3.7 扇形（第1课时）（教学课件）数学新教材苏科版九年级上册

该初中数学课件聚焦“扇形”核心内容，系统讲解弧长公式\(l = \frac{n\pi R}{180}\)和扇形面积公式\(S_{扇形} = \frac{n\pi R^2}{360}\)、\(S_{扇形} = \frac{1}{2}lR\)的推导与应用。通过折扇扇面的问题情境导入，从圆的周长和面积出发，逐步探究圆心角与弧长、面积的关系，构建从整体到部分的知识支架。 其亮点在于以问题驱动探究，通过归纳推导培养数学思维，结合例题、巩固练习及变式问题提升应用能力。注重公式关联与易错提醒，帮助学生用数学语言表达实际问题，既提升学生的抽象能力和创新意识，也为教师提供系统的教学资源，助力高效教学。

3.7 扇形（1） 第三章 圆 学 习 目 标 1 2 理解弧长公式 的推导过程，并能熟练运用公式进行相关计算． 理解扇形面积公式和，并能灵活运用． 3 能运用公式解决与扇形相关的实际问题（如求阴影部分面积）． 问题情境 折扇的扇面可以看作由什么图形组成？ 如果老师想知道这把折扇展开后扇面边缘这段弧的长度，以及扇面部分（阴影部分）的面积，该如何计算呢？ 概念引入 . 如图，一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫作扇形（sector）． 如图，当圆的半径 R 确定时，扇形的弧长 随圆心角度数 n 的变化而变化，它们之间有怎样的数量关系？ O R A B n° l 新知探究 整个圆对应圆心角360°，周长2πR． O 180° O 90° O 45° O n° 弧长＝·2πR 弧长＝·2πR 弧长＝·2πR 弧长＝·2πR 新知归纳 ． 在半径为R的圆中，弧长l与所对的圆心角n之间有如下关系： O R A B n° l 新知探究 当圆的半径 R 确定时,扇形的面积与扇形的圆心角度数之间有什么关系？ O 180° O 90° O 45° O n° S扇形＝·π S扇形＝·π S扇形＝·π S扇形＝·π 新知归纳 在半径为R的圆中，扇形的面积S扇形与所对的圆心角n之间有如下关系： ． O R A B n° l ． 两个公式之间有什么关联？ 类似于哪个公式呢？ 新知探究 O R A B n° l R R R． 把扇形看作“曲边三角形”．把弧长 l 看作三角形的“底边”，把半径 R 看作三角形的“高”． ． 例题讲解 例1 如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC＝60°．已知 ⊙O 的 半径为 2．求劣弧 的长． 解：如图，连接 OB，OC，则∠BOC为 所对的圆心角． ∵ ∠BAC＝60°， ∴ ∠BOC＝2∠BAC＝2×60°＝120°． ∴ 的长 l＝＝π． C A B O 运用弧长公式需要知道哪些条件？ 例题讲解 O C A B D 例2 如图，折扇打开后，OA、OB的夹角为120°，OA 的长为30 cm，AC的长为20 cm．求图中阴影部分的面积 S． 解：根据题意，得S＝S扇形OAB－． ∵ S扇形OAB＝ (cm2)， S扇形OCD＝ (cm2)， ∴ S阴影 ＝300π－ (cm2)． 同心圆环类扇形阴影面积＝大面积扇形面积－小面积扇形面积． 新知巩固 解：l8π． 答：这条弧的长为8π． 1．已知圆弧所在圆的半径为24，所对的圆心角为60°．求这条弧的长． 2．已知75°的圆心角所对的弧长为5π．求这条弧所在圆的半径． 解：设这条弧所在圆的半径是， 则 ＝5π，解得：R＝12． 答：这条弧所在圆的半径为12． 新知巩固 3．已知扇形的面积是6π，半径为4，求这个扇形的弧长． 解：∵ lR，∴ 6π＝， 解得 ＝3π． 答：这个扇形的弧长为3π. 4．已知扇形的圆心角为120°，弧长为20π．求这个扇形的面积． 解：设这条弧所在圆的半径是．则 ＝20π，解得：R＝30． S扇形＝ ． 答：这个扇形的面积为300π． 讨论归纳 公式 适用条件 注意点 ​ R 弧长与扇形面积公式该如何选择使用？有哪些注意点？ 已知圆心角n、半径R，求弧长 已知圆心角n、半径R，求面积 已知 弧长 l 、半径R，求面积 没有角度 ①公式中的n表示圆心角(不能直接带圆周角)，不带单位； ②分清分母：弧长分母 180，角度形式扇形面积分母360． 探究交流 如图，半圆的直径AB＝40，C、D是半圆的三等分点．求弦AC， AD与围成的阴影部分的面积． 分析： (1)阴影部分的边界由哪几部分组成？ (2)由 C、D是半圆的三等分点，可以得 到哪些结论？ (3)能否将阴影部分分割成为规则图形？ 探究交流 解：连接OC、OD、CD． ∵ ， ∴ ∠ADC∠DAB． ∴ CD∥AB． ∴ △OCD和△ACD同底等高， 即 ． ∴ ． 如图，半圆的直径AB＝40，C、D是半圆的三等分点．求弦AC， AD与围成的阴影部分的面积． 不规则弧形阴影面积常利用平行线等积替换，转化为标准扇形计算． 能力提升 1．如图，OA、OB是⊙O的两条半径，以OA为直径的⊙O1交OB于点C． 与的长相等吗？为什么？ 解：连接O1C，设∠AOB＝n°，O1A的长为R， 由题意，得∠AO1C＝(2n)°，OA的长为2R， ∵ ＝． ∴ 与的长相等. O A B C O1 注意：弧长相等不一定是等弧，等弧的特征是能够完全重合. 能力提升 2．如图，AB是⊙O的切线，切点为B，AO交⊙O于点C，且AC＝OC. (1) 求的度数； 解：(1)连接OB、BC． ∵ AB是⊙O的切线，切点为B， ∴ OB⊥AB． ∵ AC＝OC， ∴ BC＝OA＝OC， ∴ OB＝BC＝OC， ∴ △OBC是等边三角形， ∴∠BOC＝60°， ∴ 的度数的为60°． O A B C 能力提升 O A B C 解：(2)由(1)得AC＝OC＝OB＝5，OB⊥AB 在Rt△OBA中，由勾股定理得， AB＝＝＝5． S阴影＝－S扇形OBC ＝ ＝． 2．如图，AB是⊙O的切线，切点为B，AO交⊙O于点C，且AC＝OC. (2)已知⊙O的半径为5，求图中阴影部分的面积． 3．在直径为 3m 的圆柱形油罐内装进一些汽油后，其横截面如图．已知汽油最大深度为 1.5m．求截面上有汽油部分的面积． 能力提升 解：∵ ⊙O的直径为 3m， ∴ ⊙O的半径为1.5m． ∵ 汽油最大深度为 1.5m， ∴ 油面恰好通过圆心． 即 有汽油的部分为半圆． ∴ S汽油部分＝＝πm2． A B O 变式 若油深变为0.75m (小于半径)，如何求解？ 深度拓展 解：如图，连接OA、OB，过O点作OC⊥AB，交AB于点C， 交⊙O于点D． 由垂径定理，得 AB＝2AC，＝2． ∵ ⊙O的直径为3m，∴ OA＝OD＝1.5m． ∵ CD＝0.75m，∴ OC＝OD－CD＝0.75m． ∵ 在Rt△AOC中， OA＝2OC，∴ ∠OAC＝30°， ∴ ∠AOC＝60°，AC＝OC＝m， ∴ ∠AOB＝120°，AB＝m． ∴ S汽油部分＝S扇形OAB－S△OAB ＝×0.75 ＝m2． A B O C D 弓形的面积＝扇形面积－三角形面积 若大于半径呢？ 课堂小结 3.7 扇形（1） 公式：①弧长；②；③R ． 常用解题方法：①直接套用公式：弧、扇形的相关计算； ②和差法：大小扇形相减求阴影； ③割补/等积变换：不规则弧形面积转化为扇形． 易错提醒： ①公式中n是不带单位的； ② n一定是圆心角，切勿误用圆周角． 感谢聆听！ $