06 滚动作业（六）数学试题(考查范围：选择性必修一至选择性必修二第四章第三节)-2026-2027学年高二上学期数学滚动检测卷

高二年级第一学期数学滚动检测（六） 考试说明： 1.考查范围：选择性必修一至选择性必修二第四章第三节。 2.试卷结构：分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）；试卷分值：150分，考试时间：120分钟。 第1卷（选择题，共58分） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项符合题意.答案填涂 到答题卡上) 1.y2=2x的焦点到准线的距离为( ) A. B.1 C.2 D.4 2.“m=0”是“直线l1:mx+4y+2=0与直线l2:x+my+1=0垂直”的( A.充要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 3.已知空间向量a-(3,0,1),方-(0，)，则a在6上的投影向量的模为( ) A.5 B.1 C.2 D. 4.已知Sn是等差数列{an}的前n项和，则下列选项中不可能是Sn所对应的图象的是( S S B .0123 3 12347 1234 -3 5.已知椭圆c号+ =1的左焦点为F,P为C上的动点，点AL,2W2),则PF-IPA的最大 5 值为（) A.6-V2 B.22 C.3 D.3+V2 6。已数列)是等比数列.则方程组，十8y二8的解的情况为( A.唯一解 B.无解 C.无穷多组解D.不能确定 7.人教A版必修第一册第92页“探究与发现”的学习内容是“探究函数y=x+的图象与 性质”，函数y=x+的图象实际上是双曲线.则函数y=3x+的图象对应的双曲线的离心 率为( A.√20-6V10B.√W10-3 C.V10-3 D.20-6V10 8.已知数列{a}和{bn}的通项公式分别为a,=3”,bn=n,在bm与bm+1之间插入数列{a}的前m项， 构成新数列{cnJ,即b1,a1,b2,a1,a2,b3,a1,a2,ag,b4,a1,a2,ag,a4,bs,….记数列{bn}的前n项和为Sn, 则1=（） A.30 B.4944 C.9876 D.14748 二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.等差数列{a}的前n项和为Sn,已知S=0,S5=25,则（ A.4=0 B.{a}的前n项和中S最小 C.使Sn<0时n的最大值为9 D.的最大值为0 10.已知椭圆C:3x2+4y2=48的两个焦点分别为耳，耳，P是C上任意一点，则( A.C的离心率为 2 B.△PF1F2的周长为12 C.PF的最小值为3 D.IPF.PF2的最大值为16 11.数列{a}前n项和为Sn,且满足a1=1,an+1= an-2”,n为奇数 则( ) (an+2n+1,n为偶数 [2”-1,n为奇数 A.a4=-1 B.an= -1,n为偶数 C.3S2m+1=22m+1-6n-2 D.数列{(-1)”a}的前2n项和为-2(4-山 第1川卷（非选择题，共92分） 三、填空题（本题共3题，每题5分，共15分) 12.记Sn为数列{an}的前n项和，若Sn=2a+1,则S6=_ 13.如图AB、C是三个雷达观察哨，A在B的正东，两地相距6km,C在A的北偏东30°，两 地相距4km,在某时刻，B观察哨发现某种信号，测得该信号传播速度为1km/s,4s后A、C两 个观察哨同时发现该信号，在如图所示的平面直角坐标系中，指出发出这种信号的点P的坐 标 .C 3 14.已知A(x1,y1)、B(x2,y2)满足：x子+y月=1，x号+y=1,X132+y1y2=-2则代数式3x1 4y1l+3x2-4y21的取值范围是 四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(本小题13分) 已知等差数列{an}的前n项和为Sn,等比数列{bn}的首项为2，且a2+a6=10,S5=3a4,b4- a5=3S3. (I)求{an,{bn}的通项公式： (2)设c=(-1)”a+求数列c的前2m项的和72m 16.(本小题15分) 如图，在四棱锥P一ABCD中，底面ABCD为正方形，PAL底面 ABCD,PA=AB,E为线段PB的中点，若F为线段BC上的动 E 点（不含B). D (I)平面AEF与平面PBC是否相互垂直？若是，请证明；若不 B 是，请说明理由； (②)若器=人为何值时？二面角B-A-E为60， 17.(本小题15分) 设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=1,Sn+1-2Sn=1(mEN) (I)求数列{an}的通项公式： Aan ②若数列b,3满足，(a4-a:-可， 数列b,}的前n项和为Tm,VnEN',都有t-4m<Tn, 31 求m的取值范围。 18.(本小题17分) 双曲线号若-1a>0,b>0过点(6，V同，且高心率为5过点P40的动直线占双自线 E相交于A,B两点. (1)求双曲线E的标准方程： (②在平面直角坐标系x0y中，是否存在与点P不同的定点Q,使符8-哈▣成立？若存在， 求出点Q的坐标：若不存在，请说明理由. 19.(本小题17分) 已知公差不为0的等差数列{a}的首项a=1,前n项和为Sn,且a,4马，a4成等比数列. (1)求数列{a}的通项公式及Sn: .1 (3)是否存在实数k,使得对任意的正整数m,n,都有a+a2≥kan成立？若存在，求k的最 大值；若不存在，请说明理由.高二上学期数学滚动作业（六)教师版 考试说明： 1,考查范围：选择性必修一至选择性必修二第四章第三节。 2.试卷结构：分第1卷（选择题）和第|卷（非选择题）：试卷分值：150分，考试时间：120分钟。 一、单选题（每题5分，共40分） 1.y2=2x的焦点到准线的距离为() A.月 B.1 C.2 D.4 1.B【分析】利用抛物线的方程求出卫即可得到结果. 【解析】解：y2=2x,p=1根据抛物线标准方程p的几何意义，可知抛物线y2=2x的焦点到准线 的距离为：卫=1.故选：B. 【点睛】本题考查抛物线的简单性质的应用，属于基础题。 2.“m=0是“直线l1:mx+4y+2=0与直线l2:x+my+1=0垂直的() A.充要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 2.A【分析】根据两直线垂直列方程求出，进而结合充分、必要条件的定义判断即可. 【解析】由l11l2得，m·1+4·m=0,解得m=0,所以“m=0”是“直线l1:mx+4y+2=0与直线 l2:x+my+1=0垂直”的充要条件.故选：A. 3.已知空间向量=(3,0,1)，万-，0，，则ā在万上的投影向量的模为() A.5 B.1 C.2 D. 3.A【分析】根据给定条件，利用空间向量数量积的坐标表示求解. 【解析】由向量à=(3,0,1)，=，0，，得a.i=V3,1b1, 则ā在6上的投影向量为丽万=V3币=（停0,3，所以ā在石上的投影的模为 1b12 )2+0+2=V3.故选： A 4.己知Sn是等差数列{an}的前n项和，则下列选项中不可能是Sn所对应的图象的是() S 引 B. 34方 234方 -1 -2 34 试卷第1页，共13页 S. D 234市 234 -3 3 4.C【分析】根据等差数列的前n项和公式对各选项分析即可. 【解折】等差数列的前n项和公式为S。=na+巴d=n2+(a-)n,这是关于n的二次函数m∈N), 且该二次函数图象过原点。 当d=0时，(n,Sn)是过原点的直线上的点，所以选项B正确，当d≠0时，(，Sn)是过原点的抛物线上的，点， 所以选项A,D正确.故选：C 5.已知椭圆C:号+苦=1的左焦点为F,P为C上的动点，点AL,22),则IPF-PA的最大值为（) A.6-V2 B.2V2 C.3 D.3+V2 5.0【分析】利用椭圆的定义转化结合几何性质求最值即可. 【解析】由椭圆方程可知：a=3,b=√5，c=√a2-b2=2, 设右焦点为F',则F(-2,0),F'(2,0),且IPF+IPFI=6,即PF=6-IPFL, 如图所示， 可得：IPF|-IPA=6-(IPF'|+IPAI)≤6-IAF'|=3, 当且仅当P在线段AF上时，等号成立，所以PF-|PA的最大值为3.故选：C. 6.已知激提等比数列则方程组合8g二8的解的特况为(） A.唯一解 B.无解 C.无穷多组解 D.不能确定 6.C【分析】根据等比数列的性质，判定得到直线a1x+a2y=a3与a4x+asy=a6重合，即可得到答案.。 【解折】由题意，数列an}是等比教列，可得验=8=二所以直线a1x十ay=a3与a4x+asy=6重合， 所以方程n侣十882的解得个数为无数组解，故答策为：0 7.人教A版必修第一册第92页“探究与发现”的学习内容是“探究函数y=x+的图象与性质”，函数y=x+ 的图象实际上是双曲线.则函数y=3x+的图象对应的双曲线的离心率为() 试卷第2页，共13页 A.√20-610B.VV10-3 C.10-3 D.20-6v√10 7.A【分析】利用对勾函数的性质先确定y=3x+的浙近线，利用正切的二倍角公式及双曲线离心率计算即 可 【解析】设双曲线y=3x+的两条新近线的夹角记为20（日∈(0，）》， 易知通数y=3x+的南道线为：y=3x与纵轴，所以am20=220 又双曲线的离心率e满足：e2=。后=1+=1+tam20,解方程可得tam0=-3士V而（负值含去），所 以e2=20-6V10→e=V20-6V10.故选：A. 8.己知数列{an}和bn的通项公式分别为am=3m,bn=n,在bm与bm+1之间插入数列{an的前m项，构成新 数列{cn,即b,a,b2,a4,a2,b,a1,a2,a3,b4,a,a2,a3,a4,b5,…记数列{bn的前n项和为Sn,则21c=() A.30 B.4944 C.9876 D.14748 8.B【解析】因为数列{bn}的通项公式为bn=n,所以数列{bn}为等差数列， 所以数列{bn的前n项和为Tn=m+型 2 数列{an}的通项公式为an=3”,所以数列{an}为等比数列， 所以数列{an}的前n项和为3n=3-四=13 1-3 2 所以21c=S1+S2+…+S-1+b1+b2+…+bn =学+号叶学4，-+罗+号-n-京n=8时 2 2 2 ∑19=4944故选：B. 二、多选题（每题6分，共18分) 9.等差数列{an}的前n项和为Sn,已知S1o=0,S5=25,则() A.a=0 B.{an}的前n项和中S最小 C.使Sn<0时n的最大值为9 D 的最大值为0 n 9.BC【分析】根据等差数列前n和基本量的计算求出通项公式和前n和公式，代入计算判断A,结合二次函数 求解S,的最小值判断B,解不等式判断C,求出的通项公式，利用数列的单调性求解最值判断D. n [So=10a,+45d=0 41=-3 【解析】设等差数列{an}的首项为a,公差为d,因为 9=15a+105d=25'所以 d=2, 3 、所以a=a+m-Dd=2”3，S=-3n+22=n2-102 -n. 33 3 对于A,a=02上=一3，缙误： 3 对于B,国为5.=10m= 2 33 3n=3(n-5)}2-25 3 ,所以当n=5时，S,有最小值S,= 3，正确： 试卷第3页，共13页 1 时于0，若S30 -3<0,则0<n<10,又nEN,所以n的最大值为9，正确： S 为关于nN的单调递增数列，所以没有最大值，错误.故选： n n BC. 10.己知椭圆C:3x2+4y2=48的两个焦点分别为F,,P是C上任意一点，则() A.C的离心率为 2 B.△PF1F2的周长为12 C.IPF的最小值为3 D.IPF·PF2I的最大值为16 10.BD【分析】A:根据离心率定义计算出并判断；B:根据椭圆定义计算焦点三角形的周长并判断；C:根 据|PF|的最小值为a一c作出判断：D:根据椭圆定义结合基本不等式计算并判断。 【解析】精图C:3x2+4y2=48即为+=1，故a=4b=25,c=Va2-D=2, 1612 对于A,e=日=克故A错误： a 对于B,△PF1F2的周长为|PFl+lPF2l+lFF2=2a+2c=12,故B正确： 对于C,PFl的最小值为a-c=2,故C错误； 对于D,PEP1≤(21P-(月-16当且仅当1P=PF=4时等号成立，故D正确，故选： BD. 11.数列{am}前n项和为Sn,且满足a1=1,an+1= 了an-2”,n为奇数 (a+2+'n为腐数则() (2m-1,n为奇数 A.a4=-1 B. an -1,n为偶数 C.3S2m+1=22n+1-6n-2 D.数列(-1)”anJ的前2n项和为-24”-型 3 11.ABD【分析】A选项直接由递推关系式即可求出Q4:B选项由a2k+2=a2k+1-22k+1,a2k+1=a2k+22k+1即 可判断；C,D选项由分组求和及等比数列求和公式即可判断. 【解析】对于A:a2=a1-2=-1,a3=a2+23=7,a4=a3-23=-1,正确： 对于B:k∈W，有a2k+2=a2k+1-22k+1,a2k+1=a2k+2k+1, 两式相加，得a2k+2=a2k,又a2=-1,所以a,=-1,n为偶数 由a2k+1=a2k+22k+1，得：a2k+1=22k+1-1,也即an=2m-1,n为奇数， 所以an= 教有动 对于C:由B可知：S2m+1=a1+a2+a3+a4+a5+…+a2m+1=1+(-1)+(-1+23)+(-1)+(-1+25)+ …+(-1+22m+1) 试卷第4页，共13页 =1+(-1)×(20+23+25+…+22m+1=-2n+1+1-2”= 22n+3-6n-5 1-22 3 则3S2n+1=22m+3-6n-5,错误 对于D:数列{(-1)”an}的前2n项和记为Tn, T2n=-(a1+a3+…+a2n-1)+(a2+a4+…+a2n) =-(22-1+23-1+…22m-1-1)-n =一24”-1，正确故选：ABD 3, 三、填空题（每题5分，共15分） 12.记Sn为数列{an的前n项和，若Sn=2an+1,则S6= 12.3【分析】根据an与Sn的关系，先求得am=2n-1,进而根据等比数列的前n项和公式可得. 【解析】当n=1时，a1=S1=2a1+1,得a1=-1,当n≥2时，an=Sn-Sm-1=2an-1-(2am1-1),得 am=2a-1,故{an}提以-1为首项，以2为公比的等比数列，故an=-2n-1,故S。=11-2四=-63，故答案 1-2 为：-63 13.如图A、B、C是三个雷达观察哨，A在B的正东，两地相距6m,C在A的北偏东30°，两地相距4m, 在某时刻，B观察哨发现某种信号，测得该信号传播速度为1kms,4s后A、C两个观察哨同时发现该信号， 在如图所示的平面直角坐标系中，指出发出这种信号的点P的坐标 3 3 13.（-8,5V3【分析】由条件分析可得点P在线段AC的垂直平分线上，再结合双曲线的定义可得点P在以A、B为 焦点的双曲线的左支上，联立方程即可得解 【解析】由题意，点A(3,0),B(-3,0),C(3+4c0s60°，4sin60)即C(5,2V3), 则线段AC的中点为(4V同，直线AC的斜率kac=等=V区， 则线段AC的中垂线的斜率k=-,故其方程为y-3=-:-4,即y=-x+5, 31 因为B观察哨发现某种信号，测得该信号传播速度为1km/s,4s后AC两个观察哨同时发现该信号， 所以PA=IPC|,IPA-IPBI=4. 设P(x,y),由|PA=IPC|可得，点P在线段AC的垂直平分线上， 又|PA-|PB|=4<AB引=6，则，点P在以A、B为焦点的双曲线的左支上， 试卷第5页，共13页 故镀双曲线的方程为号--16x≤-2).即-苦16c≤-2). y2 =1 45 由 X≤-2， (y、3 解458 3 所以点P的坐标为(-8,5V3) 故答案为：（-8,5V3) 14.已知A(x1,y)小、B(x2y2)满足：x好+y经=1，x好+y3=1,x1x2+yy2=-则代数式3x-4y+ I3x2-4y2的取值范围是 14. 65分分折寸地，A收BK均在同e+y=1上，且0B花4三 d2=1342,对A、B与直线3x-4y=0的位置关系进行分类讨论，引入参数日表示d1、d2,利用三角恒等变 5 换结合三角函数的有界性可求得3x1-4y1l+3x2-4y2l=5d1+5d2的取值范围. 【解折】设Acy、B2,y2),x好+y足=1，x3+y经=1，xx2+yy2=- 故Ax1,y1)、B(x2y2)在圆x2+y2=1上， 0A.0B 且cosA0B=0=12+y2=-子其中0为坐标原点， 因为0≤∠A0B≤π，则∠AOB=2 3 因为0A=|0B刷=1，则△A0B是腰长为1的等腰三角形，且∠A0B=2 3 (1)当点A、B在直线3x-4y=0的同侧时， 设直线3x-4y=0交圆x2+y2=1于M、N两点，如下图所示： M B 0 记d=B,d2-B,记LA0M=0,则zB0N=号-0，其中0<0<5 5 试卷第6页，共13页 di=sin0,d2=sin(-0). 所以，13x1-4y,l+l3x2-4y2l=5d1+5d2=5sim8+5sin(g-0 -5sin+cos0sing-sing+cos0-5sin(0+) 因为0<日<行则婚<0+日<号，所以，9<sm(0+)≤1， 3 则3x-4l+3x-42=5sim(0+)cy55: (2)当，点A、B在直线3x-4y=0的异侧时， 设直线3x-4y=0交圆x2+y2=1于M、N两点，如下图所示： y B 记d,=1B4,d2=B2,记∠A0N=0,则∠B0N=2-0,其中0<日<， 5 则d=sin6,d2=sin(2g-0）, 所以，l3x1-4yl+l3x2-4y2l=5d:+5d2=5sin6+5sim(g-0) -5sin cossinsin c00-5/sin(+) 国为0<0<号，则g<日+若<58，则<sin(0+君)≤1， 则3x1-4yl+13x2-4y2l=53sin(0+g)es,5V3: (3)当，点A、B中有一点在直线3x-4y=0上时， YA N(B) 则3x-4+13x2-4,=5sin= 综上所述，代数式3x1-4y+3x2-4y2的取值范围是 试卷第7页，共13页 故答案为： .55 2 【点睛】结论点睛：常见的非线性目标函数的几何意义： 1)z=费：表示点（化）与点(a)连线的斜车： (2)z=√x-a)2+0y-b:表示点(x,y)到点(a,b)的距离： (3)Z=|Ax+By+C:表示，点(x,y)到直线Ax+By+C=0的距离的VA2+B2倍. 四、解答题 15.己知等差数列{an的前n项和为Sn,等比数列{bn}的首项为2，且a2+a6=10,Ss=3a4,b4-a5=3S3 (1)求{an,{bn}的通项公式： (2)设c=(-1)a+品求数列c的前2n项的和7n 15.(an=2n-3.bn=2"(22n=2n+1-2是 【解】《D灵等装致现a,公差为a根限愿维科侣品16十十9，解得2 所以an=-1+(n-1)×2=2m-3,可知as=7,S3=3, 设等比数列{bn的公比为q,带入得2q3-7=9,解得q=2,可知bn=2·2n1=2n, (2)有第一问可知a=2血-36=2，则G=(←1)(2n-3)+六 T2m=C1+c2+…+c2n= lk-0a++k-a+引++k-0产aa+ 分组得7m=[(-a+a2)+(-a+a4)++(-2m-1+a2m+(+++ 计算(-a1+a2)+(-a3+a4)+…+（-a2n-1+a2m)=2n, 1 1 则T2m=2n+1-2m. 1 16.如图，在四棱锥P一ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD,PA=AB,E为线段PB的中点， 若F为线段BC上的动点（不含B). P E D F B (1)平面AEF与平面PBC是否相互垂直？若是，请证明；若不是，请说明理由： 2若影=元A为何值时？二面角B-AP-E为60 试卷第8页，共13页 16.(1)平面AEF与平面PBC是相互垂直：证明见解析2)1= 2 【分析】（)根据线面垂直的性质，结合正方形的性质、线面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理进行证 明即可； (2)根据二面角的定义，结合锐角三角函数定义进行求解即可 【解析】(1)因为PA=AB,E为线段PB的中点，所以AE 1 PB,因为PA⊥底面ABCD,BCC平面ABCD,所 以PA L BC,又因为底面ABCD为正方形，所以BC⊥AB,又PA∩AB=A,所以BC⊥平面PAB,AEC平面 PAB,,BC⊥AE,因为PB∩BC=B,所以AE⊥平面PBC,因为AEC平面AEF,所以平面AEF⊥平面PBC (2)如图，取AB的中，点M,作MN⊥AF交AF于点N,连接EM,EW, 因为EM为△BPA的中位线，所以EMI‖PA,又PA⊥平面ABCD,F∈线段BC 故EM⊥平面ABF,EM⊥AF,MN⊥AF,EM∩MN=M 故AF⊥平面EMW,所以∠MNE即为二面角B-AF-E的平面角，即∠MNE=60° 设BC=2,则BF=2λ， 国为器=器即空=，所以MN= 1+2 又tan LMNE=ME ,即V=+平 ,得=巨 2 B 17.设数列{an的前n项和为Sn,己知a1=1,Sn+1-2Sn=1(m∈N) (1)求数列{an的通项公式： 4a. 2)若数列}满足b。a4-)a2-· 数列bn的前n项和为T.VnEN,都有m2-m<T,求m的取值 3 范围 17.(1)am=2n-1 2(2) 【分析】(1)首先可以根据已知得到an+2=2an+1(n∈N*),其次注意到a2=2a1,结合等比数列的定义即 可求解 (2)由(1)可知a=21,先将数列.的通项公式裂项得b=2×(品一），从而可求得其前n项 和为，若vLEN,都有m2-号m<T，则只需m2-专m<(亿)mn,研究In的单调性即可得到其最小值， 试卷第9页，共13页 从而解不等式即可求解」 【解析】（1)一方面：因为Sn+1-2Sn=1(n∈N*),所以Sn+2-2Sm+1=Sn+1-2Sn=1(m∈N*),所以 Sn+2-Sn+1=2(Sn+1-Sn)(nE N),Rpan+2=2an+1(nE N*): 另一方面：又n=1时，有S2-2S1=1,即a2-a1=1,且a1=1,所以此时a2=2a1: 结合以上两方面以及等比数列的概念可知数列{a}是首先为a1=1,公比为q=2的等比数列，所以数列{an}的 通项公式为an=1×2-1=2-1 (2)由（1)可知an=2n-1, 又由题意b.anaa西a西=2×（六2） 4an 2×2n 数列0的前n项和为.=2×(6片克+克克十+)=2×(-2) 又n∈N,都有m2-号m<I,数只考m2-专n<gm 而y1=2n+1-1关于n单调递增， 所以y2=2n1关于n单调递减，为=Tn=2×(1-21)关于n单调递增， 所以当n=1时，有1(1-)片 因此m2-言n<nn即(m+)0m-2)<0,解得-号Km<2, 综上所述：m的取值范围为（子，2） 18.双曲线E三-若器=1a>0,b>0)过点(4V3),且离心率为9，过点P(4,0)的动直线与双曲线B相交于 A,B两点. (1)求双曲线E的标准方程； (2在平面直角坐标系x0y中，是否存在与点P不同的定点Q,使得8-▣成立？若有在，求出点Q的坐标： 若不存在，请说明理由 18.(1) -y2=1;(2)存在，Q(1,0). 4 【分析】（1)根据题意可得 -是=1 16 再结合c2=a2+b2可求出a2,b2,从而可求出双曲线方程： a 2 (2)假设存在符合题意的定点Q,①当l垂直于x轴时，由题意可得Q在x轴上，②当1为x轴时，可求得Q(1,0),然 后再证Q(1,0)对一般的直线l也符合题意，即证kQ+ks=0,设l:y=k(x-4)(k≠±)，A(x1,y1),B(x2,y2), 将直线方程代入双曲线方程化简，再利用根与系数的关系，然后求解即kA十kQB即可. 【解折】(1)国为双曲线E若-器=1a>0,b>0)过点(4V③)，且离心率为 2 试卷第10页，共13页 所以Ja2-及=1 因为c2=a2+b2,所以解得a2=4,b2=1, 所以双曲线E的标准方程为 -y2=1; 4 (2)假设存在符合题意的定点Q, ①当1垂直于x轴时，8器=圈=1，得QA=1QB叫， 因为A,B关于x轴对称，所以Q在AB的垂直平分线上，即Q在x轴上， IQAI IPAl 14-21 ②当1为x轴时，108=p=4+2=设Q的坐标为Q(化，0)， 则04=t-2=2 1Q=1+2=行t≠2，整理得t2-5t+4=0,解得t=1或t-4(舍去)， 所以Q的坐标为Q(1,0), 下证定点Q(1,0)对一般的直线l也符合题意， 若要证别-B。则要证QP是乙AQ8的角平分线，即x轴是乙AQB的角平分钱， 即要证kou+kos=0,设L:y=k(x-4)(k≠±)，A(x1,y1),B(x2,y2), 由化2二44，得1=4k)x2+32k2x-642-4=0. 4=(32k2)2+4(1-4k2)(64k2+4)=192k2+16>0,则 名+名=x名=所以04+k9品十片 y(x2-1)+y2(x1-1) (x2-1)(x1-1) =h2+y2x1-01+2) (x2-1)x1-1) 2kx1x2-5k(x2+x1)+8k (x2-1)(x1-1) 2k64±共-5k42+8k 32k2 4k2-1 (x2-1)(x1-1) =128+8k-160+3238=0,所以定点Q(1,0)对一般的直线l也符合题意，所以定点Q的坐标为Q(1,0), (4k2-1)x2-1)x1-1) 【点睛】此题考查双曲线方程的求法，考查直线与双曲线的位置关系，第(2)问解题的关键是当l为x轴时， 由8%=可求得定点Q1,0),.然后再证定点Q(L,0对一段的直线1电符合题意脚可，考查数学计第能力，属 于较难题， 19.己知公差不为0的等差数列{an}的首项a=1,前n项和为Sm,且a,a2,a4成等比数列. 试卷第11页，共13页 (I)求数列{an}的通项公式及Sn: 2i记A=+是++ 82t“大 。十T,B=+1 G矿，当n≥2时，比较A与B的大小 (3)是否存在实数k,使得对任意的正整数m,n,都有a+a≥k·a品+n成立？若存在，求k的最大值；若不 存在，请说明理由 19()a,=n,S。n+D(②A<B3)实数k存在，最大值为2 2 【分析】(1)根据a,a2,a4成等比数列，利用等比中项可求出等差数列的公差，从而求{an}的通项公式及 Sn: 1 (2)由(1)，结合裂项相消法可求得A,根据可得 2m-1 为等比数列，利用等比数列的前项和公式求B,从 而比较A与B的大小 (3)由题意可得k≤ am+a ,结合基本不等式求得最小值即可 min 【解析】(1)设公差为d,由a,a2,a4成等比数列得a=a,a4,即(1+d)2=11+3d), 求得d=1或d=0(舍去)， 所以a,=1+n--1=n,S=+a)小n- 2 2n+1). 1 (2)由(1)知，an=n,Sn=5n(n+1),则a2=2, .1「11 1 A= S S2 …+21k2+2x3++nxm+D =2 nn+1气n+ 圆为当n≥2时，2”>n+1,即1≥1中所以A<B: (3)要使a+a≥kan（m,neN)恒成立， 只需k≤三+a(mneN)恒成立，即ks min 因为+@=m+。m2+n2 (m+mjm+n产+2m,又因为2m≤m+n, m2+n2 m2+n2_1 所以m+P+2m产2m2+网2（当且仅当m=n时等号成立)， 试卷第12页，共13页 所以k≤号时，对任意的正整数m,n,不等式a+a≥kan都成立， 即实数飞存在，最大值为) 试卷第13页，共13页 答案第1页，共1页