6.3 培优课 均值与方差的应用 同步练习-2026-2027学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦概率与随机变量核心知识，通过基础应用、综合辨析、情境拓展三层设计，实现从概念理解到实际建模的进阶，培养数学抽象与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|概率计算、期望方差公式|如钥匙开门问题（第1题），强化分步概率思维| |综合辨析|独立事件、分布列性质|如多选第9题判断事件独立性，提升逻辑推理能力| |应用拓展|实际情境建模|如电视台闯关奖金计算（第17题），培养数据分析与模型应用能力|

培优课　均值与方差的应用 1.某人有五把钥匙，其中两把可把门打开.随机取一把试开门，如果打不开，则将其不放回，再从剩下的钥匙中再取一把试开.那么第二次才将门打开的概率为（　　） A.　　 　B.　　　C.　　　D. 2.某种疾病的患病率为5%，通过验血诊断该病的误诊率为2%，即非患者中有2%的人诊断为阳性，患者中有2%的人诊断为阴性，随机抽取一人进行验血，则其诊断结果为阳性的概率为（　　） A.0.46 B.0.046 C.0.68 D.0.068 3.设X，Y为随机变量，且EX＝2，E（X2）＝6，Y＝2X－1，则DY＝（　　） A.9 B.8 C.5 D.4 4.某地区气象台统计，该地区下雨的概率是，刮风的概率为，在下雨天里，刮风的概率为，则既刮风又下雨的概率为（　　） A. B. C. D. 5.若随机变量η的分布列为 η －2 －1 0 1 2 3 P 0.1 0.2 0.2 0.3 0.1 0.1 则当P（η＜x）＝0.8时，实数x的取值范围是（　　） A.（－∞，2] B.[1，2] C.（1，2] D.（1，2） 6.某实验测试的规则是：每位学生最多可做3次实验，一旦实验成功，则停止实验，否则一直做到3次为止.设某学生一次实验成功的概率为p（0＜p＜1），实验次数为随机变量X，若X的数学期望EX＞1.56，则p的取值范围是（　　） A.（0，0.6） B.（0，0.8） C.（0.6，1） D.（0.8，1） 7.长白飞瀑，高句丽遗迹，鹤舞向海，一眼望三国，伪满皇宫，松江雾凇，净月风光，查干冬渔，是著名的吉林八景，某人打算到吉林旅游，冬季来的概率是，夏季来的概率是，如果冬季来，则看不到长白飞瀑，鹤舞向海和净月风光，若夏季来，则看不到松江雾凇和查干冬渔，无论什么时候来，由于时间原因，只能在可去景点当中选择两处参观，则某人去了“一眼望三国”景点的概率为（　　） A. B. C. D. 8.第二十二届世界杯足球赛，东道主卡塔尔与厄瓜多尔、塞内加尔、荷兰分在A组进行单循环小组赛（每两队只进行一场比赛），每场小组赛结果相互独立.已知东道主卡塔尔与厄瓜多尔、塞内加尔、荷兰比赛获胜的概率分别为p1，p2，p3，且p1＞p2＞p3＞0.记卡塔尔连胜两场的概率为p，则（　　） A.卡塔尔在第二场与厄瓜多尔比赛，p最大 B.卡塔尔在第二场与塞内加尔比赛，p最大 C.卡塔尔在第二场与荷兰比赛，p最大 D.p与卡塔尔和厄瓜多尔、塞内加尔、荷兰的比赛次序无关 9.（多选）已知事件A，B相互独立，则（　　） A.事件A与事件不相互独立 B.P（A）＝P（A｜B） C.事件AB与事件A互斥 D.在事件B发生的条件下，事件AB与事件B互为对立事件 10.（多选）离散型随机变量X的可能取值为1，2，3，4，P（X＝k）＝ak＋b（k＝1，2，3，4），EX＝3，则下列结论正确的是（　　） A.P（X＝1）＝ B.P（X＝2）＝ C.P（X＝3）＝ D.a＋b＝ 11.（多选）某电视台夏日水上闯关节目中的前三关的过关率分别为0.8，0.7，0.6，通过前一关才能进入下一关，且通过每一关相互独立，一选手参加该节目，则下列选项正确的是（　　） A.该选手一关都没闯过的概率为0.024 B.该选手只闯过第一关的概率为0.24 C.该选手只闯过前两关的概率为0.56 D.该选手闯过前三关的概率为0.336 12.（多选）设0＜p＜1，已知随机变量ξ的分布列如下表，则下列结论正确的是（　　） ξ 0 1 2 P p－p2 p2 1－p A.P（ξ＝0）＜P（ξ＝2） B.P（ξ＝2）的值最大 C.Eξ随着p的增大而增大 D.当p＝时，Dξ＝ 13.已知随机变量X的分布列如下表： X 1 2 3 4 P m 则P（｜X－2｜＝1）＝　　　　. 14.甲、乙、丙三人进行射击练习，已知甲、乙、丙击中目标的概率分别为0.4、0.5、0.8，则三人中至少有两人击中目标的概率为　　　　. 15.袋中有1个白球，2个黄球，2个红球，这5个小球除颜色外完全相同，每次不放回地从中取出1个球，取出白球即停，记X为取出的球中黄球数与红球数之差，则EX＝　　　　. 16.甲、乙两个袋中有大小相同的小球各4个，且每个袋中红球均为n个，黄球均为（4－n）个，现从两个袋中分别取一个球，取出一个红球得2分，取出一个黄球得1分，记两个袋中取球得到的总分数为随机变量ξ，若Eξ＝，则方差Dξ＝　　　　. 17.某电视台举行冲关直播活动，该活动共有四关，只有一等奖和二等奖两个奖项，参加活动的选手从第一关开始依次通关，只有通过本关才能冲下一关.已知第一关的通过率为0.7，第二关、第三关的通过率均为0.5，第四关的通过率为0.2，四关全部通过可以获得一等奖（奖金为700元），通过前三关就可以获得二等奖（奖金为200元）.假设选手是否通过每一关相互独立，现有甲、乙两位选手参加本次活动. （1）求甲获得奖金的均值； （2）已知甲和乙最后所得奖金之和为900元，求甲获得一等奖的概率. 18.某高校对该校学生进行了一次“身体素质测试”，包括铅球、50米跑、立定跳远三项.现将这三项的指标分别记为x，y，z，并对它们进行量化：0表示不合格，1表示合格，2表示优良，再用综合指标ω＝x＋y＋z的值评定身体素质等级，若ω≥4，则为一级；若2≤ω≤3，则为二级；若0≤ω≤1，则为三级.为了了解该校学生身体素质的情况，随机抽取了10人的测试成绩，得到如下表所示结果： 编号 A1 A2 A3 A4 A5 （x，y，z） （0，1，0） （1，2，1） （2，1，1） （2，2，2） （0，1，1） 编号 A6 A7 A8 A9 A10 （x，y，z） （1，1，2） （2，1，2） （2，0，1） （2，2，1） （0，2，1） （1）在这10人中任取2人，求抽取的2人指标z相同的概率； （2）从等级是一级的人中任取1人，其综合指标记为m，从等级不是一级的人中任取1人，其综合指标记为n，记随机变量X＝m－n，求X的均值和方差. 培优课　均值与方差的应用 1.D　设第i（i＝1，2）次打开门为事件Ai，则原问题为计算P＝×＝.故选D. 2.D　由题意得：P＝5%×（1－2%）＋（1－5%）×2%＝0.068，故选D. 3.B　由题意，DX＝E（X2）－（EX）2＝6－4＝2，故DY＝D（2X＋1）＝22DX＝8，故选B. 4.C　记A表示“下雨”，B表示“刮风”，AB表示“既刮风又下雨”，则P（A）＝，P（B）＝，P（B｜A）＝，所以P（AB）＝P（A）P（B｜A）＝×＝，故选C. 5.C　由题意知，P（η＜－1）＝0.1，P（η＜0）＝0.3，P（η＜1）＝0.5，P（η＜2）＝0.8，P（η＜3）＝0.9，则当P（η＜x）＝0.8时，实数x的取值范围是（1，2]. 6.A　X的所有可能取值为1，2，3，P（X＝1）＝p，P（X＝2）＝（1－p）p，P（X＝3）＝（1－p）2，由EX＝1×p＋2×（1－p）p＋3×（1－p）2＝p2－3p＋3＞1.56，解得p＜0.6或p＞2.4，又因为0＜p＜1，所以0＜p＜0.6，故选A. 7.C　设事件A1表示“冬季去吉林旅游”，事件A2表示“夏季去吉林旅游”，事件B表示“去了‘一眼望三国’”，则P（A1）＝，P（A2）＝，在冬季去了“一眼望三国”的概率P（B｜A1）＝＝，在夏季去了“一眼望三国”的概率P（B｜A2）＝＝，所以去了“一眼望三国”的概率P（B）＝P（A1）P（B｜A1）＋P（A2）P（B｜A2）＝×＋×＝，故选C. 8.A　因为卡塔尔连胜两场，则第二场卡塔尔必胜，①设卡塔尔在第二场与厄瓜多尔比赛，且连胜两场的概率为P1，则P1＝2（1－p2）p1p3＋2（1－p3）·p1p2＝2p1（p2＋p3）－4p1p2p3；②设卡塔尔在第二场与塞内加尔比赛，且连胜两场的概率为P2，则P2＝2（1－p1）p2p3＋2（1－p3）p1p2＝2p2（p1＋p3）－4p1p2p3；③设卡塔尔在第二场与荷兰比赛，且连胜两场的概率为P3，则P3＝2（1－p1）p2p3＋2（1－p2）p1p3＝2p3（p1＋p2）－4p1p2p3.所以P1－P2＝2p3（p1－p2）＞0，P1－P3＝2p2（p1－p3）＞0，P2－P3＝2p1（p2－p3）＞0，所以P1＞P2＞P3，因此，卡塔尔在第二场与厄瓜多尔比赛，p最大，A对，B、C、D错，故选A. 9.BCD　因为P＝P（A－AB）＝P（A）－P（AB）＝P（A）－P（A）P（B）＝P（A）[1－P（B）]＝P（A）P，因此事件A与事件相互独立，故A错误；因为P（A｜B）＝＝＝P（A），故B正确；因为事件A，B相互独立，由A选项证得的结论知事件A与事件相互独立，因此AB与A不可能同时发生，所以AB与A互斥，故C正确；P（AB｜B）＝＝＝＝P（A），P（B｜B）＝＝＝＝P（），又因为P（）＋P（A）＝1，所以在事件B发生的条件下，事件AB与事件B互为对立事件，故D正确，故选B、C、D. 10.ABD　易知EX＝1×（a＋b）＋2×（2a＋b）＋3×（3a＋b）＋4×（4a＋b）＝3，即30a＋10b＝3　①.又（a＋b）＋（2a＋b）＋（3a＋b）＋（4a＋b）＝1，即10a＋4b＝1　②，由①②，得a＝，b＝0.则a＋b＝，D正确，P（X＝1）＝，P（X＝2）＝，P（X＝3）＝，A、B正确，C错误. 11.BD　因为某电视台夏日水上闯关节目中的前三关的过关率分别为0.8，0.7，0.6，且通过前一关才能进入下一关，且通过每一关相互独立，一选手参加该节目，所以该选手一关都没闯过的概率为1－0.8＝0.2，故A不正确；该选手只闯过第一关的概率为0.8×（1－0.7）＝0.24，故B正确；该选手只闯过前两关的概率为0.8×0.7×（1－0.6）＝0.224，故C不正确；该选手闯过前三关的概率为0.8×0.7×0.6＝0.336，故D正确；故选B、D. 12.AD　P（ξ＝0）＝p－p2＝p（1－p）＜1－p＝P（ξ＝2），所以A正确；令p＝，则P（ξ＝2）＝，P（ξ＝1）＝（）2＝＞，所以B错误；由题意得Eξ＝p2＋2（1－p）＝（p－1）2＋1，由于0＜p＜1，所以Eξ随着p的增大而减小，所以C错误；当p＝时，Eξ＝（）2＋1＝，Dξ＝（0－）2×＋（1－）2×＋（2－）2×＝，所以D正确.故选A、D. 13.　解析：由所有概率和为1，可得m＝，所以P（｜X－2｜＝1）＝P（X＝1）＋P（X＝3）＝＋＝. 14.0.6　解析：根据题意，三人均未击中目标的概率为0.6×0.5×0.2＝0.06；只有一人击中目标的概率为0.4×0.5×0.2＋0.6×0.5×0.2＋0.6×0.5×0.8＝0.34，所以三人中至少有两人击中目标的概率为1－0.06－0.34＝0.6. 15.0　解析：由题意得P（X＝0）＝＋×××2＋××××6＝，P（X＝1）＝P（X＝－1）＝×＋××××3＝，P（X＝2）＝P（X＝－2）＝××＝，故EX＝0×＋1×＋（－1）×＋2×＋（－2）×＝0. 16.　解析：由题意可知P（ξ＝2）＝·＝，P（ξ＝3）＝·＋·＝，P（ξ＝4）＝·＝，故Eξ＝2·＋3·＋4·＝，解得n＝1，所以Dξ＝（2－）2×＋（3－）2×＋（4－）2×＝. 17.解：（1）设甲获得的奖金为X元，则X可能的取值为0，200，700. P（X＝200）＝0.7×0.5×0.5×0.8＝0.14， P（X＝700）＝0.7×0.5×0.5×0.2＝0.035， P（X＝0）＝1－0.14－0.035＝0.825， 所以甲获得的奖金的概率分布列为： X 0 200 700 P 0.825 0.14 0.035 所以EX＝0.825×0＋0.14×200＋0.035×700＝52.5（元）. （2）设事件A：甲和乙最后所得奖金之和为900元，事件B：甲选手获得一等奖， 由（1）知获得二等奖的概率为0.14，获得一等奖的概率为0.035， 所以P（A）＝0.14×0.035×2＝0.009 8， P（AB）＝0.14×0.035＝0.004 9， 所以所求的概率P（B｜A）＝＝＝. 18.解：（1）由表可知，指标z为0的有A1， 指标z为1的有A2，A3，A5，A8，A9，A10， 指标z为2的有A4，A6，A7. 在这10人中任取2人，所有的情况种数为＝45， 抽取的2人指标z相同包含的情况种数为＋＝18， 所以抽取的2人指标z相同的概率P＝＝. （2）由题意得10人的综合指标如下表： 编号 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 综合 指标 1 4 4 6 2 4 5 3 5 3 其中等级是一级的有A2，A3，A4，A6，A7，A9，共6个， 等级不是一级的有A1，A5，A8，A10，共4个. 随机变量X的取值为1，2，3，4，5， P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝， P（X＝4）＝＝， P（X＝5）＝＝， 所以X的分布列为 X 1 2 3 4 5 P 则EX＝1×＋2×＋3×＋4×＋5×＝. DX＝×（1－）2＋×（2－）2＋×（3－）2＋×（4－）2＋×（5－）2＝. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $