专题11 二次函数与一元二次方程(11种题型）（重难点讲义）数学新教材人教版九年级上册

本初中数学讲义聚焦二次函数与一元二次方程的核心关联，系统梳理二次函数与x轴交点个数和方程根的个数关系，构建从判别式判断根的情况到利用图像求近似解的学习支架，衔接二次函数图像性质与方程解法的前后知识。 资料以数形结合思想为主线，通过11类题型的典例与变式，引导学生用数学眼光观察图像交点，用数学思维推理根的情况，如由图像确定根的个数、用表格数据求近似根，课中助力教师分层教学，课后通过巩固强化训练帮助学生查漏补缺。

专题11 二次函数与一元二次方程 1.总结出二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，表述何时方程有两个不等的实根、两个相等的实数根和没有实根； 2.会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解. 3.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系. 4.通过观察二次函数图象与x轴的交点个数，讨论一元二次方程根的情况，进一步体会数形结合思想. 重点、难点 重点：方程与函数之间的联系，会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解. 难点：二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系. 一、二次函数与一元二次方程 二、利用二次函数的图像，求一元二次方程的近似解。 1.作出函数的图像，并由图像确定方程的解的个数 2.由图像与y＝h的交点位置，确定交点横坐标的范围。 3.观察图像，求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图像求得的根一般是近似的）。 题型01由二次函数图象确定相应方程根的情况 【典例】已知抛物线的图象如图所示，则方程的实数根的情况是（   ） A．方程没有实数根 B．方程的实数根情况不确定 C．方程有两个相等的实数根 D．方程有两个不相等的实数根 【变式】若令抛物线在轴的下方，则所要满足的条件是（   ） A．， B．， C．， D．， 题型02由二次函数图象与坐标轴的交点情况求字母的值 【典例】已知二次函数y＝2x2+bx﹣1（b为常数）． （1）若抛物线经过点（1，2b），求b的值； （2）求证：无论b取何值，二次函数y＝2x2+bx﹣1图象与x轴必有两个交点； （3）若平行于x轴的直线与该二次函数的图象交于点A，B，且点A，B的横坐标之和大于1，求b的取值范围． 【变式】已知二次函数，为常数． (1)若该二次函数的图象与轴有交点，求的值； (2)若该二次函数的图象与直线有两个交点，求的取值范围； (3)求证：该二次函数的图象不经过原点． 题型03确定x轴与抛物线的截线长 【典例】已知抛物线． (1)求证：无论取任何实数，该抛物线与轴都有公共点； (2)若，抛物线与轴的两个交点分别为，求线段的长． 【变式】如图，抛物线，与直线分别交于A，C和B，D四点，且，，．若点P，Q分别是两抛物线的顶点，且P，Q都在x轴上，则的长是______． 题型04抛物线与x轴交点上的四点问题 【典例】已知，若关于x的方程的解为．关于x的方程的解为．则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式】“数形结合”是一种重要的数学思想方法，它是将抽象的 数量关系与直观的几何图形相结合，通过“以形助数”和“以数解形”实现问题解决．示例：若，（）是关于的一元二次方程的两个根，且，则，，，的大小关系是（        ） A． B． C． D． 题型05根据二次函数图像确定一元二次方程的根 【典例】小明在复习数学知识时，针对“求一元二次方程的解”，整理了以下的几种方法，请你将有关内容补充完整．例题：求一元二次方程的两个解． （1）解法一：选择合适的一种方法（公式法、配方法、分解因式法）求解．解方程：； （2）解法二：利用二次函数图象与坐标轴的交点求解，如图1所示，把方程的解看成是二次函数y= 的图象与x轴交点的横坐标，即x1，x2就是方程的解． （3）解法三：利用两个函数图象的交点求解． ①把方程的解看成是一个二次函数y= 的图象与一个一次函数y= 的图象交点的横坐标； ②画出这两个函数的图象，用x1，x2在x轴上标出方程的解． 【变式】已知关于的二次函数的图象的对称轴与轴的交点的坐标为，如果关于的方程的一个根为，那么该方程的另一个根为____________． 题型06图像法确定一元二次方程的近似根 【典例】下表给出了二次函数的自变量与函数值的部分对应值：那么关于的方程的一个根的近似值可能是（   ） … 1 1.1 1.2 1.3 1.4 … … 0.14 0.62 … A．1.07 B．1.17 C．1.27 D．1.37 【变式】如图，观察函数的图象，可以发现方程在0，1之间有根．取0，1的平均数0.5，当时，，进一步可知这个根在0.5和1之间，则与方程另一根更接近的是（  ） A． B． C． D． 题型07图像法解一元二次不等式 【典例】数形结合是一种重要的数学思想，在中学有着极为广泛的应用，很多复杂的问题结合图形能够快速直观得到结论．在中学阶段，一元二次函数、一元二次方程和一元二次不等式简称为“三个二次”，它们之间有着密切的联系，其中一元二次函数居于核心地位，利用一元二次函数的图象能够很方便地解决很多一元二次方程和一元二次不等式问题． 【特例感知】 如解不等式，我们构造函数，作出它的图象，易得它与x轴的两个交点分别为和，结合图象易得不等式的解集为或，同时易知函数与x轴交点的横坐标和3为方程的两个根． 【理解运用】 结合上述知识请解决下面的问题： (1)不等式的解集为 ； (2)对任意实数b，关于x的一元二次方程恒有两个不等的实数根，求实数a的取值范围． 【变式】若二次函数的图象如图所示，则方程的解是__________；不等式的解集是______________；不等式的解集是________________． 题型08根据交点确定不等式的解集 【典例】如图，抛物线与直线交于A，B两点，它们的横坐标分别为和4，则不等式的解集是(   ) A． B． C．或 D． 【变式】二次函数的部分图象如图所示，其对称轴为直线，若该抛物线与轴的一个交点为，则由图象可知，不等式的解集是______． 题型09二次函数与一次函数的综合运用 【典例】如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴交于点，与y轴交于点，抛物线经过点A，B，且对称轴是直线． (1)求抛物线的解析式； (2)在y轴上找一点Q（不与点O重合），使为等腰三角形，请直接写出点Q的坐标； (3)点P是直线l下方抛物线上的一动点，过点P作轴，垂足为C，交直线l于点D，过点P作，垂足为M．求的最大值及此时P点的坐标． 【变式】如图，抛物线与轴交于，两点（点位于点的右边），与轴交于点，连接，是抛物线上的一动点． (1)求抛物线对应的函数表达式以及，两点的坐标； (2)若点的坐标为，求四边形的面积； (3)若点位于第四象限，过点作，求的最大值． 题型10由抛物线与线段的交点个数确定字母的取值范围 【典例】在平面直角坐标系内，已知点，点都在直线上，若抛物线与线段有两个不同的交点，则的取值范围是（      ） A． B． C．或 D． 【变式】在平面直角坐标系中，已知抛物线，则： （1）该拋物线的对称轴为直线______； （2）已知该抛物线与轴有交点，现有点，若线段与拋物线只有一个公共点，结合函数图像，则的取值范围为______． 题型11由几何变换后得到交点个数确定字母的取值范围 【典例】将抛物线向下平移m个单位长度后得到新抛物线，若新抛物线与x轴有公共点，则m的取值范围是___________． 【变式】已知抛物线的图象如图①所示，现将抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象其余部分不变，得到一个新图象如图②，当直线与图象②有多于2个公共点时，则b的取值范围为__ ． 【巩固训练】 1．抛物线经过，对称轴直线，关于的方程在的范围有实数根，则的范围（    ） A． B． C． D． 2．二次函数自变量与函数值的对应关系如下表，一元二次方程的根中较大的根的范围是（    ） 0 0.5 1 1.5 0.13 0.38 0.53 0.58 0.53 0.38 A． B． C． D． 3．下表给出了二次函数中的部分对应值，估计方程的一个解的取值范围是 ． … 1 … … 3 … 4．如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则不等式的解集是 ． 5．如图，直线交轴于点，交轴于点，抛物线过，两点，与轴相交于另一点，求点的坐标． 6．已知抛物线，与轴的交点，（点在点的左侧）． (1)若时，求点，的坐标及线段长． (2)若，求的值及抛物线的对称轴． 7．二次函数的图象如图所示，根据图象回答下列问题： (1)写出方程的根； (2)写出不等式的解集； (3)若方程有且只有一个实数根，写出的值． 8．阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容．请认真阅读，并完成相应任务． 利用数形结合思想巧解二次函数问题思路点拨：在解决二次函数问题时，我们常利用数形结合思想将二次函数中的直线与抛物线相交问题转化为方程解决，即将“形”的形式转化为“数”的形式解决． 例：已知抛物线 （a，b为实数，）． ①若时，抛物线与直线有两个交点，设两个交点分别为，．求证：． 证明：当时，抛物线的函数解析式为 ∵抛物线与直线有两个交点，两个交点分别为，， ∴， 整理，得， ∴ ▲ ， ■ ， ∴． ②若，，直线与抛物线相交于两点，其中一个交点的坐标为，求p的值． 解：…… 任务： (1)直接写出研究报告问题①解答过程中“▲”处空缺的内容：　　　　　　（需化简）；“■”处空缺的内容：　　　　　　． (2)补全问题②的解答过程． (3)若点和点都在抛物线上，则　　　　　　（用含a的代数式表示） 9．如图，已知抛物线过点A与，与y轴交于点，点D在抛物线上，且直线轴．    (1)求该抛物线的函数表达式和顶点坐标； (2)求的长． 10．在平面直角坐标系中，已知直线与轴分别交于点, 抛物线经过点． （1）求该抛物线的解析式及顶点坐标； （2）垂直于轴的直线与直线交于点，与抛物线相交于点、．若，结合函数图象，求到的取值范围． 【强化训练】 1．在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．当时， D．是关于x的一元二次方程的一个根 2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴只有一个交点M，与平行于x轴的直线l交于A、B两点．若，则点M到直线l的距离为________． 3．如图，二次函数的图像与y轴交于点C，点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称，一次函数的图像经过该二次函数图像上的点及点B，则满足的x的取值范围是 ______________ ． 4．已知二次函数的y与x的部分对应值如表： x 1 5 y 0 5 9 5 下列结论：①；②若点，均在二次函数的图象上，则；③当时，y的取值范围为；④满足的x的取值范围是．其中正确结论的序号为__________． 5．函数的自变量的取值范围为全体实数，其中部分的图象如图所示，对于此函数有下列结论： ①函数图象关于轴对称；②函数既有最大值，也有最小值；③当时，随的增大而增大；④当时，关于的方程有个实数根．其中正确的结论有_________（填序号）．    6．在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴有两个公共点． (1)求的取值范围； (2)若取满足条件的最小的整数， ①求这个二次函数的解析式，并写出此时二次函数的顶点坐标； ②当时，函数值的取值范围是，求的值； ③将此抛物线平移，使其图象经过原点．设平移后的图象对应的函数表达式为，当时，随的增大而减小，求的取值范围． 7．在平面直角坐标系中，抛物线． (1)①证明：抛物线与轴恒有两个交点； ②求出抛物线与轴交点的坐标（用含的式子表示）； (2)过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点（，不重合）． ①若，，求的长； ②若当，的长随的增大而增大，求的取值范围． 8．定义：我们规定二次函数（且）与（且）互为“交叉函数”，它们的交点叫做“交叉点”． (1)求证：互为“交叉函数”的两个二次函数有且只有一个“交叉点”． (2)二次函数与它的“交叉函数”与y轴分别交于B、C两点，它们的“交叉点”为A点，若是以为底边的等腰直角三角形，求这两个函数的解析式． (3)二次函数与它的“交叉函数”交x轴于不同的四点，且四个交点中任意相邻两点间的距离相等，若一次函数与它们两个二次函数共有3个不同的交点，求k的值或者范围． 9．已知抛物线与x轴的交点分别为，． (1)求一元二次方程的两个根； (2)设抛物线与轴交于点，作轴交抛物线于点，求线段的长； (3)若点，在抛物线上，你能比较出和的大小吗？若能，请比较出大小；若不能，请说明理由． 10．在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点． (1)求该抛物线所对应的函数表达式； (2)将抛物线向上平移个单位长度后与轴交于M，N两点，若，求的取值范围； (3)当时，抛物线的最大值和最小值的差为，求的值． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11 二次函数与一元二次方程 1.总结出二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，表述何时方程有两个不等的实根、两个相等的实数根和没有实根； 2.会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解. 3.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系. 4.通过观察二次函数图象与x轴的交点个数，讨论一元二次方程根的情况，进一步体会数形结合思想. 重点、难点 重点：方程与函数之间的联系，会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解. 难点：二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系. 一、二次函数与一元二次方程 二、利用二次函数的图像，求一元二次方程的近似解。 1.作出函数的图像，并由图像确定方程的解的个数 2.由图像与y＝h的交点位置，确定交点横坐标的范围。 3.观察图像，求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图像求得的根一般是近似的）。 题型01由二次函数图象确定相应方程根的情况 【典例】已知抛物线的图象如图所示，则方程的实数根的情况是（   ） A．方程没有实数根 B．方程的实数根情况不确定 C．方程有两个相等的实数根 D．方程有两个不相等的实数根 【答案】D 【分析】本题考查抛物线与轴的交点、根的判别式，由图象可知，抛物线与轴有两个交点，即可得方程有两个不相等的实数根． 【详解】解：由图可得：抛物线与轴有两个交点，即可得方程有两个不相等的实数根． 故选：D． 【变式】若令抛物线在轴的下方，则所要满足的条件是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数图象开口方向，与轴交点的判定方法是解题的关键． 根据抛物线在轴的下方，则开口向下，抛物线与无交点，即，由此即可求解． 【详解】解：∵抛物线在轴的下方， ∴抛物线的开口向下，且与无交点， ∴， 故选：A ． 题型02由二次函数图象与坐标轴的交点情况求字母的值 【典例】已知二次函数y＝2x2+bx﹣1（b为常数）． （1）若抛物线经过点（1，2b），求b的值； （2）求证：无论b取何值，二次函数y＝2x2+bx﹣1图象与x轴必有两个交点； （3）若平行于x轴的直线与该二次函数的图象交于点A，B，且点A，B的横坐标之和大于1，求b的取值范围． 【答案】（1）b＝1；（2）见解析；（3）b＜﹣2． 【分析】（1）把点（1，2b）代入抛物线解析式即可得解； （2）计算判别式的值得到△=b2+8，利用非负数的性质得到△＞0，然后根据判别式的意义得到结论； （3）将平行于x轴的直线y=m与抛物线联立得出关于x的方程，由其交点的横坐标之和大于1可得出有关b的不等式，即可求解． 【详解】解：（1）把点P（1，2b）代入抛物线y＝2x2+bx﹣1中，得 2+b﹣1＝2b， 解得：b＝1． （2）证明：∵△＝b2﹣4×2×（﹣1）＝b2+8， ∵无论b取何值，b2≥0， ∴b2+8＞0， ∴二次函数y＝2x2+b x﹣1图象与x轴必有两个交点． （3）设平行于x轴的直线为y＝m， ∵直线y＝m与该二次函数的图象交于点A，B， ∴， 整理得，2x2+bx﹣1﹣m＝0， 若x1，x2是方程2x2+bx﹣1﹣m＝0的两根，则x1，x2是直线与抛物线交点A，B的横坐标， ∴， 由题意得，，解得，b＜﹣2． ∴b的取值范围是b＜﹣2． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质；要求学生会利用判别式判断抛物线与x轴的交点情况以及灵活运用根与系数的关系解题． 【变式】已知二次函数，为常数． (1)若该二次函数的图象与轴有交点，求的值； (2)若该二次函数的图象与直线有两个交点，求的取值范围； (3)求证：该二次函数的图象不经过原点． 【答案】(1)； (2)； (3) 证明：当时，， 二次函数的图象不经过原点． 【分析】（1）根据根的判别式进行求解即可； （2）由题意得到函数的最小值小于，函数的最小值为，即，即可得到答案； （3）当时，，二次函数的图象恒在轴上方，故不经过原点． 【详解】（1）解：二次函数的图象与轴有交点， ， ， 又， ， 解得； （2）解：二次函数中，， 二次函数的图象开口向上， 二次函数的图象与直线有两个交点， 函数的最小值小于， 函数的最小值为， 即， 解得； （3）解：略． 题型03确定x轴与抛物线的截线长 【典例】已知抛物线． (1)求证：无论取任何实数，该抛物线与轴都有公共点； (2)若，抛物线与轴的两个交点分别为，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程，抛物线与轴的交点问题，解一元二次方程，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据一元二次方程根的判别式证明即可； （2）当时，求出的两个根，相减后取绝对值即可． 【详解】（1）证明：当时，， ， 无论取任何实数，，即， 关于的一元二次方程一定有实数根， 无论取任何实数，该抛物线与轴都有公共点； （2）解：当时，抛物线为，当时，， 解得， ． 【变式】如图，抛物线，与直线分别交于A，C和B，D四点，且，，．若点P，Q分别是两抛物线的顶点，且P，Q都在x轴上，则的长是______． 【答案】 【分析】根据题意求出的长，根据对称性可求出点A到抛物线的对称轴的距离为，点D到抛物线的对称轴的距离为，据此可得答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴； ∵抛物线，与直线分别交于A，C和B，D四点， ∴点A和点C关于抛物线的对称轴对称，点B与点D关于抛物线的对称轴对称， ∴点A到抛物线的对称轴的距离为，点D到抛物线的对称轴的距离为， ∴． 题型04抛物线与x轴交点上的四点问题 【典例】已知，若关于x的方程的解为．关于x的方程的解为．则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把看做是直线与抛物线交点的横坐标，把看做是直线与抛物线交点的横坐标，画出对应的函数图象即可得到答案． 【详解】解：如图所示，设直线与抛物线交于A、B两点，直线与抛物线交于C、D两点， ∵，关于x的方程的解为，关于x的方程的解为， ∴分别是A、B、C、D的横坐标， ∴， 故选B．    【点睛】本题主要考查了抛物线与一元二次方程的关系，正确把一元二次方程的解转换成直线与抛物线交点的横坐标是解题的关键． 【变式】1．“数形结合”是一种重要的数学思想方法，它是将抽象的数量关系与直观的几何图形相结合，通过“以形助数”和“以数解形”实现问题解决．示例：若，（）是关于的一元二次方程的两个根，且，则，，，的大小关系是（        ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程和二次函数的关系；利用函数图像，将方程转化为抛物线与直线的交点问题，通过抛物线的开口方向和与轴的交点位置，判断根的分布范围． 【详解】解：如图 设，， ，是与轴的交点，且抛物线开口向上， 当或时，；当时，． 方程即求与抛物线的交点， ， 交点位于和． 又、为方程两根，且， ． 故选：C． 题型05根据二次函数图像确定一元二次方程的根 【典例】小明在复习数学知识时，针对“求一元二次方程的解”，整理了以下的几种方法，请你将有关内容补充完整．例题：求一元二次方程的两个解． （1）解法一：选择合适的一种方法（公式法、配方法、分解因式法）求解．解方程：； （2）解法二：利用二次函数图象与坐标轴的交点求解，如图1所示，把方程的解看成是二次函数y= 的图象与x轴交点的横坐标，即x1，x2就是方程的解． （3）解法三：利用两个函数图象的交点求解． ①把方程的解看成是一个二次函数y= 的图象与一个一次函数y= 的图象交点的横坐标； ②画出这两个函数的图象，用x1，x2在x轴上标出方程的解． 【答案】（1）过程见解析，=，=；（2）；（3）①，；②见解析 【分析】（1）利用公式法求解即可． （2）因为表示的是函数与轴交点时的情境，即函数的值为0时，所以把方程的解看成是二次函数的图象与轴交点的横坐标，可以得到答案． （3）①由变形为，因为都是变量的函数，所以，当两个函数的函数值相等，即此时的函数值为两个函数的交点的纵坐标，从而观察图像可以得到交点的横坐标得到答案． ②利用一次函数与二次函数的作图方法在同一直角坐标系中作出图像即可． 【详解】解：（1）解：∵， ∴．∴． ∴原方程的解是=,=. （2）因为求二次函数.与轴交点时，把交点的纵坐标代入函数解析式得到的解是交点的横坐标，所以求方程的解时就可以画出的图像，观察交点的横坐标就是方程的解． 故答案为． （3）因为， 所以，因为都是变量的函数， 建立 考查的两个函数分别是，两个函数的交点的横坐标就是方程的解． 故答案为：与．. 每画出正确函数图象如下： 【点睛】本题考查的是二次函数与一元二次方程，在解答过程中，注意二次函数与一元二次方程之间的联系，并从中择取有用信息解决问题是关键． 【变式】已知关于的二次函数的图象的对称轴与轴的交点的坐标为，如果关于的方程的一个根为，那么该方程的另一个根为____________． 【答案】4 【分析】利用二次函数图象的对称性，方程的两个根关于对称轴对称进行求解即可． 【详解】解：∵二次函数的图象的对称轴与轴的交点的坐标为， ∴对称轴为直线， ∵方程的一个根为， ∴二次函数与x轴的一个交点坐标为，且对称轴为直线， ∴设另一个根为， ∵二次函数图象的对称轴是直线， ∴方程的两个根关于对称， ∴， 解得． 故答案为：4． 题型06图像法确定一元二次方程的近似根 【典例】下表给出了二次函数的自变量与函数值的部分对应值：那么关于的方程的一个根的近似值可能是（   ） … 1 1.1 1.2 1.3 1.4 … … 0.14 0.62 … A．1.07 B．1.17 C．1.27 D．1.37 【答案】C 【分析】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，通过观察表格数据，发现当时，当时，因此函数在和之间与x轴有交点，即方程有一个根在此区间内． 【详解】∵当时，；当时，， ∴方程的一个根在1.2和1.3之间． 观察四个选项，只有选项C符合题意． 故选：C． 【变式】如图，观察函数的图象，可以发现方程在0，1之间有根．取0，1的平均数0.5，当时，，进一步可知这个根在0.5和1之间，则与方程另一根更接近的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由一元二次方程根与系数关系可知两根之和为，结合已知根在0.5与之间，可推知另一根在与之间．再取中点缩小范围，确定另一根更接近． 【详解】解：设方程的两个根为，， ，，， 由一元二次方程根与系数关系可知， 已知在0.5与之间， ， 当x在0.5和1之间时， 另一根在与之间， 取， ， 当时，， 在与之间， 到的距离， 到的距离， 到的距离小于到的距离， 与另一根更接近的是． 题型07图像法解一元二次不等式 【典例】数形结合是一种重要的数学思想，在中学有着极为广泛的应用，很多复杂的问题结合图形能够快速直观得到结论．在中学阶段，一元二次函数、一元二次方程和一元二次不等式简称为“三个二次”，它们之间有着密切的联系，其中一元二次函数居于核心地位，利用一元二次函数的图象能够很方便地解决很多一元二次方程和一元二次不等式问题． 【特例感知】 如解不等式，我们构造函数，作出它的图象，易得它与x轴的两个交点分别为和，结合图象易得不等式的解集为或，同时易知函数与x轴交点的横坐标和3为方程的两个根． 【理解运用】 结合上述知识请解决下面的问题： (1)不等式的解集为 ； (2)对任意实数b，关于x的一元二次方程恒有两个不等的实数根，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据【特例感知】结合图象解答即可； （2）根据一元二次方程恒有两个不等的实数根，得到判别式并化简，即，然后令，看成关于的二次函数，结合图象求解即可． 【详解】（1）解：解不等式，我们构造函数， 作出它的图象如图1所示，可知它与x轴的两个交点分别为和， 结合图象可知不等式的解集为； （2）解：∵对于任意实数，关于的方程恒有两个不等的实数根， ∴方程恒有两个不等实数根对任意的恒成立． ∴对任意的实数恒成立． 令，则有，即． 令作出其函数图象如图2所示， 当时，实数的取值范围为． 【变式】若二次函数的图象如图所示，则方程的解是__________；不等式的解集是______________；不等式的解集是________________． 【答案】 ， 或 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程，利用图象法解不等式，利用函数图象在平面直角坐标系中的位置即可求得自变量的取值范围．根据二次函数图象与x轴的交点和分别在轴上方和下方部分的的取值分别填空即可． 【详解】解：由图象可知： 方程的解是，； 不等式的解集是或； 不等式的解集是． 故答案为：，；或；． 题型08根据交点确定不等式的解集 【典例】如图，抛物线与直线交于A，B两点，它们的横坐标分别为和4，则不等式的解集是(   ) A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系，掌握数形结合思想是解题的关键．根据函数与不等式的关系求解． 【详解】解：由图象得：当时，，即， 故选：D． 【变式】二次函数的部分图象如图所示，其对称轴为直线，若该抛物线与轴的一个交点为，则由图象可知，不等式的解集是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数与不等式组、抛物线与轴的交点．依据题意，由抛物线的对称轴是直线，且与轴的一个交点为，利用对称性可得另一个交点的坐标为，结合抛物线的开口向下，进而可得不等式的解集． 【详解】解：抛物线的对称轴是直线，且与轴的一个交点为， 另一个交点的横坐标为， 即另一个交点的坐标为， 抛物线的开口向下， 不等式的解集是， 故答案为：． 题型09二次函数与一次函数的综合运用 【典例】如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴交于点，与y轴交于点，抛物线经过点A，B，且对称轴是直线． (1)求抛物线的解析式； (2)在y轴上找一点Q（不与点O重合），使为等腰三角形，请直接写出点Q的坐标； (3)点P是直线l下方抛物线上的一动点，过点P作轴，垂足为C，交直线l于点D，过点P作，垂足为M．求的最大值及此时P点的坐标． 【答案】(1) (2)，或 (3)的最大值是，此时的P点坐标是 【分析】（1）根据题意可设抛物线的解析式为，再利用待定系数法求解即可； （2）分情况讨论当为腰时点D坐标即可； （3）由题意易证为等腰直角三角形，即得出．设点P的坐标为，则，从而可求出．再结合二次函数的性质可知：当时，有最大值是，此时最大，进而即可求解． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴． 把A，B两点坐标代入解析式，得， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵  ，   ∴， ∴， ∵为等腰三角形，点Q在y轴上（不与点O重合）， 当时， ， 或； 当时， ， ， ； 综上所述，，或； （3）解：∵在中，， ∴． ∵轴，， ∴． 在中，，， ∴， ∴． 在中，，， ∴， ∴． 设直线l的解析式为， 把A，B两点的坐标代入解析式，得， 解得：， ∴直线l的解析式为； 设点P的坐标为，则， ∴． ∵， ∴当时，有最大值是，此时最大， ∴， 当时，，   ∴， ∴的最大值是，此时的P点坐标是． 【点睛】本题为二次函数综合题，考查利用待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质等知识．掌握利用待定系数法求函数解析式和利用数形结合的思想是解题关键． 【变式】如图，抛物线与轴交于，两点（点位于点的右边），与轴交于点，连接，是抛物线上的一动点． (1)求抛物线对应的函数表达式以及，两点的坐标； (2)若点的坐标为，求四边形的面积； (3)若点位于第四象限，过点作，求的最大值． 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】（1）将点代入抛物线表达式中，得到关于的一元一次方程，解方程即可求出的值，进而得到抛物线对应的函数表达式；令，利用因式分解法解一元二次方程，即可求得，两点的坐标； （2）连接，，，先求出，的长，然后根据，利用三角形的面积公式即可求出四边形的面积； （3）利用待定系数法，由，两点的坐标先求出直线的表达式，然后利用各点坐标求得，过点作轴于点，交于点，在中，根据勾股定理可得，即，设点，则点，，通过求二次函数的最值，即可求出的最大值． 【详解】（1）解：将点代入抛物线表达式中，得： ， 解得：， 抛物线的表达式为：， 令， 解得：，， 即点，的坐标分别为：，， ，； （2）解：如图，连接，，， 点，，，的坐标分别为：，，，， ， ， ， 四边形的面积为； （3）解：设直线的表达式为， 将，代入，得： ， 解得：， 直线的表达式为：， ，， ， ， ， ， 由题意可知：， ， 如图，过点作轴于点，交于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，根据勾股定理可得： ， ， 设点，则点， ， ， 当时，的值最大，最大值为， 的最大值为． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，解一元一次方程，求抛物线与轴的交点坐标，因式分解法解一元二次方程，已知两点坐标求两点距离，三角形的面积公式，待定系数法求一次函数解析式，解二元一次方程组，等边对等角，三角形的内角和定理，垂线的性质，同位角相等两直线平行，两直线平行内错角相等，直角三角形的两个锐角互余，等角对等边，勾股定理，等式的性质，将二次函数化为顶点式，二次函数的图象与系数的关系，二次函数的最值等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键． 题型10由抛物线与线段的交点个数确定字母的取值范围 【典例】在平面直角坐标系内，已知点，点都在直线上，若抛物线与线段有两个不同的交点，则的取值范围是（      ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象点的坐标特征，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．分，两种情况讨论，确定临界点，进而可求的取值范围． 【详解】解：抛物线与线段有两个不同的交点， 令，则， ， ． ①当时， 解得， 故 ②当时， 解得， ． 综上所述：或． 故选：C． 【变式】在平面直角坐标系中，已知抛物线，则： （1）该拋物线的对称轴为直线______； （2）已知该抛物线与轴有交点，现有点，若线段与拋物线只有一个公共点，结合函数图像，则的取值范围为______． 【答案】 1 或 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与x轴交点，数形结合思想； （1）把解析式配方即可求解； （2）首先由抛物线与x轴有交点可确定m的取值范围为；分及两种情况讨论，结合图象即可求解． 【详解】解：（1）∵， ∴拋物线的对称轴为直线； 故答案为：1； （2）∵抛物线与x轴有交点， ∴， 即； 当时，，即抛物线与y轴的交点C的坐标为， ∵点Q的纵坐标也为m， ∴抛物线与y轴的交点与点Q在同一直线上，即轴； ①当分时，如图， 则或时，线段与抛物线只有一个公共点； 解得：或； ∴； 故答案为：1； ②当时，如图， 则或时，线段与抛物线只有一个公共点； 解得：或； ∴； 综上，满足条件的m取值范围为：或． 故答案为：或． 题型11由几何变换后得到交点个数确定字母的取值范围 【典例】将抛物线向下平移m个单位长度后得到新抛物线，若新抛物线与x轴有公共点，则m的取值范围是___________． 【答案】 【分析】此题考查了二次函数图像的平移与几何变换，以及抛物线与轴的交点问题，利用抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减是解题关键． 先根据平移的规律写出抛物线向下平移m个单位长度后的抛物线的表达式，再根据平移后得到的抛物线与轴有公共点可得，由此列不等式即可求出的取值范围． 【详解】解：将抛物线向下平移m个单位长度得， ∵与轴有公共点， ∴， 即， 解得：， 故答案为：． 【变式】已知抛物线的图象如图①所示，现将抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象其余部分不变，得到一个新图象如图②，当直线与图象②有多于2个公共点时，则b的取值范围为_______． 【答案】 【分析】本题考查函数图像与直线的交点问题，先根据顶点式求出抛物线的顶点，在求出翻折后的对称点的坐标，最后借助于图像确定b的取值范围即可，掌握数形结合的思想是解题的关键． 【详解】解：抛物线的解析式为， 抛物线的顶点坐标为， 根据翻折变换，关于轴的对称点为， 当直线与图象②恰有3个公共点时，如图所示：此时，    当直线与轴重合时，与图象②有2个公共点，此时， 当直线处于直线与直线之间时，与图象②有4个公共点，此时， 当直线位于直线上方时，与图象②有2个公共点，此时， 由图可知：当直线与图象②有多于2个公共点时，则b的取值范围为， 故答案为：． 【巩固训练】 1．抛物线经过，对称轴直线，关于的方程在的范围有实数根，则的范围（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意先得出抛物线的解析式，进而利用根的判别式以及二次函数图象的性质进行分析计算即可． 【详解】解：∵抛物线经过， ∴将代入可得， ∵对称轴直线， ∴，解得， ∴抛物线为， ∴， ∵关于的方程在的范围有实数根， ∴，解得， 且同时满足当，以及当，解得（舍去）， 或者当，以及当，解得， 综上可得的范围为：． 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数与一元二次方程的结合，熟练掌握二次函数图象的性质并运用数形结合思维分析是解题的关键． 2．二次函数自变量与函数值的对应关系如下表，一元二次方程的根中较大的根的范围是（    ） 0 0.5 1 1.5 0.13 0.38 0.53 0.58 0.53 0.38 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根．根据表格找出y的值接近0时对应的x的值的取值范围，从而分析求解． 【详解】解：由表格可得： 当时，； 当时，，当时，， 二次函数图像的对称轴为直线， 当时，， 设一元二次方程的根为，，且， ∴，， 即一元二次方程的根中较大的根的范围是， 故选：D． 3．下表给出了二次函数中的部分对应值，估计方程的一个解的取值范围是____________． … 1 … … 3 … 【答案】 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程，掌握知识点是解题的关键．通过观察表格中函数值的变化，确定方程根所在区间． 【详解】解：方程的解即为函数的零点． 由表格数据可知，当时，；当时，． 由于函数连续，故在与之间必然存在一点使， 因此方程的一个解的取值范围是． 故答案为：． 4．如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则不等式的解集是___________ ． 【答案】 【详解】解：∵抛物线与直线的两个交点坐标分别为，, ∴由图象可得，不等式的解集是． 5．如图，直线交轴于点，交轴于点，抛物线过，两点，与轴相交于另一点，求点的坐标． 【答案】 【分析】先求出，然后用待定系数法求出抛物线解析式，再令求解即可． 【详解】解：对于，当时，， ∴， 把，代入，得 ， 解得， ∴， 当时，， 解得， ∴． 6．已知抛物线，与轴的交点，（点在点的左侧）． (1)若时，求点，的坐标及线段长． (2)若，求的值及抛物线的对称轴． 【答案】(1)，， (2)，对称轴 【分析】本题考查了二次函数的性质及求二次函数与坐标轴的交点坐标，及求出两交点间的距离．解决本题的关键是熟练掌握求二次函数与坐标轴的交点坐标． （1）令，则，可得，解得，，即可得出答案； （2）令，则，可得，解得，，再求解即可． 【详解】（1）解：， ， 令，则， ， ，， 点在点的左侧， ，， ； （2）解：令，则， ， 或， ，， 点在点的左侧，， ，， ， ， ， 抛物线的对称轴为． 7．二次函数的图象如图所示，根据图象回答下列问题： (1)写出方程的根； (2)写出不等式的解集； (3)若方程有且只有一个实数根，写出的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）直接根据函数图象作答即可； （2）直接根据函数图象作答即可； （3）直接根据函数图象作答即可． 【详解】（1）解：观察图象可知，方程的根，即为抛物线与轴交点的横坐标， ∴，； （2）解：观察图象可知：不等式的解集为； （3）解：由图象可知，时，方程有且只有一个实数根． 8．阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容．请认真阅读，并完成相应任务． 利用数形结合思想巧解二次函数问题思路点拨：在解决二次函数问题时，我们常利用数形结合思想将二次函数中的直线与抛物线相交问题转化为方程解决，即将“形”的形式转化为“数”的形式解决． 例：已知抛物线（a，b为实数，）． ①若时，抛物线与直线有两个交点，设两个交点分别为，．求证：． 证明：当时，抛物线的函数解析式为 ∵抛物线与直线有两个交点，两个交点分别为，， ∴， 整理，得， ∴ ▲ ， ■ ， ∴． ②若，，直线与抛物线相交于两点，其中一个交点的坐标为，求p的值． 解：…… 任务： (1)直接写出研究报告问题①解答过程中“▲”处空缺的内容：　　　　　　（需化简）；“■”处空缺的内容：　　　　　　． (2)补全问题②的解答过程． (3)若点和点都在抛物线上，则　　　　　　（用含a的代数式表示） 【答案】(1)； (2)解答过程见解析， (3) 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的综合应用，解题的关键是利用一元二次方程根与系数的关系、函数交点坐标性质及抛物线对称性求解． （1）根据一元二次方程根与系数的关系，直接计算根的和与积； （2）将交点坐标代入直线和抛物线解析式，联立方程求解，再计算； （3）利用抛物线对称性（纵坐标相同的点关于对称轴对称），结合对称轴公式列方程求． 【详解】（1）解：对于方程， 由一元二次方程根与系数关系得，． 故答案为：；． （2）解：当时，， 抛物线解析式为， 直线解析式为． 因为是交点，将其代入联立方程：， 化简得， 代入：，， 进一步整理得，又， ∴． 则． （3）解：抛物线对称轴为， 因为、， 纵坐标相同，故关于对称轴对称， 对称轴为， 即，解得． 故答案为：． 9．如图，已知抛物线过点A与，与y轴交于点，点D在抛物线上，且直线轴．    (1)求该抛物线的函数表达式和顶点坐标； (2)求的长． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】（1）将，代入抛物线，利用待定系数法可求得解析式，配成顶点式为，进而可得顶点坐标； （2）根据直线轴，将代入，求得点的坐标为，进而可求解． 【详解】（1）解：抛物线过点，， 将代入，得 解得，则该抛物线的函数表达式为， 配成顶点式为， ∴顶点坐标为． （2）∵直线轴，则将代入， 得． 解得，． ∴点的坐标为． ∴． 【点睛】本题考查利用待定系数法求函数解析式，二次函数顶点式，二次函数与一元二次方程，利用待定系数法求得函数解析式是解决问题的关键． 10．在平面直角坐标系中，已知直线与轴分别交于点, 抛物线经过点． （1）求该抛物线的解析式及顶点坐标； （2）垂直于轴的直线与直线交于点，与抛物线相交于点、．若，结合函数图象，求到的取值范围． 【答案】（1），顶点坐标是；（2）． 【分析】（1）先求出A、B的坐标，再根据待定系数法即可得出抛物线的解析式，然后将解析式化为顶点式即可得出顶点坐标； （2）由抛物线解析式得到对称轴，结合图形解答即可． 【详解】(1) 直线与轴分别交于点, 将坐标分别代入抛物线中, 得， 解得 抛物线的解析式是， ， 该抛物线的顶点坐标是； (2) 垂直于轴的直线与直线交于点,与抛物线相交于点, 二点关于抛物线的对称轴对称， ． 又， 点都在点的下方，且在轴左侧，点在轴右侧， 直线在直线和直线之间． 令得 【点睛】本题考查了一次函数的交点、待定系数法求二次函数的解析式，“数形结合”的数学思想是解题的关键． 【强化训练】 1．在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．当时， D．是关于x的一元二次方程的一个根 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，二次函数图象与系数之间的关系，对称轴，开口方向和顶点坐标判断A，根据对称轴和图像经过求得B，由，可得当时，，判断C，根据关于对称轴的对称点为：，判断D． 【详解】解：∵抛物线的开口向下，抛物线的顶点坐标为，过点， ∴，，故A错误； ∴对称轴为， ∴； ∵经过点，， ∴ ∴，故B错误， ∵， ∴ 当时，，故C错误 ∵对称轴为直线， ∴关于对称轴的对称点为：， ∵点在此抛物线上， ∴在此抛物线上，即， ∴即是关于x的一元二次方程的一个根，故D正确， 故选：D． 2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴只有一个交点M，与平行于x轴的直线l交于A、B两点．若，则点M到直线l的距离为________． 【答案】 【分析】由题意知，对称轴为直线，，两点的纵坐标相同，设为，有，点A的横坐标是，点的横坐标是，由，可知，计算求解即可． 【详解】解：∵与轴只有一个交点， ∴，对称轴为直线， ∵抛物线与平行于轴的直线交于，两点， ∴，两点的纵坐标相同，设为， 则时，， 解得：， ∴点A的横坐标是，点的横坐标是， ∵， ∴， 解得：． 即点M到直线l的距离为． 3．如图，二次函数的图像与y轴交于点C，点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称，一次函数的图像经过该二次函数图像上的点及点B，则满足的x的取值范围是 ______________ ． 【答案】或 【分析】先将点的坐标代入二次函数解析式求出m的值，从而确定二次函数的解析式及点C的坐标，再根据抛物线的对称轴及轴对称的性质求出点B的坐标，最后观察函数图象，找出二次函数图像在一次函数图像上方（包括交点）时对应的自变量x的取值范围即可． 【详解】解：∵二次函数的图像经过点， ∴， 解得；抛物线的对称轴为直线； ∴二次函数的解析式为， 令，则， ∴点C的坐标为， ∵抛物线的对称轴为直线，且点B与点C关于对称轴对称， ∴点B的横坐标为，纵坐标为3， ∴点B的坐标为， 由图像可知，当或时，二次函数的图像在一次函数的图像上方或相交， ∴满足的x的取值范围是或． 4．已知二次函数的y与x的部分对应值如表： x 1 5 y 0 5 9 5 下列结论：①；②若点，均在二次函数的图象上，则；③当时，y的取值范围为；④满足的x的取值范围是．其中正确结论的序号为__________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质．利用待定系数法求出的值即可判断；利用对称性可判断；利用二次函数的性质可判断；画出函数图形可判断． 【详解】解：把，，代入得， ， 解得， ∴，故正确； ∵， ∴点，关于对称轴对称， ∴，故正确； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴抛物线的顶点坐标为， 又∵， ∴当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，当时，函数取最大值， ∵与时函数值相等，等于， ∴当时，的取值范围为，故错误； 由得， 即， 画函数和图象如下： 由，解得，， ∴，， 由图形可得，当或时，，即，故错误； 综上，正确的结论为， 故答案为：． 5．函数的自变量的取值范围为全体实数，其中部分的图象如图所示，对于此函数有下列结论： ①函数图象关于轴对称；②函数既有最大值，也有最小值；③当时，随的增大而增大；④当时，关于的方程有个实数根．其中正确的结论有_________（填序号）．    【答案】①④/④① 【分析】本题为函数图象探究题，考查了根据函数图象判断函数的对称性、增减性以及从函数的角度解决方程问题．根据函数解析式画出函数图象，结合函数图象进行判断． 【详解】解：画出函数图象如图：    ①如图所示，函数图象关于y轴对称，故①符合题意； ②如图所示，函数没有最大值，有最小值，故②不符合题意； ③如图所示，当时，y随x的增大而减小，故③不符合题意； ④如图所示，当时，关于x的方程有4个实数根，故④符合题意． 综上所述，正确的结论是①④． 故答案为：①④． 6．在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴有两个公共点． (1)求的取值范围； (2)若取满足条件的最小的整数， ①求这个二次函数的解析式，并写出此时二次函数的顶点坐标； ②当时，函数值的取值范围是，求的值； ③将此抛物线平移，使其图象经过原点．设平移后的图象对应的函数表达式为，当时，随的增大而减小，求的取值范围． 【答案】(1)且 (2)①，顶点坐标为；②；③ 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式和定义解答即可； （2）①先得出的值，再将二次函数化成顶点式即可； ②根据二次函数的增减性求解即可； ③先得出的值，再根据二次函数的增减性求出的取值范围，然后求出与之间的等式关系，由此即可得． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与轴有两个公共点， ∴关于的方程有两个不相等的实数根， ∴方程根的判别式，且， 解得且． （2）解：①∵且，取满足条件的最小的整数， ∴， ∴二次函数的解析式为，化成顶点式为， ∴此时二次函数图象的顶点坐标为． ②当时，， 当时，， 二次函数的对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小， ∴当时，， 又∵当时，函数值的取值范围是， ∴， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴的值为． ③∵函数平移后的图象对应的函数表达式为， ∴， ∴平移后的图象对应的函数表达式为， 由二次函数的性质可知，当时，随的增大而减小， 又∵当时，随的增大而减小， ∴， ∵函数的图象经过原点， ∴， ∴． 7．在平面直角坐标系中，抛物线． (1)①证明：抛物线与轴恒有两个交点； ②求出抛物线与轴交点的坐标（用含的式子表示）； (2)过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点（，不重合）． ①若，，求的长； ②若当，的长随的增大而增大，求的取值范围． 【答案】(1)①证明：∵令，则，即，，， ∴， ∵， ∴， ∴抛物线与轴恒有两个交点； ②抛物线与轴交点坐标为和 ． (2)①；②或或． 【分析】（1）①将二次函数转换成一元二次方程，利用判别式判断出一元二次方程解的情况即二次函数与轴交点的情况，②再运用公式法求解交点即可； （2）①先根据题意求出二次函数解析式和一次函数解析式，以及点坐标，再根据题意判断出三点共线，即，即可求出，最后根据求解即可；②根据题意判断出三点共线，即，即可求出，再根据求出是关于的二次函数解析，分类讨论（），（），根据二次函数的性质和不等方程的性质分别求解即可． 【详解】（1）①略； ②由①得且， ∴， ∵， ∴解得：，， ∴抛物线与轴交点坐标为和 ； （2）①∵， ∴抛物线解析式为：，直线解析式为：， ∵， ∴， ∵点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点， ∴三点共线，即， ∴，， ∴； ②∵点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点， ∴三点共线，即， ∴，， ∴， 分类讨论： （），即， ∵， ∴是关于的二次函数，即对称轴为直线， ∴当，的长随的增大而增大， ∴，解得， （）当时， ∵， ∵， ∴， ∴，即 ， ∴，解得， ∴， （）当时， ∵， ∵， ∴， ∴，即 ， ∴，解得， ∴， （），即， ∵， ∴是关于的二次函数，即对称轴为直线， ∴当，的长随的增大而增大， ∴，解得， ∵， ∵，， ∴， ∴，即 ， ∴，解得， ∴ ∴当，的长随的增大而增大，求的取值范围为或或． 8．定义：我们规定二次函数（且）与（且）互为“交叉函数”，它们的交点叫做“交叉点”． (1)求证：互为“交叉函数”的两个二次函数有且只有一个“交叉点”． (2)二次函数与它的“交叉函数”与y轴分别交于B、C两点，它们的“交叉点”为A点，若是以为底边的等腰直角三角形，求这两个函数的解析式． (3)二次函数与它的“交叉函数”交x轴于不同的四点，且四个交点中任意相邻两点间的距离相等，若一次函数与它们两个二次函数共有3个不同的交点，求k的值或者范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)这两个函数的解析式为和 (3)的值为或 【分析】本题考查了二次函数与几何综合，涉及函数新定义，求两函数图象的交点坐标，函数图象与坐标轴的交点坐标， 等腰直角三角形的性质，求二次函数解析式，直线与抛物线的交点等，熟练掌握相关知识点，正确作出函数图象是解题的关键； （1）联立两函数解析式得方程组，解得方程组只有一组实数组，从而可得结论； （2）根据题意作图，过点A作轴于点D，先求出点A，B，C，D的坐标，再利用是以为底边的等腰直角三角形，得出相应的几何条件，建立关于b，c的方程，解方程组得b，c的值，从而可得函数解析式； （3）先根据题中条件求得两函数解析式，再由一次函数图象经过点，结合图象确定若一次函数与它们两个二次函数共有3个不同的交点，则一次函数图象过点或一次函数图象与抛物线只有一个交点，再分类求解即可． 【详解】（1）证明：联立， 消去y整理得，， 又，即， ，解得， 方程组只有一组解， 二次函数（且）与（且）只有一个交点， 互为“交叉函数”的两个二次函数有且只有一个“交叉点”． （2）解：依题意作图，如图1：过点A作轴于点D， 当时，，故； 当时，，故； 由（1）知二次函数与它的“交叉函数”的“交叉点”A的坐标为， ，，， 是以为底边的等腰直角三角形， ， 又， 点D为的中点， ，即，， 点D为的中点， ，， 联立，解得或， 这两个函数的解析式为和． （3）解：不妨设二次函数与x轴交于点M，N（点N在点M的右边）， 二次函数与x轴交于点P，Q（点Q在点P的右边）， 则关于x的方程有两根，， 由求根公式可得， ， 同理可求得， 由题知，， ， 两边平方整理得，， 又， ，，， 两函数图象的交点坐标为， 点P在之间，点N在之间，如图2所示， 由，可知点在抛物线的对称轴上，且， ，， ，是方程的两根，由根与系数的关系可知， ，， ， 整理得， 又， ， 由得， 两抛物线解析式为和， 易求得，，，， 当时，， 一次函数图象过点， 如图3，结合图象可知，若一次函数与它们两个二次函数共有3个不同的交点， 则一次函数图象过点或一次函数图象与抛物线只有一个交点， 当一次函数图象过点时，， ． 当一次函数图象与抛物线只有一个交点时， 方程有两个相等的实数根， 整理得， ， 解得，． 综上可知，的值为或． 9．已知抛物线与x轴的交点分别为，． (1)求一元二次方程的两个根； (2)设抛物线与轴交于点，作轴交抛物线于点，求线段的长； (3)若点，在抛物线上，你能比较出和的大小吗？若能，请比较出大小；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)能， 【分析】本题考查了二次函数与坐标轴交点问题，求函数值，二次函数的性质； （1）将的坐标代入得，，得出抛物线的解析式为令，解方程，即可求解． （2）将代入得，，即．根据轴交抛物线于点，得出，两点的纵坐标相等，则解方程，进而求得线段的长； （3）解法一∶分别将代入解析式求得函数值，即可求解；解法二：根据抛物线的对称轴为直线，进而可得关于对称轴对称，即可求解． 【详解】（1）解∶将的坐标代入得， ，解得， 所以抛物线的解析式为 令，则 解得 所以一元二次方程的两个根为，． （2）将代入得，，即． 因为轴，即，两点的纵坐标相等，则 解得 又， 即线段的长为． （3）解法一∶能比较，的大小，． 将点的坐标代入得， 将点的坐标代入得， 所以． 解法二：抛物线的对称轴为， 点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为，则，两点到对称轴的距离相等， 即，两点关于对称轴对称， 所以． 10．在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点． (1)求该抛物线所对应的函数表达式； (2)将抛物线向上平移个单位长度后与轴交于M，N两点，若，求的取值范围； (3)当时，抛物线的最大值和最小值的差为，求的值． 【答案】(1) (2) (3)的值为-6或0 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握待定系数法、根与系数关系是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据根与系数关系和两点之间的距离公式得到，根据得到，解不等式即可得到答案； （3）根据的取值范围分情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：将点和点代入得 ， 解得 所以抛物线的表达式为：； （2）解：设M，N两点坐标分别为 因为抛物线向上平移个单位长度后为， 所以关于的方程的两个实数根为 所以 所以 因为， 所以， 解得； （3）解：抛物线开口向下，对称轴为， ①即时，随的增大而增大 时时 所以， 解得：； ②且，即时， 当时，当时， 所以， 解得：（舍） ③且，即时， 当时时， 所以4－， 解得：（舍） ④时，随的增大而减小 时时 所以， 解得：； 综上所述，的值为或0． / 学科网（北京）股份有限公司 $