2026年暑期预习讲义（一元二次方程的概念和因式分解解一元二次方程） 沪教版（五四制）八年级数学上册

沪教版（五四制）八年级数学上册暑期预习课程讲义 （课题：21.1~21.2（1）一元二次方程的概念和因式分解法解一元二次方程） 知识点一：一元二次方程的概念 一元二次方程：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的的整式方程称作一元二次方程． 三个具备：（1）整式方程（2）只含有一个未知数（3）整理后未知数的最高次数是2 注意： （1）整式：单项式和多项式统称整式（字母只出现在分子，不在分母和根号里） （2） 整式方程指的是只含有整式，分母，根号中不含未知数的方程。 例题讲解： 下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 课堂反馈： 1.下列方程中，一定是一元二次方程的是（　　） ①3x2+7＝0：②ax2+bx+c＝0；③（x﹣2）（x+5）＝x2﹣1；④3x0． A．① B．①② C．①②③ D．①②③④ 2.下列方程中，一元二次方程有（　　） ①3x2+x＝20；②2x2﹣3xy+4＝0；③；④x2＝1；⑤ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 知识点二：一元二次方程的一般式 任何一个关于的一元二次方程都可以化成的形式，这种形式简称为一元二次方程的一般式．其中叫做二次项，是二次项系数；叫做一次项，是一次项系数；叫做常数项． 例题讲解： 将一元二次方程2x2+3x＝1化成一般形式时，它的二次项、一次项系数和常数项分别为（　　） A．2x2，﹣3，1 B．2x2，3，﹣1 C．﹣2x2，﹣3，﹣1 D．﹣2x2，3，1 课堂反馈： 1.一元二次方程的二次项系数是 ；一次项系数是 ；常数项是 ． 2.若（1﹣m）3mx﹣2＝0是关于x的一元二次方程，则该方程的一次项系数是（　　） A．﹣1 B．±1 C．﹣3 D．±3 知识点三：一元二次方程的根 一元二次方程的解：能够使一元二次方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解．只含有一个未知数的方程，它的解又叫做方程的根． 例题讲解： 若关于x的方程x2+2ax+4a＝0有一个根为﹣3，则a的值是（　　） A．9 B．4.5 C．3 D．﹣3 课堂反馈： 1.方程中有一个解为的是（    ） A． B． C． D． 2.已知关于x的一元二次方程有一根为0，则（    ） A．1 B． C． D．0 知识点四：因式分解法解一元二次方程 1、 因式分解法定义 运用因式分解的手段求一元二次方程根的方法叫做因式分解法． 2、 因式分解法理论依据 1 如果两个因式的积等于零，那么这两个因式中至少有一个等于零；反之，如果两个因式中至少有一个等于零，那么这两个因式的积也等于零（即：当时，必有或；当或时，必有）． 2 通过因式分解，把一元二次方程化成两个一次因式的积等于零的形式，从而把解一元二次方程的问题转化为解一元一次方程的问题． 3、 因式分解法解一元二次方程一般步骤 1 将方程右边化为零； 2 将方程左边的二次三项式分解为两个一次因式的乘积； 3 令每一个因式分别为零，得到两个一元一次方程； 4 分别解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解． 例题讲解：用因式分解法解方程：2（x﹣3）＝3x（x﹣3）． 课堂反馈： 解方程：（4﹣3x）+（3x﹣4）2＝0（因式分解法）． 例题讲解：解下列方程： （1）； （2）． 课堂反馈： 解下列方程： （1）； （2）． 综合练习： 1.解下列方程： （1）； （2）． 2.解方程：． 3.解方程：． 4.解方程：． 沪教版（五四制）八年级数学上册暑期预习课程讲义 （课题：21.1一元二次方程的概念和因式分解法解一元二次方程） 知识点一：一元二次方程的概念 一元二次方程：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的的整式方程称作一元二次方程． 三个具备：（1）整式方程（2）只含有一个未知数（3）整理后未知数的最高次数是2 注意： （1）整式：单项式和多项式统称整式（字母只出现在分子，不在分母和根号里） （3） 整式方程指的是只含有整式，分母，根号中不含未知数的方程。 例题讲解： 下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 答案：C 分析：本题考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是． 本题根据一元二次方程的定义求解． 解：A、该方程属于分式方程，不符合题意； B、该方程中，当a＝0时，它不是关于x的一元二次方程，不符合题意； C、化简得：符合一元二次方程的定义，符合题意； D、该方程中含有2个未知数，它不是关于x的一元二次方程，不符合题意； 故选：C． 课堂反馈： 1.下列方程中，一定是一元二次方程的是（　　） ①3x2+7＝0：②ax2+bx+c＝0；③（x﹣2）（x+5）＝x2﹣1；④3x0． A．① B．①② C．①②③ D．①②③④ 分析：根据一元二次方程的定义判断即可，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． 解：①3x2+7＝0一定是一元二次方程； ②ax2+bx+c＝0，当a＝0时不是一元二次方程； ③（x﹣2）（x+5）＝x2﹣1整理得，3x﹣9＝0，是一元一次方程； ④3x0是分式方程． 故选：A． 2.下列方程中，一元二次方程有（　　） ①3x2+x＝20；②2x2﹣3xy+4＝0；③；④x2＝1；⑤ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 分析：本题根据一元二次方程的定义解答． 一元二次方程必须满足四个条件： （1）未知数的最高次数是2； （2）二次项系数不为0； （3）是整式方程； （4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案． 解：①符合一元二次方程定义，正确； ②方程含有两个未知数，错误； ③不是整式方程，错误； ④符合一元二次方程定义，正确； ⑤符合一元二次方程定义，正确． 故选：B． 知识点二：一元二次方程的一般式 任何一个关于的一元二次方程都可以化成的形式，这种形式简称为一元二次方程的一般式．其中叫做二次项，是二次项系数；叫做一次项，是一次项系数；叫做常数项． 例题讲解： 将一元二次方程2x2+3x＝1化成一般形式时，它的二次项、一次项系数和常数项分别为（　　） A．2x2，﹣3，1 B．2x2，3，﹣1 C．﹣2x2，﹣3，﹣1 D．﹣2x2，3，1 分析：根据一元二次方程的一般形式，ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数，a≠0）判断即可． 解：将一元二次方程2x2+3x＝1化成一般形式为：2x2+3x﹣1＝0， ∴它的二次项、一次项系数和常数项分别为：2x2，3，﹣1， 故选：B． 课堂反馈： 1.一元二次方程的二次项系数是 ；一次项系数是 ；常数项是 ． 分析：此题主要考查了一元二次方程的一般形式：，首先把一元二次方程化为一般形式，然后进行解答即可． 解：∵ ∴ ∴二次项系数为，一次项系数为1，常数项为， 故答案为：；1；． 2.若（1﹣m）3mx﹣2＝0是关于x的一元二次方程，则该方程的一次项系数是（　　） A．﹣1 B．±1 C．﹣3 D．±3 分析：先根据一元二次方程的定义求m，再求系数． 解：由题意得： 解得：m＝﹣1． ∴该方程的一次项系数为：3m＝﹣3． 故选：C． 知识点三：一元二次方程的根 一元二次方程的解：能够使一元二次方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解．只含有一个未知数的方程，它的解又叫做方程的根． 例题讲解： 若关于x的方程x2+2ax+4a＝0有一个根为﹣3，则a的值是（　　） A．9 B．4.5 C．3 D．﹣3 【分析】把x＝﹣3代入方程得9﹣6a+4a＝0，然后解关于a的一次方程即可． 【解答】解：把x＝﹣3代入方程得9﹣6a+4a＝0， 解得a＝4.5． 故选：B． 课堂反馈： 1.方程中有一个解为的是（    ） A． B． C． D． 分析：本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．利用一元二次方程解的定义对各选项分别进行判断． 解：A、当时，，所以不是方程的解； B、当时，，所以不是方程的解； C、当时，，所以不是方程的解； D、当时，，所以是方程的解． 故选：D． 2.已知关于x的一元二次方程有一根为0，则（    ） A．1 B． C． D．0 分析：本题考查一元二次方程的解，把代入方程，结合二次项的系数不等于0，求出的值即可． 解：由题意，得：，且， 解得：； 故选B． 知识点四：因式分解法解一元二次方程 4、 因式分解法定义 运用因式分解的手段求一元二次方程根的方法叫做因式分解法． 5、 因式分解法理论依据 3 如果两个因式的积等于零，那么这两个因式中至少有一个等于零；反之，如果两个因式中至少有一个等于零，那么这两个因式的积也等于零（即：当时，必有或；当或时，必有）． 4 通过因式分解，把一元二次方程化成两个一次因式的积等于零的形式，从而把解一元二次方程的问题转化为解一元一次方程的问题． 6、 因式分解法解一元二次方程一般步骤 5 将方程右边化为零； 6 将方程左边的二次三项式分解为两个一次因式的乘积； 7 令每一个因式分别为零，得到两个一元一次方程； 8 分别解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解． 例题讲解：用因式分解法解方程：2（x﹣3）＝3x（x﹣3）． 分析：移项后，利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可． 解：∵2（x﹣3）＝3x（x﹣3）， ∴2（x﹣3）﹣3x（x﹣3）＝0， 则（x﹣3）（2﹣3x）＝0， ∴x﹣3＝0或2﹣3x＝0， 解得x1＝3，x2． 课堂反馈： 解方程：（4﹣3x）+（3x﹣4）2＝0（因式分解法）． 分析：利用提取公因式（4﹣3x），将左边因式分解，再进一步求解即可． 解：∵（4﹣3x）+（3x﹣4）2＝0， ∴（4﹣3x）（5﹣3x）＝0， 则4﹣3x＝0或5﹣3x＝0， 解得x1，x2． 例题讲解：解下列方程： （1）； （2）． 解：（1）由，得，解得：或者， 所以原方程的解为：，； （2）由，得，即，解得：或者， 所以原方程的解为：，． 课堂反馈： 解下列方程： （1）； （2）． 解：（1）由，得，即，解得：或者 ，所以原方程的解为：，； （2）由，得，即，解得：或者， 所以原方程的解为：，． 综合练习： 1.解下列方程： （1）； （2）． 答案：（1），； （2），． 解：（1）由，得，即，解得：或 者，所以原方程的解为：，； （2）由，得，即，解得：或者， 所以原方程的解为：，． 2.解方程：． 解：由，得，即， 解得：或者，所以原方程的解为：，． 3.解方程：． 答案：，． 解：由，得，解得：或者， 所以原方程的解为：，． 4.解方程：． 答案：，． 解析：由，得，解得： 或者，所以原方程的解为：，． 1 学科网（北京）股份有限公司 $