08 滚动作业（八）数学试题(考查范围：选择性必修一至选择性必修二第五章第三节)-2026-2027学年高二上学期数学滚动检测卷

高二年级第一学期数学滚动检测（八） 考试说明： 1.考查范围：选择性必修一至选择性必修二第五章第三节。 2.试卷结构：分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）；试卷分值：150分，考试时间：120分钟。 第1卷（选择题，共58分) 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项符合题意.答案填涂 到答题卡上) 1.点(0,1)到双曲线G二-=1的一条渐近线的距离为( 94 A.43 B.313 C.2v13 D.3 13 13 13 13 2.设)为可导函数，且满足mf③)-fB+△如-3，则曲线y=)在点3.f3)处的切线 3△x 的斜率是( ) A.-9 B.-3 C.3 D.9 3.已知圆C:(c-2+0-4=4,若圆C关于直线：a+y=2a>0b>0对称，则2+2的最小值 a b 为() A.8 B.1 C.16 D.4N2 4.已知点N(1,1),抛物线C:x=4y的焦点为F,P是C上的动点，则PW+PF的最小值为( A B.2 c.月 D.3 知数列a的前n项和为S,且8ameN).设，=21o:号1，厕66+千 =() 1 A.2n-3 C. n-1 n-1 6.如图，二面角a-I-P的大小为5，棱1上有两点A,B,线段AC和BD分别在面Q和P内， 且CA⊥I,BDLl.若AB=6,AC=BD=8,则CD的长为() A B A.10 B.8 C.6 D.62 7.已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f'(x),且f(x)+f'(x)>1,设a=f(2)-1,b=[f(3)-1], 则a,b的大小关系为 1 A.a<b B.a>b C.a=b D.无法确定 8.一条直线与函数y=nx和y=e的图象分别相切于点P(s,y)和点Q(x,),则(1-)1+x)的 值为( ) A.2 B.2e C.0 D.In2 二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.如图所示是y=f(x)的导数y=f'(x)的图象，下列结论中正确的有( ) 3 -10 1234 A.∫(x)的单调递增区间是(-1,2)U(4,+o) B.=-1是f(x)的极小值点 C.(x)在区间(2,4)上单调递减，在区间(-1,2)上单调递增 D.x=2是f(x)的极小值点 10.己知直线：(x+1)cos8+(y-2)sin8=2,其中8∈[0，π]，点P(a,b)是直线1上的一个动点.圆 C:x2+y2+2x-4y+2=0,其中1∈R,点Q(m,n)是圆C上的一个动点.则下列说法中正确的 是( A,当cos6=,入=-1时，圆心C到直线的距离为4 R.当c0s0-号，=-1时，O是坐标原点，则oP+QP的最小值为25-2 C.当=2时，不存在9∈[0，π]，使圆c与直线1相离 D.存在入∈R,使对任意的B∈[0，π]，圆C与直线l均相切 11.已知f(x)=lx-a+a有两个不同的极值点，5，则( A.5+6<2 B.50c.)+fs)=0D.)f<1-2a x-x 第1川卷（非选择题，共92分) 三、填空题（本题共3题，每题5分，共15分) 12.已知等比数列{a}的前n项和为Sn,且a=3,a=81.若Sn=40,则n= 13.已知f(x)=x,则函数f(x)的图像过点(1,1)的切线方程为 4,已知鞘圆C号芳=-Qb>0)的右焦点为少(6.0，经过该熊点的直线交椭圆十18两点， 若AB中点M的坐标为(1,1)，则椭圆C的方程为 四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(本小题13分) 如图.在四棱锥P-ABCD中，BCIIAD,AB=BC=1,AD=3,点E在 AD上，且PE⊥AD,PE=DE=2. (1)若F为线段PE中点，求证：BF∥平面PCD: (2)若AB⊥平面PAD,求平面PAB与平面PCD夹角的正弦值. 16.(本小题15分) 设a,}是首项为1的等比数列，数列私}满足6-g.已知a，34,9%,成等差数列. (1)求{a}和bn}的通项公式： (2)求{a}的前n项和Sn,{b}的前n项和T: 8)证明：工<号 17.(本小题15分) 已知函数f(x)=lnx+ar2+(2a+1)x+1. (1)讨论f(x)的单调性； (2)当a<0时，证明：f创s品 18.(本小题17分) 三等分角是古希腊几何尺规作图的三大问题之一，如今数学上已经证明三等分任意角是尺规 作图不可能问题，如果不局限于尺规，三等分任意角是可能的.下面是数学家帕普斯给出的 一种三等分角的方法：已知角(0<x<)的顶点为A,在的两边上 截取AB=AC,连接BC,在线段BC上取一点O,使得引BO=2CO, 记BO的中点为D,以O为中心，C,D为顶点作离心率为2的双曲线M, 以A为圆心，AB为半径作圆，与双曲线M的左支交于点E(射线AE 在∠BAC内部)，则∠BMB=号∠BAC.在上述过程中，以O为原点，直 线BC为x轴建立如图所示的平面直角坐标系. (1)若B(4,0),求双曲线M的方程以及其渐近线方程； (2)若B(-2,O),点A在x轴的上方，过点A且与x轴垂直的直线交x轴于点G,点E到直线AG 的距离为d.证明 ①B函为定值： d ②∠BAE=1∠BAC. 3 19.(本小题17分) 己知数列{a.}满足a+2+a,=2aH,且a=2,,=54.函数f)=a-a+lnx(aER). (1)求S,n: (2)若f(x)≥0恒成立，求a的值： +L++<na. (8)设neN,求证：4aa高二年级第一学期滚动作业（八)教师版 考试说明： 1,考查范围：选择性必修一至选择性必修二第五章第三节。 2.试卷结构：分第1卷（选择题）和第川卷（非选择题）：试卷分值：150分，考试时间：120分钟。 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.点(0.)到双曲线C:上_=1的一条渐近线的距离为〈) 94 A.4v3 B. 3W13 13 13 c.23 D.3 13 13 1.C【分析】先求得双曲线的渐近线方程，再根据点到直线距离公式计算，即可求解. 【解折】由题意可知。-千1，以曲线的新近线方程为y=, 94 即2y±3x=0,不坊取渐近线为2y-3x=0,根据点到直钱距离公式d=A+B+ ,将点(0，)代入到公 √A2+B2 式可得d= 2×1-3×02W13 ,故选：C V22+32 3 2. 设f⊙为可导函数，且满足m③)f3+A)-3,则曲线y=f(⊙在点3,3)处的切线的斜率是 3△x () A.-9 B.-3 C.3 D.9 2.A【分析】根据题意，化简得到lim 3+A)f③)-9，即f(3)=9,结合导数的几何意义，即可求得 Ax 曲线y=∫(x)在点(3，f(③)处的切线的斜率，得到答案 【解折】由f-+a-四03+A.-fB+A-f③)-3， 3Ax 3△r0 △x 3△ △x 所以吗f6+A/③-9，即fB=-9. △x 所以曲线y=f(x)在点(3，f(3)处的切线的斜率是-9.故选：A. 3.已知圆C:x-22+0-4=4,若圆C关于直线1：a+m=2a>0,b>0对称，则2+的最小值为() a b A.8 B.1 C.16 D.42 3.A【分析】根据题意直线：ax+by=2过圆心C(2,4),进而有a+2b=1,应用基本不等式“1”的代换求目 标式的最小值， 【解析】由题意，直线1：ax+by=2过圆心C(2,4),则2a+4b=2→a+2b=1,且a>0,b>0, 试卷第1页，共15页 所以2+2+2Xa+2b=4+地+924+2， 4ba=8, a b a b a b a b b日时取等号，故已+的最小值为8，故选：A 1 1 当且仅当a= ab 4.己知点N(1,1),抛物线C:x2=4y的焦点为F,P是C上的动点，则PW+PF的最小值为() B.2 c D.3 4.B【分析】利用抛物线定义与三角形两边之和大于第三边计算即可得. 【解析】过，点P作PQL抛物线C的准线：y=-1于点2，由抛物线定义可得PQ=PF, 则PN+PF=|PW+PQ≥NQ,当且仅当N、P、Q三点共线，NQ⊥抛物线C的准线， 即xp=1时，PW+PQ有最小值2.故选：B. 1+1+…+ 5.已知数列a,}的前n现和为S.,且3，-4.-aeN).设6=2g,号+1，则b+n 1 () A. 1 2n-3 B. 1 C.n-1 n-1 D. 2n-1 2n-1 2n-3 5.C【分析】先根据an与Sm的关系求数列{an}的通项公式，再利用裂项相消求和. 3 【解析】当n=1时，4=24-1,4=2. 3 当n≥2时，S= 0-②a=a-小-0-小即a=4 数列{a}是首项为2，公比为3的等比数列， ∴a,=2-3.6=21og,号+1=2m-1. 11 111 所以+…+133x5十… +…十 (2n-3)(2n-1) 北-目)（点品 故选：C 试卷第2页，共15页 6.如图，二面角a-1-B的大小为，棱1上有两点A,B,线段AC和BD分别在面a和B内，且CA11, BD⊥I.若AB=6,AC=BD=8,则CD的长为() A B D A.10 B.8 C.6 D.6W2 6.A【分析】由图得CD=CA+AB+BD,再根据向量数量积的运算律和定义代入数据即可得到答案. 【解析】由题意得CD=CA+AB+BD, CDP=CD'=(CA+AB+BD)2=CA'+AB+BD+2CA.AB+2CA.BD+2AB.BD. 因为CA1L,BD11,二面角ax-I-B的大小为 3,所以CAB=ABBD=0,C,BD=2 因为AB=6,AC=BD=8,所以CDP=64+36+64+2×8×8× =100. 2 所以CDCD上10.故选：A. 7.已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f'(x),且f(x)+f(x)王，设a=f2)1,b=[f(3)-1刂，则a, b的大小关系为 A.a<b B.a>b C.a=b D.无法确定 7.A【解析】令g(x)=ef(x)-e,则g'(x)=e（f(x)+f'(x)-e=e(f(x)+f'(x)-l)>0. 即g(x)在R上为增函数.所以g(3)>g(2),即e3f(3)-e3>e2f(2)-e2,整理得：ef(3)-1>f(2)-1,即 a<b.故选A」 【点睛】本题主要考查构造函数，常用的有：∫(x)+f'(x),构造xf(x): 2xf)+f(闭，构造f):f()-f国)，构造f四： '()-f(,构造f四：f(x)-f(),拘造efx).等等。 8.一条直线与函数y=lnr和y=e的图象分别相切于点P(x,y)和点Q(x2,y2),则(1-x)1+x)的值为() A.2 B.2e C.0 D.In2 8.A【分析】分别计算函数y=nx和y=e在点P(x,)和点Q(x2,为2)处的切线斜率，得到二=e,再结合 k=y2-y=e-Inx ,化简即可求解。 62-x龙2-x 《解析】对yr求子得：三君 ，则在P(:,乃)处切线斜率为二 且y=nx 试卷第3页，共15页 对于y=e求导得：y'=e,则在Q(,y2)处切线斜率为e,且y2=e 1 In x 白题意可得：即血，又切钱斜率上=n上 1 x2 In- 1 X 可得：1-xlnx=-lnx-x,即(x-1)lnx=1+x, 所以(1-x)1+x)=(1-x)1-nx)=1-x+(x-1)lnx=1-x+1+x=2,故选：A 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.如图所示是y=f(x)的导数y=∫'(x)的图象，下列结论中正确的有(). 314 A.f(x)的单调递增区间是(-1,2)U(4,+∞) B.x=-1是f(x)的极小值点 C.f(x)在区间(2,4)上单调递减，在区间(-1,2)上单调递增 D.x=2是f(x)的极小值点 9.BC【分析】利用导数的正负与函数的单调性的关系，结合函数的极值与极值，点的定义即可求解。 【解析】由导函数的图象可知，当-3<x<-1或2<x<4时，f'(x)<0:当-1<x<2或x>4时，f'(x)>0: 所以f(x)的单调递增区间为(-1,2)和(4，+∞)，单调递减区间为（-3，-1)和(2,4).故A错误，C正确：所以x=-1 或x=4是∫(x)的极小值，点；故B正确： 所以x=2是f(x)取得极大值点；故D错误故选：BC 10.已知直线l:(x+1)cos6+(y-2)sin8=2,其中B∈[0，π]，点P(a,b)是直线l上的一个动点.圆 C:x2+y2+2x-42y+22=0,其中1∈R,点Q(m,n)是圆C上的一个动点.则下列说法中正确的是() A.当cos0=,2=-1时，圆心C到直线1的距离为4 B.当cs0}=-1时，0是坐标原点，则0+Q的最小值为25-2 试卷第4页，共15页 C.当1=2时，不存在B∈[0，π]，使圆C与直线l相离 D.存在∈R,使对任意的B∈[0，π，圆C与直线l均相切 10.ACD【分析】利用圆心到直线的距离判断A,作点O关于直线的对称点O',结合点与圆的位置关系利用几 何法求解最小值判断B,求出圆心C到直线1的距离d,利用辅助角公式化简并利用正弦函数的性质求得 d∈[0,3]，与半径比较即可判断C,举例法当入=1时，求出圆心到直线的距离等于半径，即可判断D. 【解折1对于8，当m0-=-1时，克线(x+0号(-2)号2即3+4-15=0， 圆C:x2+y2-2x+4y+1=0即(x-1)2+(y+2)2=4,圆心C(1,-2),半径为r=2, 则圆心C到直线l的距离为 -8-15=4,故A正确： V32+42 如图作点0关于直线的对称点0'，设O'(m,n),则 3+415=0 18 m= 5 解得 所以01824 5·5),则loP+lQr-lor+l2≥lo@oc-r=v5-2. n=2 5 所以OP+QP的最小值为√53-2，故B错误： 当=2时，圆C:x2+y2+4x-8y+4=0即(x+2)+(y-4)=16,圆心C(-2,4),半径为r=4, 图心C到直钱1的距高为d-上cos0+2sm0-2-十c0s0+2in0-. cos20+sin20 -cos9+2sin0=5sin(0-9),其中sinp=5 日为oa,所0-p-小所以mo-o要1， 所以-cos6+2sin6-2∈-3，V5-2,所以d=cos6+2sin0-2l∈[0,3]， 试卷第5页，共15页 所以任意的6∈[0，，d<, 故当1=2时，任意的6∈[0，]，使圆C与直线l相交，故C正确： 当=1时，圆C:x2+y2+2x-4y+1=0即(x+1)2+(y-2)2=4, 圆心C(-1,2),半径为r=2,圆心C到直线1的距离为d= 上2 =2=r, vcos20+sin20 故当入=1时，对任意的0∈[0，]，圆C与直线I均相切，故D正确.故选：ACD 11.已知f(x)=lnx-ax+a有两个不同的极值点x,5,则() A.X+x2<2 B. C.f(x)+f(x2)=0 D. f)-f(）<1-2a x-x2 11.BCD【分析】求出函数的导数，由题意可知ax2-x+a=0有2个正数根x,x2,从而可得根与系数的关系， 结合判别式求得a的范围，即可判断A;求出f 的表达式，构造函数，结合函数的单调性，即可判 2 断B:求出f(x)+f(x2)的表达式，结合根与系数的关系式，即可判断C; f)f化筒为 Inx-Inxz2a, X1-x2 X-x2 再结合导数的几何意义判断血-1<L,即可判断D x1-x2 【解析】由题意f(x)=lx-ax+,(x>0得f'()=1-a-g=-ar+x-0, x2 x2 由于f()=lr-a+a有两个不同的极值点，5， 1 即ax2-x+a=0有2个正数根x,x2,则x+x2=二，xx2=1, a △=1-4a2>0 1>0 1 故需满足 2a ,解得0<a<2' a>0 对于A,X+5=>2,A错误： 2 2 a 即8@=-h2a-号2d在0宁上单调造减，故g@>8宁-0， 2 即f0,B正瑞： 试卷第6页，共15页 对于cf(s)+f(3)=lnx-ax+a+lnx,-a此+a x =1nx5-a(K+5)+aG+》=hl-ax+1=0,C正确： xx a 对于0，fG)fs).a+号-s+ag X2 x-x2 X-x2 Inx-Inx+a()) x x2 x1一X2 Inx-Inx-a-a=Ing-Inx-2a, x1-X2 七-为2 -n区可看作曲钱y=nx上两点(G,ln(,n,)连线的斜率， x1一尤2 由于x+5=>2,x5=1,故不妨设x<1,x>1, 由于y=nx,y则曲线y=nx在x三1处的切钱针率为 y=Inx 由于x<1,x>1,故(x,nx),(x2,nx2)连线的斜率小于1，即 Inx-In1, x-x2 r-l此-2a<1-2a,即)-f)<1-2a,D正确，故选：B0D 所以 x-x2 x-x2 【点睛】难点点睛：解答本题的难点时选项D的到断，解答时结合根与系数的关系将)儿转化为 X-x2 55-2山，再特合子数的几行意义判1，即可判新孩老项 x-x2 为-书3 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.己知等比数列{an}的前n项和为Sm,且a2=3,a=81.若Sn=40,则n=_ 12.4【分析】由题意列方程求出等比数列{a}的公比，再根据前n项和求解，即得答案 【解析】设等比数列{an}的公比为q,由4=3，a=81,得a19=3,a9=81, 则g=27,g=3,则4=1，由S,=40得-3-40，解得n=4,故答案为：4 1-3 试卷第7页，共15页 13.已知f(x)=x,则函数f(x)的图像过点(1，)的切线方程为 13.3x-y-2=0或3x-4y+1=0【分析】根据题意，设切点为Q(x,),然后结合导数的几何意义，代入计 算，即可得到结果 【解析】设切点为(，o),由f(x)=x3可得，f'(x)=3x2, 由导数的几何意义可得，切线的斜率k=3x, 因为y0=x,所以切线方程为y-x=3x后(x-x), 将点(L,1)代入，得1-x=3x(1-), 即(x。-1)2x-x-1)=0,得(x-1)(2x+1)=0, 部得气=1线 当x=1时，切点坐标为(1,1)，相应的切线方程为3x-y-2=0; 当=时，切点坐标为，】 相应的切线方程为y+。 即3x-4y+1=0, 2 28, 所以切线方程为3x-y-2=0或3x-4y+1=0. 故答案为：3x-y-2=0或3x-4y+1=0 4已知椭圆CC+Q>b>0的右焦点为FB0,经过该焦点的直线交椭圆于AB两点，若A6 点M的坐标为(1，)，则椭圆C的方程为 x=1- 2 142 5 3+)1【分析】设直线AB的参数方程为 (t为参数)，代入椭圆方程，利用1+=0得 y=1+5 a2=2b2,又根据a,b,c的关系即可求解. 1 【解析】根据题意可得kB=km=一2’ 2 设直线AB的参数方程为 （t为参数)，由AB中点M的坐标为(1,1)，所以t+12=0, y=1+5 代入椭圆方程整理得 根据题意可得4+t2=0,即 「a2=b2+c2 a2=18 又 c=3 所以梢圆C的方程为 189 a2=2b2 试卷第8页，共15页 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.如图.在四棱锥P-ABCD中，BCIIAD,AB=BC=1,AD=3,点E在AD上，且PE LAD,PE=DE=2. D (I)若F为线段PE中点，求证：BF∥平面PCD: (2)若AB⊥平面PAD,求平面PAB与平面PCD夹角的正弦值， 15.(1)证明过程见解析：2)870 30 【分析】(1)取PD的中点为S,接FP,可证四边形SFBC为平行四边形，由线面平行的判定定理可得BF∥ 平面PCD (2)建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面APB和平面PCD的法向量后可求夹角的余弦值，再利用余 弦值求正弦值即可 【解析】(1)取PD的中点为S,连接SF,SC,则SFED,SF=ED=1, 而EDIIBC,ED=2BC,故SFI/BC,SF=BC, 故四边形SFBC为平行四边形，故BFSC, 又BF丈平面PCD,SCC平面PCD,所以BF∥平面PCD (2)因为ED=2,故AE=1,故AEI∥BC,AE=BC, 故四边形AECB为平行四边形，故CE∥AB, 因AB⊥平面PAD,所以CE⊥平面PAD, 而PE,EDC平面PAD,故CE⊥PE,CE⊥ED,而PE⊥ED, 故以E为原点，分别以EC,ED,EP所在直线为x轴，y轴，乙轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(0-1,0),B(1,-1,0),C(1,0,0),D(0,2,0),P(0,0,2), 则PA=(0,-1,-2),PB=(1,-1,-2),PC=(1,0,-2),PD=(0,2,-2), 试卷第9页，共15页 设平面PAB的法向量为m=(x,y,Z), mPA=0 则 [-y-2z=0 即 m.PB=0' {x-y-22=0’令=1，则m=(0,-2,1), 设平面PCD的法向量为i=(a,b,c), i.PC=0「a-2b=0 则 n.PD=0'即 {2b-2c=0令b=1,则i=(21,, -1 故c0sm,i= mi .V30 m园√5×630， 故平面PAB与平面PCD夹角的正弦值为 √30 √870 1- 30 30 16.设a}是首项为1的等比数列，数列私，}清足6=学已知4,3如，9%，成等差数列， (1)求{a}和{b}的通项公式： (2)求{an}的前n项和Sn,{b.}的前n项和Tn: 3)证明：T<￡ 21 160a-,6景@30，x-023 31 (3)证明见解析 4 【分析】(1)由等差数列的性质列方程求得公比q得通项公式am,代入已知式可得bn; (2)由等比数列前n项和公式求得S,用错位相减法求得和Tn; (3)用作差法证明不等式. 【解析】(1){an}是首项为1的等比数列，设其公比为9，因为a,3a2,9a成等差数列， 所以a19%,所以60g=a+,p时6q10,解得q=有片以a-r,所以点学号 1x0-31 (2)由(1)可得Sn= 1 1- 2=号0-3司， 2 3 12, d-I 33 n I 1. 1 3m20-3)3 1- 试卷第10页，共15页 1 所以Tn= 23a2.37 n 1、 2(1- <0. 2.3” 所以I< 2 17.已知函数f(x)=lnx+ax2+(2a+1)x+1. (1)讨论f(x)的单调性： 2)当a<0时，证明：f四≤-4-1 17.（1)答案见解析；(2)证明见解析. 【解析】(1)含参数的函数单调性，对a≥0和a<0进行讨论； (2)对a<0时，先求出f(x)的最大值，构造关于a的函数f 数讨论 【解析】(1)f(x)=nx+ax+(2a+1)x+1, :f=+2ax+2a+1=2ar+2a+)r+l_2a++x>0, 当a≥0时，f'(x)≥0恒成立， 则f(x)在(0，+o)上单调递增 当a<0时，令f'(x)>0,则2ax+1>0, 所以0<x<-1 2a 令f'(x)<0,则2ax+1<0 1 所以x>一 2a 综上：当a≥0时，f(x)的增区间为(0，+m) 当u<0时，的诺区司为0动，减区间为六时】 (2由(1)知，当a<0时，f(四=f八a 1 高（云 令g(t)=lnt-t+1(t>0), 则g01片 令8'(t)>0,则0<1<1. 试卷第11页，共15页 令g'(t)<0,则t>1. 故g(0x=8()=0, 所以lnt-t+1≤0 1 又因为一 >0, a 以n10 3 从而f()s≤ -+1 即f()s-3+1. Aa 【点睛】(1)含参数的导数的讨论：①判断∫'(x)=0是否有根，②比较∫'(x)=0的几个根的大小；(2)证明 不等式通常作差，构造新函数，用导数进行讨论。 18.三等分角是古希腊几何尺规作图的三大问题之一，如今数学上已经证明三等分任意角是尺规作图不可能 问题，如果不局限于尺规，三等分任意角是可能的.下面是数学家帕普斯给出的一种三等分角的方法：已知 角x(0<a<D)的顶点为A,在的两边上截取AB=AC,连接BC,在线段BC上取一点O,使得BO=2CO, 记BO的中点为D,以O为中心，C,D为顶点作离心率为2的双曲线M,以A为圆心，AB为半径作圆，与 双曲线M的左支交于点E(射线AE在∠BAC内部)，则∠BAE=∠BAC.在上述过程中，以O为原点，直 线BC为x轴建立如图所示的平面直角坐标系. B (1)若B(-4,0),求双曲线M的方程以及其渐近线方程； (2)若B(-2,O),点A在x轴的上方，过点A且与x轴垂直的直线交x轴于点G,点E到直线AG的距离为d.证 明 OBE为定值： d ∠BAC ②∠BAE=3 试卷第12页，共15页 18们效南复以的方程为营若-1，新运瓦方位为yt (2)①证明见解析；②证明见解析 【分析】（1)根据题设直接求出a,b,即可求出结果； 2)①根指条件得到庆线AG的方湿有=说F(以-)，到☑=行-6方利别两点 离公式及X-生=l,即可证明结果：②根据条件得到sin三∠BAE=sin∠EAG,从 2<BAE=∠EAG,再利用几何关系，即可证明结果 【阳你】0)设双商纸以的方袋为手茶-1a>00>0。 由BO=2C0O及B(-4,0),可得C(2,0),，所以a=2, 因为双曲线M的离心率为2，所以口+B_4+B =4,解得b2=12, a2 4 所以双南线以的方程为手后1，新运气方智为)= 2》0浅双自民”的方想为等茶-1@>08>0。 由题可得B(-2,0),C(1,0),所以a=1, 由双曲线M的高心率为2，可得b=3，所以双曲线M的方程为- 31. 因为AB=AC,所以直线AG的方程为x=-】 2 设E(66≤-.则-答-1，号=3戏-3， 1 BE=√x+2)+8=Vx+2)2+3x-3=V2x+1)2=-2x。-1, 所以 BE-2,为完值. d ②因为A6=AE，所以sin 又sin∠EAG= d AE,由① BE=2, d 所以sn[BAE=sih_EAG, 又∠BAE,∠EAG都是锐角，所以)∠BAE=∠EAG, 所以∠BAC=2∠BAG=2(∠BAE+∠EAG)=3∠BAE,所以∠BAE=。∠BAC. 试卷第13页，共15页 19.已知数列{a,}满足a2+a,=2a1,且a=2,S,=54.函数f()=4-a+nxa∈R). (1)求Sn: (2)若f(x)≥0恒成立，求a的值； 1.1 (3)设n∈N,求证： -+.+<han. a az an 19.()5n=n+3m 2 (2)a=1(3)证明见解析 【分析】(1)由等差中项判断数列{an}为等差数列，再由等差数列前n项和公式求得公差，从而求得Sn; (2)求导判断f(x)的单调性，当a>0时，f(x)=f(a)=1-a+na,再由g(a)=1-a+lha≤8()=0结 合f(1)=0得a=1: 0叫之TI【中I-(1+)四=u>1t“#‘=x立‘-Kx单() n a a2 an 【解析】(1)因为an+2+an=2an+,所以数列{an}是等差数列， &因为a2,所以S,=90+98d=54,解得d 所以5。=2n+nn-_2+3n 2 2 (2)f)=a-a+lnx的定义域为(0，+o), f(0=0,f'()=-g+1-x-a 当a≤0时，f'(x)>0,所以f(x)在(0，+o)上单调递增， 又因为f(I)=0,所以当0<x<1时，f(x)<f()=0,不符合题意， 当a>0时，令f'(x)=0得x=a,令f'(x)>0得x>a,令f'(x)<0得0<x<a, 所以f(x)在(0，a)上单调递减，在(a,+n)上单调递增， 所以f(x)=f(a)=a-a+lna=1-a+lna, a g(a)-1-a+lna,8(a)--I+a 1 试卷第14页，共15页 令8'(a)>0,得0<a<1,令g'(a)<0,得a>1, 所以g(a)在(0,1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减，所以g(a)≤g(1)=0, 又因为f(1)=0,要使得f(x)≥0恒成立，则a=1. (3)由(1)知an=2+n-1=n+1, 由(2)知，当a=1时，f()=1-1+lmr>0(x>),即1nx>1-1(x>), 令x=”+>L,所以n+>1-n=L n n1ntd即n在n”血nm n 古分+02-nr-h2aa-n时 1a2 =ln(n+l)-lhl=h(n+l)=lha.,不等式成立. 试卷第15页，共15页