05 滚动作业（五）数学试题(考查范围：选择性必修一至选择性必修二第四章第二节)-2026-2027学年高二上学期数学滚动检测卷

高二年级第一学期数学滚动检测（五） 考试说明： 1.考查范围：选择性必修一至选择性必修二第四章第二节。 2.试卷结构：分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）；试卷分值：150分，考试时间：120分钟。 第1卷（选择题，共58分) 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项符合题意.答案填涂 到答题卡上) 1.已知抛物线方程为y=4x,则焦点到y轴的距离为( A.日 B C.1 D.2 2,已知点A(-5,4),B(3,-2),则以AB为直径的圆的方程为( A.(x+1)2+y+1)2=25 B.(x+1)2+(y-1)2=25 C.(x+1)2+(y+1)2=100 D.(+1)2+(y-1)2=100 18,n=1 3.已知4= a-31<ns6' 则通过数列{a}图象上所有点的直线方程为( A.y=x-3 B.y=x+18 C.y=-3x+18 D.y=-3x+21 4.在空间直角坐标系中，已知A(1,0,0),B(0,-1,0),C(0,0,-5),则三棱锥O-ABC的体积为 c. D.1 5.已知在数列{an}中，4=2,4，a-1+1=4-1（n≥2，n∈T),则a25=（ A.-1 B.号 C.2 6.已知数列a,}满足a=+k∈R),则“数列{a,}是递增数列”的充分不必要条件是 ( ) A.k<0 B.k<1 C.k>0 D.k>1 7.在无穷数列{a}中，若an∈N,且a#1=}2 ，当a为偶数 (n=1,23,),记{a,}的前n项和为 3a,+1,当a为奇数 S.若S3=29,则a1=( A.16 B.10 C.6 D.5 8.已知直线1过双曲线C:”=1的左焦点B与C的左、右两支分别交于AB两点，且 43 P为线段AB中点，设O为坐标原点，若△OFP是以FP为底边的等腰三角形，则直线1的斜率 为( ) A.±页 11 B.±3 C.±33 2 11 D.tvi5 5 二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.下列有关数列的说法正确的是() A.已知数列{a}为等差数列，若4+a225=2026,则413=1013 B.数列{an}的通项公式为a=n(n-1),则110是该数列的第11项 C.在数列1，√2,5,2,5，..…，第8个数是2√5 D.数列{an}的前n项和为Sn,已知Sn=-i+7n,{an}是递增数列 10.已知直线l:2x+1-t2)y+1+tP=0t∈R),当t=和t=t时，对应直线分别为和，则下 列说法中正确的是( A.存在t∈R,使得1过点1,1) B.当⊥1，时，对任意5∈R,总存在两个不同的t值与之对应 C.川的充要条件是t2=-1 D.存在点B,对任意t∈R,使得到l的距离为常数 11.我们把短轴长与长轴长的平方比为5-的椭圆称为“黄金椭圆”.己知椭圆 2 芳a>b>0)是“黄金椭圆”，其左、右焦点分别是，R(c,0，c>0,左 分别为A,B,上、下顶点为D,E,则() A.椭圆C的离心率为5-1 B.a,b,c成等比数列 C.△BDF是直角三角形 D.以F,耳，为直径的圆是菱形AEBD的内切圆 第川卷（非选择题，共92分） 三、填空题（本题共3题，每题5分，共15分） 12.已知向量a=le:3sn钙b-(lg8u9,若a1石，则m 13.已知数列{a}中，g=3,且aH=a,+2n(n为正整数)，则8的最小值为 2 14.己知曲线B:+卫=1，P(化)是曲线E上任意一点，则1√2+，的最大值为 2 4 四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(本小题13分) 已知数列{a}的前n项和为Sn=2t-30n+1 (1)求Sn的最小值，并求此时n的值： (2)求出{a}的通项公式 16.(本小题15分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD,AB/ICD, N ∠ABC=90°，AB=2BC=2CD=4,PA=PD. 万、N (1)求点B到平面PAD的距离； ②)已知三校锥B-PHD的体积为4，点N为线段P的中点，设平面NCD与平面PBD的交线 为1，求直线1与平面PAB所成角的正弦值， 17.(本小题15分) ,y2 已知椭圆+α>b>0的离心率为，椭圆B上的点到两焦点的距离之和为4 (1)求椭圆E的方程： (2)设0为坐标原点，点M(x)(x≠0)在椭圆E上，直线xx+2y-4=0与直线y=2,y=-2 分别交于点私及设AO4M与0V的自积分别为，品，比校登与的大小 18.(本小题17分) 等卷数列a的公差为d,且d>1,令么="。，且3a=3a+凸，4+%马+4%+4+么+2 (1)求数列{an}的通项公式： 2)设不等式(-)2≤，2”对任意正整数n均成立，求实数1的取值范围. 2a+1 19.(本小题17分) 知双曲线C千养a>0b>0的离心率为B,且过点43,4，渐近线分别为4,4，其中 经过第一、三象限. (1)求双曲线C的渐近线，的方程； (2)设动点P(m,)在第一象限内，且不在直线l,上，过点P分别作l,l的平行线，交y轴于M, N两点，且OM.ON=1,0为坐标原点. ①求动点P的轨迹方程： ②求△OAP面积的最小值高二年级第一学期滚动作业（五)教师版 考试说明： 1,考查范围：选择性必修一至选择性必修二第四章第二节。 2.试卷结构：分第1卷（选择题）和第川卷（非选择题）：试卷分值：150分，考试时间：120分钟。 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.已知抛物线方程为y2=4x,则焦点到y轴的距离为() 1 A.8 B C.1 D.2 1.C【分析】根据抛物线的方程，求出焦点，即可得出焦点到y轴的距离. 【解析】因为抛物线方程为y2=4x,所以抛物线焦点为(1,0)，所以焦点到y轴的距离为1. 故选：C 2.己知点A(-5,4),B(3,-2),则以AB为直径的圆的方程为() A.(x+1)2+(y+1)2=25 B.(x+1)2+(y-1)2=25 C.(x+1)2+(y+1)2=100 D.(x+1)2+(y-1)2=100 2.B【分析】利用中点坐标公式求出圆心，利用两点间距离公式求出半径，从而得到圆的方程即可. 【解价1这加中点为0则（上）】 即0(-1,1)， 反国*危为则=g-号-(5可-3-4可=5， 则以AB为直径的圆的方程为(x+1)2+(y-1)2=25.故选：B 18, n=1 3.已知an= a1-3,1<n≤6’ 则通过数列{a}图象上所有点的直线方程为() A.y=x-3 B.y=x+18 C.y=-3x+18 D.y=-3x+21 3.D【分析】由an= 「18， n=1 a-3,1<ns6求得通项公式判断。 【解析】由an= 「18n=1 Q13,1<n≤6可知a}是以18为首项，以-3为公差的等差数列 所以an=a-3(n-1)，即an=-3n+21, 所以通过数列{an}图象上所有点的直线方程为y=-3x+21,故选：D 4.在空间直角坐标系中，已知A(1,0,0),B(0,-1,0),C(0,0,-5),则三棱锥O-ABC的体积为() A.2 B. c. D.1 试卷第1页，共13页 4.C【分析】先确定三棱锥的底面积和高，再根据三棱锥的体积公式进行计算即可. 【解析】在空间直角坐标系中，O为坐标原点，A(1,0,0),B(0-1,0),C(0,0,-5), .0A=(1,0,0),0B=(0,-1,0),0C=(0,0,-5), 可以看出OA L OB,OA⊥OC,OC⊥OB,即OA,OB,OC两两互相垂直， 以△0M6为底面，0C为商，则Sae=方0401x1=》 根据三棱锥的体积公式可得V。-c=3×2X5=石故选：C· 5.己知在数列{an}中，a=2,anan-1+1=an-1（n≥2，neN)，则a25=() B.月 D.2 A.-1 C.2 5.A【分析】逐项计算可得数列周期性，利用周期性即可得解。 【解折】由a,a+1=a(m≥2neN),则a,=0-( (n≥2，neN), 1-1 又4-2-。 1-1,a,= 1-1=2, -1 2 a5= 2)=)上，故数列a}以3为周期，则4=4s=4=1.故达：人 6。已知数列a,}满足a,=”+k-'keR),则数列a,}是递增数列的充分不必要条件是() A.k<0 B.k<1 C.k>0 D.k>1 6.A【分析】先将通项变形，通过作差法分析单调性，再结合充分不必要条件的定义得出结果. 【解析】将a,=+k-↓变形为a,=1+ -》--w 若数列{a}递增，则a-an>0,即(k-l) >0.因n(n+1)>0,故k-1<0,即k<1(此为充要条 件)，所以A选项符合，BCD选项不符合，故选：A 7.在无穷数列{an}中，若aneN,且aH= [9,当a,为偶数 (n=3…),记{an}的前n项和为Sn.若S3=29, 3an4当an为奇数 则a=() A.16 B.10 C.6 D.5 7.D【分析】讨论a为偶数、42为偶数，a为偶数、4为奇数，a为奇数、a2为偶数，a1为奇数、a2为奇数 试卷第2页，共13页 四种情况，计算得到答案。 【解析】当4为偶数，4，为偶数时，S=a+9+2=29,无整数解： 24 当4为偶数，4为奇数时，8=4+号++1=29，无整教解： 22 当4为奇数，4，为偶数时，3=4+3刘+1+34，+1=29，解得a=5,验证成立： 2 当a为奇数，a2为奇数时，S=a+3a+1+9a,+4=29,无整数解；综上所述：a4=5. 故选：D 8.已知直线1过双曲线C:父上 =1的左焦点F,与C的左、右两支分别交于A、B两点，且P为线段AB中 43 点，设O为坐标原点，若△OFP是以FP为底边的等腰三角形，则直线I的斜率为() A.± 11 B.3 2 C.t33 11 D.5 5 3 8.C【分析】由点差法得apka=4,由条件知直线OP的倾斜角为AB倾斜角的两倍，代入两直线的斜率关 系式kk仙=即可求得1的斜车. 4 【解析】如图，设A(x,y),B(x2,y2),P(x,y), B 2a 由尚AB为在C苦营-1上，P为AB的中点 3x2=12+4y2 得 3.x号=12+4y ,则3(x-x2)(x+x2)=4(y-y2)(y+y2), 3-》-2.y+2=-y.2%=-y.%-0 小4名-石56+为无-。2x--0 3 ∴.kop:KAB= ,设直线AB的倾斜角为a,则ka=tana,不妨设a为锐角， :△OFP是以FP为底边的等腰三角形，∴.直线OP的倾斜角为2a,则kop=tan2a. 3 taa.tam2a=4六tamx 2。-解释a 11 六由对称性知直线1的率为士3】 11 故选：C 试卷第3页，共13页 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.下列有关数列的说法正确的是() A.已知数列{an}为等差数列，若a,+a02s=2026,则ao13=1013 B.数列{an}的通项公式为a.=n(n-1),则110是该数列的第11项 C.在数列1，√2，√5,2,5，，第8个数是2√2 D.数列{an}的前n项和为Sn,已知Sn=-n2+7n,{an}是递增数列 9.ABC【分析】根据等差数列的性质判断A,由通项公式判断B,根据规律判断C,求出a,a2可判断D. 【解析】数列{an}为等差数列，则a1+a2s=2a1o13=2026,所以a1o13=1013,故A正确； 令an=n(n-1)=110,解得n=11（-10舍去)，即a1=110,故B正确： 因为数列1，√2，√3,2，√5，…，所以第8个数是V8=2W2,故C正确： 因为Sn=-n2+7n,所以a=S1=6,a2=S2-S=10-6=4,故a2<a1, 所以{an}不是递增数列，故D错误.故选：ABC 10.已知直线1：2x+(1-t2)y+1+2=0t∈R),当t=1和t=t2时，对应直线分别为l,和l2,则下列说法中正 确的是() A.存在t∈R,使得I过点(I,) B.当（⊥2时，对任意∈R,总存在两个不同的t,值与之对应 C.2的充要条件是t2=-1 D.存在点B,对任意t∈R,使得P到I的距离为常数 10.ACD【分析】将点的坐标代入求出t判断A;取t=1,结合l⊥I2可得t2值判断B:探求两直线平行的充要 条件判断C;求出原点到直线I距离判断D. 【解析】对于A,直线1过点(1,1)时，2t+(1-t2)+1+t2=0,解得t=-1,即当t=-1时，1过，点(1，)，A正确： 对于B,由4⊥l2,得21·212+1-t)1-)=0,而当t=1或1=-1时，t,=0,B错误： 对于C,由1，l2,得t≠t2,21(1-t)=2t2(1-t)台t2(1-12)=t2-t,则t2=-1, 由%=-l,得6=袁线4：240y1f0,4:子x-0京y1+0, 2 1 t t 试卷第4页，共13页 1+1+ 即4：24+1-y-1-=0,而4≠0，直线，4在x轴上的横裁距分别为-2,2， 则直线l2,因此l,1心2的充要条件是tt2=-1,C正确； 1+2 1+12 对于D,对任意t∈R,点(0,0)到直线l的距离d= 4+0-P示+疗，0正确 故选：ACD 1山，我们把短轴长与长轴长的平方比为5-的椭圆称为黄金椭圆.已知椭圆℃：号+=a>b>0)是“黄 金椭圆”，其左、右焦点分别是F,F(C,O),c>0,左、右顶点分别为A,B,上、下顶点为D,E,则() A.椭圆C的离心率为5-1 B.a,b,c成等比数列 C.DBDF是直角三角形 D.以F,F为直径的圆是菱形AEBD的内切圆 1.B0D【分析】由“黄金精图”的定义得到的值，进而求出离心率e,即可判断A;由 和高心率e的值 3 验证b2=aC是否成立，即可判断B,求出BD,DF,BF三边的长，验证BD?+DF2=BF是否成立，即可判断 C,分别求出菱形AEBD的内切圆半径r,及圆心(O,O)到直线BD的距离d,验证d=r是否成立，即可判断 D. 【解析】对于A,由“黄金椭圆”的定义可知 2b)=5-1,即65-1 (2a2 2 所以椭圆的离心率e=S 2 因为精圆的离心率0<e<1,所以e=51,故A错误： 2 对于B,由公-51可得8-51， a 2 2 由S5l可得c-5-a,所以c5la, a 2 2 2 所以b2=ac,即a,b,c成等比数列，故B正确： 对于C,由题意可知B(a,0),D(0,b),F(-c,0), 所以BD2=a2+b,DF2=c2+b2,BF2=(a+c}, 试卷第5页，共13页 联海小5 BD2+Dr2=(a2+b2)+(c2+b2)=a2+2b2+c2 +. 所以BD+DE2=BF,所以DBDF是直角三角形，故C正确： 对于D,以耳，F2为直径的圆的方程为x2+y2=c2, 菱形AEBD的边长为√a2+b2,周长为4V2+b. 菱形AEBD的面积S=2×2ax2b=2ab, 设菱形AEBD的内切圆半径为r, ab 则菱形AEBD的面积S=。×周长×r,所以r= 2 √a2+b 直线BD的方程为1：x+Y=L,即bx+ay-ab=0, a b 设圆心(0，O)到直线BD的距离为d,则d= -abl lab =r, √a2+b2Va2+b2 所以以E,F,为直径的圆是菱形AEBD的内切圆，故D正确.故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知向量a= 1og,3sin41,b=(og,8m0),若a16,则m= 3 12.25【分析】根据空间向量垂直的坐标运算列式计算求解即可. 【解析】由a1万，则a6=0,即1og,3×1bg,8+sin4m=0, 3 时g33g,2+mr+骨引m=0,年- m=0,解得m=25.故答案为：2√5 2 13.已知数列{a,}中，a,=3,且a=a,+2n(n为正整数)，则的最小值为 n 1设/25【分】利用累加法得风=心-n+3,建而得号n+】1,利用y=+子1他调性印可泰解 n 【解析】由题意有：an+1-an=2n,a,-an-1=2(n-1),an-1-an-2=2(n-2),42-a=2×1, 上式相加得a.-4=21+2+3++n-)=2-0+m-）-n-0. 2 所以a,=m-n+3,所以马=n+3-L, n n 回为y=1a华满随或，在+)单地，所以会）经引号成多室为： 5 试卷第6页，共13页 14.己知曲线E:+=1,PK,为)是曲线E上任意一点，则1V2x+的最大值为一 2 4 14.22【分析】分类讨论确定曲线形状，利用|V2x。+y|的几何意义确定取得最大值点P(x,)位置，再利 用三角代换求出最大值， 【解折】当≤0，y>0时，-亡+上-1，表示焦点在y轴上的双曲线在y销及左侧，x轴上方的部分， Γ24 当x>0y≥0时，号+上-山，表示点在y销上的椭圆在y轴右创，X轴及上方的都分， 24 当x>0,y<0时，号-上=1，表示焦点在x轴上的双曲线在第四象限的部分， 24 当x<0y<0时，-- =1,方程无解，不表示任何图象， 24 曲线E:+少=1如图中实线，虚线是双曲线-二+上=1的一条渐近线V2x+y=0, 2 4 2+4 |√2x,+,|可视为点P(xyo)到直线√2x+y=0的距离的√倍， 由图知，当，点P(x,y)在椭圆上时，点P(x,y)到直线√2x+y=0的距离最大， i设PW5cos0.2sin00≤0≤受，则2x+%=2cos0+2sing=25sin0+孕， 当6-时，%+%lm=2,所以5+%的最大值为2反.故答为：25 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.己知数列{an}的前n项和为Sn=2n2-30n+1 (1)求Sn的最小值，并求此时n的值： (2)求出{an}的通项公式 「-27，n=1 15.(1)最小值为-111，此时n=7或8；(2)an= 4n-32,n≥2 【分析】(1)利用前n项和的函数性质求最值，并确定对应n值； (2)应用an,Sn的关系求通项公式. 【解折】(1)由S,=2m2-30m+1=2n-15-22 2 ，n∈N, 故n=7或n=8时，最小Sn为，=Sg=-111: (6分) (2)当n=1时，a1=S=-27, 试卷第7页，共13页 当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n2-30n+1-[2n-1)2-30(n-1)+1=4n-32, 显然a=-27不满足上式，故an= 〔-27，n=1 (13分) 4n-32.n≥2 16.如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD,AB//CD,∠ABC=90°，AB=2BC=2CD=4, PA=PD B (I)求点B到平面PAD的距离： 2)记知三棱锥B-PAD的体积为4W5,点N为线段AP的中点，设平面NCD与平面PBD的交线为，求直线 3 I与平面PAB所成角的正弦值. 16.(1)22 (2)22 3 【分析】(1)由条件，利用勾股定理证明BD⊥AD,根据面面垂直性质定理得出BD⊥平面PAD,进而得出 点到面的距离 (2)由条件结合锥体体积公式求PO,取PB的中点M,证明直线DM为平面NCD与平面PBD的交线，建立 空间直角坐标系，求直线I的方向向量和平面PAB的法向量，结合向量夹角公式求直线I与平面PAB所成角的 正弦值 【解析】(1)·AB/1CD,∠ABC=90°，AB=2BC=2CD=4, .BD=AD=22,..BD2+AD2=AB2,..BD LAD. 又平面PAD⊥平面ABCD,平面PADO平面ABCD=AD,BDC平面ABCD, .BD⊥平面PAD 所以点B到平面PAD的距离BD=2√2 (5分) (2)取AD的中点O,.PA=PD,.PO⊥AD 又平面PAD⊥平面ABCD,平面PADO平面ABCD=AD,POC平面PAD, .PO⊥平面ABCD no=Vm号mP0-背ADBPO-P0-45 32 3 3 .P0=√2. 取PB的中点M,又N为AP的中点，.MNIIAB, 又AB/1CD,.∴.MW//CD, 平面NCD即为平面MNDC,.DM为平面NCD与平面PBD的交线I. 试卷第8页，共13页 ZA 取AB的中点Q,连接O0,由(1)可知，0A、OPO0两两垂直. 如图建立空间直角坐标系O-?, Wa同.5aw,aa,-Eaa-9a号 2 设平面PAB的法向量为n=(x,y,z),PA=(W2,0,-V2),PB=(-√2,2W2,-√2)， [√2x-V2z=0 则 -V2x+2W2y-√2z=01 取x=1,则z=1,y=1,n=(L,1,1) +5+ 2 设直线1与平面PAB夫角为8，DM=(号，V2,Y2),则sin92 2八 2w2 3 V2 .3 +2+ 故直线1与平面PAB夫角的正弦值2 (15分) 3 亿已知椭圆E号+=1a>b>0的离心率为片，椭圆E上的点到两焦点的距离之和为4 (1)求椭圆E的方程； (2)设0为坐标原点，点M(x,)(x≠0)在椭圆E上，直线xx+2yoy-4=0与直线y=2,y=-2分别交于 OA 4,B.设△OAM与DOBM的面积分别为S,S2,比较。，与OB的大 17.①+上=12= OA 42 S,OB 【分析】(1)根据椭圆定义以及离心率可求出a,C,再根据a,b,c的关系求出b,即可得到椭圆方程： OA 再根据点 AM (2)法一：联立直线方程求出点A,B坐标，即可求出 OB' S,BM' 即可得出它们的大小关系， 法二：利用直线的到角公式或者倾斜角之间的关系得到∠AOM=∠BOM，再根据三角形的面积公式即可解 出 每折】①由猫图可知，2a4,所以a=2,又e?2,所以c=2,6=42-心=2 试卷第9页，共13页 故椭圆E的方程为 x2 y2 =1; 42 xx+2y0y-4=0 2 2)联立父+-1 ,消去x得， 4-2yy +2y2=4, 42 整理得，(2x6+4)y2-16y%y+16-4x号=0①， 又至+公=1，所以2+4=8,16-46=8， 42 故①式可化简为8y2-16yoy+8=0,即(y-y)=0,所以y=%, 所以直线xx+2yy-4=0与椭圆相切，M为切点. 设A(,y),B(x,2),易知，当x=时，由对称性可知， SOA S,OB 故设<6，马知义=A-= S2 BMx2-xox2 xx+2yy-4= 联立 y=2 0,解得5=4-4，y=2, xx+2y%y-4=0 联立 y=-2 0,解得5-4+4，为=-2， 44-4-4y%-6 所以S=西=。 S2-xx。- 4+4%x6-4y。-4 28-4y-2-y -2-4y%2+y0 4-4y 2 +4 V4(1-y%)2+x V4(1-y%)'+4-2 √好-4y+4_2-y OB 4+4y0 +4 V4(1+%)2+6 V4(1+%)2+4-2 √+4%+42+y 故、 OA S2 OB SOA 法二：不坊设A(x,y),B(,),易知，当x=为时，由对称性可知，D8 故设<x<, 「xx+2yoy-4=0 联立 y=2 解得x= 4-40,y=2, 试卷第10页，共13页 联立 xx+2yy-4= 0,解得4+4，乃=-2， y=-2 Xo 若x=0,则y0=1,x=±√2，x=±42， 由对称性，不妨取。=√2，为=4W2,则A(0,2),B(4W2,-2),M(V2,1, 22 an∠BOM=V5,tam∠B0M=24。=V2,所以∠AOM=∠BOM, 125 24 同理，当x2=0时，∠AOM=∠BOM, 城如苦器诗 当≠0时，则6a,=立=，2x 七 又金+发=1，所以后+2=4， 42 6_-0 所以tan∠AOM= kon-kou= 2-2y%x +kkom1+,。一x0 2-2y%x0 =-5+28-20=-4-2y%=2 (%-2) x(y%-2)x tan∠BOM= kov-koB= x2+2% x+2y+2y-4+2y=2 1+ko'kos1+h× x(y%+2) xo(yo+2)xo' (2+2% OA 则tan∠AOM=tan∠BOM,即∠AOM=∠BOM,所以 S-JOAJIOMs小in∠AOM S2 OB OM sin∠BOM OB -2 y=-2 18.设等差数列a3的公差为d,且d>l,令2，=心+”，且3a,=3+a,4+4,+4+h+h+b=21. a (1)求数列{a}的通项公式： 2)设不等式(-)1≤，2 对任意正整数n均成立，求实数入的取值范围. 2an+1 试卷第11页，共13页 13 【分析】(1)报据等差数列通项公式代入化简可得4=d,选而可得么，，代入即可解得d=3,进而可 得an=3n; (2)构造数列{cn},则(-1)+≤cn,判断数列单调性，分n为奇数和n为偶数两种情况讨论数列{cn}的最 小项，即可得解。 【解析】(1)由数列{an}为等差数列，且3a2=3a,+a, 则3a+3d=4a+2d,则41=d,所以an=a+(n-1)d=nd, 4”-"又a+0+4+h+6+6=2L,即d+21+31+2+3+4=21, 则bn= 解得d=3或d又d>1,到d=3。所以a,=3a (8分) 2)由(1)得a,=3,又（←5,2 2” 2a,+16n+1' 2" 2m+2(6n-5)2” 设c.6m+则c-c,6m+76n+1(6m+106n+7刀 (6n-5)2” 又n∈N,所以CH-Cn= >0恒成立， (6n+1)(6n+7) 则数列{cn}为单调递增数列： 当”为奇数时，15c,恒成立，即1≤G- 7 当n为锅数时，-月5C,恒成立，即-156= 13,1、4 3 4 综上所述 (17分) 13 19已知双面线C:若茶=a>0办0的窝心李为，且过点B,4,浙近线分别为1,4，其中4经过 第一、三象限 (1)求双曲线C的渐近线4，l2的方程； (2)设动点P(m,n)在第一象限内，且不在直线l,l2上，过点P分别作l,l2的平行线，交y轴于M,N两点， 且OM.ON=1,O为坐标原点. ①求动点P的轨迹方程： ②求DOAP面积的最小值. 19.(1)l4:y=2x,l2:y=-V2x; 2)①y2-2x=1(x>0,y>0):②2. 试卷第12页，共13页 【分新】(1)由e=C=5,以及c2=+b,得到25，从而写出浙近线方程： (2)①根据题意，写出1，的直线方程，从而得到M，N,再根据OMON=1得到轨迹方程： ②利用面积公式，分析出点P到直线OA的距离最短时，面积最小，再通过直线与曲线的位置关系解决曲线 中的最值问题. 【解折】(1)由e=匠+6V5,得万. a 因此，4：y=V2x,h2:y=-V2x; (3分) (2)①过点P且与l平行的直线方程为：y-n=√2(x-m), 过点P且与l2平行的直线方程为：y-n=-√2(x-m), 求得M(0,n-√2m,N0,n+√2m,0M.ON=n2-2m2=1, 所以动点P的轨迹方程为y2-2x2=1(x>0,y>0), (9分) VA ②在DOAP中，因为OA=5, 所以要使☐OAP的面积最小，只要使，点P到直线OA的距离最短， 设过点P且与OA平行的直线l3:y= 3+1, 又因为点A(3,4)在P点轨迹的渐近线y=√2x的下方， 所以当直线l与曲线y2-2x2=1(x>0,y>0)相切的时候，点P到直线OA的距离最短， y2-2x2=1 联立 3+·消去y移2241x-9)E0,A576+7G)=0,解得1=± 4 3 时，求得P(-2,-3),不满足条件， 3 当1=5时，求得P(2,3),符合题意，易求得点P(2,3)到直线0A的距离为5，且OA=5, 因此，OAP面积的最小值为 (17分) 试卷第13页，共13页