5.3实际问题与一元一次方程（和差倍分问题）跟踪练习2026-2027学年人教版数学七年级上册

**基本信息** 聚焦和差倍分问题，通过基础巩固、情境应用、综合拓展三层设计，培养抽象能力与模型意识，实现从列方程到解决实际问题的递进。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|直接列方程（人数、长度等）|单选1-4、解答13-15，强化符号意识，对应课时基础目标| |中档|复杂情境应用（油量、角度、古代问题）|填空7-12、单选5-6，融入生活与文化情境，发展推理意识| |提高|多变量综合问题|解答16（设备购买方案），体现模型观念与应用意识，适度提升思维梯度|

5.3实际问题与一元一次方程（和差倍分问题） 一、单选题 1．希望中学九年级1班共有学生49人，当该班少一名男生时，男生的人数恰好为女生人数的一半．设该班有男生x人，则下列方程中，正确的是（　　） A． B． C． D． 2．在甲处工作的有39人，在乙处工作的有33人．如果要使在乙处工作的人数是在甲处工作人数的，那么应从乙处调出多少人到甲处？如果设应从乙处调人到甲处，那么列出的方程正确的是（    ） A． B． C． D． 3．在3月5日学雷锋日“献上一杯姜茶”活动中，小明为环卫工刘爷爷献上热茶并帮助刘爷爷打扫卫生，小明了解到刘爷爷今年64岁，而小明今年13岁，小明想知道再过几年刘爷爷的年纪正好是自己的4倍．若设再过x年，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 4．一个体育中心足球场长度是，比宽度的2倍少．足球场宽度是多少米？如果设宽度为，那么下面列出的方程正确的是（   ） ①②③④ A．①③ B．①② C．②④ D．①④ 5．张东同学想根据方程10x＋6＝12x－6编写一道应用题：“几个人共同种一批树苗，________，求参与种树的人数．”若设参与种树的有x人，那么横线部分的条件应描述为(　　) A．如果每人种10棵，那么缺6棵树苗；如果每人种12棵，那么剩下6棵树苗未种 B．如果每人种10棵，那么剩下6棵树苗未种；如果每人种12棵，那么缺6棵树苗 C．如果每人种10棵，那么剩下6棵树苗未种；如果每人种12棵，也会剩下6棵树苗未种 D．如果每人种10棵，那么缺6棵树苗；如果每人种12棵，同样也是缺6棵树苗 6．将1，2，3，4，…，12，13这13个整数分为两组，使得一组中所有数的和比另一组中所有数的和大10，这样的分组方法（ ） A．只有一种 B．恰有两种 C．多于三种 D．不存在 二、填空题 7．甲乙两个仓库，甲仓库存粮16吨，如果从乙仓库中取出放入甲仓库，则两仓库存粮的数量相等，两仓库一共存粮________吨． 8．有A，B两桶油，从A桶倒出的油到B桶后，B桶比A桶还少6 kg，若B桶中原有油30 kg，则A桶中原有油_______kg. 9．若与的两边分别平行，比的倍少，则的度数是______． 10．小华爸爸现在比小华大25岁，8年后小华爸爸的年龄是小华的3倍多5岁，则小华现在的年龄是______． 11．一个角的余角是这个角的补角的，则这个角的补角是 _____°． 12．《九章算术》中记载这样一道题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗．羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”大意如下：现在有一头牛、一匹马、一只羊吃了别人家的禾苗．禾苗的主人要求这些动物的主人共计赔偿五斗谷子，羊的主人说：“我家羊只吃了马吃的禾苗的一半．”马的主人说：“我家马只吃了牛吃的禾苗的一半．”按此说法，羊的主人应当赔偿给禾苗的主人________斗谷子． 三、解答题 13．把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分3本则剩余20本；如果每人分4本，则还缺25本．这个班有多少学生？ 14．根据下列问题，设未知数并列出方程： （1）用一根长的铁丝围成一个正方形，正方形的边长是多少？ （2）一台计算机已使用，预计每月再使用，经过多少月这台计算机的使用时间达到规定的检修时间？ （3）某校女生占全体学生数的，比男生多80人，这个学校有多少学生？ 15．用方程解答下列问题： (1)的倍与的和等于的倍与的差，求； (2)与的积等于与的和，求； (3)与的和的倍等于与的差的倍，求； (4)的倍与的和的等于与的差的，求． 16．为了保护环境，某化工厂一期工程完成后购买了3台甲型和2台乙型污水处理设备，共花费资金54万元，且每台乙型设备的价格是每台甲型设备价格的75%，实际运行中发现，每台甲型设备每月能处理污水200吨，每台乙型设备每月能处理污水160吨，且每年用于每台甲型设备的各种维护费和电费为1万元，每年用于每台乙型设备的各种维护费和电费为1.5万元．今年该厂二期工程即将完成，产生的污水将大大增加，于是该厂决定再购买甲、乙两种型号设备共8台用于二期工程的污水处理，预算本次购买资金不超过84万元，预计二期工程完成后每月将产生不少于1 300吨污水． (1)请你计算每台甲型设备和每台乙型设备的价格各是多少元？ (2)请你求出用于二期工程的污水处理设备的所有购买方案． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 答案 A B D C B D 1．A 【分析】利用该班少一名男生时，男生人数恰为女生人数的一半用男生的人数表示出女生的人数，利用女生人数+男生人数=49求解． 【详解】解：设男生人数为x人，则女生为， 根据题意得：， 故选A． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解题的关键是找到正确的等量关系． 2．B 【分析】本题涉及人员调动问题，需要根据调动后乙处人数与甲处人数的关系来列方程。关键是明确调动后甲、乙两处的人数，再结合 “乙处工作的人数是在甲处工作人数的”这一条件建立等式． 【详解】解：设应从乙处调x人到甲处， 调动后，甲处的人数为原来甲处的人数加上调入的人数，即人， 调动后，乙处的人数为原来乙处的人数减去调出的人数，即人， 根据 “乙处工作的人数是在甲处工作人数的”，可列出方程：， 故选：B． 【点睛】解决人员调动类的方程问题，核心是准确分析调动前后各部分的数量变化，找到等量关系，然后根据等量关系列出方程，体现了方程思想在实际问题中的应用． 3．D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．根据再过几年刘爷爷的年纪正好是自己的4倍列方程即可． 【详解】解：设再过x年， 根据题意得，． 故选：D． 4．C 【分析】本题考查了方程的应用，根据“足球场长度是，比宽度的2倍少”列方程即可． 【详解】解：根据题意，得，即， 故选：C． 5．B 【详解】分析方程可知选用的等量关系是该批树苗的棵树不变，再分析方程的左、右两边的意义，即可得出结论． 解：∵列出的方程为10x+6=12x-6, ∴方程的左、右两边均为这批树苗的棵树， ∴方程的左边为如果每人种10棵，那么剩下6棵树苗未种；方程的右边为如果每人种12棵，那么缺6棵树苗． 故选B． 6．D 【分析】先求得这组数的和，再根据一组的和比另一组的和多10，分别求得这两组数的和，确定分组方法． 【详解】解：1+2+…+13=91，分为两组，一组的和为x，另一组的和为x﹣10， 由题意可得：x+x﹣10=91， 解得x=， ∵x为整数，∴没法分， 故选D． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，此题难度较大． 7．36 【分析】设乙仓库中原来有x吨存粮，根据如果从乙仓库中取出放入甲仓库，则两仓库存粮的数量相等，可以列方程，即可解答． 【详解】设乙仓库中原来有x吨存粮，根据题意可得： 解得：， ∴甲乙两仓库一共存粮：16+20=36(吨) 故答案为：36 【点睛】本题考查了一元一次方程的实际应用，根据题意假设未知数，根据等量关系列方程求解是解题的关键． 8．72 【分析】等量关系为：现在A桶内的油量−现在B桶内的油量＝6，把相关数值代入求解即可． 【详解】解：设A桶原有油㎏， 则, 解得＝72． 故答案为：72． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，得到倒油后两桶油量的等量关系是解决本题的关键． 9．或 【分析】由和的两边分别平行，即可得或，又由比的2倍少，即可求得的度数． 【详解】解：∵和的两边分别平行， 或， ∵比的两倍少， 即， 或， 或， ∴=30°或110°， 故答案为：30°或110°. 【点睛】本题考查了平行线的性质与方程组的解法．此题难度不大，解题的关键是掌握由和的两边分别平行，即可得或，注意分类讨论思想的应用． 10．2岁. 【分析】因为年龄的差距不随时间的变化而变化，所以设小华8年后的年龄是x岁，则爸爸的年龄就是x+25岁，根据“小华爸爸的年龄是小华的3倍多5岁，”列出方程求出小华8年后的年龄，再减去8，就是他现在的年龄． 【详解】解：设小华8年后的年龄是x岁，则爸爸的年龄就是x+25岁，根据题意 3x+5=x+25， 解得x=10， 10−8=2(岁)， 答：小华现在2岁. 【点睛】本题考查应用一元一次方程解决年龄问题.解决本题时需注意①无论怎么变，两人的年龄差不变；②年龄一变，所有人的年龄都会发生相应的变化. 11．120 【分析】设这个角为x；则这个角的余角为90°-x，这个角的补角为180°-x；根据题意，90°-x=（180°-x），解方程得这个角的度数，进而求这个角的补角； 【详解】解：设这个角为x；则这个角的余角为90°-x，这个角的补角为180°-x； 根据题意，90°-x=（180°-x）， 解得：x=60°， ∴这个角的补角为：180°-60°=120° 故答案为：120． 【点睛】本题主要考查余角、补角的概念、一元一次方程的应用，正确得到方程是解本题的关键． 12． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意找准等量关系，正确列出一元一次方程，正确的运算是解题的关键． 【详解】解：设羊的主人应当赔偿给禾苗的主人斗谷子． 则可列方程为：， 解得：， 故答案为： ． 13．这个班有 45 名学生． 【分析】可设有 x 名学生，根据总本数相等和每人分 3 本，剩余 20 本，每人分 4 本，缺 25 本可列出方程，求解即可． 【详解】解：设有 x 名学生，根据书的总量相等可得： 3x+20＝4x-25， 解得：x＝45． 答：这个班有 45 名学生． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据该班人数表示出图书数量得出等式方程是解题关键． 14．（1）设正方形的边长为，；（2）设x月后这台计算机的使用时间达到，；（3）设这个学校的学生数为x， 【分析】（1）设正方形的边长为，根据正方周长公式列方程即可； （2）设x月后这台计算机的使用时间达到，那么在x月里这台计算机使用了，列出方程即可； （3）设这个学校的学生数为x，那么女生数为，男生数为，根据女生比男生多80人列方程即可． 【详解】解：（1）设正方形的边长为． 列方程：； （2）设x月后这台计算机的使用时间达到，那么在x月里这台计算机使用了． 列方程：； （3）设这个学校的学生数为x，那么女生数为，男生数为． 列方程：． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，读懂题意，列出方程是解题的关键． 15．(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，解一元一次方程，解题的关键是正确理解题意，列方程． （1）根据题意列方程，解方程即可； （2）根据题意列方程，解方程即可； （3）根据题意列方程，解方程即可； （4）根据题意列方程，解方程即可； 【详解】（1）解：根据题意得：， 移项，合并同类项得，， 解得， （2）解：根据题意得：， 移项，合并同类项得，， 解得， （3）解：根据题意得：， 整理得， 去括号得，， 移项，合并同类项得，， 解得， （4）解：根据题意得： 整理得，， 移项，合并同类项得，， 解得， 16．（1）一台甲型设备的价格为12万元，一台乙型设备的价格是9万元；（2）方案一：甲型1台，乙型7台；方案二：甲型2台，乙型6台；方案三：甲型3台，乙型5台；方案四：甲型4台，乙型4台． 【分析】（1）设一台甲型设备的价格为x万元，则设一台乙型设备的价格为75%x万元，根据购买了3台甲型和2台乙型污水处理设备，共花费资金54万元，列出方程，解方程即可； （2）根据“该厂决定再购买甲、乙两型设备共8台用于二期工程的污水处理，其购买资金不超过84万元，每月处理污水至少1300吨”，列出一元一次不等式组，再解出未知量的取值范围，结合题意可写出购买方案. 【详解】解：(1)设一台甲型设备的价格为x万元， 由题意，得3x＋2×75%x＝54，解得x＝12. ∵12×75%＝9， ∴一台甲型设备的价格为12万元，一台乙型设备的价格是9万元． (2)设二期工程中，购买甲型设备a台，由题意有 解得≤a≤4. 由题意知a为正整数，因此a＝1,2,3,4. 故所有购买方案有四种，分别为 方案一：甲型1台，乙型7台； 方案二：甲型2台，乙型6台； 方案三：甲型3台，乙型5台； 方案四：甲型4台，乙型4台． 【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式组的应用，根据实际问题中的条件列方程或不等式时，要注意抓住题目中的一些关键性词语，找出等量关系或不等关系，列出关系式是解题关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $