3.1.2 圆的有关概念（第2课时）（教学课件）数学新教材浙教版九年级上册

该初中数学课件聚焦“不在同一直线上的三个点确定一个圆”及外接圆、外心等核心概念，通过合作学习从过1点、2点到3点作圆的探究活动，引导学生逐步理解圆心位置规律，搭建从具体操作到抽象定理的学习支架。 其亮点在于以动手操作和问题驱动培养数学核心素养，如通过尺规作图探究外心位置发展几何直观，结合铜镜修复实例运用勾股定理提升推理能力。采用探究式教学，课堂小结系统梳理定义与性质，帮助学生构建知识网络，教师可借助实例提升教学效率。

3.1.2圆的有关概念 （第2课时） 第三章 圆的基本性质 浙教版（新教材）·九年级上册 学 习 目 标 1 2 3 理解 “不在同一直线上的三个点确定一个圆” 这一基本定理，掌握过不在同一直线上三点作圆的作图原理与方法。 能准确区分外接圆、内接三角形、外心的定义，牢记三角形外心是三条边垂直平分线的交点，清楚外心到三角形三个顶点的距离相等。 会独立画出任意三角形的外接圆，能利用线段垂直平分线的性质判断、寻找三角形的外心，并简单运用外心性质解决基础几何计算题。 合作学习 探究活动1：过 1 个点作圆 操作：在草稿纸上任取一点A，尝试画出经过点A的圆。 小结：过一点可以作无数个圆，圆心为平面内除A外任意一点，半径为圆心到A的距离。 思考：圆心可以取哪些位置？能画出多少个满足条件的圆？ 3 合作学习 探究活动 2：过 2 个点作圆 操作：取两点A、B，画出经过A、B的圆。 小结：过两点可以作无数个圆，圆心集中在两点连线的垂直平分线上。 思考：(1)圆心到A、B的距离需要满足什么关系? A B 思考：(2)所有符合条件的圆心分布在哪条直线上?能画多少个圆? 4 合作学习 探究活动 3：过不在同一直线上的三个点作圆 已知：点A、B、C不在同一条直线上，求作经过A、B、C的圆。 A B 步骤1：分析圆心满足的条件 ①圆过A、B⇒圆心在AB垂直平分线上； ②圆过B、C⇒圆心在BC垂直平分线上； 同时满足两个条件：圆心为两条垂直平分线的交点O。 C 5 合作学习 探究活动 3：过不在同一直线上的三个点作圆 已知：点A、B、C不在同一条直线上，求作经过A、B、C的圆。 A B 步骤2：动手作图 1.连接AB、BC; 2.分别作线段AB、BC的垂直平分线，交于点O; 3.以O为圆心，OA长为半径画圆，☉O即为所求。 C O 6 合作学习 探究活动 3：过不在同一直线上的三个点作圆 已知：点A、B、C不在同一条直线上，求作经过A、B、C的圆。 A B 步骤3：深度思考 1.两条垂直平分线是否一定会相交？(A、B、C不共线，AB、BC不平行，垂线必相交) 2.交点唯一吗？能作出几个同时过A、B、C的圆? 3.等量关系：OA、OB、OC存在怎样的数量关系?为什么? C O 7 新知探究 知识总结 不在同一条直线上的三个点确定一个圆。 探究拓展：三点共线的特殊情况 1.操作：取在同一直线上的三点A、B、C，作AB、BC的垂直平分线； 2.观察：两条垂直平分线位置关系(互相平行，无交点)； 3.结论：在同一直线上的三点无法画出一个同时经过三点的圆。 探究总结 1.过一点：无数圆； 2.过两点：无数圆，圆心在两点连线垂直平分线上； 3.过不共线三点：有且只有一个圆； 4.过共线三点：不存在这样的圆。 典例1 已知Rt△ABC，∠C=90° 典例分析 (1)求作一点O，使以O为圆心的圆经过A、B、C三点(要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明) (2)若AC为8，BC为6，求☉O的半径. （2）∵Rt△ABC，∠C=90°，AC=8，BC=6 ∴AB= 练一练 如图，考古学家发掘出一面残缺的圆形铜镜，为了对其进行修复，需要 先确定铜镜原本的大小.已知圆形铜镜的一条弦AB的垂直平分线交弧 AB于点C，交弦AB于点D，测得AB=16cm，CD=2cm. 典例分析 (1)修复师需要先找到这面铜镜所在圆的圆心，才能进行后续的修复工作，请你确定该圆的圆心(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹) (1)作弦AB外另一条弦的垂直平分线，与CD的延长线的交点即为圆心； 练一练 如图，考古学家发掘出一面残缺的圆形铜镜，为了对其进行修复，需要 先确定铜镜原本的大小.已知圆形铜镜的一条弦AB的垂直平分线交弧 AB于点C，交弦AB于点D，测得AB=16cm，CD=2cm. 典例分析 解：连接OA，设该圆的半径为rcm， ∵CD是AB的垂直平分线， AD=AB=8cm，OD=(r-2)cm， 在Rt△ADO中，由勾股定理得：OA²=AD²+OD²，即r2=8²+(r-2)²，r2=64+r2-4r+4，4r=68，解得r=17. 答：这面铜镜所在圆的半径为17cm. (2)求这面铜镜所在圆的半径. 新知探究 探究活动 3：概念辨析探究 完成概念填空 (1)经过三角形三个顶点的圆，叫做三角形的 ; (2)外接圆的圆心叫做三角形的 ; (3)相对地，这个三角形叫做圆的 . 动手操作：在草稿纸上画出△ABC，用尺规作出经过A、B、C三点的圆。 内接三角形 外接圆 外心 三角形的外心是三条边垂直平分线的交点。 典例分析 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(0，3)、点B(2，1)、点C(2，-3)，则经画图操作可知，△ABC的外心坐标应是 。 典例2 （-2，-1） 先由△ABC的外心即是三角形三边垂直平分线的交点,所以在平面直角坐标系中作AB与BC的垂线,两垂线的交点即为△ABC的外心. 典例分析 如图，在平面直角坐标系中，A(0，-2)，B(2，0)，C(2，2)，则△ABC的外心坐标为 。 练一练 （-1，1） 典例分析 如图，在正方形网格图中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点A(0，2)，B(4，2)，C(6，0)，解答下列问题： 典例3 (1)请在图中确定该圆弧所在圆心D点的位置，则D点坐标为 。 (2)连结AD，CD，求出∠ADC的度数. (2)如图所示，连接AC. AD²=2²+4²=20，CD²=2²+4²=20，AC²=2²+6²=40，AC²=AD²+CD². ∠ADC=90°. （2，-2） 典例分析 如图，在平面直角坐标系中，一段圆弧经过格点A、B、C(小正方形的边长均为1). 练一练 (1)请求出该圆弧所在圆P的圆心坐标和半径；(2)判断点M(-1，1)与☉P的位置关系. （2，-1），半径为 (2)解：点M(-1，1)，PM=, ∴点M在☉P内. 知识与技能 核心定理：不在同一直线上的三个点确定一个圆 1.三个基础定义 外接圆：经过三角形三个顶点的圆； 外心：三角形外接圆的圆心； 内接三角形：相对地，这个三角形叫做圆的内接三角形。 2.外心的本质与性质 位置：三角形三条边垂直平分线的交点(只需作两条边垂直平分线即可找到)； 核心性质：外心到三角形三个顶点距离相等(OA=OB=OC，均为外接圆半径)。 课堂小结 课堂练习 1.下列说法错误的是( ) A.半径相等的两个半圆是等弧 B.面积相等的两个圆是等圆 C.长度相等的两条弧一定是等弧 D.三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等 2.在Rt△ABC中，两直角边分别为6和8，那么这个三角形的外接圆直径是（ ） A.5 B.4 C.10 D.8 课堂练习 3.如图的方格纸中，每个方格的边长为1，A、O两点皆在格线的交点上，今在此方格纸格线的交点上另外找两点B、C，使得△ABC的外心为O，则BC的长度为( ) A .4 B .5 C . D . 课堂练习 4.如图是一块被打碎的圆形玻璃，若想要去店里配到一块与原来大小一样的圆形玻璃，应该带去店里的碎片是 。 ② 课堂练习 5.如图是一位考古学家发现的一块古代车轮的碎片. (2)圆的周长C=110π, ∴车轮滚动一圈直走的路程是110π cm. (1)请你帮他找出这个车轮所在圆环的圆心并还原画出这个车轮的圆环图(尺规作图，保留作图痕迹，不用写作法) (2)在(1)的条件下，若测量出车轮所在的圆环外径(外圆的直径)是110cm，求车轮滚动一圈直走的路程(结果保留π) 课堂练习 6.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC， (1)在AB边上找一点O，以点0为圆心，且过A、D两点作☉O(不写作法，保留作图痕迹). (2)在(1)的条件下，若AB=6，BD=,，求☉O的半径 (2)解：连接OD，设☉O的半径为x，即OA=OD=x， ∵AD平分∠BAC，∴∠CAD=∠BAD, ∵OA=OD，∴∠BAD=∠ADO，∴∠ADO=∠CAD, ∵OD//AC，∴∠ODB=∠C=90°, OD²+BD²=OB²，即：x2+()²=(6-x)²，解得：x=2。 $