专题3.4 利用导数研究不等式的恒成立问题讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦导数研究不等式恒（能）成立这一高考核心考点，按分离参数、分类讨论、同构法等六大题型系统梳理知识，通过考点解析、方法归纳、真题示例及跟踪训练，帮助学生构建解题框架，突破思维难点，体现复习的系统性与针对性。 资料以题型为载体创新教学方法，如同构法中通过构造函数转化指对不等式，端点效应“先必要后充分”步骤培养数学思维，结合分层练习与高考真题，助力学生高效掌握解题策略，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

专题3.4 利用导数研究不等式的恒（能）成立问题 知识梳理 1.分离参数法解含参不等式恒成立问题的思路： 用分离参数法解含参不等式恒成立问题是指在能够判断出参数的系数正负的情况下，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式，只要研究变量表达式的最值就可以解决问题． 2.分类讨论法：对于不适合分离参数的不等式，常常将参数看作常数直接构造函数，常用分类讨论法，利用导数研究单调性、最值，从而得出参数范围． 3.同构法解决不等式恒(能)成立问题 指对同构的常用形式 (1)积型：，一般有三种同构方式： ①同左构造形式：，构造函数； ②同右构造形式：，构造函数； ③取对构造形式：，构造函数 (2)商型：一般有三种同构方式： ①同左构造形式：构造函数； ②同右构造形式：构造函数； ③取对构造形式：，构造函数. (3)和、差型：，一般有两种同构方式： ①同左构造形式：，构造函数； ②同右构造形式：，构造函数. 4.端点效应 （1）必要条件缩小范围 ①若在上恒成立，则在区间端点处也成立，即 此法应用于区间端点值包含参数的情况. ②若在上恒成立，且则此法应用于区间端点的函数值为零的情况. ③若在上恒成立，且，则此法应用于区间端点的函数值为零且导数值也为零的情况. （2）充分性求结果 利用第一步中的参数的范围去判定函数是否单调； ①如果函数单调，则由端点得到的范围就是最终答案； ②如果函数不单调，则利用端点确定的范围进一步讨论函数的最值. 5.极点效应：核心是找到函数的极值点（极点），利用极点处“导数值为 0、函数值为临界值”的特征，搭建参数与函数性质的关联 6.整数解问题：1.数形结合 2.找出满足题意的整数 3.列出不等式（临界值） 【题型1 分离参数法】 【例1】（2026·河南·模拟预测）已知函数，曲线在点处的切线方程为. (1)求实数的值； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【难度】0.53 【知识点】已知切线（斜率）求参数、利用导数研究不等式恒成立问题、函数单调性、极值与最值的综合应用 【分析】（1）利用函数在点处的导数值即曲线的斜率及点在曲线上求得的值； （2）当时，恒成立，等价于 ，构造函数，求最小值，即可求实数的取值范围； 【详解】（1）已知函数，求导得 ， 由题意，得且 ， 所以，． （2）由（1）可知，， 由，得 ， 又，所以 ， 设，， 又，，由，解得， 当时，，当时，， 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以，所以，即实数的取值范围为． 跟踪训练 1.（2026·陕西西安·模拟预测）已知函数． (1)当时，讨论的单调性； (2)若对任意的，恒成立，求m的取值范围． 【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增 (2) 【难度】0.7 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数求函数的单调区间（不含参）、函数单调性、极值与最值的综合应用 【分析】（1）对函数求导，分析导函数的符号，从而可判断函数的单调性； （2）先对不等式进行变形分离参数，再构造函数借助导数找到函数的最小值，从而得到m的取值范围. 【详解】（1）当时，，则． 由，得， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以在上单调递减，在上单调递增． （2）由，得．因，则得， 依题意，只需即可. 设函数，则，由，得， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以，即， 所以，即的取值范围为． 2.（2025·陕西汉中·一模）设函数． (1)讨论的单调性； (2)若对任意，恒成立，求的取值范围； 【答案】(1)答案见解析 (2) 【知识点】利用导数证明不等式、利用导数求函数（含参）的单调区间、利用导数研究不等式恒成立问题、 【分析】（1）求导后分、及讨论即可得； （2）由题意可得，构造函数后利用导数研究函数单调性，则可得该函数最小值，即可得解； 【详解】（1），令，解得或， 若，则，则在上单调递增； 若，则当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； 若，则当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增. （2）当时，由，得，即， 令，则， 令，则，故在上单调递增， 又， 则当时，，即，则在上单调递减； 当时，，即，则在上单调递增； 所以， 所以，即的取值范围为. 【题型2 分类讨论法】 【例2】已知函数f(x)＝ln x－ax，a∈R. (1)求函数f(x)的单调区间； (2)若不等式f(x)＋a＜0在x∈(1，＋∞)上恒成立，求a的取值范围． 【解】　(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－a. ①当a≤0时，f′(x)＞0恒成立，则f(x)只有单调递增区间是(0，＋∞)． ②当a＞0时，由f′(x)＞0，得0＜x＜；由f′(x)＜0，得x＞； 所以f(x)的单调递增区间是(0，)，单调递减区间是. (2)f(x)＋a＜0在x∈(1，＋∞)上恒成立，即ln x－a(x－1)＜0在x∈(1，＋∞)上恒成立． 设g(x)＝ln x－a(x－1)，x＞0，则g′(x)＝－a，注意到g(1)＝0， ①当a≥1时，g′(x)＜0在x∈(1，＋∞)上恒成立，则g(x)在x∈(1，＋∞)上单调递减， 所以g(x)＜g(1)＝0，即a≥1时满足题意． ②当0＜a＜1时，令g′(x)＞0，得0＜x＜；令g′(x)＜0，得x＞. 则g(x)在上单调递增，所以当x∈时，g(x)＞g(1)＝0，即0＜a＜1时不满足题意(舍去)． ③当a≤0时，g′(x)＝－a＞0，则g(x)在(1，＋∞)上单调递增， 所以当x∈(1，＋∞)时，g(x)＞g(1)＝0，即a≤0时不满足题意(舍去)． 综上所述，实数a的取值范围是[1，＋∞)． 跟踪训练 1.（24-25高三上·陕西·期中）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若，且存在，使得成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【难度】0.57 【知识点】利用导数研究能成立问题、利用导数求函数（含参）的单调区间、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）求导，即可根据点斜式求解切线方程， （2）求导，可得函数的单调性，进而对与的大小讨论，即可分类求解. 【详解】（1）当时，，有，由，有， 故曲线在点处的切线方程为． （2），其中，， 时，，时，, 故在上单调递减，在上单调递增. 若，则时，，不符合题意； 若，则时，， 由题意，有，即， 因为，有，即，得， 故的取值范围是．, 2，（2026·重庆·二模）已知函数． (1)讨论在其定义域上的单调性；(2)当时，若，求实数的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【难度】0.4 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】（1）求出函数导数，再利用导数研究导函数的极值，判断的符号即可得解； （2）转化为，构造函数，利用导数，分类讨论函数的最大值即可得解. 【详解】（1）的定义域为求导有， 令，则， 当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减， 所以，则有，所以在单调递减； （2）当时，等价于， 即， 令，则， ①若，即，则，在上单调递减，所以，满足题意； ②若，即，令，得， 当时，，在单调递增， 当时，在单调递减， 所以， 令，是减函数， 又，所以，与条件矛盾， 综上，所以． 【题型3 同构法解决不等式恒(能)成立问题】 【例3】设实数，若对，不等式恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题可得，构造函数，由其单调性可得，然后由单调性可得答案. 【详解】由题意， 令0， 所以在上为增函数， 则. 即对，不等式恒成立， 则． 令， 当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 故，即，所以的取值范围为． 故选：B. 跟踪训练 1.已知函数，若恒成立，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件化简为，构造函数，利用函数导数判断函数单调性求得参数范围． 【详解】的定义域为，等价于， 若，则对任意，都有，故只需考虑的情况， 由，得，所以； 令，则，又， 则在单调递增，故只需，即， 令，则， 当时，，当时，， 则在单调递增，在单调递减， 则，故a的取值范围是． 故选：B. 2.（2025·甘肃·模拟预测）已知函数的极小值为． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若，且存在，使得成立，求实数b的取值范围． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究能成立问题、由导数求函数的最值（不含参）、函数极值点的辨析 【分析】（1）先根据函数的极小值为，求得a，再利用导数的几何意义求解； （2）由（1）知：得到在上递增，再将存在，使得成立，转化为存在，使得成立，令，求得其最大值即可. 【详解】（1）因为函数， 所以，显然， 因为函数的极小值为， 所以，解得， 此时当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 故极小值为，满足要求， 所以，， 所以曲线在点处的切线方程为， 即； （2）由（1）知：当时，， 所以在上递增， 因为存在，使得成立，即， 所以存在，使得成立， 所以存在，使得成立，即成立， 令，则， 当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，取得最大值， 又，所以，则实数b的取值范围是. 3.已知函数，，若，对于任意都成立，则a的最大值为 . 【答案】 【详解】等价于，即，变形为. 设，，所以在上单调递增， 当时， ，由可得，即对任意都成立， 设，， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以的最小值为，所以，即a的最大值为. 故答案为： 【题型4 端点效应 】 【例4】（2025 宁波二模）已知函数.当时，恒成立，求实数的取值范围； 【解析】由题意可得， ，此时； ，此时； 要想对任意时，恒成立，则必有，即得. 即得是在恒成立的一个必要条件. 下面证明充分性，即证当时，对任意时，恒成立. ， 令，则， 即得在上单调递增，所以； 即得，恒成立； 充分性得证. 综上所述 实数的取值范围为. 跟踪训练 1.（2024·湖北武汉·二模）已知对任意恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，由题意可知：对任意恒成立，且，可得，解得，并代入检验即可. 【详解】令，则， 由题意可知：对任意恒成立，且， 可得，解得， 若，令， 则， 则在上递增，可得， 即对任意恒成立， 则在上递增，可得， 综上所述：符合题意，即实数的取值范围为. 故选：A. 2.（2024·全国甲卷 节选）已知函数.当时，，求的取值范围. 【解析】由题知，，且.， 且. ①当时，即时.存在，使得当时，，单调递减，故，所以函数在上单调递减，所以，与已知条件矛盾. ②当时，即时，则. 令，所以，，故单调递增，即，所以函数单调递增，所以即成立. 综上，实数的取值范围是. 【题型5 极点效应 】 【例5】已知函数 ，若 对任意 恒成立，利用极点效应求实数 的取值范围. 【解析】定极点：区间R 无明确端点，计算 ，求导得 ，令 ，得 ，此时 为函数的极值点（极点）； 判断极值点类型：求二阶导数 ，当 时，，一阶、二阶导均为 0，用高阶探路法，求三阶导数 ，故 为极小值点（三阶导为正，拐点处函数递增）； 验证参数：当 时，，由经典不等式 ，可知 恒成立， 在 R上单调递增，故 ，恒成立； 排除其他情况：若 ，则 ，当 时，，，，但 时，，，，矛盾；若 ，则 ，存在 、，使得 ， 在 上单调递减，，矛盾. 综上， 跟踪训练 1.已知不等式对任意实数都成立，则实数的值为 . 【答案】1 【分析】根据题意，可知函数在处取得极小值，可得出，可求出的值，然后利用导数分析该函数的单调性与极值，即可得出结论. 【详解】令，该函数的定义域为，且， 对任意的，，则函数在处取得最小值， 又因为函数可导，所以函数在处取得极小值， 且，则，解得， 此时，则， 令，则， 故函数在上为增函数， 当时，；当时，. 所以，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 故函数在处取得极小值，亦是最小值，合乎题意. 故. 故答案为：1. 2.已知函数 ,其中 . 当 时, 恒成立, 求实数 的取值范围. 【解析】设 ,则 由题意得,当 时, 恒成立, 又 是 的极小值点, , 又 ,解得 . 下面证明: 当 时, 恒成立. ① 当 时, , ,满足题意; ( 为六大超越函数之一) ②当 时, 令 ,则 , 在 上单调递减, , ,满足题意; ③ 当 时, , 在 上单调递增, , 在 上单调递增, ,满足题意; 综上所述, . 【题型6 整数解 】 【例6】（2024·安徽合肥·模拟预测）已知函数，若存在唯一的整数，使，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】利用导数研究能成立问题、利用导数研究函数图象及性质 【分析】令，则问题化为存在唯一的整数解.作出h(x)图象，再作出的图象，数形结合即可解答. 【详解】令得，所以， 令， 则问题化为存在唯一的整数解， ∵，所以当时，单调递增，当单调递减； 又时，，，， 故可作出的图象： 过定点， 则当时，显然存在无数个整数解，不符题意； 当时，的唯一整数解可以为－1或1， 当时，如图： 则，解得； 当时，如图： 则，解得. 综上，. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题关键是分离，构造函数，转化为存在唯一的整数解的问题，然后利用数形结合来得到答案. 跟踪训练 1.（25-26高三上·山东·开学考试）若关于的不等式有且只有一个整数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】利用导数研究能成立问题、用导数判断或证明已知函数的单调性、已知两点求斜率 【分析】由题意得只有1个整数解，利用导数分析函数的单调性，令，则的图象是一条过定点的直线，画出函数图象，结合图象分析即可求解. 【详解】因为，，所以， 令，则， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 当时，，当时，，且， 令，则的图象是一条过定点的直线， 当时，不符合题意； 则，如图，当的图象经过时， 直线的斜率分别为， 不等式只有1个整数解，    由图可知. 故选：. 2.（2024·安徽·一模）已知函数，若不等式的解集中恰有两个不同的正整数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】利用导数研究能成立问题、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】不等式可化为，利用导数分析函数的单调性，作函数，的图象，由条件结合图象列不等式求的取值范围. 【详解】函数的定义域为， 不等式化为：． 令，，， 故函数在上单调递增，在上单调递减． 当时，，当时，， 当时，， 当时，，当，且时，， 画出及的大致图象如下， 因为不等式的解集中恰有两个不同的正整数解， 且在的切线方程为，恰好过,故正整数解为． 故， 即． 故. 故选：C. 课后作业： 1.（25-26高二下·河北邢台·期中）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.62 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、由函数在区间上的单调性求参数 【分析】首先根据，利用参变分离转化为恒成立，转化为求函数的最值问题. 【详解】由，得在区间上恒成立， 设，在区间上恒成立，所以在区间上单调递增， 所以，则，即，则的取值范围是. 2.已知函数，若存在，使得成立，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先化简将问题转化为有解，再构造利用导数研究函数的性质得出最小值解题. 【详解】由题意得在区间上有解， 可转化为，令，则， 当时，，在区间上单调递减， 当时，，所以在区间上单调递增， 因此要使得在区间上有解， 只需满足，即. 故选：B. 3.（2025·甘肃金昌·三模）若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用同构可得即在上恒成立，设，利用导数求出该函数的最小值后可得参数的取值范围. 【详解】由题设有， 当即时，不等式恒成立； 当即时，设，则， 故在上为增函数，而即 因为，故即在上恒成立， 而时，恒成立即恒成立， 故在上恒成立， 设，则， 当时，；当时，， 故在上为减函数，在上为增函数， 故，故，故， 故， 故选：B. 4.（25-26高三下·辽宁·阶段检测）已知函数，若对一切恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.39 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】对一切恒成立，需要分别分析和的正负性，通过对的范围进行讨论，结合函数的性质确定的取值范围. 【详解】， 当，， ，，不符； 当，对于，， 单调递增， 当，，，，， 此时，不符； 当，对于，， 令，， 令，，单调递增， 令，，单调递减， 所以， 的最小值为， 易知，若存在两个零点，则两个零点互为相反数， 而与图像的存在两个交点时，交点横坐标都为正数， 即函数不存在互为相反数的零点， 所以与的变号零点不可能完全相同， 故要使对一切恒成立， ，，则， 解得. 5.（多选 2026·江苏·二模）设函数，若存在唯一的整数，使得，则实数的取值可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【难度】0.4 【知识点】利用导数研究能成立问题 【分析】采用构造函数法，设，，则原问题转化为存在唯一的整数，使得，对求导可判断函数在处取到最小值，再结合两函数位置关系，建立不等式组，即可求解. 【详解】设，， 由题设可知存在唯一的整数，使得， 因为，故当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 故，且，， 由图可知，即，解得，BC选项符合题意. 6.（多选 2026·江西南昌·二模）已知时，关于的不等式恒成立，则下列判断正确的是（   ） A．， B． C． D．的最大值为 【答案】ABD 【难度】0.4 【知识点】由一元二次不等式的解确定参数、利用导数研究不等式恒成立问题、由导数求函数的最值（不含参）、函数单调性、极值与最值的综合应用 【分析】首先利用导数分析 的符号，然后结合不等式恒成立条件分析二次式 可判断AB；根据​ 是 的根结合韦达定理可判断C；由可得，令 ，利用导数求其最大值可判断D. 【详解】已知 ，设 ，，令 ，解得 ， 在 上递减， 上递增，最小值 ， 又 时， ，故 ，， ， 时 ，因此 有两个不同的正零点 ， 要使 恒成立，开口向上的二次式必须和 同号， 因此二次式的零点恰好就是 ，即 . 由韦达定理：，​，因为 都是正数， 故 ， ，A正确； 二次式有两个不同零点，判别式 ，即 ，B正确； 因为 ​ 是 的根，故 ​，， 两式相乘得： ，即 ，C错误； 由 得 ，代入目标式化简： ， 令 ，求导得 , 当 时， ，递增； 当 时， ，递减. 因此 的最大值为 ，D正确. 7.若存在，满足，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】先把问题转化为函数在上最大值大于.对求导，令导数为得.然后分情况讨论：当，确定单调性，得出最大值，构造分析其单调性，判断满足条件.当，可知单调递增，，不满足条件.最终得到的取值范围. 【详解】定义函数 原问题等价于存在使得，所以在区间内的最大值大于 0， 令，解得 ①当时，，故，且 令，解得，令，解得 所以在上单调递增；在上单调递减， 所以的极大值也是最大值 故 构造函数 因，所以 故单调递增，且，故当时，，满足条件； ②当时，，所以函数在内单调递增， 所以当恒成立.故不满足条件， 综上，实数a的取值范围为. 故答案为： 8.（2024·宁夏吴忠·模拟预测）已知，对任意的，不等式恒成立，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】对已知不等式进行变形，通过构造函数法，利用导数的性质、参变量分离法进行求解即可. 【详解】由题意，不等式即，进而转化为， 令，则， 当时，，所以在上单调递增. 则不等式等价于恒成立. 因为，所以， 所以对任意恒成立，即恒成立. 设，可得， 当时，单调递增，当时，单调递减． 所以时，有最大值，于是，解得． 故答案为：. 9.（2026·广东东莞·三模）已知函数. (1)曲线在点处的切线方程为，求实数a，b的值； (2)当时，对于任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【难度】0.53 【知识点】已知切线（斜率）求参数、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）根据切线方程为可得斜率为，以及经过点，即可求导得解， （2）将问题转化为，构造函数，利用导数求解函数的单调性，即可求解. 【详解】（1），曲线在点处的切线方程为， 则，则 （2）当时，依题意有对于任意恒成立，则， 设， 设， 由得：，则在上单调递减， 且，则在上恒成立，即在上单调递减， ，则，则. 10.（2023年全国高考甲卷理）已知函数 (1)当时，讨论的单调性； (2)若恒成立，求a的取值范围． 【解析】（1） 令,则 则 当 当,即. 当,即. 所以在上单调递增,在上单调递减 （2）解法一（分类讨论法）设 设 所以. 若, 即在上单调递减,所以. 所以当,符合题意. 若 当,所以. . 所以,使得,即,使得. 当,即当单调递增. 所以当,不合题意. 综上,的取值范围为. 解法二（端点效应） 由于 , 且, 注意到当 , 即 时, 使 在 成立, 故此时 单调递减， , 不成立. 另一方面, 当 时, , 下证它小于等于 0 . 单调递减, . 特上所述: . 11.已知函数 ，若 对任意 恒成立，求实数 的取值范围. 【解析】 时，，求导得 ，令 ，得 ，此时 为极点； 求二阶导数 ，当 时，，，高阶探路分析：当 时，， 单调递增；当 时，， 单调递减，故 ， 在 上单调递减，，恒成立； 12.（2026·北京石景山·一模）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若函数是上的单调递增函数，求的值； (3)若存在，使得成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.5 【知识点】利用导数研究能成立问题、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、由函数在区间上的单调性求参数、函数单调性、极值与最值的综合应用 【分析】（1）对函数求导，求出切点处的导数值和函数值，进而求得切线方程. （2）若函数单调递增，则其导函数大于等于0恒成立，通过构造新函数，求新函数的最值来确定的值. （3）将转化为关于的不等式，通过构造新函数，求新函数的最值来确定的取值范围. 【详解】（1）对函数求导得，所以. 因为，所以曲线在点处的切线方程为， 即. （2）对函数求导得，因为函数是上的单调递增函数， 所以在上恒成立. 令，则. 当时，，所以，在上单调递增. 又因为，当时，，不满足在上恒成立，所以. 令，即，解得. 当时，，单调递减；当时，，单调递增； 所以在处取得最小值. 因为在上恒成立，所以，即. 令，对求导，可得. 令，即，解得. 当时，，单调递增；当时，，单调递减； 所以在处取得最大值. 因为，且，所以，此时. （3）令，所以原问题变为存在，使得成立， 对求导得，，令. 求导得，当时，， 所以在上单调递增，所以， 所以在上单调递增，所以，即. 此时不存在，使得成立，不符合题意； 当时，令，则. 当时，；当时，； 当，即时，在上单调递增，所以. 所以在上单调递增，所以，即. 此时不存在，使得成立，不符合题意； 当，即时，在上单调递增，在上单调递减， 因为 ，所以在区间上， 因此在上单调递减， 又，故存在，使得，即成立， 综上，所以. 13.（2026·四川遂宁·模拟预测）函数． (1)当时，求函数在的单调区间； (2)若存在，使得成立，求的取值范围． 【答案】(1)单调递减区间是，单调递增区间是 (2) 【难度】0.47 【知识点】利用导数研究能成立问题、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】（1）求导后，判断导数正负即可得该函数单调区间； （2）由题意可得在上有解，即可构造函数，结合导数得到该函数最小值即可得解. 【详解】（1）当时，，可得， 令，可得， 因为和在为单调递增函数，可得在单调递增， 所以，所以在单调递增， 又因为， 所以当时，，时，； 所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是； （2）由不等式，可得， 故当时，， 因为存在，使得成立， 即在上有解， 令，则有解， 构造函数，则， 当时，；当时，， 所以在递减，在递增，所以，即， 又因为函数在单调递增， 所以当时，可得，即， 所以实数的取值范围为. 14.（2026·甘肃·模拟预测）已知函数，其导函数为. (1)当时，求函数的值域； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【难度】0.5 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、由导数求函数的最值（不含参）、函数单调性、极值与最值的综合应用 【分析】（1）通过连续求导来判断导函数的单调性，进而找出它的最小值，从而确定整个导函数的值域； （2）采用分离参数法构造出一个新的函数，然后通过多次求导分析其导数的符号，证明该新函数在给定区间内单调递增，最终利用端点处的最大值来确定参数的取值范围. 【详解】（1）当时，，则. 令，则. 令，则， 所以在上单调递增，且. 所以时，，所以在上单调递增； 当时，，所以在上单调递减. 所以，所以的值域为. （2）当时，，则恒成立，所以. 当时，由，得. 令，则. 令，则. 令，则. 令，则. 当时，，当且仅当时，等号成立，故在上单调递减， 又，所以，故在上单调递减. 因为， 所以存在，使得. 所以在上单调递增，在上单调递减， 由于，于是当时，，此时， 所以在上单调递增，在上的最大值为， 所以， 综上，实数的取值范围是. 15.（2026·湖北·三模）已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)当时，，求实数的取值范围． 【答案】(1)当时，函数在单调递增；当时，函数在上单调递减，在上单调递增； (2) 【难度】0.65 【知识点】利用导数求函数（含参）的单调区间、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）求导，分，两种情况讨论求解即可； （2）令，求导，分，两种情况，根据函数单调性与求解即可. 【详解】（1）．   当时，恒成立，故函数在单调递增；   当时，令得． 故当时，，当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 综上，当时，函数在单调递增； 当时，函数在上单调递减， 在上单调递增； （2）令，，， ，，． 令，， 而在恒成立，即在单调递增， 故当，即时，，在单调递增， 在恒成立； 当，即时，当时，， 所以，存在，使得时，，时，， 所以在单调递减，在上单调递增， 故由可知，时，与在恒成立矛盾；   综上，实数的取值范围是． 16.（2026·湖南衡阳·模拟预测）已知函数． (1)若在处取得极值，求a的值； (2)若当时，恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【难度】0.4 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、根据极值点求参数 【分析】（1）求出原函数的导函数，由，求解验证即可； （2）分类讨论的范围，根据导数求得最小值，结合题意列出不等式求解即可． 【详解】（1）由题意得． 因为在处取得极值，所以，解得． 经验证，当时，在处取得极小值，符合题意，故． （2）由（1）知． ①若，则当时，，即恒成立， 所以在上单调递增，， 由，得，故． ②若，令，得或， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增． 所以， 由，可得，解得，故． 综上，实数的取值范围是． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.4 利用导数研究不等式的恒（能）成立问题 知识梳理 1.分离参数法解含参不等式恒成立问题的思路： 用分离参数法解含参不等式恒成立问题是指在能够判断出参数的系数正负的情况下，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式，只要研究变量表达式的最值就可以解决问题． 2.分类讨论法：对于不适合分离参数的不等式，常常将参数看作常数直接构造函数，常用分类讨论法，利用导数研究单调性、最值，从而得出参数范围． 3.同构法解决不等式恒(能)成立问题 指对同构的常用形式 (1)积型：，一般有三种同构方式： ①同左构造形式：，构造函数； ②同右构造形式：，构造函数； ③取对构造形式：，构造函数 (2)商型：一般有三种同构方式： ①同左构造形式：构造函数； ②同右构造形式：构造函数； ③取对构造形式：，构造函数. (3)和、差型：，一般有两种同构方式： ①同左构造形式：，构造函数； ②同右构造形式：，构造函数. 4.端点效应 （1）必要条件缩小范围 ①若在上恒成立，则在区间端点处也成立，即 此法应用于区间端点值包含参数的情况. ②若在上恒成立，且则此法应用于区间端点的函数值为零的情况. ③若在上恒成立，且，则此法应用于区间端点的函数值为零且导数值也为零的情况. （2）充分性求结果 利用第一步中的参数的范围去判定函数是否单调； ①如果函数单调，则由端点得到的范围就是最终答案； ②如果函数不单调，则利用端点确定的范围进一步讨论函数的最值. 5.极点效应：核心是找到函数的极值点（极点），利用极点处“导数值为 0、函数值为临界值”的特征，搭建参数与函数性质的关联 6.整数解问题：1.数形结合 2.找出满足题意的整数 3.列出不等式（临界值） 【题型1 分离参数法】 【例1】（2026·河南·模拟预测）已知函数，曲线在点处的切线方程为. (1)求实数的值； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围. 跟踪训练 1.（2026·陕西西安·模拟预测）已知函数． (1)当时，讨论的单调性； (2)若对任意的，恒成立，求m的取值范围． 2.（2025·陕西汉中·一模）设函数． (1)讨论的单调性； (2)若对任意，恒成立，求的取值范围； 【题型2 分类讨论法】 【例2】已知函数f(x)＝ln x－ax，a∈R. (1)求函数f(x)的单调区间； (2)若不等式f(x)＋a＜0在x∈(1，＋∞)上恒成立，求a的取值范围． 跟踪训练 1.（24-25高三上·陕西·期中）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若，且存在，使得成立，求的取值范围． 2，（2026·重庆·二模）已知函数． (1)讨论在其定义域上的单调性；(2)当时，若，求实数的取值范围． 【题型3 同构法解决不等式恒(能)成立问题】 【例3】设实数，若对，不等式恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 跟踪训练 1.已知函数，若恒成立，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2.（2025·甘肃·模拟预测）已知函数的极小值为． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若，且存在，使得成立，求实数b的取值范围． 3.已知函数，，若，对于任意都成立，则a的最大值为 . 【题型4 端点效应 】 【例4】（2025 宁波二模）已知函数.当时，恒成立，求实数的取值范围； 跟踪训练 1.（2024·湖北武汉·二模）已知对任意恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2.（2024·全国甲卷 节选）已知函数.当时，，求的取值范围. 【题型5 极点效应 】 【例5】已知函数 ，若 对任意 恒成立，利用极点效应求实数 的取值范围. 跟踪训练 1.已知不等式对任意实数都成立，则实数的值为 . 2.已知函数 ,其中 . 当 时, 恒成立, 求实数 的取值范围. 【题型6 整数解 】 【例6】（2024·安徽合肥·模拟预测）已知函数，若存在唯一的整数，使，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 跟踪训练 1.（25-26高三上·山东·开学考试）若关于的不等式有且只有一个整数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2.（2024·安徽·一模）已知函数，若不等式的解集中恰有两个不同的正整数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 课后作业： 1.（25-26高二下·河北邢台·期中）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2.已知函数，若存在，使得成立，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3.（2025·甘肃金昌·三模）若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（    ）. A． B． C． D． 4.（25-26高三下·辽宁·阶段检测）已知函数，若对一切恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5.（多选 2026·江苏·二模）设函数，若存在唯一的整数，使得，则实数的取值可以为（    ） A． B． C． D． 6.（多选 2026·江西南昌·二模）已知时，关于的不等式恒成立，则下列判断正确的是（   ） A．， B． C． D．的最大值为 7.若存在，满足，则实数的取值范围为 . 8.（2024·宁夏吴忠·模拟预测）已知，对任意的，不等式恒成立，则的取值范围为 . 9.（2026·广东东莞·三模）已知函数. (1)曲线在点处的切线方程为，求实数a，b的值； (2)当时，对于任意恒成立，求实数的取值范围. 10.（2023年全国高考甲卷理）已知函数 (1)当时，讨论的单调性； (2)若恒成立，求a的取值范围． 11. 已知函数 ，若 对任意 恒成立，求实数 的取值范围. 12.（2026·北京石景山·一模）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若函数是上的单调递增函数，求的值； (3)若存在，使得成立，求的取值范围. 13.（2026·四川遂宁·模拟预测）函数． (1)当时，求函数在的单调区间； (2)若存在，使得成立，求的取值范围． 14.（2026·甘肃·模拟预测）已知函数，其导函数为. (1)当时，求函数的值域； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围. 15.（2026·湖北·三模）已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)当时，，求实数的取值范围． 16.（2026·湖南衡阳·模拟预测）已知函数． (1)若在处取得极值，求a的值； (2)若当时，恒成立，求实数a的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $