5.2-3 培优课 排列与组合的综合问题 同步练习-2026-2027学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦排列组合综合应用，分层设计从基础概念到复杂情境，通过多样化题型培养数学思维与推理能力，适配新授课知识巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础理解|单一概念应用（如选课、概率计算）|单选1-5通过生活情境（劳动选课、党史竞赛）强化分步计数原理| |综合辨析|概念区分与简单综合（排列组合判断、选考科目）|多选9-12结合新高考选科等真实场景，培养逻辑推理意识| |应用深化|复杂情境建模（分配问题、函数参数）|解答17-18以志愿者分配、二次函数参数为载体，发展数学建模与运算能力|

培优课　排列与组合的综合问题 1.某学校推出了《植物栽培》《手工编织》《实用木工》《实用电工》4门校本劳动选修课程，要求每个学生从中任选2门进行学习，则甲、乙两名同学的选课中恰有一门课程相同的选法种数为（　　） A.16　　　　　　　 　　 B.24 C.12 D.36 2.某学校组织庆祝中国共产党成立102周年党史知识竞赛，仅有三位同学进入最后的决赛.若这三位同学从A，B，C三类试题中随机选择一类试题作答，且各自的选择相互独立，则这三类试题都有同学选择的概率为（　　） A. B. C. D. 3.不等式≤12的解集为（　　） A.{n∣2≤n≤5，n∈N} B.{n∣3≤n≤6，n∈N} C.{5} D.{5，6} 4.由于用具简单，趣味性强，象棋成为流行极为广泛的棋艺活动.某棋局的一部分如图所示，若不考虑这部分以外棋子的影响，且“马”和“炮”不动，“兵”只能往前走或左、右走，每次只能走一格，从“兵”吃掉“马”的最短路线中随机选择一条路线，则能顺带吃掉“炮”的可能路线有（　　） A.10条 B.8条 C.6条 D.4条 5.若一个三位正整数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这个数为“伞数”，现从1，2，3，4，5这5个数字中任取3个数字，组成没有重复数字的三位数，其中“伞数”共有（　　） A.60个 B.53个 C.20个 D.35个 6.已知电影院有三部影片同时上映，一部动画片，一部喜剧片，一部动作片，5名同学前去观看，若喜剧片和动作片各至少两人观看，则不同的观影方案种数为（　　） A.30 B.40 C.50 D.80 7.2023年8月某市组织应急处置山火救援行动，现从组织好的5支志愿团队中任选1支到救援物资接收点服务，另外4支志愿团队分配给“传送物资、砍隔离带、收捡垃圾”三个不同项目，每支志愿团队只能分配到1个项目，且每个项目至少分配1个志愿团队，则不同的分配方案种数为（　　） A.36 B.81 C.120 D.180 8.《数术记遗》是我国古代的一部数学著作，该书记述了筹算、太乙算、两仪算、三才算、五行算、八卦算、九宫算等十三种计算器械的使用方法.某研究性学习小组的6人（4男2女）分成两组，分别收集整理八卦算、九宫算的相关资料.若两个女生不单独成组，且每组至多4人，则不同的分配方法共有（　　） A.20种 B.24种 C.28种 D.48种 9.（多选）给出下列问题，属于组合问题的有（　　） A.从甲、乙、丙3名同学中选出2名分别去参加两个乡镇的社会调查，有多少种不同的选法 B.有4张电影票，要在7人中确定4人去观看，有多少种不同的选法 C.某人射击8枪，击中4枪，且命中的4枪均为2枪连中，则不同的结果有多少种 D.从2，3，5，7，11中任选两个数相乘，可以得到多少个不同的积 10.（多选）在新高考方案中，选择性考试科目有：物理、化学、生物、政治、历史、地理.学生根据高校专业的要求，结合自身特长兴趣，首先从物理、历史2个科目中选择1个，再从政治、地理、化学、生物4个科目中选择2个，考试成绩计入考生总分，作为高考招生录取的依据.某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理这6个科目中选择3个作为选考科目，下列说法正确的是（　　） A.若任意选，则选法总数为 B.若化学必选，则选法总数为 C.若政治和地理至少选择1科，则选法总数为 D.若物理必选，化学、生物至少选择1科，则选法总数为＋1 11.（多选）有13名医生，其中女医生6人，现从中抽调5名医生组成医疗小组前往某灾区.若医疗小组至少有2名男医生，同时至多有3名女医生，设不同的选派方法种数为N，则下列能表示N的算式是（　　） A.－ B.＋＋＋ C.－－ D. 12.（多选）某校计划安排五位老师（包含甲、乙、丙）担任四月三日至四月五日的值班工作，每天都有老师值班，且每人最多值班一天，则下列说法正确的是（　　） A.若每天安排一人值班，则不同的安排方法共有种 B.若甲、乙、丙三人只有一人安排了值班，则不同的安排方法共有种 C.若甲、乙两位老师安排在同一天值班，丙没有值班，则不同的安排方法共有种 D.若五位老师都值班了一天，且每天最多安排两位老师值班，则不同的安排方法共有种 13.若＝，则x＝　　　　. 14.如图，提供4种不同的颜色给图中A，B，C，D四块区域涂色，若相邻的区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有　　　　种. 15.冬季供暖时，供热公司将5名水暖工分配到3个不同的居民小区检查暖气管道，每名水暖工只去一个小区，且每个小区都要有人去检查，那么分配的方案共有　　　　种. 16.某校去年11月份，高二年级有9人参加了赴日本交流访问团，其中3人只会唱歌，2人只会跳舞，其余4人既能唱歌又能跳舞.现要从中选6人上台表演，3人唱歌，3人跳舞，有　　　　种不同的选法. 17.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的系数a、b、c是集合{－3，－2，－1，0，1，2，3，4}中3个不同的数，求坐标原点在该函数图象即抛物线内部的二次函数的个数. 18.杭州亚运会期间，相关部门将6名志愿者分配到亚运会三个不同的运动场馆做服务工作，每个岗位至少1人. （1）一共有多少种不同的分配方案？ （2）若6名志愿者中的甲和乙必须分配在同一个场馆工作，则共有多少种不同的分配方案？ 培优课　排列与组合的综合问题 1.B　甲先从4门课程中选择1门，有4种选法，乙再从剩下的3门中选择1门，有3种选法，甲、乙再从剩下的2门中共同选择1门，有2种选法，所以根据分步乘法计数原理可得甲、乙两名同学的选课中恰有一门课程相同的选法为4×3×2＝24种，故选B. 2.B　由题意可知，这三位同学从A，B，C三类试题中随机选择一类试题作答时，每个同学均有3种选择，则共有33＝27种情况；其中，这三类试题都有同学选择的情况，则共有＝3×2×1＝6种；所以，这三类试题都有同学选择的概率P＝＝，故选B. 3.C　由≤12，得n（n－1）（n－2）·（n－3）（n－4）≤12×且n≥5，化简整理得n2－7n＋10≤0，解得2≤n≤5，又因为n≥5，所以n＝5，故选C. 4.C　由题意可知：“兵”吃掉“马”的最短路线，需横走三步，竖走两步；其中能顺带吃掉“炮”的路线可分为两步：第一步，横走两步，竖走一步，有＝3种走法；第二步，横走一步，竖走一步，有＝2种走法.∴能顺带吃掉“炮”的可能路线共有3×2＝6（条），故选C. 5.C　由题意得：十位数只能是3，4，5，当十位数是3时，个位和百位只能是1，2，“伞数”共有＝2个；当十位数是4时，个位和百位只能是1，2，3，“伞数”共有＝6个；当十位数是5时，个位和百位只能是1，2，3，4，“伞数”共有＝12个；所以“伞数”共有20个，故选C. 6.C　喜剧片和动作片至少两人观看的情况有：喜剧片2人且动作片2人，喜剧片3人且动作片2人，喜剧片2人且动作片3人，当喜剧片2人且动作片2人时，共有种观看方案，当喜剧片3人且动作片2人时，共有种观看方案，当喜剧片2人且动作片3人时，共有种观看方案，所以一共有＋＋＝50种观看方案，故选C. 7.D　先从5支志愿团队中任选1支到救援物资接收点服务，有＝5种不同的选派方案，再将剩下的4支志愿团队分配给“传送物资、砍隔离带、收捡垃圾”三个不同项目，有＝6×6＝36种不同的选派方案，所以，根据分步乘法计数原理，不同的安排方案有＝5×36＝180种，故选D. 8.D　①分3，3的两组时，不会出现两个女生单独成组的情况，有种分组方法，再对应到八卦算、九宫算的收集整理，有种情况，此时共有×＝20种安排方式；②分2，4的两组时，有＝15种分组方法，除去1种两个女生单独成组的情况，则有14种符合条件的分组方法，再对应到八卦算、九宫算的收集整理，有种情况，此时共有14×＝28种安排方式，综上共有20＋28＝48种安排方式.故选D. 9.BCD　对于A，从3名同学中选出2名同学后，分配到两个乡镇涉及顺序问题，是排列问题；对于B，从7人中选出4人观看不涉及顺序问题，是组合问题；对于C，射击命中不涉及顺序问题，是组合问题；对于D，乘法满足交换律，两数相乘的积不涉及顺序，是组合问题.故选B、C、D. 10.BD　若任意选科，选法总数为，故A错误.若化学必选，则选法总数为，故B正确.若政治和地理至少选1门，则选法总数为×（＋1），故C错误.若物理必选，化学、生物至少选1门，选法总数为＋1，故D正确.故选B、D. 11.BC　因为有13名医生，其中女医生6人，所以男医生7人.A：表示选派1个男医生4个女医生，因此－表示不选派1个男医生4个女医生，这里包括不选派男医生，显然不符合题意；B：表示选派2个男医生3个女医生，表示选派3个男医生2个女医生，表示选派4个男医生1个女医生，表示选派5个男医生，显然＋＋＋表示医疗小组至少有2名男医生，同时至多有3名女医生，符合题意；C：表示选派1个男医生4个女医生，表示选派5个女医生，显然－－表示医疗小组至少有2名男医生，同时至多有3名女医生，符合题意；D：表示先从7名男医生中选2名男医生，再从剩下全部医生中选3名医生，显然不符合题意，故选B、C. 12.AC　对于选项A，每天安排一人值班，则不同的安排方法共有种，A正确；对于选项B，甲、乙、丙三人只有一人安排了值班的安排方法可分为两步完成，第一步，从甲、乙、丙三人中选出一人，有种选法，再将所选之人与余下两人分别安排到四月三日至四月五日，有种方法，故不同的安排方法共有种，B错误；对于选项C，甲、乙两位老师安排在同一天值班，丙没有值班等价于将甲、乙视为一个整体，与除甲、乙、丙外的两人一起分别安排到四月三日至四月五日值班，不同的安排方法共有种，C正确；选项D，安排五位老师都值班了一天，且每天最多安排两位老师值班可分为两步完成，先将5人分为2人，2人，1人三个小组，再将3个小组分别安排到四月三日至四月五日，完成第一步的方法有种，完成第二步的方法有种，所以不同的安排方法共有种，D错误；故选A、C. 13.4或2　解析：因为＝，所以2x－1＝x＋3或2x－1＋x＋3＝8，解得x＝4或x＝2，经检验成立. 14.48　解析：先对B区域涂色，共有4种不同的涂法，再对D区域涂色，共有3种不同的涂法，再对A区域涂色，共有2种不同的涂法，最后对C区域涂色，共有2种不同的涂法，根据分步乘法计数原理，则不同的涂法共有4×3×2×2＝48种. 15.150　解析：将5名水暖工分成2，2，1或3，1，1三组，共有＋＝25（种）分法，将这三组水暖工分配到3个小区共有＝6（种）分法，由分步乘法计数原理，分配方案共有25×6＝150（种）. 16.216　解析：根据题意可按照只会跳舞的2人中入选的人数分类处理.第一类：2个只会跳舞的都不选，有·＝16种；第二类：2个只会跳舞的有1人入选，有··＝120种；第三类：2个只会跳舞的全入选，有··＝80种，所以共有216种不同的选法. 17.解：由二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象特征分析： 当a＞0时，抛物线开口向上，坐标原点在其内部等价于f（0）＝c＜0； 当a＜0时，抛物线开口向下，原点在其内部等价于f（0）＝c＞0. 所以对抛物线y＝ax2＋bx＋c，原点在其内部等价于af（0）＝ac＜0，于是在确定二次函数的解析式时，先定一正一负的a和c，再定b， 因此满足题设的二次函数共有＝144个. 18.解：（1）当分配的人数分别是1人，1人，4人时，共有＝90种分配方案； 当分配的人数分别是3人，2人，1人时，共有＝360种分配方案； 当分配的人数分别是2人，2人，2人时，共有＝90种分配方案. 所以一共有90＋360＋90＝540种不同的分配方案. （2）把甲、乙两人看作一个整体，6个人变成了5个元素，再把这5个元素分成3组， 若分配的元素分别是1人，1人，3人时，共有＝60种分配方案； 若分配的元素分别是2人，2人，1人时，共有＝90种分配方案. 则有60＋90＝150种不同的分配方案. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $