以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线表达式为，点的坐标为 (2)的最大值为，四边形的面积 (3)点的坐标为、、 【分析】（1）根据直线与轴交于点，与轴交于点，求出坐标再利用待定系数法求抛物线表达式． （2）根据点，点的坐标求出直线表达式，设点和点坐标，表示出进行求最大值即可，根据观察图像发现四边形是直角梯形，表示出四边形各边的长度，利用梯形的面积公式求解即可． （3）分类讨论点的位置，分别计算即可． 【详解】（1）解：根据题意可知，直线与轴交于点，与轴交于点 令即解得 ∴点的坐标为 令即 ∴点的坐标为 抛物线经过，两点，将坐标代入得 解得 ∴抛物线表达式为． 抛物线与轴交于，两点，令得 解得， ∵点的坐标为 ∴点的坐标为． （2）解：由（1）知点的坐标为，点的坐标为 设直线的函数表达式为，代入坐标得 解得 ∴直线的函数表达式为 ∵点在线段上，设点坐标为，其中 过点的直线平行于轴，交抛物线于点 ∴点坐标为 当时，线段在抛物线上方 ∴ 整理得 ∴当时，取得最大值，的最大值为． ∴点坐标为，点坐标为 ∴四边形的顶点坐标为，，， ∵在轴上，在轴上， ∴四边形是直角梯形 根据直角梯形的顶点坐标可知，， ∴ ∴． （3）解：存在点使以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形 根据题意可知点的坐标为，点的坐标为， ∵点在轴上， ∴设点的坐标为，点在抛物线上，设点的坐标为， 当平行四边形以为边时，且， ∴点和点的纵坐标相等，即， ∴ 解得， ∴点的坐标为或 ∵点的坐标为 ∴点的坐标为（不符合题意舍去） ∴点的坐标为 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 当时，，点的坐标为（不符合题意舍去） 当时，，点的坐标为满足点在抛物线上 ∴点的坐标为 当平行四边形以为边，为对边时 且 ∵点和点的纵坐标差为 ∴点和点的纵坐标差为 即 当 解得，与相同舍去 当 解得， ∴点的坐标为或 以为平行四边形对角线时，的中点坐标为，则的中点坐标也为即 解得，与相同舍去 综上所述，点的坐标为、、． 【变式4-2】如图，抛物线与y轴交于A点，其顶点为D．直线分别与x轴、y轴交于B、C两点，与直线相交于E点． (1)求A、D的坐标（用m的代数式表示）； (2)将沿着y轴翻折，若点E的对称点P恰好落在抛物线上，求m的值； (3)抛物线上是否存在一点P，使得以P、A、C、E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求此抛物线的解析式；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查二次函数综合题、一次函数、对称、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会用配方法确定抛物线顶点坐标，学会分类讨论，知道可以利用方程组求两个函数图象交点坐标，属于中考压轴题． （1）利用配方法求出顶点D坐标，令，可以求出点A坐标； （2）求出直线解析式，利用方程组求出点E坐标，再求出点E关于y轴对称点坐标，利用待定系数法即可解决问题； （3）分为边，为对角线两种情形分别讨论即可解决问题． 【详解】（1）∵， ∴顶点， 令，则， ∴点， ∴； （2）设直线为，则，解得， ∴直线解析式为， 由，解得， ∴点E坐标为， ∴点关于y轴的对称点， ∵点在抛物线上， ∴， ∴或， ∵， ∴； （3）如图， ①当为边时，，， 令，则， ∴点C的坐标为， ∴ 根据平移可以得到点P坐标， ∴， ∴或(舍弃)， ②当为对角线时，为边， 根据平移可得点坐标， ∴， ∴或(舍弃) ∴抛物线解析式为或． 【变式4-3】（24-25九年级上·广东中山·期中）抛物线与轴交于点，两点，与轴交于点，点是抛物线上的一个动点． (1)求抛物线的函数解析式和直线的解析式； (2)如图，点在线段上方的抛物线上运动（不与重合），过点作，垂足为，交于点．若点的横坐标为，请用的式子表示，并求的最大值； (3)如图，点是抛物线的对称轴上的一个动点，抛物线上存在一点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形，请求写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1)， (2)；最大值为 (3)或或 【分析】（）利用待定系数法解答即可求解； （）由题意可知，，，进而可得，再根据二次函数的性质解答即可求解； （）分为平行四边形的边和对角线两种情况，分别画出图形，利用平行四边形的性质解答即可求解； 本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的几何应用，平行四边形的性质，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：把和代入得， ， 解得， ∴抛物线的函数解析式为， 设直线的解析式为，把和代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为； （2）解：若点的横坐标为，则，， ∴， ∵， ∴当时，取最大值，最大值为； （3）解：①当为平行四边形的边，点在对称轴右侧时，如图，则有，且，过点作对称轴的垂线，垂足为，设交对称轴于点， 则， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴点到对称轴的距离为， 又∵， ∴抛物线对称轴为直线， 设点，则， 解得 或（不合，舍去）， 当时，， ∴， ∴； ②当为平行四边形的边，点在对称轴左侧时，如图，则有，且，过点作对称轴的垂线，垂足为，设交对称轴于点， 同理①可证， ∴，， ∴点到对称轴的距离为， 设点，则， 解得或（不合，舍去）， 当时，， ∴， ∴ ③当为平行四边形的对角线时，如图，设的中点为， ∵，， ∴， ∵点在对称轴上， ∴点的横坐标为， 设点的横坐标为，根据中点公式得， ∴， 把代入，得， ∴， ∵， ∴点在轴上， ∴； 综上所述，点的坐标为或或． ▌题型05 二次函数与矩形的存在性问题 1．判定方法：矩形是有一个角为直角的平行四边形，先按平行四边形（对角线互相平分）设点，再令对角线相等。 2．求解步骤：先用对角线中点重合求动点坐标，再由对角线相等列方程确定参数。 3．易错提醒：矩形对角线相等且互相平分，两个条件都要用上；注意检验求出的点是否满足矩形定义。 【典例5】如图1，若二次函数的图象与轴交于点和点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，连接，点为直线下方抛物线上的动点，求面积的最大值及此时点的坐标； (3)如图3，将抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到新的抛物线，在的对称轴上有一点，坐标平面内有一点，使得以点，，，为顶点的四边形是矩形，求点的坐标． 【答案】(1)； (2)面积的最大值为，； (3)点的坐标为或或或． 【分析】（1）把和代入求解即可； （2）先解得直线的解析式为，设，，得到的的值，当时，最大，进而根据三角形的面积公式，即可求解； （3）分情况讨论，当为矩形一边时，且点在轴的下方；当为矩形一边时，且点在轴的上方；当为矩形对角线时，分别求解即可． 【详解】（1）解：二次函数的图象与轴交于点和点，与轴交于点．将点，点的坐标分别代入得： ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：设直线的解析式为，将点，点分别代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 点为直线下方抛物线上的点，如图， 设， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴面积的最大值为， ∴； （3）解：由题意可得：， 的对称轴为． ∵，， ∴，， 当为矩形一边时，且点在轴的下方，如图，过作轴于点， ∵在的对称轴上， ∴， ∵，， ∴， ∴，，即点， ∴点向右平移个单位、向下平移个单位可得到点，则点向右平移个单位、向下平移个单位可得到点； 当为矩形一边时，且点在轴的上方，′的对称轴为与轴交于点，如图， ∵在的对称轴上， ∴， ∴， ∵，即， ，即点， ∴点向左平移个单位、向上平移个单位可得到点，则点向左平移个单位、向上平移个单位可得到点； 当为矩形对角线时，如图，设，，的中点的坐标为， 依题意得：， 解得：， 又∵， ∴， 解得：， 联立得：， 解得：， ∴点的坐标为或． 综上所述，点的坐标为或或或． 【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，矩形的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键． 【变式5-1】（25-26九年级上·四川眉山·期中）如图，矩形在平面直角坐标系中，，抛物线经过点A和点B． (1)求抛物线的解析式； (2)点在轴上方的抛物线上，当时，求点E的坐标； (3)点P在抛物线的对称轴上，点Q在坐标平面内，以为顶点的四边形为矩形，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】本题主要考查了求二次函数关系式，二次函数与几何图形，矩形的性质，勾股定理， 对于（1），直接将点代入关系式，求出方程组的解即可； 对于（2），先根据面积之间的关系求出点E的横坐标为1，再代入关系式即可； 对于（3），先求出对称轴为，再设点，然后分三种情况：以为矩形的对角线时，以为矩形的边时，若以为矩形的对角线时，根据勾股定理可得答案． 【详解】（1）解：将点代入关系式， ∴， 解得， ∴抛物线的关系式为； （2）解：如图， ∵，且， ∴， ∴． ∵点A，B关于对称轴对称， ∴点E的横坐标为1，此时， 即点； （3）解：∵抛物线， ∴对称轴为， 设点， 如图，以为矩形的对角线， 由中点的坐标可知， 解得． ∵， ∴， ∴， 解得或4， ∴点或； 如图，以为矩形的边时， 由中点的坐标公式，得， 解得， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴点； 若以为矩形的对角线时， 由中点的坐标公式，得， 解得， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴点， 综上所述，点P的坐标为或或或． 【变式5-2】（25-26九年级下·四川达州·阶段检测）综合与探究 如图，抛物线的顶点为，与轴交于和两点，交轴于点． (1)求抛物线的函数表达式及点，，的坐标； (2)如图1，点是直线上方的抛物线上的动点，当面积最大时，求点的横坐标； (3)如图2，若点是坐标轴上一点，点为平面内一点，是否存在这样的点，使以、、、为顶点的四边形是以为对角线的矩形？若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；，， (2) (3)存在，点的坐标为或或 【分析】（1）利用顶点坐标设顶点式即可得到函数解析式，分别令、求解，即可得到点，，的坐标； （2）先求出直线的解析式，设点的横坐标为，通过作铅垂线得到点与直线上对应点的纵坐标差即铅垂高，代入面积公式得到面积关于横坐标的二次函数，根据二次函数的性质即可求出面积最大时点的横坐标； （3）先计算的长度与中点坐标，依据矩形对角线相等且互相平分的性质，分在轴、轴两类设点坐标，由中点公式表示出点坐标，结合对角线长度列方程求解，舍去不合理解后即可得到所有符合条件的点坐标． 【详解】（1）解：设抛物线表达式为， ∵抛物线的顶点为， ∴，，， ∴抛物线的函数表达式为， 令，则， ∴， 令，则， 解得或， ∴，； （2）解：设直线表达式为，代入，得 ， 解得， ∴直线表达式为， 设点横坐标为，则， 如图，过点作轴的垂线，交于点，则， ∴， ∴， 这是开口向下的二次函数，当时，面积取得最大值， 即当面积最大时，点的横坐标为； （3）解：∵，， ∴，中点为即， ∵以、、、为顶点的四边形是以为对角线的矩形， ∴，中点为， 点是坐标轴上一点，故分两种情况讨论： ①当点在轴上时，如图， 设，则， ， ∴， 解得或（此时点与点重合，舍去）， ∴， ∴； ②当点在轴上时，如图， 设，则， ， ∴， 解得或， 当时，， 当时，， ∴或； 综上，点的坐标为或或． 【变式5-3】如图，在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于、两点，抛物线经过、两点，且交轴于另一点．点为抛物线在第一象限内的一点，过点作，交于点，交轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)设点的横坐标为，在点的移动过程中，存在，求出的值； (3)在抛物线上取点，在平面直角坐标系内取点，问是否存在以、、、为顶点且以为边的矩形？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在以、、、为顶点且以为边的矩形，此时点的坐标为或． 【分析】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，矩形的性质等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）根据一次函数的解析式求出点的坐标，再利用待定系数法求解即可得； （2）先根据求出，从而可得，再根据平行线的判定可得，从而可得点的纵坐标与点的纵坐标相同，即为3，由此即可得； （3）设点的坐标为，分两种情况：①四边形是矩形，②四边形是矩形，先联立二次函数和一次函数的解析式求出点的坐标，再根据矩形的性质求解即可得． 【详解】（1）解：一次函数， 当时，，即， 当时，，解得，即， 把，代入得， 解得， 则抛物线的解析式为． （2）解：，， ， ， ， ， ， 点的纵坐标与点的纵坐标相同，即为3， 当时，，解得或（舍去）， 则． （3）解：存在，求解如下： 设点的坐标为， ①当四边形是矩形时，则， ∵直线的解析式为， ∴设直线的解析式为， 把点代入得， 直线的解析式为， 联立，解得或（即为点，舍去）， ， ②当四边形是矩形时，则， 设直线的解析式为， 将点代入得：，解得， 则直线的解析式为， 联立，解得或（即为点，舍去）， ， 综上，存在以、、、为顶点且以为边的矩形，此时点的坐标为或． ▌题型06 二次函数与菱形的存在性问题 1．判定方法：菱形是邻边相等的平行四边形，先按平行四边形（对角线互相平分）设点，再令邻边相等。 2．求解步骤：用对角线中点重合求出动点，再由邻边相等（距离公式）列方程求参数。 3．易错提醒：菱形对角线互相垂直平分，也可用对角线互相垂直的条件列方程，注意选择计算量小的方法。 【典例6】如图，抛物线经过点．为轴上一动点，过点且垂直于轴的直线与直线及抛物线分别交于点． (1)求抛物线的函数表达式． (2)若点在线段上且位于抛物线对称轴左侧，当为何值时，的面积为4？ (3)在（2）的条件下，若点为直线上一点，点为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点和点，使得以点为顶点的四边形是菱形？若存在，写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点D的坐标为或或或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）表示，再表示三角形的面积求解即可； （3）设，利用勾股定理，中点坐标公式，分类求解即可； 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：抛物线对称轴， 设， ∴当时，， ∴， 当时，得，整理，得， 解得（舍去）． ∴点的坐标为； （3）解：根据题意，得点的坐标为，， ， 设， 当为对角线时，如图，点C的横坐标为，此时纵坐标为， 故为，根据菱形的对称性质，得到点为 当为边时，也为边时，根据题意，得， 过作轴的垂线，垂足为，在中由勾股定理得， ， 解得， 故或， 设，，根据中点坐标公式，得 ， 解得， 故； 设，，根据中点坐标公式，得 ， 解得， 故； 当为边时，为对角线时， 过作轴的垂线，垂足为，在中由勾股定理得， ，解得（舍去），， 故 设，，根据中点坐标公式，得 ， 解得， 故； 综上可知点D的坐标为或或或 ． 【变式6-1】（25-26九年级上·全国·期末）综合运用：如图，一次函数的图象与x轴和y轴分别交于点A和点C，二次函数的图象经过A，C两点，并与x轴交于点．点是线段上一个动点（不与点O，A重合），过点M作x轴的垂线，分别与二次函数图象和直线相交于点E和点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)用含m的代数式表示，； (3)点F是平面内一点，是否存在以C，D，E，F为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)或或 【分析】本题考查待定系数法求解析式，两点间距离公式，菱形的性质，综合运用相关知识是解题的关键． （1）分别把，代入一次函数，求出点C，点A的坐标，将点A，C的坐标代入抛物线，求出b，c的值，即可解答； （2）由题意可得点M，E，D的横坐标相同，因此得到点，点，根据两点间距离公式即可解答； （3）根据菱形的邻边相等分三种情况：①；②；③求解即可． 【详解】（1）解：将代入一次函数，得， 点C的坐标为， 将代入一次函数，得，解得， 点A的坐标为， 将点A，C的坐标代入抛物线， 得，解得， 这个二次函数的解析式为． （2）解：∵过点作x轴的垂线，分别与二次函数图象和直线相交于点E和点， 点，点， ， （3）存在．如图，以C，D，E，F为顶点的四边形为菱形时，分以下三种情况： 由（）可得，点，，， ， ， ， ①当时，， 解得，（舍去），（舍去）， 此时点M的坐标为； ②当时，， 解得，舍去， 此时点M的坐标为； ③当时，， 解得，（舍去），（舍去）， 此时点M的坐标为． 综上所述，存在满足题意的点F，此时点M的坐标为或或． 【变式6-2】综合运用：如图，抛物线与轴交于和两点（点在点左侧），与轴交于点，连接，直线经过点． (1)求直的函数表达式； (2)是位于直线上方抛物线上的一个动点，过点作于点，连接．求△面积的最大值及此时点的坐标； (3)在（2）的条件下，将抛物线沿着射线方向平移个单位长度得到新抛物线与原抛物线相交于点是新抛物线对称轴上的一个动点，为平面内一点，若以为顶点的四边形是以为边的菱形，求出符合条件的点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标为或或 【分析】（1）根据抛物线解析式求与x轴，与y轴的交点，用待定系数法求直线的函数表达式即可； （2）点作轴交于点，过点作于点，设，则，可得是等腰直角三角形，表示出，则，那么，再转化为二次函数求最值即可； （3）可求，结合条件得到将抛物线向左平移2个单位长度，向下平移6个单位长度，则新抛物线，求出交点．设．，，，由于以为顶点的四边形是以为边的菱形，分两种情况讨论，即和，建立方程求出，再根据对角线互相平分的性质求解． 【详解】（1）解：∵抛物线，令，则； 令，则．     解得． ∴． ∵直线经过点， ∴， 解得， ∴直线的函数表达式为； （2）解：如答图，过点作轴交于点，过点作于点． 设，则． ∴． ∵，   ∴      ∴． ∵轴， ∴． ∵， ∴是等腰直角三角形．    ∴， ∴， 将代入得：， ∴． ∴， ∵， ∴面积的最大值为，此时．     ∴． ∴点的坐标为； （3）解：∵， ∴． ∴将抛物线沿着射线方向平移个单位长度得到新抛物线， 相当于平移了的长度，而点的水平距离为1，铅锤距离为3， ∴将抛物线向左平移2个单位长度，向下平移6个单位长度． ∵抛物线， ∴新抛物线． ∴新抛物线的对称轴为直线． 联立．      解得．        ∴． 设． ∴， ， ． ∵以为顶点的四边形是以为边的菱形， ①当时，即． 解得．     ∴． 设点的坐标为．    ∴， 即．       解得．        ∴点的坐标为； ②当时，即． 解得． ∴或． 同理可得点的坐标为或． 综上所述，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查了二次函数与几何的综合问题，涉及待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，菱形的性质，两点之间距离公式，函数图象的平移等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 【变式6-3】（24-25九年级上·湖南长沙·开学考试）如图，抛物线交x轴于点和点，交y轴于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)若点P是直线下方抛物线上一动点，连接，当的面积最大时，求点P的坐标及面积的最大值； (3)在（2）的条件下，若点N是直线上的动点，在平面内的是否存在点Q，使得以为边、以P、B、N、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出符合条件的所有Q点的坐标:若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点时，的面积取得最大值，最大值为4； (3)或或． 【分析】本题考查了二次函数的综合运用，掌握二次函数的性质，点的特征，分类讨论等是解题的关键． （1）将点和点代入解析式，求出和即可得到抛物线表达式； （2）过点作轴交于点，设点，，利用表示出面积，即可求解； （3），，，，分①以、为对角线，，②以、为对角线，，两种情况进行讨论． 【详解】（1）解：交轴于点和点， ， ， ； （2）解：当时，， ， 过点作轴交于点， 设直线的解析式为， 代入，， 得：， 解得， 直线的解析式为：， 设点， ， ， ， ，且， 当，即点时，的面积取得最大值，最大值为4； （3）解：，，设，， ①以、为对角线时，， ， 或（舍， ； ②以、为对角线时，， ， 或， 或； 综上所述：或或． 【变式6-4】定义：在平面直角坐标系xOy中，当点N在图形M的内部，或在图形M上，且点N的横坐标和纵坐标相等时，则称点N为图形M的“梦之点”． (1)如图①，矩形的顶点坐标分别是，，，，在点，，中，是矩形 “梦之点”的是 ； (2)如图②，已知点A，B是抛物线上的“梦之点”，点C是抛物线的顶点．连接，，，求的面积； (3)在（2）的条件下，点P为抛物线上一点，点Q为平面内一点，是否存在点P、Q，使得以为对角线，以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)12； (3)存在，或． 【分析】（1）根据“梦之点”的定义，确定自变量的范围，函数值的取值范围，判断这几个点是否在矩形的内部或边上； （2）根据“梦之点”的定义可得：，确定，，利用二次函数的顶点式可得抛物线的顶点为，抛物线的对称轴为直线，利用分割法计算面积即可求； （3）设，由以为对角线，以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形，可得，利用两点间距离公式建立方程求解即可求得答案． 【详解】（1）解：∵矩形的顶点坐标分别是，，，， ∴矩形的“梦之点”满足，， ∴点，是矩形 “梦之点”， 故答案为：，． （2）解：∵点A，B是抛物线上的“梦之点”， ∴点A，B是直线上的点， ∴， 解得：，， ∴，， ∵， ∴抛物线的顶点为，抛物线的对称轴为直线， 设抛物线的对称轴交于M，则， ∴， ∴． （3）解：存在，理由如下： 设， ∵以为对角线，以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形， ∴， ∵，， ∴ 解得：， 当时，， 当时，， ∴或． 【点睛】本题考查了新定义，方程组求交点，分割法求面积，菱形的性质，两点间距离公式，熟练掌握定义，菱形性质，两点间距离公式是解题的关键． ▌题型07 二次函数与正方形的存在性问题 1．判定方法：正方形既是矩形又是菱形，需同时满足对角线相等、互相垂直且互相平分。 2．求解步骤：设动点坐标，由对角线中点重合、对角线相等且互相垂直列方程组求解。 3．易错提醒：正方形的条件最多，要同时满足三个条件；注意分类讨论对角线的不同取法，避免漏解。 【典例7】（25-26九年级上·浙江绍兴·阶段检测）如图，已知二次函数的图象经过三点，它的顶点为，且正比例函数的图象与二次函数的图象相交于两点． (1)求该二次函数的表达式和顶点的坐标； (2)若点的坐标是，且二次函数的值小于正比例函数的值时，试根据函数图象求出符合条件的自变量的取值范围； (3)试探究：点是轴上一动点，以为边作正方形，除点外还有一个顶点在抛物线上，求出满足条件的点的坐标． 【答案】(1)二次函数的解析式是，顶点M的坐标是 (2) (3)或或或； 【分析】本题主要考查了用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，勾股定理，解二元一次方程组，等腰三角形的性质等知识点，求一次函数、二次函数的解析式和交点坐标是解此题的关键，此题题型较好，综合性比较强．用的数学思想是分类讨论的思想． （1）设二次函数的解析式为，把代入即可求出，即得到二次函数的解析式，把它化成顶点式即可求出顶点坐标； （2）把代入即可求出正比例函数的解析式，解由二次函数的解析式和正比例函数的解析式组成的方程组即可求出交点D的坐标，根据图象即可求出答案； （3）设正方形边长为，则，，得到和都垂直轴， 或不可能在抛物线上，或，然后根据、的位置确定点坐标，代入解析式计算即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过三点， ∴设二次函数的解析式为， 把代入得：， 解得 ∴二次函数的解析式为， ∴顶点M的坐标是， 答：该二次函数的解析式是，顶点M的坐标是． （2）解：把代入得：，解得， ∴正比例函数的解析式为， 联立，解得或 ∵ ∴抛物线与正比例函数的另一个交点坐标为， 由图可知：当时，二次函数的值小于正比例函数的值， 答：根据函数图象求出符合条件的自变量的取值范围是． （3）解：设正方形边长为， ∴，， ∵点是轴上一动点，， ∴和都垂直轴， ∴或不可能在抛物线上，或， 当在抛物线上时，则只能是点与重合，此时，或； 当在抛物线上时， 若在的左上方时，，，， 把代入得， 解得（舍去）， 此时，； 若在的左下方时，，，， 把代入得， 解得（舍去）， 此时，； 若在的右上方时，，，， 把代入得，解得（都不符合题意，舍去）； 若在的右下方时，，，， 把代入得，解得（都不符合题意，舍去）； 综上所述，或或或； 【变式7-1】（25-26九年级上·浙江嘉兴·阶段检测）如图，正方形的顶点，在二次函数（为常数，且）的图象上，点在点的左侧，点在轴正半轴上，设点，的横坐标分别为，，则，的关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数与几何的综合应用，过点作轴于点，过点作轴于点，结合正方形的性质和二次函数的性质，得出，再通过证明，把数值代入进行计算，得进行求解即可．解题的关键是构造全等三角形． 【详解】解：过点作轴于点，过点作轴于点．如图所示： 点，的横坐标分别为，，已知正方形的顶点，在二次函数的图象上， ， ． 四边形是正方形， ， ． ， ， ， ， ， ， ∵点，在轴的同侧， ， ， 故选：B． 【变式7-2】（25-26九年级上·浙江·单元复习）如图，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，其中点A在y轴的左侧，点C在x轴的下方，且． (1)求抛物线对应的函数解析式； (2)点P为抛物线对称轴上的一动点，当的值最小时，求点P的坐标； (3)在（2）条件下，点E为抛物线的对称轴上的动点，点F为抛物线上的动点，以点P、E、F、M为顶点作四边形，当四边形为正方形时，请直接写出坐标为整数的点M的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】（1）由题意，可得．把点A， C的坐标代入，得到关于b ， c的二元一次方程组，解方程组即可求出抛物线的函数解析式； （2）利用配方法求出抛物线的对称轴是直线．由抛物线与轴交于点A， B，得出点A， B关于直线对称．连接，交对称轴于点，根据两点之间线段最短可知此时的值最小．利用待定系数法求出直线的解析式为，把代入，求出，进而得出点的坐标； （3）在（2）条件下，点的坐标为．设，根据正方形的性质可得，根据两点间的距离公式列出方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：由题意，可得． ∵抛物线过点A，点C， ∴， 解得， ∴抛物线对应的函数解析式为； （2）解：∵， ∴对称轴是直线． ∵抛物线与x轴交于点A，B， ∴点A，B关于直线对称． 连接，交对称轴于点P，此时的值最小． 设直线的解析式为， 则，解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点P的坐标为； （3）解：在（2）条件下，点P的坐标为． 设， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴，或， 整理得，或， 解得， ∴或或或． 【点睛】本题是二次函数综合题，其中涉及到利用待定系数法求抛物线与直线的解析式，二次函数的性质，轴对称的性质，正方形的性质，综合性较强，难度适中．利用数形结合与方程思想是解题的关键． 【变式7-3】如图，抛物线与y轴交于点C．已知抛物线顶点坐标为点P在此抛物线上，其坐标为． (1)求抛物线的解析式． (2)当时，结合图象，直接写出n的取值范围． (3)若此抛物线在点P左侧部分(包括点P)恰有三个点到x轴的距离为1，求m的取值范围． (4)当时，以为边作正方形，当此正方形的另外两个顶点中有一个顶点在此抛物线的对称轴上时，直接写出m的值． 【答案】(1)抛物线的解析式为： (2) (3) (4)或或 【分析】（1）由，得抛物线的顶点坐标为，则，求得，所以抛物线的解析式为； （2）由在抛物线上，得，当时，，当时，，而抛物线的顶点坐标为，可知当时，的最小值和最大值分别为和2，所以的取值范围是； （3）当点到轴的距离为1时，或，由，求得；由，求得，则点到轴的距离均为1，所以的取值范围是； （4）由（1）得，抛物线的对称轴为直线，再分三种情况讨论，①以为边作正方形，当此正方形的顶点Q在此抛物线的对称轴上时，如图2，作轴，作于点于点，证明，得出，列出等式即可求解；②是点为抛物线与轴的交点，作交直线于点，连结，作轴于点，则是等腰直角三角形，符合题意以为边作正方形，有一个顶点在此抛物线的对称轴上，即可确定点的横坐标；③以为边作正方形，有一个顶点在此抛物线的对称轴上，此时是等腰直角三角形，点在直线上，且，作轴，作于点于点，可证明，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴将代入， 解得， ∴抛物线的解析式为． （2）理由：∵在抛物线上， ， 当时，， 当时，， ∵得抛物线的顶点坐标为， ∴当点与抛物线的顶点重合时，则， ∴当时，的最小值和最大值分别为和2， ∴的取值范围是． （3）当点到轴的距离为1时，或， 当时，则， 解得：； 当时，则， 解得：， 如图1，点到轴的距离均为1， ∵抛物线在点左侧部分(包括点)恰有三个点到轴的距离为1， ∴的取值范围是． （4）当时， ①以为边作正方形，当此正方形的顶点Q在此抛物线的对称轴上时，如图2， 作轴，作于点于点， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：(不符合题意，舍去)； ②如图3，点为抛物线与轴的交点，作交直线于点，连结，作轴于点， ， ， ， ∴， ∴是等腰直角三角形，符合以为边的四边形是正方形，此时正方形的顶点Q在此抛物线的对称轴上， 当时，则， 解得(不符合题意，舍去)； ③如图4，以为边作正方形，当此正方形的顶点Q在此抛物线的对称轴上时，是等腰直角三角形，且，点在直线上， ， 作轴，作于点于点， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：(不符合题意，舍去)， 综上所述，或或． 【点睛】此题重点考查二次函数的图象与性质、等腰直角三角形的判定与性质、正方形的性质，掌握数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法是解题的关键，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题． ▌题型08 二次函数的字母参数讨论问题 1．参数范围：含字母参数的二次函数，常由开口方向（ 或 ）、对称轴位置、判别式 的符号确定参数范围。 2．分类讨论：参数影响图象形状或位置时，需按参数的不同取值范围分类讨论，再综合得出结论。 3．易错提醒：讨论时要做到不重不漏；注意端点值能否取到，结合题目条件判断等号是否成立。 【典例8】如图，一光点M从原点O出发，其路径为抛物线L的一部分，在点处达到最高，并落在x轴上的点P处，并在点P处向右侧弹起，路径为抛物线的一部分，其中抛物线G与抛物线L的开口方向和形状相同，线段的端点，． (1)直接写出点P的坐标，并求出抛物线L的解析式； (2)若抛物线G经过点，求抛物线G的函数解析式； (3)将抛物线L向右平移个单位长度使它与线段有交点，直接写出k的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）先由题意可知，抛物线L的顶点为，且经过原点，根据抛物线的对称性，求出点P的坐标．再设抛物线L的解析式为：，将代入，求出a的值，即可求出抛物线L的解析式； （2）由“抛物线G与抛物线L的开口方向和形状相同”，可知，由此可得抛物线G的解析式为：，根据抛物线G经过点和点，运用待定系数法，将点和点代入抛物线G的解析式中，求出b和c的值，从而求出抛物线G的解析式； （3）由抛物线L的解析式，先写出平移后的解析式，再结合题意，将点A坐标与点B坐标分别代入平移后解析式中，求出k的值，最后结合函数图象分析出k的取值范围． 【详解】（1）解：由题意可知，抛物线L的顶点为，且经过原点，根据抛物线的对称性，点O与点P关于对称轴对称， 设， 则， 解得：， ∴点P的坐标为． 设抛物线L的解析式为：，将代入， 得：， 解得：， ∴抛物线L的解析式为：， 即． （2）解：∵抛物线G与抛物线L的开口方向和形状相同， ∴抛物线G的二次项系数与抛物线L的二次项系数相同， 即， ∴抛物线G的解析式为：， ∵抛物线G经过点和点， ∴将点和点代入抛物线G的解析式中， 得：， 解得：， ∴抛物线G的解析式为：． （3）解：∵抛物线L的解析式为：， ∴将其向右平移k个单位后，解析式为：， ∵，， ∴当平移后的抛物线经过点A时， 可得：， 解得：或． 同理，当平移后的抛物线经过点B时， 可得：， 解得：或． 结合图象分析，要使平移后的抛物线与线段有交点， 则k的范围为：． 【变式8-1】（25-26八年级下·浙江宁波·期末）已知抛物线（，为常数），经过点，其图象对称轴为直线． (1)求抛物线表达式； (2)已知，在该抛物线上，且， ①若，对于，都有，求的取值范围； ②若，为该抛物线在上的两点，且，的最大值为2，求的值． 【答案】(1)； (2)①；②． 【分析】（1）根据对称轴公式求出，再将代入求解即可； （2）①求出关于对称轴直线的对称点，根据二次函数的图象列不等式组求解即可； ②先求出最大时，，进而求出，求出时的值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴对称轴为直线， ∵对称轴为直线， ∴， 解得：， ∵抛物线经过点， ∴， 解得：， ∴抛物线表达式为； （2）解：①设关于对称轴直线的对称点为， ∴， 解得：， ∴关于对称轴直线的对称点为， ∵， ∴抛物线开口向下， ∵，对于，都有， ∴， 解得：； ②∵， ∴抛物线开口向下， ∵对称轴为直线，， ∴在内，抛物线在取得最大值， 即最大时，， ∵的最大值为2， ∴最大时，， 解得：， 当时，解得（舍去）或． 即． 【变式8-2】已知二次函数（k为常数且） (1)若函数图象的对称轴是直线． ①求该二次函数的表达式． ②二次函数的图象上有，两点，其中，且满足，试比较s，t的大小． (2)若抛物线的顶点在一次函数图象上，且当时，都有，求k的取值范围． 【答案】(1)①；② (2)k的取值范围为 【分析】（1）①由题意易得，然后问题可求解；②由题意易得，则有，即，然后可得，，进而作差进行求解即可； （2）由题意易得抛物线的顶点坐标为，代入一次函数可得，则有，然后可得，令，则有，进而根据题意可分当时，当时，当时，最后分类求解即可． 【详解】（1）解：①由对称轴是直线可知：， ∴， ∴二次函数的表达式为； ②∵， ∴， ∵， ∴，即， 由①可知：二次函数的表达式为，且，两点在该函数图象上， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， ∴； （2）解：由可知：顶点坐标为， ∵抛物线的顶点在一次函数图象上， ∴，解得：， ∴， ∴， 令，则有， ∴此函数的对称轴为直线， ∵当时，都有，即当时，都有， ∴当时，都有， 则可分：①当时，则需满足时，，即即可， 解得：， ∵， ∴不等式无解，故不符合题意； ②当时，则需满足， 解得：， ∵， ∴； ③当时，则需满足， 解得：， ∵， ∴不等式无解，故不符合题意； 综上所述：k的取值范围为． 【变式8-3】在平面直角坐标系中，设二次函数（m为常数），已知函数图象的对称轴为直线，点，都在函数图象上，． (1)求二次函数的解析式及顶点坐标． (2)当，始终有，直接写出的取值范围． (3)若点在一次函数的图象上，过点的直线平行于轴，且与二次函数的图象交于点P，Q，若，求的取值范围． 【答案】(1)二次函数解析式为，顶点坐标为 (2) (3) 【分析】（1）将原函数解析式变为，根据函数图象的对称轴为直线，得出，求出m的值，即可得出函数解析式，再求出顶点坐标即可； （2）根据二次函数解析式得出抛物线的开口向上，对称轴为直线，根据二次函数增减性得出当时，y随x的增大而减小，根据，得出当时，对任意都有；再求出当时，使得对任意都有成立的的取值范围，即可得出答案； （3）根据对称性得出，根据在一次函数的图象上，且，得出，根据，求出的范围，再根据求出的范围，最后求出结果即可． 【详解】（1）解：， ∵函数图象的对称轴为直线， ∴， 解得：， ∴二次函数解析式为： ， ∴顶点坐标为； （2）解：∵函数解析式为， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而减小， ∵， ∴当时，对任意都有， 当时，要使得对任意都有， ∴小于的最小值， ∵当时，y随x的增大而减小，且， ∴当时，取最小值，且最小值为， ∴， ∴， 解得：， 又∵， ∴此时； 综上，当时，对任意都有； （3）解：根据题意，直线l的方程为， ∵，在直线l上， ∴， ∴点P、Q关于直线对称， ∴， ∵在一次函数的图象上， ∴， 又∵， ∴， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， 即， 解得：， ∵， ∴， 即， 解得：或， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即． 【变式8-4】抛物线（b为常数）经过点． (1)求二次函数的表达式． (2)当时，二次函数的最大值为15，求t的值． (3)已知正方形的边长为9，轴，在下方，点A在点B的左侧．在正方形任意平移的过程中，抛物线的一段（）在正方形的边界及其内部，其中，当达到最大值时，求点D横坐标的取值范围． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）将点代入中，即可解出答案； （2）令，解出的取值，将按照在对称轴左侧，右侧和两侧进行分类，从而解出答案； （3）根据题意，线段在二次函数顶点的下方或者过顶点，横坐标为的两个点的纵坐标相等，是两点之间的距离，欲使最大，离顶点越远越大，所以线段过顶点时的值最大，从而解出答案 【详解】（1）解：把代入，得， 解这个方程，得：， ∴二次函数的表达式为． （2）解：令，则， 解这个方程，得，， 由题意知，二次函数开口向上，对称轴为， ∵均距对称轴4个单位长度，与相距2个单位长度， 又当时，二次函数的最大值为15， ∴不在对称轴两侧； ∴当在对称轴的左侧时，在处取得最大值，则， 当在对称轴的右侧时，在处取得最大值， 则，即； ，； （3）解：， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵抛物线的一段（）在边长为9的正方形的边界及其内部，且， ∴不能在顶点上方， 因为正方形边长为9，再由图像可知，当线段过顶点时，必能取得的最大值， 此时线段与二次函数的交点的纵坐标为， 令，则，解得， 即的最大值为， ∵， ∴此时， ①当点与点重合时，， ②当点与重合时，， ∴时，达到最大值，且二次函数图象在正方形的边界及内部． 【变式8-5】已知抛物线． (1)若，求图象与轴的交点坐标； (2)若，是抛物线上不同的两点，且点也在抛物线上，求的值； (3)在（1）的条件下，作一条垂直于轴的直线，交抛物线于点，交直线于点，当线段随的增大而增大时，求字母的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）将代入，再令，解方程求出交点坐标即可； （2）根据题意可得，点和点关于抛物线的对称轴对称，结合抛物线的对称轴公式可得，，代入解析式求出的值； （3）将分别代入二次函数与一次函数的解析式求出点和点的坐标，从而得到．分三类讨论，当时，，此时线段随的增大而减小，不符合题意；当时，，在对称轴左侧，随的增大而增大，因此；当时，符合题意． 【详解】（1）解：∵， ∴， 将代入，得， ， 解得，， ∴图象与轴的交点的坐标为和； （2）解：在二次函数中，对称轴为直线， ∵和在抛物线上， 又∵， ∴点和点关于抛物线的对称轴对称， ∴，即， 将点代入，得， ， ∴； （3）解：将代入，得， ∴点的坐标为， 将代入，得， ∴点的坐标为， ∴， ①当时，， ∴， ∵， ∴图象开口向上， 又∵， ∴当时，线段随的增大而减小，不符合题意； ②当时，， ∴， ∵， ∴图象开口向下， ∴当时，线段随的增大而增大；当时，线段随的增大而减小， 又∵， ∴； ③当时，， ∴，图象开口向上， ∴当时，线段随的增大而增大，符合题意； 综上所述，的取值范围为或． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $