1.5二次函数的应用同步训练2026—2027学年浙教版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦二次函数实际应用，通过运动轨迹、利润计算等多样化题型，系统训练数学建模与最值求解能力，强化知识迁移与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |实际情境应用|10题（含滑雪、温度、小球运动等）|结合物理、经济场景，需建立函数模型|从实际问题抽象变量关系，运用二次函数顶点、交点性质解决时间、最值问题，体现模型意识| |几何图形应用|6题（含拱桥、矩形面积、抛物线与坐标轴交点）|涉及图形动态变化与面积计算|通过坐标系构建函数解析式，关联几何性质与函数图像，培养几何直观与空间观念| |综合问题解决|4题（含运动重叠面积、利润总和）|多变量、多阶段问题，需分类讨论|整合函数性质与代数运算，训练逻辑推理与运算能力，提升复杂问题解决水平|

1.5二次函数的应用同步训练浙教版2026—2027学年九年级数学上册 一、选择题 1．如图，在滑雪大跳台比赛中，运动员从跳台滑出后，在空中飞行的高度（米）与时间（秒）之间满足函数关系：，则运动员从起跳到落地所需要的时间为（    ） A．2秒 B．3秒 C．3.5秒 D．4秒 2．冬季蔬菜大棚内某天的温度（单位：）与时间（单位：）满足函数关系式，其中．有下列结论： ①蔬菜大棚内当天的温度可以是； ②蔬菜大棚内当天的温度的最大值为； ③蔬菜大棚内当天的温度不低于19℃的时长为． 其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是．有下列结论： ①小球从抛出到落地需要0s；②小球运动中的高度可以是44m；③小球运动2s时的高度小于运动5s时的高度．其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 4．如图，在平面直角坐标系中，小明从离地面高度为的处抛出弹力球，弹力球在处着地后弹起，落至点处，弹力球着地前后的运动轨迹可近似看成形状相同的两条抛物线，弹力球第一次着地前抛物线的表达式为，在处着地后弹起的最大高度为着地前的最大高度的．则弹力球第二次落地点距第一次抛出点的水平距离是（    ） A． B． C． D． 5．如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在L时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面，水面宽为．如果水面宽度为，则水面下降 （ ） ①以拱顶（抛物线顶点）为原点建立如图 所示坐标系，则抛物线解析式为 ； ②若水面由l位置下降，水面宽度为；   ③若水面由l位置下降，水面宽度增加 ； 以上结论正确的个数是（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 6．汽车刹车后行驶的距离（单位：）关于行驶的时间（单位：）的函数解析式是．汽车刹车后到停下来前进的距离为（    ） A． B． C． D． 7．如图，在一个直角三角形内部作一个矩形，其中和分别在两直角边上，如果设矩形的一边的长为，要使矩形面积最大，的取值为（   ） A． B． C． D． 8．如图，已知抛物线的对称轴为，过其顶点的一条直线与该抛物线的另一个交点为，要在坐标轴上找一点，使得的周长最小，则点的坐标为（   ） A． B． C．或 D．或 二、填空题 9．一块三角形材料的形状如图所示，，，．用这块材料剪出一个矩形，其中点，，分别在，，上．则可剪出矩形的最大面积为_____． 10．已知抛物线，交x轴于点A、B(点A在点B的左侧)，交y轴于点C，当时，a的值为_________． 11．某商店购进一批单价为50元的日用商品，如果以单价每个60元销售时，每周能卖出120个，若这种商品零售价每涨价1元，周销售量就减少3个，但物价部门规定，单个利润不能超过成本价的，则每周获得的最大利润为_________元． 12．已知点A是二次函数对称轴左侧抛物线上一点，轴于D，以为边在右侧作正方形，其中点B在抛物线上，点C在x轴上，则点A的坐标为______． 三、解答题 13．如图，矩形中，，点从点出发，以每秒个单位长度的速度向终点运动，作交边或边于点，且和矩形在直线同侧，以为边向右侧作等边，设点运动的时间为秒，等边与矩形重叠部分的面积为． (1)当点在边上时，用含的代数式表示的长； (2)当点落在边上时，求的值； (3)求与的函数解析式，并写出的取值范围． 14．如图，在平面直角坐标系中，，，点与坐标原点重合，．、两点分别从点、同时出发，点以每秒个单位长度的速度沿向终点运动，点以每秒个单位长度的速度沿向终点运动，当一点运动到终点时，另一点也随之停止运动．过点作于点，以、为邻边作矩形．设点的运动时间为秒，矩形和重叠部分图形的面积为． (1)点的坐标是______； (2)当点与点重合时，求的值； (3)求关于的函数解析式，并写出的取值范围． 15．如图是呈抛物线型的拱桥，当拱顶离水面3m时，水面宽为4m．若以通过拱顶点的水平直线为轴，过点的竖直直线为轴建立平面直角坐标系． (1)求出该抛物线的解析式． (2)若水面下降1m，则此时水面宽度为多少m．（结果允许保留根号的形式） 16．2026年央视春晚在浙江义乌设立分会场，一只因缝制失误而嘴角下撇的毛绒小马“哭哭马”意外走红，成为春晚热销品． (1)某电商平台数据显示，该毛绒小马2月份销量为10万件，4月份销量已增至12.1万件．求该电商平台“哭哭马”2月到4月销量的月平均增长率． (2)某商铺以每件15元的价格购进“哭哭马”，分为线上和线下两种销售方式．线下市场调查发现，当售价为35元/件时，日销量为80件．售价每降低1元，日销量可增加10件． ①借助春晚热度尽快减少库存，商家决定降价促销．为使线下日销售利润达到1800元，则每件应降价多少元？ ②若线上售价与线下相同，但每件产品商家需多付3元快递费，且线上日销量固定为100件．当每件降价多少元时，线上和线下的日利润总和最大？并求出最大利润． 17．如图，一位足球运动员在一次训练中，从球门正前方的处射门，已知球门为，球射向球门的路线可以看作是抛物线的一部分．当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球的竖直高度为．现以为原点，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求抛物线的解析式并判断能否射进球门（忽略其他因素）； (2)若运动员射门路线的形状、最大高度均保持不变，则他应该带球向后方移动 米射门，才能让足球经过点正上方处． 18．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中，，对称轴是直线．动点M以每秒1个单位长度的速度，沿x轴从点O向点B运动，设运动时间为t（）秒，过点M作x轴的垂线交于点N，交抛物线于点P． (1)求抛物线解析式； (2)抛物线的对称轴交于点E，顶点是点D，当t为何值时，四边形为平行四边形； (3)动点M开始运动时，另一动点Q同时以每秒0.5个单位长度的速度，沿x轴从点O向点A运动．当t为何值时，四边形的面积最大，并求最大面积． 参考答案 1．D 2．C 3．B 4．C 5．D 6．B 7．C 8．A 9．12 10． 11．1575 12． 13．【详解】（1）解：∵设点运动的时间为秒，点从点出发，以每秒个单位长度的速度向终点运动， ∴， ∵， ∴即， ∴， ∴， ∵点在边上， ∴当点F与点D重合时，， ∴； （2）解：如图所示，当点落在上时， ∵为等边三角形，， ∴，， ∵四边形为矩形， ∴，， ∴，， ∵点运动速度为每秒个单位长度， ∴点落在边上时，运动了秒． 故当时，点落在边上． （3）解：因，故的最大值为， ①当点在上，点在矩形内部或者边上时，由（2）得，全部在矩形内部， 此时为直角三角形，，， ∵， ∴， ∴等边三角形的高为， ∴面积为， ∴等边与矩形重叠部分的面积为，此时． ②当点在上，点不在矩形边上时， 此时，，， ∴， ∵为直角三角形，且， ∴， ∴，， ∴等边与矩形重叠部分的面积为， 当时，达到临界值，即时，， ，此时． ③当时，点在上，点不在矩形边上时， 此时，， ∴， ∴等边与矩形重叠部分的面积为，此时． ∴与的函数解析式为 14．【详解】（1）解：，，， ， ， ； 故答案为：； （2）解：当点和点重合时，则， 依题意得：，， 则，， ， 解得， 即当点与点重合时，； （3）解：当点与点重合时，依题意得：， 解得， 当点与点重合时，依题意得：， 解得， 当一点运动到终点时，另一点也随之停止运动， ， 分两种情况讨论： 当时，如图， ， ， ； ②当时，如图，交于点， ， ， ， ， ； 综上所述，． 15．【详解】（1）解：建立如图所示的平面直角坐标系， 设抛物线的解析式为， 将，代入，， 得， 解得， 因此，该抛物线的解析式为； （2）解：由（1）知：， 当水面下降，即时， ， 解得或， 此时水面宽度为， 答：此时水面宽度为． 16．【详解】（1）解：设该电商平台“哭哭马”2月到4月销量的月平均增长率为x， 根据题意得：， 解得，（不符合题意，舍去）． 答：该电商平台“哭哭马”2月到4月销量的月平均增长率为； （2）解：①设每件应降价y元，则每件的销售利润为元，日销售量为件， 根据题意得：， 整理得： 解得：， 又∵要尽快减少库存， ∴， 答：每件应降价10元． ②设线上和线下的日利润总和为w元，售价为a元/件 则 ， ， ∴当时，w有最大值，最大值为3310， ∴当售价为34元/件，即降价元/件时，线上和线下的日利润总和达到最大，最大利润为3310元． 17．【详解】（1）解：由题意得：抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为：， 经过点， ， 解得：， 抛物线的解析式为：， 当时，， 不能射进球门； （2）解：设向后方移动，则移动后的抛物线的解析式为：， 经过点， ， ， 或， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴向后移动才能让足球经过点正上方处． 18．【详解】（1）解：∵抛物线过点，，对称轴是直线， ∴， 解得， ∴； （2）解：设直线的解析式为，把代入得， ， 解得． ∴． ∵， ∴， 当时，， ∴． ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴． ∵过点M作x轴的垂线交于点N，交抛物线于点P， ∴设，， ∴， 解得， ∵， ∴不符合题意，舍去， ∴； （3）解：由题意，得，则， 由（2）得，． ∴ ， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当时，四边形的面积最大，最大面积为． 学科网（北京）股份有限公司 $