第十三讲 一元二次不等式、分式不等式高考题分类解析导学案-2027届高考数学一轮复习

该高中数学高考复习学案系统梳理了一元二次不等式、分式不等式及绝对值不等式等核心考点，按解法规则、等价转化、分类讨论及恒成立问题构建层级知识网络，通过必掌握知识点梳理和解题方法总结，引导学生自主形成从基础求解到综合应用的认知框架。 亮点在于真题导向的分层训练和自主诊断设计，如必考题型全归纳涵盖9类高考真题，学生可通过真题演练自主诊断薄弱环节，培养数学思维的逻辑推理与数学语言的精准表达。每个题型配方法指导与易错提示，帮助学生建立个性化解题策略，教师可依学情针对性辅导，提升备考实效。

高三一轮复习 第十三讲 一元二次不等式、分式不等式高考题分类解析 教学目标:1.熟记一元二次不等式、分式不等式、绝对值不等式的标准解法，能快速求解基础不等式，准确写出解集（区间 、集合形式）。 2.熟练分式不等式等价转化规则，区分与的分母限制条件，避免增根、漏根。 教学重点： 1.一元二次不等式核心解法：根据二次项系数开口方向、判别式大小，快速写出解集；牢记 “大于取两边，小于取中间” 的适用条件。 2.分式不等式等价转化规则： ；，分母不能为零是核心得分点。 教学难点： 1.含参一元二次不等式分类讨论：分三层讨论：二次项系数是否为 0（一次 、 二次）、判别式正负、两根大小关系，学生易漏讨论、逻辑混乱。 2.恒成立问题逻辑理解 区分 “对任意恒成立” 与 “存在成立”，结合二次函数图象最值分析参数范围，容易混淆不等号方向。 3.分式不等式等号处理 带等号分式不等式忘记分母不为 0，直接转化整式不等式导致解集范围扩大，出现失分。 必掌握知识点 1、一元二次不等式 一元二次不等式，其中，是方程的两个根，且 1. 当（抛物线开口向上） · （方程有两个不等实根）：解集为；解集为 · （方程有两个相等实根）：解集为；解集为 · （方程无实根）：解集为；解集为 2. 当（抛物线开口向下） · （方程有两个不等实根）：解集为；解集为 · （方程有两个相等实根）：解集为；解集为 · （方程无实根）：解集为；解集为 核心口诀：开口向上，大于取两边、小于取中间；开口向下，大于取中间、小于取两边。 （1）当时，二次函数图象开口向上． 2、分式不等式 （1） （2） （3） （4） 3、绝对值不等式 （1） （2）； ； （3）含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分段法和图象法求解 解题方法总结： 1、已知关于的不等式的解集为（其中），解关于的不等式． 由的解集为，得：的解集为，即关于的不等式的解集为． 2.已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式． 由的解集为，得：的解集为即关于的不等式的解集为． 3、已知关于的不等式的解集为（其中），解关于的不等式． 由的解集为，得：的解集为即关于的不等式的解集为． 4、已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式． 由的解集为，得：的解集为即关于的不等式的解集为，以此类推． 5. 解集逆向推导结论 （1）若一元二次不等式解集为，则，且是方程的两根 （2）若一元二次不等式解集为，则，且是方程的两根 6. 恒成立问题核心结论 （1）对任意恒成立 （2）对任意恒成立 必考题型全归纳： 题型一 分式转化二次不等式求解 1．（2025·全国二卷·高考真题）不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】移项后转化为求一元二次不等式的解即可. 【详解】即为即，故， 故解集为.故选：C. 题型二 二次不等式集合交集运算 2．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合，即可根据交集的运算解出． 方法二：将集合中的元素逐个代入不等式验证，即可解出． 【详解】方法一：因为，而， 所以．故选：C． 方法二：因为，将代入不等式，只有使不等式成立，所以．故选：C． 题型三 含参一次不等式解集 3．（2026·上海·高考真题）关于的不等式的解集为____________. 【答案】 【分析】由可得:，解不等式可得其解集. 【详解】由可得:，解得:， 所以不等式的解集为.故答案为：. 题型四 二次不等式恒成立求参数最小值 4．（2025·天津·高考真题）若，对，均有恒成立，则的最小值为_______ 【答案】 【分析】先设，根据不等式的形式，为了消可以取，得到，验证时，是否可以取到，进而判断该最小值是否可取即可得到答案. 【详解】设，原题转化为求的最小值， 原不等式可化为对任意的，， 不妨代入，得，得， 当时，原不等式可化为，即， 观察可知，当时，对一定成立，当且仅当取等号， 此时，，说明时，均可取到，满足题意， 故的最小值为.故答案为： 题型五 标准一元二次不等式解集 5．（2025·上海·高考真题）不等式的解集为_________． 【答案】 【分析】转化为一元二次不等式，解出即可. 【详解】原不等式转化为，解得， 则其解集为.故答案为：. 题型六 分式不等式求解 6．（2025·上海·高考真题）不等式的解集为_____． 【答案】 【分析】将不等式化为，即可得答案. 【详解】由题意得不等式即， 即不等式的解集为，故答案为： 题型七 分段二次不等式参数范围 7．（2024·上海·高考真题）已知，求的的取值范围_______. 【答案】 【分析】分与两段求解二次不等式可得. 【详解】根据题意知. 当时，,即，解得，则有； 当时，,即，，即时，不等式都成立. 综上所述，的的取值范围为.故答案为：. 题型八 二次不等式基础求解 8．（2024·上海·高考真题）已知则不等式的解集为______． 【答案】 【分析】求出方程的解后可求不等式的解集. 【详解】方程的解为或， 故不等式的解集为， 故答案为：. 题型九 简单分式不等式解集 9．（2022·上海·高考真题）不等式的解集为_____________. 【答案】 【分析】根据分式的运算性质分类讨论求出不等式的解集. 【详解】或，解第一个不等式组，得，第二个不等式组的解集为空集.故答案为： 【点睛】本题考查了分式不等式的解集，考查了数学运算能力，属于基础题. 巩固提升： 1．若关于x的不等式的解集中恰有4个整数，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】不等式即 ， 当时，不等式解集为，此时要使解集中恰有4个整数， 这四个整数只能是3,4,5,6，故， 当时，不等式解集为 ，此时不符合题意； 当 时，不等式解集为，此时要使解集中恰有4个整数， 这四个整数只能是 ，故，， 故实数m的取值范围为， 故选：C 2．已知关于x的不等式的解集为，其中，则的最小值为（    ） A．－2 B．1 C．2 D．8 【答案】C 【解析】由题意可知，方程的两个根为m，，则，解得：，故，， 所以，当且仅当，即时取等号，则， 所以，当且仅当，即时取等号， 故的最小值为2.故选：C. 3．方程在区间内有两个不同的根，的取值范围为__． 【答案】 【解析】令，图象恒过点， 方程0在区间内有两个不同的根， ，解得. 故答案为： 4．已知，，则的取值范围为________. 【答案】 【解析】，故， ，， 将看成方程的两根，则， 即，故，解得. 故答案为： 5．若不等式对任意恒成立，实数x的取值范围是_____. 【答案】 【解析】可转化为. 设，则是关于m的一次型函数. 要使恒成立，只需，解得. 故答案为： 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三一轮复习 第十三讲 一元二次不等式、分式不等式高考题分类解析 教学目标:1.熟记一元二次不等式、分式不等式、绝对值不等式的标准解法，能快速求解基础不等式，准确写出解集（区间 、集合形式）。 2.熟练分式不等式等价转化规则，区分与的分母限制条件，避免增根、漏根。 教学重点： 1.一元二次不等式核心解法：根据二次项系数开口方向、判别式大小，快速写出解集；牢记 “大于取两边，小于取中间” 的适用条件。 2.分式不等式等价转化规则： ；，分母不能为零是核心得分点。 教学难点： 1.含参一元二次不等式分类讨论：分三层讨论：二次项系数是否为 0（一次 、 二次）、判别式正负、两根大小关系，学生易漏讨论、逻辑混乱。 2.恒成立问题逻辑理解 区分 “对任意恒成立” 与 “存在成立”，结合二次函数图象最值分析参数范围，容易混淆不等号方向。 3.分式不等式等号处理 带等号分式不等式忘记分母不为 0，直接转化整式不等式导致解集范围扩大，出现失分。 必掌握知识点 1、一元二次不等式 一元二次不等式，其中，是方程的两个根，且 1. 当（抛物线开口向上） · （方程有两个不等实根）：解集为；解集为 · （方程有两个相等实根）：解集为；解集为 · （方程无实根）：解集为；解集为 2. 当（抛物线开口向下） · （方程有两个不等实根）：解集为；解集为 · （方程有两个相等实根）：解集为；解集为 · （方程无实根）：解集为；解集为 核心口诀：开口向上，大于取两边、小于取中间；开口向下，大于取中间、小于取两边。 （1）当时，二次函数图象开口向上． 2、分式不等式 （1） （2） （3） （4） 3、绝对值不等式 （1） （2）； ； （3）含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分段法和图象法求解 解题方法总结： 1、已知关于的不等式的解集为（其中），解关于的不等式． 由的解集为，得：的解集为，即关于的不等式的解集为． 2.已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式． 由的解集为，得：的解集为即关于的不等式的解集为． 3、已知关于的不等式的解集为（其中），解关于的不等式． 由的解集为，得：的解集为即关于的不等式的解集为． 4、已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式． 由的解集为，得：的解集为即关于的不等式的解集为，以此类推． 5. 解集逆向推导结论 （1）若一元二次不等式解集为，则，且是方程的两根 （2）若一元二次不等式解集为，则，且是方程的两根 6. 恒成立问题核心结论 （1）对任意恒成立 （2）对任意恒成立 必考题型全归纳： 题型一 分式转化二次不等式求解 1．（2025·全国二卷·高考真题）不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 题型二 二次不等式集合交集运算 2．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 题型三 含参一次不等式解集 3．（2026·上海·高考真题）关于的不等式的解集为____________. 题型四 二次不等式恒成立求参数最小值 4．（2025·天津·高考真题）若，对，均有恒成立，则的最小值为_______ 题型五 标准一元二次不等式解集 5．（2025·上海·高考真题）不等式的解集为_________． 题型六 分式不等式求解 6．（2025·上海·高考真题）不等式的解集为_____． 题型七 分段二次不等式参数范围 7．（2024·上海·高考真题）已知，求的的取值范围_______. 题型八 二次不等式基础求解 8．（2024·上海·高考真题）已知则不等式的解集为______． 题型九 简单分式不等式解集 9．（2022·上海·高考真题）不等式的解集为_____________. 巩固提升： 1．若关于x的不等式的解集中恰有4个整数，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．已知关于x的不等式的解集为，其中，则的最小值为（    ） A．－2 B．1 C．2 D．8 3．方程在区间内有两个不同的根，的取值范围为__． 4．已知，，则的取值范围为________. 5．若不等式对任意恒成立，实数x的取值范围是_____. 1 学科网（北京）股份有限公司 $