5.3实际问题与一元一次方程（数字问题）跟踪练习2026-2027学年人教版数学七年级上册

**基本信息** 本练习聚焦一元一次方程数字问题，通过基础巩固、能力提升、综合应用三层设计，覆盖从单一数字关系到幻方、新定义问题的进阶，培养抽象能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|连续偶数、两位数数字关系|单选1-4直接列方程，填空7-10强化设元与等量关系，夯实概念理解| |提升层|幻方、数字规律|单选5-6需建立幻方等量关系，填空11-12结合数字谜题，发展推理意识| |综合层|新定义、数表规律|解答13-17含"相异数"定义、幻方证明，融合分类讨论与规律探究，提升应用能力|

5.3实际问题与一元一次方程（数字问题） 一、单选题 1．三个连续的偶数的和是，其中最大的偶数是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在一个三阶幻方中，填写了一些数、式子和汉字（其中每个式子或汉字都表示一个数），若处于每一横行、每一竖列，以及两条斜对角线上的3个数之和都相等，则这个幻方中m的值为（    ） A．3 B．1 C．-8 D．-10 3．一个两位数，个位数字与十位数字的和是8，如果将个位数字与十位数字对调后所得的新数比原数大36，则原来的两位数为（     ） A．35 B．26 C．17 D．53 4．一个两位数,个位上的数字与十位上的数字之和为7,如果这个两位数加上45则恰好成为个位数字与十位数字对调后组成的新两位数，则原来的两位数是（    ） A．61 B．16 C．52 D．25 5．夏禹时代的“洛书”是最早的幻方，它的每行、每列、每条对角线上三个数之和均相等．如图，方格中填写了一些数和字母．若它能构成一个三阶幻方，则的值为（    ） m 2n n 8 0 A．4 B．5 C．6 D．7 6．观察下列按一定规律排列的个数：1，3，5，7，9，…，若最后三个数之和是303，则等于（    ） A．51 B．52 C．101 D．103 二、填空题 7．有一个两位数，其数字之和是8，个位上的数字与十位上的数字互换后所得新数比原数小36，求原数．分析：设个位上和十位上的数字分别为、，则原数表示为________，新数表示为________；题目中的相等关系是：①________；②_______，故列方程组为_______． 8．幻方起源于中国，是我国古代数学的杰作之一，根据图1中的规律，求出图2中________． 9．幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫图．将数字1~9分别填入如图所示的幻方中，要求每一横行、每一竖行以及两条斜对角线上的数字之和都是15，则的值为______． 10．已知四个连续偶数的和为220，则这四个偶数中最小的数是________． 11．数学谜题：，“”内填上同一个数字______，可使等式成立． 12．一个两位数，十位上的数字比个位上的数字的4倍多1，将两个数字调换位置后所得的数比原数小63，原数为___________． 三、解答题 13．定义：对于一个两位数x，如果x满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为“相异数”，将一个“相异数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，将这个新两位数与原两位数的求和，同除以11所得的商记为S（x）． 例如，a＝13，对调个位数字与十位数字得到的新两位数31，新两位数与原两位数的和为13+31＝44，和44除以11的商为44÷11＝4，所以S（13）＝4． （1）下列两位数：20，29，77中，“相异数”为　 　，计算：S（43）＝　 　； （2）若一个“相异数”y的十位数字是k，个位数字是2（k﹣1），且S（y）＝10，求相异数y； （3）小慧同学发现若S（x）＝5，则“相异数”x的个位数字与十位数字之和一定为5，请判断小慧发现”是否正确？如果正确，说明理由；如果不正确，举出反例． 14．学校将学生按年级、班级、班内座号的顺序给每一位学生编号，如7年级12班26号学生的编号为071226．小浩同学模仿二维码的方式给学生编号设计了一套身份识别系统，在4×4的正方形网格中，黑色正方形表示数字1，白色正方形表示数字0．我们把从上往下数第i行、从左往右数第j列表示的数记为aij（其中i、j＝1，2，3，4），例如图1中，第2行第3列的数字a23＝1．规定Ai＝23ai1+22ai2+2ai3+ai4． (1)若A1表示所在年级，A2表示所在班级，A3表示编号的十位数字，A4表示编号的个位数字．图1是小浩同学的身份识别图案，请直接写出小浩同学的编号为______； (2)小浩同学又设计了一套信息加密系统，其中A1表示所在年级的数加4，A2表示所在年级的数乘2后减2再减所在班级的数，将编号的末两位单列出来，作为一个两位数，个位与十位数字对换后再加2，所得结果的十位数字用A3表示、个位数字用A4表示，9年级5班39号的小方同学，编号为090539，其加密后的身份识别图案中，A1＝9+4＝13，A2＝9×2﹣2﹣5＝11，93+2＝95，所以A3＝9，A4＝5，则加密后的编号为131195． ①请在图2中画出小方同学加密后的身份识别图案； ②图3是小乐同学加密后的身份识别图案，由于被损坏看不清第4行，但已知加密后的编号的末两位比原编号的末两位小16，请求出小乐同学的编号． 15．有一列数，其中第n个数是，如果这列数中某三个相邻数的和是．那么这三个数各是多少？ 16．“九宫格”源于我国古代的“洛书”，九宫格的上面三格称为“上三宫”，下面三格称为“下三宫”，中间一小格称为“中宫”，左右两格称为“左宫”和“右宫”．如图，九宫格中分别对应着从九个数字，并且无论纵向、横向、斜向三条线上的三个数字之和皆相等．设“九宫”中九个数字分别为． (1)证明：九宫格中“中宫”的数字一定是5． (2)判断“左宫”和“右宫”的位置上能否是偶数，并说明理由． 17．将连续的奇数1，3，5，7，9，……排成如图所示的数表． (1)写出数表所表示的规律；（至少写出4个） (2)若将方框上下左右移动，可框住另外的9个数．若9个数之和等于297，求方框里中间数是多少？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 答案 C A B B B B 1．C 【分析】本题考查一元一次方程的应用，先设最大的偶数，再根据三个连续的偶数的和是，即可列出相应的方程，然后求解即可． 【详解】解：设最大的偶数为x，则另为两个偶数为， 由题意可得：， 解得， 故选C． 2．A 【分析】根据幻方的特点列出算式m+1-9=-5+0，求出m即可． 【详解】解：根据题意知m+1-9=-5+0， 解得：m=3， 故选A． 【点睛】本题主要考查有理数的加法，解题的关键是掌握有理数的加减运算法则及幻方的特点． 3．B 【分析】本题考查一元一次方程的应用，设个位数字为x，则十位数字为，根据“将个位数字与十位数字对调后所得的新数比原数大36”列方程求解即可． 【详解】解：设个位数字为x，则十位数字为， 由题意得，， 解得， 则， ∴原来的两位数为， 故选：B． 4．B 【分析】先设这个两位数的十位数字和个位数字分别为x，7-x，根据“如果这个两位数加上45，则恰好成为个位数字与十位数字对调之后组成的两位数”列出方程，求出这个两位数． 【详解】设这个两位数的十位数字为x，则个位数字为7−x， 由题意列方程得,10x+7−x+45=10(7−x)+x， 解得x=1， 则7−x=7−1=6，故这个两位数为16. 故选B. 【点睛】此题考查一元一次方程的应用，解题关键在于理解题意列出方程. 5．B 【分析】本题考查一元一次方程的应用，代数式求值，根据幻方的特点，得到，求出的值，进而求出代数式的值即可． 【详解】解：由题意，， 解得：， ∴； 故选B． 6．B 【分析】找出第n个数表示为2n−1，然后列出后三项的和求解即可． 【详解】解：根据题意可得第n个数为2n−1， 则后三个数分别为2n−5，2n−3，2n−1， ∴2n−5＋2n−3＋2n−1＝303， 解得：n＝52． 故选：B． 【点睛】本题考查数字的变化规律以及一元一次方程的应用，解题关键是熟练掌握常用的寻找数字规律的方法． 7． 【分析】设个位上和十位上的数字分别为x，y，则可分别表示原数和新数，再找出两个等量关系，列方程组； 【详解】依题意，原数表示为，新数表示为, 两个等量关系为：①个位上的数字+十位上的数字=8；②新数+36=原数； 列方程组为； 故答案为：；；；；． 【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，准确计算是解题的关键． 8． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意得到，求得的值，代入代数式，即可求解． 【详解】解：∵每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数的和都相等， ∴ ∴ ∴ 故答案为：． 9．1 【分析】如图（见解析），先根据“每一横行、两条斜对角线上的数字之和都是15”求出图中①和②表示的数，再根据“每一竖行上的数字之和都是15”建立方程，解方程即可得． 【详解】解：如图，由题意，图中①表示的数是， 图中②表示的数是， 则， 解得， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，正确求出图中①和②所表示的数是解题关键． 10．52 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意列出方程． 设四个连续偶数中最小的偶数为，则另外三个偶数分别为，，，这四个偶数的和可以表示为 ，合并同类项，得，解出方程即可． 【详解】解：设四个连续偶数中最小的偶数为，则另外三个偶数分别为，，， 由题意得： ， ∴， 解得：， ∴这四个偶数中最小的数为． 故答案为：． 11．9 【分析】设“○”内的数字为x，根据题意列出方程求解即可． 【详解】解：设“○”内的数字为x，根据题意可得： 3×（20+x）+5=10x+2， 解得：x=9， 故答案为：9． 【点睛】题目主要考查一元一次方程的应用，理解题意列出方程是解题关键． 12．92 【分析】设原两位数的个位数字为x，则十位数字为，原来的两位数是： ，把十位上的数字与个位上的数字交换后，十位上数字是x，个位上数字是，交换位置后这个数是：，列方程解答即可． 【详解】设原两位数的个位数字为x，则十位数字为， 依题意有：， 解得：, ∴原数为， 故答案为：92． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，根据数位知识及所给条件列出等量关系解本题的关键． 13．（1）29，7； （2）46； （3）正确，理由： 设“相异数”的十位数字为a，个位数字为b，则x＝10a+b， 由S（x）＝5得，10a+b+10b+a＝5×11， 即：a+b＝5， 因此，判断正确． 【分析】（1）根据“相异数”的定义可知29是“相异数”，20，77不是“相异数”，利用定义进行计算即可， （2）根据“相异数”的定义，由S（y）＝10，列方程求出“相异数y”的十位数字和个位数字，进而确定y； （3）设出“相异数”的十位、个位数字，根据“相异数”的定义，由S（x）＝5，得出十位数字和个位数字之间的关系，进而得出结论． 【详解】解：（1）根据“相异数”的定义可知29是“相异数”， 20，77不是“相异数” S（43）＝（43+34）÷11＝7， 故答案为：29，7； （2）由“相异数”y的十位数字是k，个位数字是2（k﹣1），且S（y）＝10得， 10k+2（k﹣1）+20（k﹣1）+k＝10×11， 解得k＝4， ∴2（k﹣1）＝2×3＝6， ∴相异数y是46； （3）略 【点睛】本题主要考查相异数，一元一次方程的应用，掌握相异数的定义及S（x）的求法是解题的关键． 14．(1)071143 (2)①见图，②081031 【分析】（1）由规定Ai＝23ai1+22ai2+2ai3+ai4，可分别求得A1、A2、A3、A4，从而可得小浩同学的编号； （2）①根据小方同学加密后的编号为131195，从而可求得各行与各列的数，可得图形； ②由题意知，小乐同学加密后的编号中A1=12，A2=4，A3=1，设小乐同学加密后的编号中A4=x，则可得加密后的末两位数为，从而可得原编号中末两位数为10(x−2)+1，根据“加密后的编号的末两位比原编号的末两位小16”列出方程，即可求得x，从而求得原编号． 【详解】（1）由题意得：，，， 所以小浩同学的编号为071143 故答案为：071143 （2）①小方同学加密后的编号为131195 ∵， ∴ ∵， ∴ ∵， ∴ ∵， ∴ 故可得图如下： ②由题意知，小乐同学加密后的编号中A1=12，A2=4，A3=1，设小乐同学加密后的编号中A4=x ∴加密后的编号末两位数为 ∴原编号中末两位数为10(x−2)+1 由题意得：10(x−2)+1=（10+x）+16 解得：x=5 ∴原编号中末两位数为10(5−2)+1=31 由A1=12得加密前的年级为12−4=8，由A2=4得加密前的班级为8×2−2−4=10 所以小乐同学原来的编号为081031． 【点睛】本题材料题，考查了有理数的运算、求代数式的值、解一元一次方程等知识，理解题意是关键． 15．这三个数是 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，正确找到相邻数字之间的关系，进而列出方程求解是解题的关键．从符号和绝对值两方面观察，可发现这列数的排列规律，后面的是它前面的数与的乘积．设所求三个数中的第一个数是x，则后两个数分别是．根据题意列出方程求解即可． 【详解】解：设所求三个数中的第一个数是x，则后两个数分别是， 由三个数的和是，得． 合并同类项，得． 系数化为1，得． 所以． 答：这三个数是． 16．(1)证明见解析 (2)不能是偶数，理由见解析 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，逻辑推理： （1）设纵向、横向、斜向3个数字之和均为，根据题意，分别对应中的一个数字，得到9个数之和为，根据纵向、横向、斜向3个数字之和相同，得到，进而得到，求解即可； （2）假设“左宫”数字为偶数，则“右宫”数字也为偶数，推出与中4个偶数5个奇数相矛盾，即可． 【详解】（1）设纵向、横向、斜向3个数字之和均为． 因为， 所以 所以， 又因为， 所以， 所以， 即“中宫”的数字一定是5． （2）假设“左宫”数字为偶数， 因为纵向、横向、斜向3个数字之和均为，中宫数字是5，为奇数； 则“右宫”数字也为偶数， 则数字必为一奇一偶， 不妨设为奇数，为偶数， 则必为偶数，为奇数， 这与中4个偶数5个奇数相矛盾， 所以“左宫”和“右宫”的位置上不能是偶数． 根据九宫格的对称性知为偶数，为奇数，也会产生矛盾． 奇 偶 偶 偶 5奇 偶 偶 偶 奇 故“左宫”和“右宫”的位置上不能是偶数． 17．(1)见解析 (2)方框里中间数是33 【分析】（1）观察所给的数表即可得； （2）设方框里中间数为x，则另外8个数为，，，，，，，，由题意得， 进行计算即可得． 【详解】（1）解：规律有：①第一列个位数都是1，②每行只有5个奇数，③每行相邻两个数的和是2的倍数，④每列相邻的两个数相差10． （2）解：设方框里中间数为x，则另外8个数为，，，，，，，， 由题意得， ， ， 则方框里中间数是33． 【点睛】本题考查了数字规律，一元一次方程，解题的关键是理解题意，掌握一元一次方程的应用． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $