江苏省江浦高级中学2027届高三数学返校阶段性检测（集合、逻辑、不等式和函数及基本函数）

**基本信息** 聚焦集合、函数等核心内容，通过创新定义（如“距”增函数、“局部奇函数”）与实际应用（生产利润问题），考查数学抽象、逻辑推理和数学建模能力，适配高三周测复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合运算、函数图像|伙伴关系集合考查抽象思维| |多选题|3/18|函数定义域、单调性|结合二次函数性质考查推理能力| |填空题|3/15|分段函数、创新定义|取整函数与抽象函数结合| |解答题|5/67|不等式求解、函数应用|“距”增函数证明与生产利润建模|

江苏省江浦高级中学2027届高三数学返校阶段性检测 （集合、逻辑、不等式和函数及基本函数） 2026年7月22日 一、单选题 1．设集合A ={1,2,3, ,2026}, ，则的元素个数为（ ） A．4052 B．2032 C．4036 D．4046 2．已知函数与的图象上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 3．设函数，若，则满足条件的所有实数的取值范围为（ ） A．或 B． C． D．或 4．若满足，满足，则（ ） A． B． C． D． 5．若方程的解为正数，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 6．已知函数，则函数的大致图像为（ ） A． B． C． D． 7．若，则，就称是伙伴关系集合，集合的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为（ ） A．15 B．16 C． D． 8.已知集合,,定义集合,则中元素的个数为( ) A． B． C． D． 二、多选题 9.设集合A={1,m},其中m为实数。令集合B={a+b|a∈A,b∈A}, 若A∩B恰有一个元素，则AUB的元素之和为（ ） A.5 B.6 C. 9 D,10 10．已知函数,,则下列说法正确的是( ) A．若函数的定义域为,则实数的取值范围是 B．若函数的值域为,则实数 C．若函数在区间上为增函数,则实数的取值范围是 D．若,则不等式的解集为 11．已知函数.若关于的方程无实数解,则实数可能的取值为( ) A． B． C． D． 三、填空题 12.在 △ABC中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若A≤B，且,则 的取值范围为 13．已知函数 , 其中[x]表示不超过 x 的最大整数 , 则 . 14.定义在[0,1]上的函数 满足：对任意x∈[0,1], 均有,且对任意 ,均有, 则 的值为 . 四、解答题 15．已知． （1）当时，求不等式的解集； （2）若不等式的解集为，求实数的取值范围. 16．已知二次函数，不等式的解集为． （1）求的解析式； （2）若函数在上单调，求实数的取值范围； （3）若对于任意的，都成立，求实数的最大值． 17．姜堰某化学试剂厂以千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求），每小时可获得的利润是千元． （1）要使生产该产品小时获得利润不低于千元，求的取值范围； （2）要使生产千克该产品获得的利润最大，问：该工厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润． 18．定义:若对定义域内任意,都有 (为正常数),则称函数为 “”增函数. (1)若,,试判断是否为“距”增函数,并说明理由; (2)若,是“”增函数,求的取值范围; (3)若,,其中,且为“”增函数,求的最小值. 19．若函数对于定义域内的某个区间内的任意一个,满足则称函数为上的“局部奇函数”;满足,则称函数为上的“局部偶函数”. 已知函数,其中为常数. (1)若为上的“局部奇函数”,当时,求不等式的解集; (2)已知函数在区间上是“局部奇函数”,在区间上是“局部偶函数”, (i)求函数的值域; (ii)对于上的任意实数,不等式恒成立,求实数的取值范围. 江苏省江浦高级中学2027届高三数学返校阶段性检测参考答案 （集合、逻辑、不等式和函数及基本函数） 2026年7月22日 一、选择题（每小题5分，共8小题40分） 1．设集合A ={1,2,3, ,2026}, B ={a2 + 3a |a ∈ A}，则 AB的元素个数为（ ） A．4052 B．2032 C．4036 D．4046 选D 【详解】当a ∈[1, +∞)时，a2 + 3a 关于a 单调递增， 若 X 表示有限集X 的元素个数，则|B| = |A| = 2026， 又12 + 31 = 4 < 2026 ， , 62 + 36 = 765 < 2026 ，72 + 37 = 2236 > 2026故A ∩ B = 6 ，所以|A U B| = |A| + |B| __ |A ∩ B| = 2026 + 2026-6 = 4046. 故答案为：4046 2．已知函数与的图象上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 选D，解：设为函数的图象上的点，则为函数 图象上的点，所以，依题意方程在区间上有解， 设，则有，解得，故选D 3．设函数，若，则满足条件的所有实数的取值范围为（ ） A．或 B． C． D．或 选C，解： 时，显然满足， 当不为零时, ,若， 则,且除外无实根，故判别式∴,综上，故选C． 4．若满足，满足，则（ ） A． B． C． D． 选C，解：，，即，，作出，的图象（如图)， 与的图象关于对称，它们与的交点的中点为与的交点，，∴． 5．若方程的解为正数，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 选C，解：转化为，设，因为，所以， 所以转化为，所以. 6．已知函数，则函数的大致图像为（ ） A． B． C． D． 选A，解：通过函数解析式，可以判断函数不具备奇偶性，图象既不关于原点对称，也不关于轴对称，排除B，C，而，排除D. 7．若，则，就称是伙伴关系集合，集合的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为（ ） A．15 B．16 C． D． 选A，解：∵由和和组成集合，和和都以整体出现， ∴有个集合，∵集合为非空集合，∴有个． 8．(2020山东莒县一中高一月考)已知集合,,定义集合,则中元素的个数为( ) A． B． C． D． 选C，解：由题意得,如图所示,图象上的每个小黑点对应的坐标就是集合的一个元素.因为,由的定义可得中各点如图所示,所以中的元素个数为. 二、多选题（每小题6分，共4小题18分） 9.设集合A={1,m},其中m为实数。令集合B={a+b|a∈A,b∈A}, 若A∩B恰有一个元素，则AUB的元素之和为（ ） A.5 B.6 C. 9 D,10 选AD,解：依题意可得：B={a+b|a∈A,b∈A}={2,1+m,2m},若A∩B恰有一个元素,这个元不是1就是m.当 1∈B时 ① 若1=1+m时，m=0,此时 A={1，0}，B={2，1，0}，A∩B={0，1}不满足题意，m=0 舍去，②若1=2m时，， 满足题意，其元素之和为5. 当 m∈B时,若m=1+m,m无解，②若m=2m时,m=0，A={1，0}，B={2，1，0}，A∩B={0，1}不满足题意，若m=2时，A={1，2}，B={2，3，4}，A∩B={2}，其元素之和为10。 故选AD 10．已知函数,,则下列说法正确的是( ) A．若函数的定义域为,则实数的取值范围是 B．若函数的值域为,则实数 C．若函数在区间上为增函数,则实数的取值范围是 D．若,则不等式的解集为 选A,C，解：对于A,由题意知对恒成立, 由于当时,不等式不恒成立,所以.当时,由,解得,所以A正确; 对于B,若函数的值域为,则,显然不为, 则函数的最小值为,则当时,,解得,所以B错误; 对于C,若函数在区间上为增函数,则在上为增函数,且在内的函数值为正,所以解得,所以C正确; 对于D,若,则不等式等价于, 则,解得,所以D不正确. 故选A,C， 11．已知函数.若关于的方程无实数解,则实数可能的取值为( ) A． B． C． D． 选A,B，解：关于的方程无实数解, 即方程无实数解, 令,转化为函数的图象与直线无交点, 又, 因为,所以, 所以实数的取值范围是.∴A、B满足题意. 三、填空题（每小题5分，共4小题20分） 12.在 △ABC中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若A≤B，且,则 的取值范围为 填： ，解：因为a ，b ，c 为 △ABC 的三边，所以 . 又a，b，c成等比数列，且A≤B，所以b2 = ac，c 且a ≤ b. 所以 t ，则 解得 . 所以 的取值范围为 13．已知函数f(x) = [x+log3 x] , 其中[x]表示不超过x的最大整数 , 则f(1) +f(2) +f(3) + f(4) + … +f(100) = 5334 14.定义在[0,1]上的函数f(x) 满足：对任意x∈[0,1], 均有f(x)+f(1-x)=1,且对任意,均有f(3x)=2f( x), 则 的值为 填：，解：⸪定义在[0,1]上的函数f(x) 满足：对任意x∈[0,1], 均有f(x)+f(1-x)=1 ⸫ ① ② 又⸪ 对任意,均有f(3x)=2f( x)，即： ③ ④ ⑤ 由①③，得：，由②④⑤，得：， 四、解答题 15．已知．（1）当时，求不等式的解集； （2）若不等式的解集为，求实数的取值范围. 解:（1）当时， 易得解集为或. （2）． ∵解集为，∴恒成立， ∵，∴．实数的取值范围[2,+∞) 16．已知二次函数，不等式的解集为． （1）求的解析式； （2）若函数在上单调，求实数的取值范围； （3）若对于任意的，都成立，求实数的最大值． 解:（1）依题意，为方程的两个实根，∴，∴，∴． (2)∵函数在上单调，又二次函数开口向上，对称轴为， ∴或，∴或． 实数的取值范围(-∞,-24] （3）依题意，，对于任意的恒成立， 只要， 设，当时，，∴.，实数的最大值为-21. 17．姜堰某化学试剂厂以千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求），每小时可获得的利润是千元． （1）要使生产该产品小时获得利润不低于千元，求的取值范围； （2）要使生产千克该产品获得的利润最大，问：该工厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润． 解:（1）由题意可知：，∴，∴或， 又因为，∴. （2）∵，， 令，∴，当即时，∴千元. 该工厂应该选取千克/小时生产速度，利润最大，且最大利润为千元． 18．定义:若对定义域内任意,都有 (为正常数),则称函数为“距”增函数. (1)若,,试判断是否为“距”增函数,并说明理由; (2)若,是“距”增函数,求的取值范围; (3)若,,其中,且为“距”增函数,求的最小值. 解:(1)任意, , 因为,所以,所以,即是“距”增函数. (2). 因为是“距”增函数,所以恒成立, 因为,所以在上恒成立, 所以,解得,因为,所以.的取值范围(1,+∞) (3)因为,,且为“距”增函数,所以时,恒成立, 即时,恒成立, 所以, 当时,,即恒成立,所以, 得; 当时,,得恒成立, 所以,得,综上所述,得.又() 当时,当,取最小值为;当时,当,取最小值. 因为在上是单调递增函数,所以当,的最小值为;当时的最小值为, 即. 19.若函数对于定义域内的某个区间内的任意一个,满足则称函数为上的“局部奇函数”;满足,则称函数为上的“局部偶函数”.已知函数,其中为常数. (1)若为上的“局部奇函数”,当时,求不等式的解集; (2)已知函数在区间上是“局部奇函数”,在区间上是“局部偶函数”, (1)求函数的值域; (2)对于上的任意实数,不等式恒成立,求实数的取值范围. 解:(1)对上成立,即,得; ,即,令,即,解得或, 又,∴,∴,又,∴的解集为; (2)(i), ①当时,令,在上单调递增,; ②当,令,,为对勾函数,. ∴的值域为; (ii)①当时,,,∴; ②当时,成立,∴; ③当时,,,∴, 综上,的取值范围是 第2页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $