2.2 基本不等式（第1课时）课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦基本不等式的理解及简单最值问题，以“天平秤黄金”情境导入，通过杠杆平衡条件引出a、b关系，衔接重要不等式，经替换构建基本不等式，形成从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以情境培养数学眼光，引导学生从天平问题观察数量关系，通过分析法、作差法及几何解释发展数学思维，“一正二定三相等”总结强化数学语言表达。例题练习梯度设计助学生掌握应用，对学生提升探究与应用能力，对教师提供完整教学资源，提高教学效率。

2.2 基本不等式 第1课时 基本不等式 第二章 一元二次函数、方程与不等式 1 学习目标 1.理解基本不等式 2.能用基本不等式解决简单的最值问题 2 创设情境 一顾客购买5g黄金,商家用两臂不相等的天平秤黄金（两臂长分别为m和n).售货员先将5g砝码放在右盘, ag黄金放在左盘,使天平平衡；再将5g砝码放在左盘, bg黄金放在右盘,使天平平衡；最后将两次秤的黄金的重量的算数平均数作为黄金的重量交给顾客,请问顾客是赚还是亏,还是不赚不亏?为什么? （杠杆平衡条件：动力乘动力臂等于阻力乘阻力臂，即：am=5n，bn=5m） 3 探究新知 任务1：构建基本不等式. 思考：阅读教材，完成下列问题 (1)什么是基本不等式，它是如何得到的？ (2)在基本不等式中，a、b的取值范围是多少？ (3)什么是算数平均数？什么是几何平均数？大小关系如何？ (4)根据以上问题，可以得到基本不等式的含义是什么？ (1)在重要不等式a²+b²≥2ab的基础上，如果a>0，b>0，用代替a，用代替b，则得到ab≤，当且仅当a=b时取等号. (2)a>0，b>0. (3)算数平均数：，几何平均数：；≥ (4)两个正数的算术平均数不小于几何平均数，即 4 探究新知 任务2：证明基本不等式. 思考：乘法公式在代数式的运算中有重要作用．那么，是否也有一些不等式，它们在解决不等式问题时有着与乘法公式类似的重要作用呢？ 前面我们利用完全平方公式得出了一类重要不等式： ∀a,b ∈R，a2+b2≥2ab， 当且仅当a=b时，等号成立. 如果a＞0,b＞0,我们用 分别代替上式中的a,b，可得到什么结论？ 5 探究新知 当且仅当a=b时，等号成立. 替换后得到： 即： 即： 基本不等式表明： 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 基本不等式 几何平均数 算数平均数 正数a,b 正数a,b 注：a,b均为正数 6 探究新知 提问：能否直接利用不等式的性质推导出基本不等式呢？ 只要把上述过程倒过来， 就能直接推出基本不等式了． 显然，⑤成立，当且仅当 时，等号成立. 要证 ① 要证②，只要证 ③ 只要证 ② 要证③，只要证 ④ 要证④，只要证 ⑤ 分析法：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止. 7 探究新知 基本不等式的证明 执 果 索 因 方法一：（作差法） ∵ ∴ = =- =- ≤0 ∴ ≤ 方法二：（分析法） 要证 ≤， 只要证2≤+. 只要证2 ≤0 即证-≤0 只要证≥0 显然≥0成立，当且仅当时，等号成立. 8 探究新知 探究 如图, AB是圆的直径,点C是AB上一点, AC=a, BC=b. 过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD、BD.你能利用这个图形，得出基本不等式的几何解释吗？ 可证△ACD∽△DCB 则有 ， 则 ． 由于CD小于或等于圆的半径，用不等式表示为 显然，当且仅当点C与圆心重合， 即当a=b时，上述不等式的等号成立. 圆的弦长的一半小于或等于圆的半径长，当且仅当弦过圆心时，二者相等. 9 探究新知 基本不等式常用的变形 ≤ ≥ ≥2 ≤ （1）基本不等式的一边是“和式”，另一边是“积式”； （2）基本不等式的前提是非负数； （3）基本不等式取等号的条件. 10 适用范围 文字叙述 “=”成立条件 a=b a=b 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 两数的平方和不小于它们积的2倍 a,b∈R a>0,b>0 重要不等式与基本不等式的比较 总结概括 11 例题讲解 例1 已知x>0，求 的最小值. 解：因为x>0，所以 因此所求的最小值为2. 当且仅当 即x2=1，x=1时，等号成立， 12 例题讲解 思考：（1）“求的最小值”的含义是什么？ （2）本题中要求最小值的代数式有什么特点？是否可以利用基本不等式求的最小值？如果能，如何求？ （3）本题在解答过程中，是否必须说明“当且仅当，即，时，等号成立”？ （4）当<2时，成立吗？这时能说（x>0）的最小值吗？ (1)求出一个（= ），使，都有≥ (2)代数式是与的算术平均数的2倍，几何平均数是一个定值 (3)必须说明；这是为了说明2是（ ）的一个取值。 (4)成立；不能，此时找不到一个，使得 13 例题讲解 例2 已知x，y都是正数，求证： （1）如果xy等于定值P,那么当x=y时，和x+y有最小值 ； （2）如果x+y等于定值S,那么当x=y时，积xy有最大值 ； 证明：因为x，y都是正数，所以 （1）当积xy等于定值P时， 所以，x+y≥2 ,当且仅当x=y时， 上式等号成立. 所以，当x=y时，和x+y有最小值 . （2）当积x+y等于定值S时， 所以， ,当且仅当x=y时， 等号成立. 所以,当x=y时,积xy有最大值 . 两个正变量积为定值，则和有最小值，当且仅当两变量值相等时取最值.简记“积定和最小”. 两个正变量和为定值，则积有最大值，当且仅当两变量值相等时取最值.简记“和定积最大”. 14 例题讲解 例3 已知都是正数且=1，求证：≥9. 证明：由题意知 =+ =3+()+()+() ∴≥2,≥2,≥2 当且仅当 时，取等号. ∴≥9. 注意“1”的代换. 15 总结概括 （1）一正：符合基本不等式≥成立的前提 条件： （2）二定：化不等式的一边为定值. （3）三相等：必须存在取等号的条件，即等号成立. 能够利用基本不等式求代数式最值的条件： 代数式能转化为两个正数的和积的形式，它们的和或者积是一个定值，不等式中的等号能够取到，即“一正、二定、三相等”. 16 练一练 1.已知a>0，b>0，a+b=18,求ab的最大值. 解：∵ ∴ 当且仅当a=b=9时，等号成立， 所以，ab的最大值为81 17 练一练 2.已知x，y都是正数，且x≠y，求证 . 解：∵x，y都是正数，且x≠y， ∴ 又 ， 所以， 18 随堂小测 1、判断正误： （1）不等式 +≥2与 ≤有相同的适用范围.( ) （2）若 ，则≤ 恒成立. （ ） （3）当 同号时，≥2. ( ) （4）当＞0时，的最小值为2. （ ） （5）已知m＞0,n＞0，且mn=81,则m+n的最小值为18.（ ） × √ √ √ × 19 随堂小测 2.若a+b=2，则+⋅的最小值是(    ) A. 1 B. 2 C. 2 D. 2 B 3.下列函数最小值为4的是(    ) B 20 随堂小测 4.当x>1时，不等式x+≥a恒成立，则实数a的取值范围是(    ) A. (−∞,3] B. [3,+∞) C. [,+∞) D. (−∞,] A 5.不等式（ ≥2成立的前提条件为（ ） A. ≥ B.＞ C. ≤ D. B 6.已知m=(＞2),n=4- (≠0),则m,n之间的大小关系是 m＞n 21 7.（1）已知 ＞2，求的最小值； （2）已知0＜ ＜，求的最大值； 随堂小测 解：(1)∵ ＞2，∴ -2＞0 ∴ = -2+ ≥ 2 +2=6 当且仅当 -2= ，即=4时，等号成立. ∴的最小值为6 解:(2)∵0＜ ＜，∴＞0 ∴= ≤ = 当且仅当 =1- ，即=时， 等号成立. ∴的最大值为 22 7.（3）已知 ＞0，＞0,且 ,求的最小值； 随堂小测 解：∵ ＞0，＞0,且 ∴=()()=10+ ≥10+2 =18 当且仅当 ，即时，等号成立. 故当，时，的最小值18. 23 课堂小结 24 【课堂小结】根据今天所学，回答下列问题： （1）什么是基本不等式？ （2）基本不等式的代数特征是什么？几何解释是什么？ （3）基本不等式的使用条件是什么？ （1），当且仅当时等号成立； （2）代数特征：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数；几何解释：圆中直径不小于任意一条弦。 （3）一正、二定、三相等. 25 加油ヾ(◍°∇°◍)ﾉﾞ 26 $