07 滚动作业（七）数学试题(考查范围：选择性必修一至选择性必修二第五章第一节)-2026-2027学年高二上学期数学滚动检测卷

高二年级第一学期数学滚动检测（七） 考试说明： 1.考查范围：选择性必修一至选择性必修二第五章第一节。 2.试卷结构：分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）；试卷分值：150分，考试时间：120分钟。 第1卷（选择题，共58分) 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项符合题意.答案填涂 到答题卡上) 1.在长方体ABCD-AB,CD中，AB+BC+CC=( A.AB B.AC C.AD D.AD 2.若曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y=2x-3,则f'(1)=（) A.-3 B.-1 C.1 D.2 3.“关于xy的方程：x2+y2+mx+4y+8=0表示圆”是“m>4”的( )条件 A.必要不充分B.充要 C.充分不必要 D.既不充分也不必要 4.直线与双曲线年少1交于PQ两点，线段2的中点为M4),则直线1的方程为() A.y=x-3 B.y=-x-3 C.y=x+5 D.y=-x+5 5.已知直线l:mx+y+3=0和直线：x-m2y+1=0,若“1⊥1”，则m=() A.0 B.-1 C.0或1 D.0或-1 6.已知等差数列Q，的面n项和分别为S,,若之=2则爱( A. 0.5 3 7.过点(0，-2)与圆x2+y2-4x-1=0相切的两条直线的夹角为，则sinu=（ A.1 B.vi5 4 C.0 D.6 4 4 a}是公比不等于1的等比数列，且g4+ga=0, f(a)+f(a)+…+∫(a3)等于（) A.2022 B.4036 C.2023 D.4038 二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.下列说法正确的是( ) A.对空间任意一点0和不共线的三点A,B,C,若OP=2OA+2024OB-2025OC,则P,A,B, C四点共面 B.若向量ā=(2，-1,3)，万=(-4,2，t)的夹角为钝角，则实数t的取值范围为 10 -0,3 C.直线1：x-y+m-1=0(m∈R),恒过定点(1,1) D.过点P(1,2)且在x轴、y轴上的截距相等的直线方程为x+y-3=0 10.已知点P是抛物线y2=4x上的一个动点，点F为抛物线的焦点，点Q是圆C:(x-4)+y2=1 上的一个动点，直线1与抛物线交于M、N两点，则下列说法正确的是() A.PF+PQ的最小值为4 B.过P作圆C的切线，切点为A,B,则AB:PC的最小值是21I C.设线段MN的中点坐标为(x,)≠0)，则直线1的斜率与%无关 D.若直线1过点F,且丽=2M,则直线1的斜率为±22 11.设正整数n=a·2°+a·2++a1·21+4·2*,其中4∈{0,1}，记o(m)=a+4+…+a.则() A.o(2n)=o(n) B.o(2n+3)=w(n)+1 C.w(8+5)=w(4n+3) D.ao(2”-1)=n 第I川卷（非选择题，共92分） 三、填空题（本题共3题，每题5分，共15分） 12.己知数列{a}的前n项和为Sn,且a=1,a1=2a.+l(neN),则S= 13.已知f)在x=处可导，若m+2)-f国=4，则f(6)= h 14如图，已知风R是椭圆C若+少1的左、右焦点，是C上一点.过点R作直线P网的垂 线4，过点作直线PR的垂线.若4的交点Q在C上(PQ均在x轴上方)，且P四-85， 则c的离心率为 2 四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(本小题13分) 已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a+a4=3,S,=14. (1)求{a}的通项公式：(2)若b.=2+2a,求b}前n项和Tn. 16.(本小题15分) A 在正四棱柱ABCD-ABCD中，A4=2AB=2BC=2,M是棱CC1上的中点. C (1)求证：AM⊥BD: M (2)求直线AM与平面B,CD所成角的正弦值. A D 17.(本小题15分) Sn为数列的前n项和，已知a.>0,a2+2a.=4Sn-1. （1)求{a}的通项公式： (2)设b,=1 d,an -,求数列bn}的前n项和T. 18.(本小题17分) 云+不=1(a>b>0)经过点6,25b】 已知椭圆c￡+若 0,3 (1)求C的离心率. (2)设A,B分别为C的左、右顶点，P,Q为C上异于A,B的两动点，且直线BQ的斜率恒为 直线AP的斜率的5倍. ①当b的值确定时，证明：直线PQ过x轴上的定点： ②按下面方法构造数列b:当b=b时，直线PQ过的定点为M(6,0),且4=2，海，1 6-, 3 证明：d+d+…+dn<1. 19.(本小题17分) 某企业2015年的纯利润为500万元，因为企业的设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降. 若不进行技术改造，预测从2015年开始，此后每年比上一年纯利润减少20万元.如果进行技术 改造，2016年初该企业需一次性投入资金600万元，在未扣除技术改造资金的情况下，预计 2016年的利润为750万元，此后每年的利润比前一年利润的一半还多250万元. (1)设从2016年起的第n年（以2016年为第一年），该企业不进行技术改造的年纯利润为a.万 元；进行技术改造后，在未扣除技术改造资金的情况下的年利润为b,万元，求a和b。: (2)设从2016年起的第n年（以2016年为第一年），该企业不进行技术改造的累计纯利润为A 万元，进行技术改造后的累计纯利润为B.万元，求A,和B; (3)依上述预测，从2016年起该企业至少经过多少年，进行技术改造的累计纯利润将超过不进 行技术改造的累计纯利润？高二年级第一学期滚动作业（七)教师版 考试说明： 1,考查范围：选择性必修一至选择性必修二第五章第一节。 2.试卷结构：分第1卷（选择题）和第‖卷（非选择题）：试卷分值：150分，考试时间：120分钟。 一、单选题 1.在长方体ABCD-AB,CD,中，AB+BC+CC=() A.AB, B.AC C.8 D.AD 1.B【分析】利用空间向量的加法法则可得结果 【解析】AB+BC+CC=AC+CC=AC.故选：B. 2.若曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y=2x-3,则f'(1)=() A.-3 B.-1 C.1 D.2 2.D【分析】运用导数几何意义得答案. 【解析】曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y=2x-3,则运用导数几何意义，知道'()=k=2.故选： D 3.“关于x,y的方程：x2+y2+mx+4y+8=0表示圆是“m>4”的()条件 A.必要不充分B.充要 C.充分不必要 D.既不充分也不必要 3.A【分析】先得的x2+y+mx+4y+8=0表示圆时的m的取值范围，从而得到结论. 解析】由题意有+y+mx+4y+8=0→x+)+(0y+2-件-4 所以m-4>0→m>4或m<-4,由于m>4为m>4或m≤-4的真子集， 4 故方程x2+y2+mx+4y+8=0表示圆是m>4的必要不充分条件，故选：A 4.直线与双曲线y=1交于PQ两点，线段PQ的中点为M4,,则直线1的方程为() A.y=x-3 B.y=-x-3 C.y=x+5 D.y=-x+5 4.A【分析】由点差法求出直线l的斜率，再由点斜式方程求解即可 【解析】设P(x,y),(x,y2),因为线段P0的中点为M(4,1),所以x+x3=8,y+=2, -=1 4 所以 两气知诚可得：茸草=-， 试卷第1页，共12页 为+为6-专年即名1， 即s+5)=(+为0-，所以X长为-子， 4 x一x2 所以直线1的斜率为1，所以直线1的方程为：y-1=x-4, 化简为：y=x-3,经检验符合题意.故选：A. 5.己知直线l:mx+y+3=0和直线l2:x-m2y+1=0,若“4⊥12”，则m=() A.0 B.-1 C.0或1 D.0或-1 5.0【分析】根据两直线间位置关系列方程，解方程即可. 【解析】由已知l⊥2，则m1+1(-m2)=0,解得m=0或m=1,故选：C. .Sn- 6.已知等差数列a},他，}的前n项和分别为$，工，若72m+’则公（) ba A D.5 3 6D【分州】尚产品，时说-，T=6+.月用=线反，仙2)即T东 【解折】因为等差数列{和，}，私，}的前n项和分别为5，工，所以=- Cb T-T' 因为 S.=n 元2n+,所以可设S.=,I=(2n+0,则S,-S=k,T-T=15k, 所以 =9k3 155故选：D. 7.过点(0，-2)与圆x2+y2-4x-1=0相切的两条直线的夹角为，则sin=（) A.1 B.5 C.⑩ 4 D.6 4 7.B【分析】方法一：根据切线的性质求切线长，结合倍角公式运算求解：方法二：根据切线的性质求切线 长，结合余弦定理运算求解；方法三：根据切线结合点到直线的距离公式可得k2+8k+1=0,利用韦达定理 结合夹角公式运算求解. 【解析】方法一：因为x2+y2-4x-1=0,即(x-2)+y2=5,可得圆心C(2,0),半径r=√5， 过点P(0,-2)作圆C的切线，切点为A,B,因为|PC=√22+(-2)？=22，则PA=VPC-r2=5,可得 sin∠APc-5i 254 ,cos∠APc=5-V6 2√241 则sin∠APB=sin2∠APC-2sin∠APCcos∠APC=2xiox6_V压 4×4=4 试卷第2页，共12页 cos∠APB=cos2∠APC=cos2∠APC-sin2∠APC 即∠APB为钝角，所以sin&=sin(亿-∠APB)=sin∠APB= 法二：圆x2+y2-4x-1=0的圆心C(2,0),半径r=√5，过点P(0,-2)作圆C的切线，切点为A,B,连接AB, 可得1PC=V2+(-2=22,则PA=PB=VPC-r2=5, 因为PA+|PB-2 PA PBcos∠APB=lCA+CB-2CA-CBcos.∠ACB 且∠ACB=π-∠APB,则3+3-6coS∠APB=5+5-10cos(π-∠APB), 即3-coS∠APB=5+5cOs∠APB,解得cos∠APB=-<0,即∠APB为钝角，则 osa=os(r-∠APB)=-os∠APB-子，且u为锐角，所以sna-cSa= 4 方法三：圆x2+y2-4x-1=0的圆心C(2,0),半径r=√5，若切线斜率不存在，则切线方程为x=0,则圆心 到切，点的距离d=2>r,不合题意：若切线斜率存在，设切线方程为y=kx-2,即kx-y-2=0,则 2-2=5 Vk2+1 整理得k2+8k+1=0,且△=64-4=60>0 设两切线斜率分别为kk2,则k+k,=-8,kk,=1,可得k-k=√k+k)》-4kk=25, 所以tana= 之-店，即店，可ua器sma+gma店2-1，且 1+kk2 cos a 15 a∈(0，网，剥sina>0,解得sina- .故选：B 4 B 2 8.已知正项数列a}是公比不等于1的等比数列，且lg4+lam=0,若f(冈1+，则 f(a)+f(a2)+…+f(a223)等于() A.2022 B.4036 C.2023 D.4038 8.C【分析】根据题意结合等比数列的性质可得aa23=a2a2m=aa221==a012=1,根据函数解析式可 得f()+f[日-2，利月倒序相加法运见求解。 试卷第3页，共12页 【解析】因为正项数列{an}是公比不等于1的等比数列， 且lga1+lga23=0,则lg(a1a223)=0,即qa22s=1, 结合等比数列性质可得4·a22=42·a22=43a221==a012=1, +=2 1+习 令T=f(a)+f(a2)+…+f(a023),则T=f(a2s)+f(a2m)+…+f(a), 可得2T=f(a)+f(a23)+f(a2)+f(a2)+…+f(a23)+f(a)=2x2023, 所以T=2023.故选：C. 二、多选题 9.下列说法正确的是() A.对空间任意一点0和不共线的三点A,B,C,若0P=20A+20240B-20250C,则P,A,B,C四 点共面 B.若向量ā=(2，-1,3)，b=（-4,2,t)的夹角为钝角，则实数t的取值范围为 。10 -0,3 C.直线l:x-my+-1=0(m∈R),恒过定点(1,1) D.过点P(L,2)且在x轴、y轴上的截距相等的直线方程为x+y-3=0 9.AC【分析】对于A,由四点共面的充要条件知P,A,B,C四点共面：对于B,用向量夹角的余弦判断，需 注意共线反向的情况，故B错误；对于C,根据方程即可判断：对于D,直线y=2x在x轴，y轴上的截距等 于0时，也满足题意故D错误。 【解析】对于A,0P=20A+20240B-20250C,2+2024-2025=1,:P,A,B,C四点共面，故A正确： 对于B,向量ā=(2，-1,3)，b=（-4,2,1)的夹角为钝角， 由a-6=8-24<0,解得1号且a6不反向失线，则子3故16. 4 对突数t的教流范国为(-6(69，成B端误：对于0，直我1：-心m-1=0(mER)可化为 -1-m(0-)=0,令-1=0 0-1=0,解得 =1直线恒过定点()，故C正确：对于D,直线y=2x过点P,2) x=1 且在x轴、y轴上的截距相等，故D错误.故选：AC. 10.已知点P是抛物线y2=4x上的一个动点，点F为抛物线的焦点，点Q是圆C:(x-4)+y2=1上的一个动 点，直线1与抛物线交于M、N两点，则下列说法正确的是() 试卷第4页，共12页 A.PF+PQ的最小值为4 B.过P作圆C的切线，切点为A,B,则B卧：PC的最小值是2 C.设线段MN的中点坐标为(x,%)yo≠0)，则直线1的斜率与y无关 D.若直线1过点F,且NF=2FM,则直线1的斜率为±2√2 10.A8DI分析】根据物线的定义可判防选项A对于B,先设P片yER,料用坐标运第求出PCf≥12。 再将ABPC转化为2PC-1即可得出判断：设M(GX.N,),利用点差法即可判断选项C:将 ■NF=2M转化为MGyN5,)坐标的关系，结合兰=x,三=名求出坐标即可判断选项D。 4 【解析】由题意知抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),准线为x=-1,圆C:(x-4)+y2=1的圆心为C(4,0),半 径r=1, 对于A,PF+PQ≥PF+PC-r=PF+PC-1, 过点P作PQ垂直于直线，垂直为Q,由抛物线定义可知： PF+PC=PQ+PC≥5，Q,P,C三点共线时等号成立， 所以PF+PQ的最小值为4，故选项A正确： 13tn管R.对-三-名46-e2 因为PA,PB是圆C的两条切线，切点为A,B,所以PA⊥CA,PB⊥CB,PAPB|CAHCB上1， 所以ABPC=2 SPACB=4SMc=2PA=2VPC-1≥2厅，故选项B正确： 对于C,设M(x,yN(x,y2),则y=4x,y=4x,两式作差，得(y+y2)(-)=4(:-2), 又线段MN的中点坐标为(x,y)(≠0)，所以y+》2=2y, 因此直线1的斜率为业。4=2 -5方+乃人。，故选项C错误： 1-53=2(x-1) 对于D,设M(x,y,N(x,y2),由NF=2FM得， -y2=2y f1「1 又=x 4 ,兰=，解得=2，所以 =2或 x22 =5y=-V2 》-0=y=-2y=25 所以直线/的斜率为x-11 -1 故选项D正确.故选：ABD. 2 试卷第5页，共12页 10 11.设正整数n=a,2°+a2+…+a-12-+a2,其中a,e{0,},记w(n)=a+a+…+a.则() A.o(2n)=o(n) B.o(2n+3)=o(n+1 C.o(81+5)=o(4n+3) D.a2”-1)=n 11.ACD【分析】利用o(n)的定义可判断ACD选项的正误，利用特殊值法可判断B选项的正误. 【解析】对于A选项，w()）=a+a++a,2n=a2+a2++a-12+a2+, 所以，o(2n)=a+a1+…+a=o(n),A选项正确：对于B选项，取n=2,2n+3=7=12°+1.2+12， ∴o(7)=3,而2=02°+1.2，则o(2)=1,即(7)≠o(2)+1,B选项错误；对于C选项， 8n+5=a23+a24+…+a2+3+5=1.2°+1.22+a,23+a24++a42+, 所以，w(8n+5)=2+a+a1+…+ak, 4n+3=a2+423+…+a422+3=12°+12+a22+a23++ag2+2, 所以，o(4n+3)=2+a+a+…+a,因此，o(8n+5)=o(4n+3),C选项正确： 对于D选项，2”-1=2°+2++2n-1,故2”-1)=n,D选项正确.，故选：ACD. 第II卷（非选择题） 三、填空题 12.已知数列{an}的前n项和为S.,且a4=l,a+=2an+1(n∈N),则S=_ 12.57【分析】根据给定条件，利用构造法求出数列{a}的通项，进而求出S 【解析】在数列{an}中，由aH=2an+1,得an+1+1=2(an+l),而a+1=2, 因此数列{an+)是首项为2，公比为2的等比数列，an+1=2”，an=2”-1, 所以S,=2-10+2-D+(2-D+2-1)+2-》=20-2-5=57.故答案为：57 1-2 13.已知f()在x=6处可导，若m飞+2-f)-=4,则f(6)= h 试卷第6页，共12页 13.2【分析】由导数得定义计算即可. 【解折】因为m+2)-f).4,所以m5+20-f飞-2. h 2h 即f)-四f飞+20-f)-2.故谷案为：2 2h 4己知.E是椭圆C+y的左、有焦点，P是C上一点，过点B作直线PE的垂线过点E作值 线P听的垂线.若，h的交点Q在C上(P.Q均在x轴上方)，且Pg=8y5 则C的离心率为 14.5/5【分析】设Pm.),可得1，的方程，联立方程求得Q-mm-C 16 结合对称性可知m2= 22 n 进而列式求a2,c2,即可得离心率. 【解析】设P(m,n),E(-c,0),E(c,O),由题意可知：m≠±c,n>0, 则直线P听的斜率k=八 气m本心，可知l的方程为ym中C+C,同理可得：马的方程为y在-C】, n n y=-m+c(x+c) [x=-m 联立方程 ，解得 y= _m-c(x-c) y=m-c2,即g-m,m-c2 国为0在C上，可知P.0关于x轴对称，且P@=85 等，可得m2-16 , 16-2=2 16 又因为m-c2 n =n,即 6-c2=2,由题意可得： +n2=1,整理得5a-16a2-16=0, as c2=a2-1 解得a=4或a2=-(含去)，则c=2-1=3,所以C的离心率为e=后 a 2 故答案为： 21 【点睛】求椭圆的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定日，b,c的等量关系或不等关系，然后 把b用a,c代换，求e的值. 试卷第7页，共12页 四、解答题 15.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a+a4=3,S,=14. (1)求{a}的通项公式： (2)若bn=2+2an,求{bn}前n项和Tn. 2+n2-3n 15.(1)a,=n-2(2)T=2m- 【分析】(1)利用等差数列的通项公式求解即可.(2)利用等差数列和等比数列的求和公式求解即可. a3+a4=2a1+5d=3 【解析】(1)因为{an}是等差数列，设其公差为d,由题知 S,=7a+21d=14，解得a=-1,d=L,所以{a} 的通项公式为@=-2,2）由题知6，=2+2n-2)-+2-4,所以 12-2m-2+2n-4n=2r- 41-2 2 2+n2-3n. 16.在正四棱柱ABCD-AB,CD,中，AA=2AB=2BC=2,M是棱CC上的中点. A D A D C (1)求证：AM⊥BD: (2)求直线AM与平面B,CD所成角的正弦值. 16(1)证明见解析：(2)5V5 【分析】(1)建立空间直角坐标系，通过验证AM.BD=0即可证明；(2)写 9 出AM与平面BCD的法向量，再运用向量夹角公式即可得解. 【解析】(1)如图，以A为原点，AB,AD,AA所在直线分别为x轴，y轴，之轴，建立空间直角坐标系， 本2 D B C D B 试卷第8页，共12页 因为A4=2AB=2BC=2,所以A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),M(1,1,1), AM=(1,1,),BD=(-1,L,0),因为AM·BD=(1,1,1)(-1,1,0)=-1+1=0, 所以AM⊥BD (2)由题可知，B1,0,2),C(1,10),D(0,1,2,A(0,0,0),M(1,1,1).则AM=(1,1,1),BC=(0,1,-2),BD=(-1,1,0), 设平面B,CD的法向量为n=(x,y,z), [i.B,C=0 y-2z=0 则有 i.B,D1=0' {x+y=0,不坊取x=2,剥y=22=l,故n=(221). 设直钱AM与平面BCD所成角为a,剥sina=小os(aM,升 AM.元 2+2+1_5W5 AM园V3x391 故直线AM与平面BCD所成角的正弦值为V5 9 17.Sn为数列的前n项和，已知an>0,a+2an=4Sn-1. (1)求{a}的通项公式： (2)设6=1 aa ,求数列bn}的前n项和Tn, 17.(1)a,=2m-1:(2）T.=2n+1 n 【解析】试题分析：（1)由题意当n=1时，a1=1,当n≥2时，(an+an-1)an-an-1-2)=0,因为an>0 111 a,-a1-2=0n≥2)，即可求得{a,}的通项公式：(2》因国为6=22n一2n ),利用裂项求和法即可求 得数列bn}的前n项和Tn· 试题解析：（1)依题意有(an+1)2=4Sn①当n=1时，(a-1)2=0,得41=1； 当n≥2时，(an-1+1)=4Sn-1②有①-②得(an+a-1)(an-an-1-2)=0, 因为an>0,.an+an-1>0→an-an-1-2=0n≥2)，.{an}成等差数列，得an=2n-1. 考点：等差数列的通项公式，裂项求和法 18已知国c:三+芳a>b经过点 2b 3 (1)求C的离心率. (2)设A,B分别为C的左、右顶点，P,Q为C上异于A,B的两动点，且直线BQ的斜率恒为直线AP的斜 率的5倍. 试卷第9页，共12页 ①当b的值确定时，证明：直线PQ过x轴上的定点； ②按下面方法梅造数列：当6b时，直线0过的定点为M60,且么-2，沙 6-少，证 3 明：d+d2+…+dn<1. 18.(1)22 (2)①证明见解析；②证明见解析 3 【分析】(1)根据题意，将点b 2 b 代入椭圆方程得 b21 3 ,进而求得离心率； (2)①由题可知直线PQ的斜率不可能为0，设PQ的方程为x=少+m,与椭圆方程联立可得根与系数关系， 1 =5,解得m=2力，逢而得证：②根据题意，可得他}是等比数列，求得，=2，得2) 结合P 2 3 分n为偶数和奇数分别证明. 【解析】（1)因为椭圆C经过点 22 b. b 所以b286 09%=1,故5、1 一十 a-g 所以C的离心率e 3 (2)①由（1)知C的方程为 b+京=1，A(-36,0),B3b.0). 由对称性可知直线PQ的斜率不可能为0，设P(x,),Q(x2,y2),设PQ的方程为x=y+m. x=ty+m x+y=1’可得(t+9)y+2my+m-9b=0 所以△=4rm2-4(t2+9)(m2-9b2)=36(t2b2-m2+9b2）>0,即m2<t2b2+9b2, 2tm 且y+为2=- )沙.所以5- t2+9 -(y+y2) 2m 则 胆=y.x+3b_(+m+3b)2=yy+(0m+3b)y2 kAp x2-3b y (ty2+m-3b)y tyy2+(m-3b)y 9b2-m2 2m y+y)+(m+3b)为_3b+m(3b-my+(3b+m)严=3b+m"=5, 9b2-m (y+y2)+(m-3b)y 3b-m (3b-m)y:+(3b+m)y2 3b-m 2m 解得m=2b,则PQ的方程为x=y+2b,即直线PQ过x轴上的定点(2b,0) 试卷第10页，共12页 ②由①可知，b1=2bn,又bn>0,b=2, 所以b}是首项为2，公比为2的等比数列.所以b=2”", d.= 3 2”+211,1 当n为偶数时， d1+d=1+12+21 1 2-1+2- 32.2121222T2 3 39 11 222+.… 2+21-1 11 所以d1+d2+…+dn-1+dn<。 1. 1 当n为奇数时，因为d 2州>0 3 所以d+d2+…+dn<d1+d2+…+dn+dn<1.综上可得：d+d2+…+dn<1. 19.某企业2015年的纯利润为500万元，因为企业的设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降.若不进行技 术改造，预测从2015年开始，此后每年比上一年纯利润减少20万元.如果进行技术改造，2016年初该企业需一次 性投入资金600万元，在未扣除技术改造资金的情况下，预计2016年的利润为750万元，此后每年的利润比前一 年利润的一半还多250万元. (1)设从2016年起的第n年（以2016年为第一年），该企业不进行技术改造的年纯利润为a,万元；进行技术改造 后，在未扣除技术改造资金的情况下的年利润为b.万元，求an和b; (2)设从2016年起的第n年（以2016年为第一年），该企业不进行技术改造的累计纯利润为A万元，进行技术改 造后的累计纯利润为B,万元，求A和Bn: (3)依上述预测，从2016年起该企业至少经过多少年，进行技术改造的累计纯利润将超过不进行技术改造的累计 纯利润？ 19.(1)an=500-20n,bn=500 A.=490n-10n2,B,=500n 500-100(3)至少经过4年，进行技 20 术改造的累计纯利润将超过不进行技术改造的累计纯利润. 【分析】(1)利用等差数列、等比数列的通项公式求an和b (2)An是数列{an}的前n项和，B.是数列bn}的前n项和减去600，利用等差数列和等比数列的前n项和公 式求出即可 (3)作差，利用函数的单调性，即可得出结论 【解析】(1)由题意得{an}是等差数列，4=480，d=-20 所以an=500-20n 试卷第11页，共12页 由题意得6=750，b1=2h.+250 所以b-500=2650) 所以物-500}是首项为250，公比为2的等比数列 所以02 所以b,=500+25( ”+引 (2)An是数列{an}的前n项和 所以A 480+500-20nn=490n-10n2 2 Bn是数列{b}的前n项和减去600，所以 1 1 B.=501+2+1+2++1+2宁)-600 =500n+ 600=500n 500-100 2n ③8-A=50a0-10-(490m-10r) =10m2+10n-500 100 易得此函数当neN时单调递增，且n=l,2,3时Bn-A.<0 n=4,5,6…时B。-An>0 所以至少经过4年，进行技术改造的累计纯利润 将超过不进行技术改造的累计纯利润. 【点睛】本题考查的是数列的综合知识，包含通项公式的求法、前项和的求法及数列的单调性. 试卷第12页，共12页