第2章 随机事件的概率全章题型专练（12大题型）数学新教材浙教版九年级上册

**基本信息** 以“概念-计算-应用”为主线，系统整合概率基础、计算方法及实际应用，通过题型分类与变式训练，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |事件分类|1典例+5变式|表格归纳事件类型及概率值|从确定事件到随机事件，建立概率概念基础| |概率计算|公式法/几何概型/列举法等|公式法P(A)=m/n，几何概型面积比，列表法与树状图分步计数|从简单公式到复杂情境，形成计算方法体系| |应用拓展|游戏公平性/转盘/统计综合|频率估计概率，通过概率比较判断公平性|结合生活场景与统计知识，体现数据意识与应用意识|

专题01 随机事件的概率 （题型突破·举一反三） 题型01 事件的分类 题型02 事件发生的可能性大小 题型03 判断概率的大小 题型04 利用概率公式求概率 题型05 已知概率求数量 题型06几何概率的应用 题型07 列举法求概率 题型08 用树状图和列表法求概率 题型09用频率估计概率 题型10统计与概率的综合问题 题型11二次函数实物建模问题 题型12概率在转盘游戏中的应用 ▌题型01 事件的分类 事件类型 概率 确定 事件 必然事件 1 不可能事件 0 随机事件 0～1之间 【典例1】（25-26七年级下·广东清远·期末）下列事件中，属于必然事件的是（     ） A．太阳从西边升起 B．任意三角形的内角和为 C．购买一张彩票恰好中奖 D．抛出的篮球一定会下落 【答案】D 【分析】根据必然事件是一定条件下一定发生的事件，据此逐项判断即可． 【详解】解：A．太阳从西边升起一定不会发生，是不可能事件； B．任意三角形的内角和为，不是，该事件一定不会发生，是不可能事件； C．购买一张彩票可能中奖也可能不中奖，是随机事件； D．抛出的篮球受重力作用，一定会下落，该事件一定发生，是必然事件． 【变式1-1】（25-26七年级下·山东泰安·期末）“翻开鲁教版《数学》七年级下册课本恰好翻到概率初步这部分内容”这个事件是（     ） A．必然事件 B．随机事件 C．不可能事件 D．无法确定 【答案】B 【分析】根据随机事件、必然事件、不可能事件的定义分析该事件发生的可能性即可得到结论． 【详解】解：鲁教版《数学》七年级下册课本中既包含概率初步这部分内容，也包含其他章节内容， 翻开课本恰好翻到概率初步这部分内容，可能发生，也可能不发生， 该事件是随机事件． 【变式1-2】（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）下列事件是随机事件的是（     ） A．太阳从东边落下 B．若a，b为有理数，则 C．篮球运动员在三分线上投篮，未投中 D．从只有黑球的口袋中摸出黑球 【答案】C 【分析】必然事件是一定发生的事件，不可能事件是一定不发生的事件，随机事件是可能发生也可能不发生的事件，据此逐一判断即可． 【详解】解：选项A中太阳从东边落下，一定不会发生，是不可能事件，不符合要求； 选项B中根据加法交换律，对任意有理数，都有，一定发生，是必然事件，不符合要求； 选项C中篮球运动员在三分线投篮，可能投中也可能未投中，是可能发生也可能不发生的事件，属于随机事件，符合要求； 选项D中口袋中只有黑球，一定能摸出黑球，一定发生，是必然事件，不符合要求． 【变式1-3】（25-26七年级下·山东菏泽·期末）班级举办“概率与生活”主题班会，同学们分享了以下关于事件类型的说法，其中正确的是（     ） A．煮熟的鸭子飞了是随机事件 B．玩飞行棋掷一次骰子，向上一面的点数是3（刚好可以前进3格）是随机事件 C．校射击队的小明射击一次命中10环是必然事件 D．计算两个负数相乘，积是正数是不可能事件 【答案】B 【详解】解：A、煮熟的鸭子飞了是一定不会发生的事件，属于不可能事件，故A错误； B、掷一次骰子，向上一面的点数可能是到中的任意一个，点数为可能发生也可能不发生，该事件是随机事件，故B正确； C、小明射击一次命中环可能发生也可能不发生，属于随机事件，不是必然事件，故C错误； D、 根据有理数乘法法则，两个负数相乘，积一定是正数，属于必然事件，不是不可能事件，故 D错误； 故选：B． 【变式1-4】（25-26八年级下·江苏苏州·期末）下列事件中，不可能事件是（     ） A．购买1张福利彩票中奖 B．367人中至少有两人生日相同 C．一枚硬币连续抛掷三次，每次都正面朝上 D．明天太阳从西方升起 【答案】D 【分析】根据不可能事件，必然事件，随机事件的定义逐一判断即可，不可能事件是指一定不会发生的事件． 【详解】解：A、购买1张福利彩票中奖，是可能发生也可能不发生的事件，属于随机事件，不符合题意； B、一年最多有366天，367人中至少有两人生日相同，是一定会发生的事件，属于必然事件，不符合题意； C、一枚硬币连续抛掷三次，每次都正面朝上，是可能发生也可能不发生的事件，属于随机事件，不符合题意； D、太阳每天从东方升起，明天太阳从西方升起是一定不会发生的事件，属于不可能事件，符合题意． ▌题型02 事件发生的可能性大小 【典例1】（25-26七年级下·山东烟台·期末）同时投掷两枚均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，下列事件中不可能发生的事件是（     ） A．点数之和为13 B．点数之和小于3 C．点数之和是3的倍数 D．点数之和为11 【答案】A 【详解】解：∵ 每枚骰子的最大点数为6，同时投掷两枚骰子，最大点数和为 ，最小点数和为 ， ∴ 点数和的取值范围是 ， A、点数和为13，超出取值范围，不可能发生，该选项符合题意； B、点数和为2时小于3，是可能发生的事件，该选项不符合题意； C、例如，是3的倍数，是可能发生的事件，该选项不符合题意； D、例如，点数和为11是可能发生的事件，该选项不符合题意． 【变式1-1】（25-26七年级下·山西晋中·期末）下列语句所描述的事件，可能性最小的事件是（     ） A．种瓜得瓜 B．竹篮打水 C．水涨船高 D．日落西山 【答案】B 【分析】本题考查事件发生可能性大小的判断，只需先判断各选项对应的事件类型，再比较可能性大小即可，必然事件发生的可能性为，不可能事件发生的可能性为． 【详解】解：∵选项A种瓜得瓜，选项C水涨船高，选项D日落西山都是必然事件，发生的可能性都为，选项B竹篮打水是不可能事件，发生的可能性为， ∴可能性最小的事件是B． 【变式1-2】（25-26八年级下·江苏徐州·期末）下列事件： ①购买一张福利彩票，中大奖． ②甲、乙两人玩“石头、剪刀、布”游戏，甲出“石头”获胜． ③在标准大气压下，温度低于0时，冰融化． ④从13个不同的“苏嘟嘟”（分别对应苏超的13支球队）盲盒中任意抽取1个，抽中徐州队吉祥物“虎嘟嘟”． 按照事件发生的概率从小到大排列，对应事件的顺序是（     ） A．②④①③ B．③①④② C．①②④③ D．③①②④ 【答案】B 【分析】先计算每个事件发生的概率，再将概率从小到大排序即可得到结果． 【详解】分别计算各事件的概率： ③在标准大气压下，温度低于0时，冰融化，是不可能事件，概率为； ④从13个等可能的盲盒中抽取1个指定盲盒，抽中徐州队吉祥物“虎嘟嘟”的概率为； ②甲出“石头”时，乙共有3种等可能出法，仅乙出剪刀时甲获胜，此时概率为； ①购买福利彩票中大奖是小概率事件，概率远小于； 因此按照事件发生的概率从小到大排列，对应事件的顺序是③①④②， 故选：B． 【变式1-3】（25-26八年级下·江苏扬州·期末）袋子里有5个红球，个白球，3个黑球，三种球的数量互不相等，从中任意摸出一个球，若摸到红球的可能性最大，且摸到黑球的可能性最小，则的值为_______． 【答案】4 【分析】根据摸到球的可能性大小与球的数量的关系，得到的取值范围，结合三种球数量互不相等，为正整数即可求解． 【详解】解：根据可能性的意义，球的数量越多，摸到该种球的可能性越大， 摸到红球的可能性最大，红球有5个，黑球有3个，白球有个， ，，即， 摸到黑球的可能性最小， ， 即， 又三种球的数量互不相等，为正整数， ∴． ▌题型03判断概率的大小 【典例1】（25-26八年级下·江苏苏州·期末）从一副扑克牌中任意抽取1张，①抽到的牌是“A”；②抽到的牌是“黑桃”；③抽到的牌是“大王”．上述事件发生概率最大的是__________（填序号）． 【答案】② 【分析】分别计算三个事件发生的概率，再比较大小即可得到结果． 【详解】解：一副扑克牌共有张， ①抽到“A”的情况数为，概率为； ②抽到“黑桃”的情况数为，概率为； ③ 抽到“大王”的情况数为，概率为； ， 发生概率最大的是②．． 【变式1-1】（25-26七年级下·四川达州·期中）把下列事件的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列是_____ （填序号）． （1）一副去掉大小王的扑克牌中，随意抽取一张抽到的牌是红色； （2）随意遇到一位青年，他接受过九年义务教育； （3）从装有1个红球和2个黄球的袋子中摸出的一个球恰好是白球； （4）站在平地上抛一块小石头，石头会落下． 【答案】（3）（1）（2）（4） 【分析】先求出每个事件发生的可能性大小，再比较可能性大小进行排序即可． 【详解】解：（1）一副去掉大小王的扑克牌共张，其中红色牌张，抽到红色牌的可能性为； （2）我国九年义务教育普及率极高，因此随意遇到一位青年，他接受过九年义务教育的可能性大于，接近于； （3）袋子中没有白球，摸出白球的可能性为； （4）站在平地上抛一块小石头，石头一定会下落，发生的可能性为； ∴故事件发生的可能性从小到大的顺序排列为（3）（1）（2）（4）． 【变式1-2】（25-26八年级下·江苏泰州·期末）一只不透明的袋子中装有3个黄球和5个红球，这些球除颜色外都相同，将球摇匀，从中任意摸出一个球． (1)“摸到的一个球是白球”，该事件为 事件；（填“必然”、“不可能”或“随机”） (2)如果要使从中摸出一个球是黄球的概率大于摸出一个球是红球的概率，至少需要往袋子中增加几个黄球？ 【答案】(1)不可能 (2)3个 【分析】（1）根据不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，结合题意进行判断即可； （2）根据要使从中摸出一个球是黄球的概率大于摸出一个球是红球的概率，需要黄球的数量大于红球的数量，据此解答即可． 【详解】（1）解：∵一只不透明的袋子中装有3个黄球和5个红球， ∴“摸到的一个球是白球”这一事件为不可能事件； （2）解：现在袋子中红球数量最多，共5个，要使从中摸出一个球是黄球的概率大于摸出一个球是红球的概率，需要黄球的数量大于红球的数量， 设至少增加x个黄球， 可得， 解得， ∵x为正整数， ∴x的最小值为3， 即至少需要往袋子中增加3个黄球． 【变式1-3】（2026年江苏省南京市中考考前数学试卷）一个袋子里装有红球，白球各一个，摸出其中一个球之后再次放回，然后再摸一次，若两次摸出的球的颜色不同，我们将其对应的概率记为，若一个袋子中装有红球个，白球个，摸出其中一个球之后再次放回，然后再摸一次，若两次摸出的球的颜色不同，我们将其对应的概率记为． (1)求的值； (2)比较出与的大小. 【答案】(1)(2) 【分析】首先确定两次摸球是独立重复试验，用有放回摸球的概率计算规则，每次摸球的概率保持不变，计算时，先明确单次摸红球、白球的概率，因为两次颜色不同包含“先红后白”和“先白后红”两类事件，所以将两类事件的概率相加即可得到；计算时，先求出单次摸红球、白球的概率，同理将两类颜色不同的事件概率相加得到，再比较和的大小． 【详解】（1）解：根据题意，第一次摸球后放回，再摸第二次，所有等可能的结果共种：(红，红)、(红，白)、(白，红)、(白，白)， 其中两次摸球颜色不同的结果有种：(红，白)、(白，红)， ∴ ； （2）解：袋子总共有个球， 摸到红球的概率为，摸到白球的概率为， 两次颜色不同共有两种情况：（第一次红、第二次白）和（第一次白、第二次红）， ∴， ∵， ∴． ▌题型04 利用概率公式求概率 公式法：事件A发生的概率为P(A)＝，其中n为结果总数，m为事件A发生的结果数； 【典例1】（25-26七年级下·广东清远·期末）在一个不透明的口袋中，装有2个白球，3个黄球，它们除颜色外没有任何区别．充分搅匀后随机摸出一球，恰好是白球的概率是____________． 【答案】/0.4 【分析】本题考查概率的计算，掌握古典概型的概率计算方法是解题关键，先求出袋中球的总个数，再用白球个数除以总个数即可得到所求概率． 【详解】解：口袋中球的总个数为个， 根据概率公式，随机摸出一球恰好是白球的概率为． 【变式1-1】（25-26七年级下·宁夏银川·期末）2026年春晚主题“骐骥驰骋，势不可挡”，其前半句源自《楚辞·离骚》中的“乘骐骥以驰骋兮”，在《楚辞·离骚》的这句词中任意选择1个字，该字恰好是以“马”为偏旁的概率是__________． 【答案】 【详解】解：“乘骐骥以驰骋兮”总共有个字. 其中以“马”为偏旁的字为骐、骥、驰、骋，共个， 根据概率公式，所求概率为． 【变式1-2】（25-26七年级下·山东威海·期末）现在有正面分别写“最”“美”“荣”“成”的卡片共20张，这些卡片的形状、大小完全相同．已知写有“最”字的卡片有8张，“荣”字的卡片有4张，“成”字的卡片有3张，其余卡片写有“美”字，混匀后，将卡片放入不透明的箱子中． (1)事件“随机抽取3张，全是写有‘成’字的卡片”为______事件；（选填“随机”“必然”或“不可能”） (2)随机抽取一张，求抽到写有“美”字卡片的概率； (3)向箱子中再放入15张卡片（与原有卡片外观相同），新放入的卡片中写有“荣”字的卡片有6张，混匀后，从箱子中随机抽出一张卡片，求抽到写有“荣”字卡片的概率． 【答案】(1)随机 (2)抽到写有“美”字卡片的概率为 (3)抽到写有“荣”字卡片的概率为 【分析】（1）必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．据此进行判断即可． （2）求出写有“美”字的卡片的数量，再根据概率公式求解即可； （3）求出新放入后写有“荣”字的卡片的总数量，再根据概率公式求解即可； 【详解】（1）写有“成”字的卡片仅有3张，存在一次性抽出3张全是“成”字卡片的可能，也可能不出现；因此该事件为随机事件． （2）解：卡片总数为20张， 写有“美”字的卡片数量：（张）． ∴抽到写有“美”字卡片的概率为． （3）解：原有“荣”字卡片4张，新放入6张， “荣”字卡片总数量：（张）． 卡片总数量：（张）． ∴抽到写有“荣”字卡片的概率为． 【变式1-3】（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在一个平衡天平的左、右两端托盘上，分别放置质量为和的物体后，天平倾斜．分别标有A，A，B，B，C，D的六张卡片（卡片除正面字母不同外，其他均相同），其中A代表质量为的物体，B代表质量为的物体，C代表质量为的物体，D代表质量为的物体，将卡片洗匀后，背面朝上放在桌面上，从中任意抽取一张，记下卡片上的字母后放回，抽到卡片上的字母即在天平右端托盘放置相应质量的物体． (1)任意抽取一张卡片，在天平右端托盘放置质量为的物体的概率为____________； (2)小明第一次抽到卡片D，求小明第二次抽取卡片，在天平右端托盘放置相应质量的物体后，天平恢复平衡（即天平两端的托盘上放置的物体质量相同）的概率． 【答案】(1)(2) 【分析】本题利用概率公式求解即可． 【详解】（1）解：从A，A，B，B，C，D的六张卡片中，随机抽取一个，共有6种等可能的结果，其中质量为的卡片只有C， ∴在天平右端托盘放置质量为的物体的概率为． （2）解：小明第一次抽到卡片D，即为，，那么还需要抽一张质量为的卡片，即A， ∴概率为． ▌题型05已知概率求数量 【典例1】（25-26七年级下·山东济南·期末）一个不透明的口袋中装有3个红球和9个白球，它们除颜色外完全相同． (1)判断事件：“从口袋中随机摸出一个球是蓝球”是_____，“从口袋中随机摸出4个球，其中至少一个球是白球”是_____； (2)求从口袋中随机摸出一个球是白球的概率； (3)现从口袋中取走若干个白球，并放入相同数量的红球，充分摇匀后，若从口袋中随机摸出一个球是白球的概率是，则从口袋中取走了多少个白球？ 【答案】(1)不可能事件，必然事件(2)(3)个 【分析】（1）口袋中根本没有蓝球，“从口袋中随机摸出一个球是蓝球”是不可能事件，“从口袋中随机摸出4个球，3个红球，故至少一个球是白球，这是一个必然事件，解答即可； （2）利用简单的概率公式，求随机摸出一个球是白球的概率即可； （3）设取走了x个白球，白球的数量为个，红球的数量为个，根据从口袋中随机摸出一个球是白球的概率是，建立方程求解即可； 【详解】（1）解：根据题意，得“从口袋中随机摸出一个球是蓝球”是不可能事件，“从口袋中随机摸出4个球，其中至少一个球是白球“是必然事件； （2）解：根据题意，一共有种等可能的情况，其中白球有个，则从口袋中随机摸出一个球是白球的概率为； （3）解：设取走了x个白球，白球的数量为个，红球的数量为个，口袋中球的总数量为， 根据题意，得， 去分母，得， 解得， 故从口袋中取走了5个白球． 【变式1-1】（25-26七年级下·山东东营·期末）袋中有个黑球，个白球，8个绿球，随机摸一球，摸到绿球概率为，则_________． 【答案】16 【分析】根据概率计算公式，摸到绿球的概率等于绿球个数除以袋中球的总个数，据此列出方程，即可求解的值． 【详解】解：袋中球的总个数为，由题意得， 整理得， 移项计算得． 【变式1-2】（25-26八年级下·山东烟台·期末）一只不透明的袋子中装有若干个红球、若干个白球和8个黄球，这些球除颜色外都相同，将球摇匀，从中任意摸出一个球，摸到黄球的概率是． (1)请直接写出袋中一共装有__________个球； (2)若袋中有红球16个，求摸到白球的概率； (3)若摸到红球的概率是摸到白球的概率的3倍，则袋中红球、白球各有多少个？ 【答案】(1)32；(2)；(3)袋中有红球18个，白球6个 【分析】（1）运用黄球的数量除以黄球的概率，得出袋中一共装有32个球； （2）先算出白球的数量，再结合概率公式计算，即可作答． （3）设袋中有个白球，个红球，根据题意列出方程：，即可作答． 【详解】（1）解：（个） ∴袋中一共装有32个球； （2）解：由（1）可知，袋中一共装有32个球， 则白球的个数为： 故； （3）解：由题意可知，袋中红球的数量是白球数量的3倍， 设袋中有个白球，个红球， 依题意得， 解得， ∴， 故袋中有红球18个，白球6个． 【变式1-3】（25-26七年级下·河北邯郸·期末）某文体店购进了15筒羽毛球，但在销售过程中，发现其中混有若干个次品羽毛球，店员进行统计后，发现每筒羽毛球最多混入了2个次品羽毛球，具体情况如下： 混入次品羽毛球数 0 1 2 筒数 6 m n (1)用等式写出m，n所满足的数量关系为__________； (2)从15筒羽毛球中任意选取1筒： ①“筒中没有混入次品羽毛球”是__________（填“必然”“不可能”或“随机”）事件； ②若“筒中混入1个次品羽毛球”的概率为，求m和n的值． 【答案】(1) (2)①随机；②， 【分析】（1）根据表格确定m，n满足的数量关系即可； （2）①根据事件的性质进行解答即可；②利用概率公式列式计算即可． 【详解】（1）解：由题意可得，， ∴ （2）解：①因为在这15筒羽毛球中，有6筒里面没有混入次品羽毛球，还有混入1个或2个次品羽毛球的筒， 所以任意选取1筒，有可能选到没有混入次品羽毛球的筒，也有可能选到混入次品羽毛球的筒， 因此“筒中没有混入次品羽毛球”是随机事件， ②因为“筒中混入1个次品羽毛球”的概率为， 所以， 所以． 因为， 所以． ▌题型06几何概率的应用 几何概型的概率公式： P(A)＝ 【典例1】（25-26七年级下·山东烟台·期末）如图，某地面铺有黑白两色地砖，地砖除颜色外完全一样．一枚小球在地板上自由的滚动，并随机停留在某处，它最终停留在黑色地砖上的概率是________． 【答案】 【详解】解：由图可得，黑色地砖占总地面的， ∴一枚小球在地板上自由的滚动，最终停留在黑色地砖上的概率是． 【变式1-1】（25-26八年级下·山东淄博·期末）汉末三国初数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝．如图所示的弦图中，四个直角三角形均全等，且每个直角三角形的两条直角边的比都为．若向该图形内随机投掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为______． 【答案】/ 【分析】设两直角边分别为，，表示出大正方形的面积和小正方形面积，根据针尖落在阴影区域的概率就是小正方形的面积与大正方形面积的比求解． 【详解】解：∵四个直角三角形均全等，两条直角边之比均为， ∴设两直角边分别为，， ∴大正方形的面积为，小正方形的边长为， ∴小正方形面积为， ∴针尖落在阴影区域的概率为． 【变式1-2】（25-26七年级下·宁夏中卫·期末）如图，一只蚂蚁在正方形内爬行，点是对角线的交点，，，分别交线段，于，，若蚂蚁在正方形内随机停留，则蚂蚁停留在阴影区域的概率为_________． 【答案】 【分析】先证明，得出，求出，再由几何概率计算即可得出结果． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴蚂蚁停留在阴影区域的概率为． 【变式1-3】（25-26七年级下·山东枣庄·期末）按要求完成以下问题 (1)如图1，一边长为的正方形木质镖靶，四个角的空白部分是以正方形的顶点为圆心，半径为的扇形，某人向此镖靶投镖，假设每次都投中，求他投中阴影部分的概率． (2)若一个小玻璃球在如图2所示的地砖图案内自由滚动，甲、乙两人打赌．甲说，小玻璃球一定会停在黑色区域上．乙说，小玻璃球一定会停在白色区域上．你认为谁获胜的概率较大？通过计算说明． 【答案】(1) (2)乙获胜的概率大，理由如下： 图中共有32个小三角形，其中黑色的小三角形有12个，白色的小三角形有20个， ∴甲获胜的概率为：， 乙获胜的概率为：， ， 故乙获胜的概率大． 【分析】（1）根据阴影面积与正方形面积之比得到投中阴影部分的概率； （2）根据黑色、白色小三角形的个数与总共三角形的个数之比确定甲、乙获胜的概率，进而比较大小得到答案． 【详解】（1）解：根据题意，图中正方形的面积为， 图中阴影部分的面积为：， 则它击中阴影部分的概率； （2）略 ▌题型07列举法求概率 【典例1】（2026·广东·中考真题）某地开展广东非遗走进校园体验活动，有“广东醒狮”、“广绣”、“英歌舞”三个体验项目，小晨和小明各随机抽取一个，他们恰好抽到同一个项目的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查用列举法计算随机事件概率，先求出所有等可能的结果总数，再找出两人抽到同一个项目的结果数，代入概率公式计算即可． 【详解】解：记三个体验项目“广东醒狮”、“广绣”、“英歌舞”分别为，，． 小晨和小明各随机抽取一个，所有等可能的结果为：，，，，，，，，，共种等可能结果． 其中两人恰好抽到同一个项目的结果有、、共种结果． 所求概率． 【变式1-1】（2026·山东东营·模拟预测）从1、2、3三个数中随机选取两个不同的数，分别记为a，c，则关于x的一元二次方程有实数根的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据一元二次方程根的判别式得到方程有实数根的条件，再列举出所有等可能的选取结果，统计满足条件的结果数，最后利用概率公式计算即可． 【详解】解：对于一元二次方程 ，若方程有实数根，则判别式 ，化简得 从1，2，3中随机选取两个不同的数记为，所有等可能的结果为：，共6种， 其中满足的结果有，共4种， 所求概率． 【变式1-2】（25-26七年级下·山西晋中·期末）五一期间，某商场举行猜商品价格赢奖品的活动．王先生在事先不知道商品价格的前提下，主持人要求他从下图中的四张卡片中任意拿走一张，使剩下的卡片从左到右连成一个三位数，该数就是他猜的价格．若商品的价格是230，那么他一次就猜中的概率是__________． 【答案】 【分析】用列举法求出所有等可能的情况，然后根据概率公式计算即可． 【详解】解：如果拿走标有“2”的卡片，则剩下3、3、0三个数字，剩下的卡片从左到右连成一个三位数为330； 如果拿走左边标有“3”的卡片，则剩下2、3、0三个数字，剩下的卡片从左到右连成一个三位数为230； 如果拿走右边标有“3”的卡片，则剩下2、3、0三个数字，剩下的卡片从左到右连成一个三位数为230； 如果拿走标有“0”的卡片，则剩下2、3、3三个数字，剩下的卡片从左到右连成一个三位数为233； 综上所述，共有四种情况．若商品的价格是230元，那么他一次就能猜中的概率是． 【变式1-3】（2026·四川攀枝花·中考真题）如图，四个开关A、B、C、D，一个电源和一个灯泡组成了一个电路图，现任意闭合其中两个开关，则灯泡发光的概率为_______． 【答案】 【分析】分析电路通路条件：因为电路是A、B并联部分与C、D并联部分串联，所以当A、B中至少闭合1个，且C、D中至少闭合1个时，灯泡发光，据此统计符合条件的情况数．用古典概型概率公式，将符合条件的情况数除以总情况数得到所求概率． 【详解】解：任意闭合4个开关中的2个，所有等可能的闭合情况为：、、、、、，共种． 由电路图可知，左侧A、B为并联，右侧C、D为并联，两部分串联；要让灯泡发光，需要一个开关在左侧、一个开关在右侧闭合，才能形成通路． 满足条件的情况为：、、、，共种． 所以灯泡发光的概率为． ▌题型08用树状图和列表法求概率 列表法：当一次试验涉及两步计算，并且可能出现的结果数目较多时，可采用列表法不重不漏地列出所有可能的结果，再根据P(A)＝计算概率； 画树状图法：当一次试验要涉及两步或两步以上的计算时，通常采用画树状图法来表示所有可能的结果，再根据P(A)＝计算概率； 【典例1】（25-26八年级下·陕西渭南·期末）中国航天事业取得了举世瞩目的成就，某校科技节选取了最新的四项航天任务：A．天舟十号货运补给；B．神舟二十三号载人飞行；C．神舟二十四号载人飞行；D．梦舟一号无人试验，供学生对其进行深入了解，将四项任务分别写在四张大小、质地相同的不透明卡片正面上，将四张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上，李明随机抽取一张后，张华再从剩余的三张卡片中随机抽取一张，两人均按照所抽取的卡片上的任务进行深入了解． (1)李明抽到的卡片是“A．天舟十号货运补给”的概率是______； (2)请用列表或画树状图的方法，求两人抽到的卡片恰好都是载人飞行的概率． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）直接根据概率公式计算，总共有4种等可能结果，符合条件的结果为1种，即可得到概率； （2）通过列表法列出所有等可能结果，找出两人都抽到载人飞行任务的结果数，再根据概率公式计算即可得到结果． 【详解】（1）共有4张大小质地相同的卡片，抽到每张卡片的可能性相等，抽到A的结果共1种， 因此李明抽到A的概率为． （2）根据题意，列表表示所有等可能的结果如下： 李明　　　张华 A B C D A -- B -- C -- D -- 所有等可能的结果共12种，由题意可知，B，C是载人飞行任务，其中两人抽到的卡片恰好都是载人飞行的结果有共2种，因此所求概率为． 【变式1-1】（2026·四川甘孜·中考真题）某设备的电路图如图所示，随机闭合三个开关，，中的两个，则灯泡亮的概率为______． 【答案】 【分析】本题考查了利用树状图法或列表法求概率，正确分析电路图得出灯泡发光的条件是解题的关键，先画出树状图展示所有等可能的结果，再确定使灯泡发光的结果数，最后根据概率公式求解． 【详解】解：画树状图，如图， 一共有种等可能的结果，分别为，，，，， 由电路图可知，开关在干路上，灯泡也在干路上，要使灯泡亮，必须闭合开关，且与中至少闭合一个 符合条件的结果有，，，，共种 灯泡亮的概率是． 【变式1-2】（25-26八年级下·陕西西安·期末）西安是十三朝古都，留存大量盛唐与秦汉历史遗迹．小方一家计划暑假期间探访四处西安知名人文景区：A 大雁塔（玄奘译经圣地，盛唐佛塔地标）、B 大唐芙蓉园（依托唐代皇家芙蓉苑遗址复建，再现盛唐宫廷园林风貌）、C 陕西历史博物馆（馆藏周秦汉唐国宝，华夏文明宝库）、D 明城墙（我国现存最完整的明代古城垣）． (1)小方从A、B、C、D四处景点随机任选一处游览，恰好选中B大唐芙蓉园的概率是__________； (2)若当日小方一家随机选取两处景区出游，请用列表或画树状图的方法，求恰好同时选中A大雁塔和D明城墙的概率． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：从A、B、C、D四处景点随机任选一处游览，有4种等可能的结果，恰好选中B大唐芙蓉园的可能结果有1种，则恰好选中B大唐芙蓉园的概率是； （2）解：列表如下： A B C D A B C D 所有等可能的结果有12种，其中恰好同时选中A大雁塔和D明城墙的结果有2种， 则A大雁塔和D明城墙的概率是． 答：恰好同时选中A大雁塔和D明城墙的概率是． 【变式1-3】（25-26八年级下·江苏苏州·期末）数学是与自然对话的工具，是探究世界奥秘的钥匙．如图是2025年3月14日中国邮政发行的一套枚特种邮票《数学之美》，它们除图案外都相同，将这枚邮票放到不透明的盒子里． (1)抽取枚邮票，恰好抽到邮票“勾股定理”的概率是 ； (2)同时抽取枚邮票，求恰好抽到邮票“圆周率”和“欧拉公式”的概率． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据概率公式求解即可； （2）画树状图，先得到同时抽取枚邮票的所有可能结果，再由概率公式求解即可． 【详解】（1）解：∵共枚邮票，其中邮票“勾股定理”有枚， ∴从中抽取枚邮票，恰好抽到邮票“勾股定理”的概率是； （2）解：将圆周率，勾股定理，欧拉公式和莫比乌斯带的邮票分别记作，，，， 画树状图如图， 共有种可能的结果，其中恰好抽到邮票“圆周率”和“欧拉公式”的结果有种， ∴恰好抽到邮票“圆周率”和“欧拉公式”的概率为． ▌题型09 用频率估计概率 频率估计概率：一般地在大量重复试验中，如果事件A发生的频率稳定于某个常数p附近，那么事件A发生的概率P(A)＝p. 【典例1】（25-26七年级下·山东青岛·期末）篮球运动员为了评估自己的投篮命中率，通常会进行一系列的训练测试．下表是某篮球运动员在相同的训练条件下，得到的一组测试数据： 投篮的次数 10 50 200 300 400 1000 命中的次数 7 40 81 164 237 324 命中的频率 (1)填空：________，________； (2)根据上表，该运动员任意投出一球，能投中的概率是________（精确到）； (3)根据估计的概率，若该运动员投篮150次，则他命中的次数大约是________次； (4)该运动员任意投出一球投中的概率与下列哪个事件的概率最接近________． ①如图一，转转盘箭头停在阴影部分，其中阴影部分圆心角为； ②掷一枚均匀的骰子，掷到的点数为6； ③如图二，飞镖盘由相同的小正方形组成，任意投掷飞镖，命中阴影部分； ④袋子里有除了颜色外其余都相同的20枚小球，其中3枚黄色，1枚白色，其余为红色，随机摸一枚球颜色为红色． 【答案】(1)100；803 (2) (3)120 (4)④ 【分析】（1）根据频数，总数和频率之间的关系，进行计算即可； （2）根据频率估算概率即可； （3）根据概率进行判断即可； （4）分别计算出①④的概率，然后与比较即可解答． 【详解】（1）解：，． （2）解：由表格可知，该运动员任意投出一球，能投中的概率是． （3） 解：由（）可知，该运动员投中的概率为， ∴（次）， 估计他命中的次数为120次． （4）解：①转转盘箭头停在阴影部分的概率为，不符合题意； ②掷一枚均匀的骰子，掷到的点数为6的概率为，不符合题意； ③如图二，飞镖盘由相同的小正方形组成，任意投掷飞镖，命中阴影部分的概率为，不符合题意； ④袋子里有除了颜色外其余都相同的20枚小球，其中3枚黄色，1枚白色，其余为红色，随机摸一枚球颜色为红色的概率为，符合题意． 【变式1-1】（25-26七年级下·山东枣庄·期末）为了看图钉落地后钉尖着地的频率有多大，小明做了大量重复试验，发现钉尖着地的次数是试验总次数的40%，下列说法错误的是（     ） A．前10次试验结束后，钉尖着地的次数一定是4 B．前20次试验结束后，钉尖着地的次数不一定是8 C．钉尖着地的频率是0.4 D．随着试验次数的增加，钉尖着地的频率逐渐稳定在某一个常数附近 【答案】A 【分析】大量重复试验中，频率稳定在某个常数附近，但少量试验的结果是随机的，不一定符合整体频率的比例． 据此逐一判断选项即可． 【详解】解：频率是大量试验的统计结果，少量试验的结果具有随机性， ∴前次试验结束后，钉尖着地的次数不一定是次，A选项说法错误，符合题意． 前次试验结束后，结果具有随机性，钉尖着地的次数不一定是次，因此B选项说法正确，不符合题意． 大量重复试验后，钉尖着地次数占总次数的，可得，∴C选项钉尖着地的频率是，说法正确，不符合题意． 根据用频率估计概率的性质，随着试验次数增加，钉尖着地的频率会逐渐稳定在一个常数附近， ∴D选项说法正确，不符合题意． 【变式1-2】（25-26七年级下·广东清远·期末）清远特产英红九号是一种根系发达，移栽成活率高的茶树．某研究院跟踪调查了在春季移栽的英红九号树苗的成活情况，得到如下表格：由此可估计英红九号移栽树苗成活的概率大约是（     ） 移栽数量/棵 200 400 600 800 1000 1200 成活率 87% 93% 91% 89% 90% 90% A．80% B．85% C．90% D．95% 【答案】C 【分析】大量重复试验中，事件发生的频率会逐渐稳定在概率附近，试验次数越大，频率越接近真实概率，观察表格中成活率的稳定情况即可得到估计概率. 【详解】解：∵大量重复试验下，频率的稳定值即为概率的估计值，且移栽数量越多，结果越可靠， 由表格可知，随着移栽数量增加，英红九号树苗移栽成活率逐渐稳定在， ∴可估计英红九号移栽树苗成活的概率大约是. 【变式1-3】（25-26七年级下·山东泰安·期末）某批彩色弹力球的质量检验结果如下表： 抽取的彩色弹力球数 优等品频数 优等品频率 (1)这批彩色弹力球“优等品”概率的估计值大约是________；（精确到） (2)从这批彩色弹力球中选择个黄球、个黑球、个红球，它们除了颜色外都相同，将它们放入一个不透明的袋子中，求从袋子中摸出一个球是黄球的概率； (3)现向第（2）问所说的袋子中放入若干个黄球搅拌均匀，使从袋子中摸出一个黄球的概率为，求放入了多少个黄球？ 【答案】(1)；(2)；(3)12 【分析】（1）当试验次数足够多时，可以用频率估计概率； （2）用概率公式求解即可； （3）根据概率公式列方程求解即可． 【详解】（1）解：用频率估计概率为； （2）解：袋子中球的总数量为个， 摸出黄球的概率为； （3）解：设放入个黄球，则此时黄球数量变为个，总球数为个． 根据题意列方程： 解得． 答：放入了12个黄球 ▌题型10 统计与概率的综合问题 【典例1】为了落实“五育”并举，全面发展素质教育，长沙某学校结合长沙市教育局体育中考改革方案，准备开展丰富多彩的兴趣课后特色延时服务．以下为长沙体育中考方案： 素质类必测项目 素质类选测项目（四选一） 技能类选测项目（四选一） 男生 1000米 引体向上 掷实心球 立定跳远 跳绳 排球 篮球 足球 游泳 女生 800米 仰卧起坐 掷实心球 立定跳远 跳绳 排球 篮球 足球 游泳 为了更好地服务于学生，合理开设课程，学校拟开设排球、篮球、足球、游泳四种特色班．为了解学生对排球、篮球、足球、游泳的喜爱情况，学校随机抽取了200名学生进行调查（每人只能选择一个），将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你根据以下两幅图所给的信息解答下列问题．    (1)在抽取的200名学生中，选择“足球”的人数为___________，在扇形统计图中，m的值为___________； (2)根据本次调查结果，估计全校2000名学生中选择“排球”的学生大约有多少人？ (3)九年级二班的小强（男生）和小雯（女生）两位同学在技能类选测项目中（四选一）选择项目，请用树状图或列表法求恰好一人选择游泳、一人选择足球的概率． 【答案】(1)40人，30(2)800人(3) 【分析】（1）根据扇形统计图可知选择“足球”所占百分比，然后根据条形统计图可得“游泳”和“排球”所占百分比，进而问题可求解； （2）根据题意可直接进行求解； （3）根据列表法求解概率即可． 【详解】（1）解：由统计图可知：选择“足球”的人数为（人）， ∵， ∴； （2）解：由题意得： （人）； 答：全校2000名学生中选择“排球”的学生大约有800人 （3）解：由题意可列表如下： 排球 篮球 足球 游泳 排球 排球，排球 排球，篮球 排球，足球 排球，游泳 篮球 篮球，排球 篮球，篮球 篮球，足球 篮球，游泳 足球 足球，排球 足球，篮球 足球，足球 足球，游泳 游泳 游泳，排球 游泳，篮球 游泳，足球 游泳，游泳 由表可知：总共有16种等可能的结果，其中恰好一人选择游泳、一人选择足球有2种情况，所以恰好一人选择游泳、一人选择足球的概率为． 【变式1-1】（25-26八年级下·黑龙江大庆·期末）为激发青少年崇尚科学，探索未知的热情，某校开展了以“逐梦科技强国”为主题的实践活动。下面是随机抽取的全校部分学生的模型设计成绩（成绩为百分制，用x表示），并整理，将其分成如下四组：A：，B：，C：，D：．下面给出了部分信息： 模型设计成绩的频数分布直方图模型设计成绩的扇形统计图 根据以上信息解决下列问题： (1)本次共抽取了_______名学生的模型设计成绩，补全直方图，在扇形统计图中C组对应圆心角的度数为_______； (2)请估计全校1200名学生的模型设计成绩不低于80分的人数； (3)现从C组中选出一男一女，D组中选出两男一女，然后从选出的两组人中各选一名做经验交流，请用画树状图或列表的方法求出所选的两位同学恰为一男一女的概率． 【答案】(1)50；； (2)720 (3)概率为 【分析】（1）因为D组人数为10且对应扇形占比，所以用D组人数除以对应占比得到总抽取人数；再用总人数减去A组C组D组的人数得到B组人数为人，再补全直方图即可；用C组人数除以总人数再乘，即可得对应圆心角度数； （2）因为样本中不低于80分的是C组和D组，所以先计算样本中C、D组人数和占总抽取人数的比，再乘全校总人数1200； （3）用列表列出所有等可能的结果，再统计出一男一女的结果数，根据概率公式计算概率． 【详解】（1）解：由题可知，总人数为（人）； ∴B组的人数为（人）， 补全直方图略； C组占比为， ∴C组对应圆心角的度数为； （2）解：成绩不低于80分对应C组和D组，总人数为（人）， 全校1200名学生中，估计人数为：（人）； （3）解：记C组：男生，女生；D组：两名男生，，女生， 列表如下： 由表可知，共有6种等可能的结果，其中“一男一女”的结果有3种， ∴． 【变式1-2】（26-27九年级·浙江·暑假作业）某校开展“典籍里的中国”选修课，拟开设四门课程供学生选择：A．《论语》，B．《史记》，C．《天工开物》，D．《九章算术》．刘老师随机调查了部分学生对四门课程的喜好情况（每人限选一种），并将调查结果绘制成统计图表，如图所示． 课程 内容 人数 A 《论语》 B 《史记》 C 《天工开物》 D 《九章算术》 根据以上信息，解答下列问题： (1)本次调查的学生共有________人，表中的值为________； (2)现准备从四门课程中随机选择两门在全校作汇报展示，请利用画树状图或列表的方法，求恰好选到课程A和课程B的概率． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据样本容量等于频数除以所占百分比得出调查的总人数，用总人数减去选择其他课程的人数即可得出的值； （2）利用列表法求解即可； 【详解】（1）解：根据题意，得学生一共有（人）， ∴表中的值为． （2）解：列表如下， 第一次第二次 A B C D A B C D 由表可知，共有种等可能情况，其中恰好选到课程A和课程B共种， ∴（恰好选到课程A和课程B）． 【变式1-3】（2026·四川巴中·中考真题）学校为了解七年级学生对校园艺术节活动的喜欢程度（喜欢程度分为四类：A．非常喜欢，B．喜欢，C．一般，D．不喜欢），对该年级学生进行抽样调查，并将结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图． 根据上述信息，解答下列问题： (1)本次抽样调查中，学校一共抽取了_____________名学生，并补全条形统计图； (2)该年级共有学生400人，请估计对活动“非常喜欢”的学生人数； (3)学校决定对学生进一步访谈，先从C类学生中抽取1名学生，再从D类学生中抽取1名学生，请用列表格或画树状图的方法，求抽取的2名学生恰好是1名男生和1名女生的概率． 【答案】(1)25，补全条形统计图如下： (2)112人(3) 【分析】（1）根据统计图先求出被抽查的总人数，然后根据题意得到B类男生人数和A类女生人数，进而问题可求解； （2）根据题意可直接列式进行求解； （3）由题意可设C类学生中男生为，女生为，D类学生中男生为，女生为，然后根据列表法进行求解概率即可． 【详解】（1）解：由统计图可知：本次抽样调查中，学校一共抽取了学生人数为（名）， ∴（名），即B类男生人数为（名）， A类女生人数为（名）， 补全条形统计图略； （2）解：由（1）可得：（人）， 答：对活动“非常喜欢”的学生人数112人； （3）解：由题意可设C类学生中男生为，女生为，D类学生中男生为，女生为，则可列表如下： 一共有12种等可能的结果，其中抽取的2名学生恰好是1名男生和1名女生的有6种等可能的结果，所以抽取的2名学生恰好是1名男生和1名女生的概率为． ▌题型11游戏公平性问题 【典例1】（25-26七年级下·广东梅州·期末）2026年4月23日是第31个世界读书日，为了营造多读书、读好书的氛围，某校举办了校园读书节，要在小明和小华中选取一人作为读书节主持人．将正面印有2，3，4，6，8，11，13，17的八张卡片（卡片除正面数字不同外，其他均相同）洗匀后，背面朝上放在桌面上，从中任意抽取一张．若抽到卡片上的数字是2的倍数，则小明去；若抽到卡片上的数字大于10，则小华去． (1)任意抽取一张卡片，抽到卡片上的数字是3的倍数的是________事件；（填“必然”“随机”或“不可能”） (2)通过计算说明这个游戏规则对双方是否公平？ 【答案】(1)随机(2)不公平 【分析】（1）根据随机事件、必然事件、不可能事件的定义判断事件类型即可； （2）分别数出满足小明和小华条件的结果个数，根据概率公式计算两人获胜的概率，比较概率是否相等即可判断游戏是否公平，概率相等则公平，否则不公平． 【详解】（1）解：∵共有8张卡片，其中是3的倍数的数字有3、6共2张，其余数字不是3的倍数， ∴任意抽取一张，可能抽到3的倍数，也可能不抽到3的倍数， ∴该事件是随机事件； （2）解：∵共有8张卡片，其中是2的倍数的数字有2、4、6、8共4张，数字大于10的有11，13，17共3张， ∴小明去的概率为，小华去的概率为， ∵， ∴小明去的概率比小华去的概率大， ∴这个游戏规则对双方不公平． 【变式1-1】（25-26七年级下·广东深圳·期末）如图，有一枚质地均匀的正二十面体形状的骰子，其中的1个面标有“1”，2个面标有“2”，3个面标有“3”，4个面标有“4”，5个面标有“5”，其余的面标有“6”，任意掷这枚骰子，则： (1)向上一面的数字是“6”的概率是_____； (2)掷出数字______的概率最大； (3)现利用这个骰子设计一个游戏：投掷这枚骰子一次，若向上一面的数字是奇数，则小明获胜，否则小红获胜，请利用概率判断这个游戏是否公平？ 【答案】(1) (2)5和6 (3)这个游戏不公平 【分析】（1）先确定5个面标有“6”，然后根据概率公式求解； （2）由于标有“5”和“6”的面最多，从而得到向上一面的数字是“5”的概率和向上一面的数字是“6”的概率最大； （3）先确定20个数据中奇数与偶数的个数，再计算出小明获胜和小红获胜的概率，然后通过比较两概率的大小可判断这个游戏是否公平． 【详解】（1）解：由题意可知：， ∴有5个面标有“6”， ∴任意掷这枚骰子，共有种等可能性的情况，其中向上一面的数字是“6”的有5种， ∴向上一面的数字是“6”的概率； （2）解：∵标有“5”和“6”的面最多，5个面标有“5”，5个面标有“6”， ∴向上一面的数字是“5”的概率和向上一面的数字是“6”的概率最大； （3）解：∵20个数字中，奇数有9个，偶数有11个， ∴小明获胜的概率，小红获胜的概率， ∵， ∴这个游戏不公平． 【变式1-2】（25-26七年级下·广东深圳·期末）小明和小军利用质地均匀的骰子做游戏，规则如下： Ⅰ．两人同时做游戏，各自掷一枚骰子，每人可以只掷一次骰子，也可以连续地掷几次骰子． Ⅱ．当一人掷出的点数和不超过10时，如果决定停止掷，那么此人的得分就是他所掷出的点数和；当一人掷出的点数和超过10时，必须停止掷，并且得分为0； Ⅲ．比较两人的得分，谁的得分高谁就获胜． 请根据上述规则回答下列问题： (1)掷一次骰子得到的点数为1的概率是_________； (2)小明第一次掷出的点数是6，如果他决定掷第二次，则最终得分为0的概率是多少？ (3)已知小军前两次掷出的点数和为8，此时他并不知道小明掷的点数．如果你是小军，你会掷第三次吗？请用所学的概率知识说明理由． 【答案】(1)(2)(3)不会掷第三次，理由： 小军第三次掷出的点数共有6种等可能的结果：1，2，3，4，5，6； 其中导致小军得分增加的结果共有2种：1，2， （掷第三次得分增加）； 导致小军得分变为0的结果共有4种：3，4，5，6， （掷第三次得分为）； ， 如果我是小军，不会掷第三次． 【分析】（1）掷一次骰子共有6种等可能结果，点数为1只有1种，故概率为； （2）第二次掷出的点数有6种等可能结果，若最终得分为0，则需第二次点数大于4，即点数为5或6，共2种，故概率为； （3）第三次掷骰子共有6种等可能结果．分别求出得分增加和得分为0的概率，进行比较即可． 【详解】（1）解：掷一次骰子共有6种等可能的结果：1，2，3，4，5，6， 故掷一次骰子得到的点数为1的概率是． （2）解：小明第二次掷出的点数共有6种等可能的结果：1，2，3，4，5，6； 由题意，其中导致最终得分为0的结果共有2种：5，6， （最终得分为）． （3）略 【变式1-3】（25-26七年级下·广东深圳·期末）一枚质地均匀的正十二面体形状的骰子（如图），其中的1个面标有“”，1个面标有“”，2个面标有“”，2个面标有“”，3个面标有“”，其余面标有“”（如表1）． 表1正十二面体骰子每面对应字母统计表 字母 对应的个数 1 1 2 2 3 ？ (1)标有“”的面有_________个． (2)任意掷这枚骰子，掷出“”的概率是多少？ (3)小明和小华参与游戏：任意掷这枚骰子，若掷出“”或“”或“”，则小明赢，否则小华赢．这个游戏对双方公平吗？请说明理由． 【答案】(1)3 (2) (3)这个游戏对双方不公平． 理由如下： 小明赢的概率为， 小华赢的概率为， 因为， 所以这个游戏对双方不公平． 【分析】（1）根据题意可得，标有“”的面数等于总面数减去其他字母的面数之和，即可解答； （2）根据概率公式即可解答； （3）分别计算小明赢的概率和小华赢的概率，即可解答． 【详解】（1）解：由题意可知，正十二面体形状的骰子共有个面， 标有“”的面有（个）． （2）解：任意掷这枚骰子，所有等可能的结果有12种，掷出字母“”的结果有3种， 所以，掷出“”的概率为． （3）略 ▌题型12概率在转盘游戏中的应用 【典例1】（25-26八年级下·山东烟台·期末）五一黄金周期间，某购物广场抓住商机，举行有奖促销活动，每购物满100元，就会有一次转动大转盘的机会，大转盘如图1所示，求每转动一次转盘： (1)享受七折优惠的概率； (2)中奖得20元的概率； (3)中奖得现金的概率； (4)谢谢参与的概率； (5)请你在图2中重新设计一种转盘抽奖方案，使得最后抽到20元奖、谢谢参与和10元奖的概率分别为，，．（奖项内容同图1，标注要求也同图1，只作图．） 【答案】(1)(2)(3)(4)(5)设计方案如图， 【分析】转盘被等分为，指针落在每个扇形区域的概率等于该区域圆心角与的比值，分别计算各扇形圆心角占的比例，可解答（1）-（4）； （5）由概率之和为1求出七折优惠的概率，再将各概率乘以得到对应圆心角，据此设计转盘． 【详解】（1）解：转盘的圆心角总和为， 七折优惠对应的圆心角为， ． （2）解：20元对应的圆心角为， ． （3）解：中奖得现金包括获得10元或20元两种情况， 对应的圆心角之和为， ． （4）解：谢谢参与对应的圆心角为， ． （5）解：各结果概率之和为1， ， 各扇形对应的圆心角分别为： 七折优惠：， 20元：， 10元：， 谢谢参与：． 设计方案如下：将转盘分成四个扇形区域，七折优惠和20元的圆心角均为，10元的圆心角为，谢谢参与的圆心角为． 图略． 【变式1-1】（25-26七年级下·宁夏银川·期中）某班在爱心义卖活动中设立了一个可以自由转动的转盘，如图所示，同时规定：顾客购物满20元就能获得一次转动转盘的机会，如表是活动中的统计数据： 转动转盘的次数 100 200 300 400 500 落在“谢谢参与”区域的次数 29 60 93 122 落在“谢谢参与”区域的频率 (1)完成上述表格：___________，___________； (2)若继续不停的转动转盘，当很大时，落在“谢谢参与”区域的频率将会接近___________，假如你去转动该转盘一次，你转到“谢谢参与”的概率约是___________；（结果都精确到） (3)某顾客获得一次转动转盘的机会（转盘如图所示），求获得“盲盒”的概率是多少？ 【答案】(1)(2)，(3) 【分析】（1）根据频率和频数的关系求解即可； （2）利用大量重复试验中的频率稳定值估计概率即可； （3）根据概率公式求解即可． 【详解】（1）解：∵当转动次数时，落在“谢谢参与”区域的次数， ∴， ∵当转动次数时，落在“谢谢参与”区域的频率为， ∴， （2）解：观察表格中落在“谢谢参与”区域的频率数据：，随着转动次数n的增大，频率数值在附近摆动，并逐渐趋于稳定， ∴当很大时，落在“谢谢参与”区域的频率将会接近，假如你去转动该转盘一次，你转到“谢谢参与”的概率约是； （3）解：观察转盘图可知，转盘被平均分成了10等份． 统计各奖项所占的份数： “盲盒”区域有2份． “贴纸”区域有5份． “谢谢参与”区域有3份． ∴获得“盲盒”的概率是． 【变式1-2】（25-26七年级下·山西太原·期中）某超市为感恩客户的支持与信赖，特推出了“感恩回馈季，幸运抽好礼”的抽奖活动，抽奖活动分为转转盘和翻奖牌两种方式，规则分别如下： 转转盘：如图1是一个可以自由转动的转盘，转盘被等分为8个区域，每个区域上分别写有“10元”“20元”或“感谢参与”的字样．转动转盘，当转盘停止转动后，顾客可获得指针所指区域相应金额的代金券（若指针指向分界线，则重新转动）． 翻奖牌：如图2是9张背面完全相同的卡片，正面上分别写有“10元”“20元”“30元”或“感谢参与”的字样．将这9张卡片背面朝上洗匀后，顾客可从中随机抽取一张，并获得这张卡片正面相应金额的代金券． 顾客消费超过100元，可凭借购物小票在转转盘和翻奖牌两种方式中任选一种参与． 说明：两种方式中，“感谢参与”均无法获得代金券． (1)求转转盘方式中，顾客获得10元代金券的概率． (2)求翻奖牌方式中，顾客获得代金券的概率． (3)若你参与抽奖活动，你选择哪种方式？并说明理由． 【答案】(1)(2) (3)选择转转盘方式或翻奖牌方式，理由见解析 【分析】（）本题考查古典概型，解题核心是数出转盘中 “10 元” 区域的数量，结合总区域数，用概率公式计算； （）本题考查古典概型，解题核心是数出翻奖牌中能获得代金券的卡片数量，结合总卡片数，用概率公式计算； （）本题考查概率的实际应用与决策，解题核心是分别计算两种方式的期望代金券金额，通过比较大小选择更有利的方式． 【详解】（1）解：转转盘方式中，所有等可能的结果有8种，其中顾客获得10元代金券的结果有4种，所以（顾客获得10元代金券）； （2）解：翻奖牌方式中，所有等可能的结果有9种，其中顾客获得代金券的结果有6种，所以（顾客获得代金券）； （3）解：答案不唯一．例如： 选择转转盘方式：因为转转盘方式获得代金券的概率为，大于翻奖牌方式获得代金券的概率． 选择翻奖牌方式：因为翻奖牌方式有的概率获得30元的代金券． 【变式1-3】（25-26七年级下·甘肃酒泉·期中）某商人在游乐场制作了一个如图所示的游戏转盘，取名为“开心大转盘”，游戏规定：参与者自由转动转盘，若指针指向数字“”则收费元；若指针指向数字“”，则奖励元；若指针指向数字“”，则奖励元． (1)任意转动转盘一次，转盘停止后根据指针指向的区域（指针和分区线重合时，可重新转一次），则 ； ； ． （结果化成最简分数） (2)任意转动转盘一次，求出参与者获奖的概率是多少？ (3)一天，一名游客转动转盘次（指针均落在标有数字的区域），你认为该商人是盈利可能性大还是亏损的可能性大？为什么？ 【答案】(1)；；(2)(3) 解：该商人盈利的可能性大，理由如下： ∵， ∴该商人盈利的可能性大． 【分析】（）根据概率公式计算即可； （）根据（）的结果计算即可； （）根据概率公式求出商人的盈损情况即可判断求解． 【详解】（1）解：数字“1”的扇形的圆心角为， ； ； ． （2）解：由（）可得，参与者获奖的概率是； （3）略 试卷第2页，共39页 1 / 25 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 随机事件的概率 （题型突破·举一反三） 题型01 事件的分类 题型02 事件发生的可能性大小 题型03 判断概率的大小 题型04 利用概率公式求概率 题型05 已知概率求数量 题型06几何概率的应用 题型07 列举法求概率 题型08 用树状图和列表法求概率 题型09用频率估计概率 题型10统计与概率的综合问题 题型11二次函数实物建模问题 题型12概率在转盘游戏中的应用 ▌题型01 事件的分类 事件类型 概率 确定 事件 必然事件 1 不可能事件 0 随机事件 0～1之间 【典例1】（25-26七年级下·广东清远·期末）下列事件中，属于必然事件的是（     ） A．太阳从西边升起 B．任意三角形的内角和为 C．购买一张彩票恰好中奖 D．抛出的篮球一定会下落 【变式1-1】（25-26七年级下·山东泰安·期末）“翻开鲁教版《数学》七年级下册课本恰好翻到概率初步这部分内容”这个事件是（     ） A．必然事件 B．随机事件 C．不可能事件 D．无法确定 【变式1-2】（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）下列事件是随机事件的是（     ） A．太阳从东边落下 B．若a，b为有理数，则 C．篮球运动员在三分线上投篮，未投中 D．从只有黑球的口袋中摸出黑球 【变式1-3】（25-26七年级下·山东菏泽·期末）班级举办“概率与生活”主题班会，同学们分享了以下关于事件类型的说法，其中正确的是（     ） A．煮熟的鸭子飞了是随机事件 B．玩飞行棋掷一次骰子，向上一面的点数是3（刚好可以前进3格）是随机事件 C．校射击队的小明射击一次命中10环是必然事件 D．计算两个负数相乘，积是正数是不可能事件 【变式1-4】（25-26八年级下·江苏苏州·期末）下列事件中，不可能事件是（     ） A．购买1张福利彩票中奖 B．367人中至少有两人生日相同 C．一枚硬币连续抛掷三次，每次都正面朝上 D．明天太阳从西方升起 ▌题型02 事件发生的可能性大小 【典例1】（25-26七年级下·山东烟台·期末）同时投掷两枚均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，下列事件中不可能发生的事件是（     ） A．点数之和为13 B．点数之和小于3 C．点数之和是3的倍数 D．点数之和为11 【变式1-1】（25-26七年级下·山西晋中·期末）下列语句所描述的事件，可能性最小的事件是（     ） A．种瓜得瓜 B．竹篮打水 C．水涨船高 D．日落西山 【变式1-2】（25-26八年级下·江苏徐州·期末）下列事件： ①购买一张福利彩票，中大奖． ②甲、乙两人玩“石头、剪刀、布”游戏，甲出“石头”获胜． ③在标准大气压下，温度低于0时，冰融化． ④从13个不同的“苏嘟嘟”（分别对应苏超的13支球队）盲盒中任意抽取1个，抽中徐州队吉祥物“虎嘟嘟”． 按照事件发生的概率从小到大排列，对应事件的顺序是（     ） A．②④①③ B．③①④② C．①②④③ D．③①②④ 【变式1-3】（25-26八年级下·江苏扬州·期末）袋子里有5个红球，个白球，3个黑球，三种球的数量互不相等，从中任意摸出一个球，若摸到红球的可能性最大，且摸到黑球的可能性最小，则的值为_______． ▌题型03判断概率的大小 【典例1】（25-26八年级下·江苏苏州·期末）从一副扑克牌中任意抽取1张，①抽到的牌是“A”；②抽到的牌是“黑桃”；③抽到的牌是“大王”．上述事件发生概率最大的是__________（填序号）． 【变式1-1】（25-26七年级下·四川达州·期中）把下列事件的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列是_____ （填序号）． （1）一副去掉大小王的扑克牌中，随意抽取一张抽到的牌是红色； （2）随意遇到一位青年，他接受过九年义务教育； （3）从装有1个红球和2个黄球的袋子中摸出的一个球恰好是白球； （4）站在平地上抛一块小石头，石头会落下． 【变式1-2】（25-26八年级下·江苏泰州·期末）一只不透明的袋子中装有3个黄球和5个红球，这些球除颜色外都相同，将球摇匀，从中任意摸出一个球． (1)“摸到的一个球是白球”，该事件为 事件；（填“必然”、“不可能”或“随机”） (2)如果要使从中摸出一个球是黄球的概率大于摸出一个球是红球的概率，至少需要往袋子中增加几个黄球？ 【变式1-3】（2026年江苏省南京市中考考前数学试卷）一个袋子里装有红球，白球各一个，摸出其中一个球之后再次放回，然后再摸一次，若两次摸出的球的颜色不同，我们将其对应的概率记为，若一个袋子中装有红球个，白球个，摸出其中一个球之后再次放回，然后再摸一次，若两次摸出的球的颜色不同，我们将其对应的概率记为． (1)求的值； (2)比较出与的大小. ▌题型04 利用概率公式求概率 公式法：事件A发生的概率为P(A)＝，其中n为结果总数，m为事件A发生的结果数； 【典例1】（25-26七年级下·广东清远·期末）在一个不透明的口袋中，装有2个白球，3个黄球，它们除颜色外没有任何区别．充分搅匀后随机摸出一球，恰好是白球的概率是____________． 【变式1-1】（25-26七年级下·宁夏银川·期末）2026年春晚主题“骐骥驰骋，势不可挡”，其前半句源自《楚辞·离骚》中的“乘骐骥以驰骋兮”，在《楚辞·离骚》的这句词中任意选择1个字，该字恰好是以“马”为偏旁的概率是__________． 【变式1-2】（25-26七年级下·山东威海·期末）现在有正面分别写“最”“美”“荣”“成”的卡片共20张，这些卡片的形状、大小完全相同．已知写有“最”字的卡片有8张，“荣”字的卡片有4张，“成”字的卡片有3张，其余卡片写有“美”字，混匀后，将卡片放入不透明的箱子中． (1)事件“随机抽取3张，全是写有‘成’字的卡片”为______事件；（选填“随机”“必然”或“不可能”） (2)随机抽取一张，求抽到写有“美”字卡片的概率； (3)向箱子中再放入15张卡片（与原有卡片外观相同），新放入的卡片中写有“荣”字的卡片有6张，混匀后，从箱子中随机抽出一张卡片，求抽到写有“荣”字卡片的概率． 【变式1-3】（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在一个平衡天平的左、右两端托盘上，分别放置质量为和的物体后，天平倾斜．分别标有A，A，B，B，C，D的六张卡片（卡片除正面字母不同外，其他均相同），其中A代表质量为的物体，B代表质量为的物体，C代表质量为的物体，D代表质量为的物体，将卡片洗匀后，背面朝上放在桌面上，从中任意抽取一张，记下卡片上的字母后放回，抽到卡片上的字母即在天平右端托盘放置相应质量的物体． (1)任意抽取一张卡片，在天平右端托盘放置质量为的物体的概率为____________； (2)小明第一次抽到卡片D，求小明第二次抽取卡片，在天平右端托盘放置相应质量的物体后，天平恢复平衡（即天平两端的托盘上放置的物体质量相同）的概率． ▌题型05已知概率求数量 【典例1】（25-26七年级下·山东济南·期末）一个不透明的口袋中装有3个红球和9个白球，它们除颜色外完全相同． (1)判断事件：“从口袋中随机摸出一个球是蓝球”是_____，“从口袋中随机摸出4个球，其中至少一个球是白球”是_____； (2)求从口袋中随机摸出一个球是白球的概率； (3)现从口袋中取走若干个白球，并放入相同数量的红球，充分摇匀后，若从口袋中随机摸出一个球是白球的概率是，则从口袋中取走了多少个白球？ 【变式1-1】（25-26七年级下·山东东营·期末）袋中有个黑球，个白球，8个绿球，随机摸一球，摸到绿球概率为，则_________． 【变式1-2】（25-26八年级下·山东烟台·期末）一只不透明的袋子中装有若干个红球、若干个白球和8个黄球，这些球除颜色外都相同，将球摇匀，从中任意摸出一个球，摸到黄球的概率是． (1)请直接写出袋中一共装有__________个球； (2)若袋中有红球16个，求摸到白球的概率； (3)若摸到红球的概率是摸到白球的概率的3倍，则袋中红球、白球各有多少个？ 【变式1-3】（25-26七年级下·河北邯郸·期末）某文体店购进了15筒羽毛球，但在销售过程中，发现其中混有若干个次品羽毛球，店员进行统计后，发现每筒羽毛球最多混入了2个次品羽毛球，具体情况如下： 混入次品羽毛球数 0 1 2 筒数 6 m n (1)用等式写出m，n所满足的数量关系为__________； (2)从15筒羽毛球中任意选取1筒： ①“筒中没有混入次品羽毛球”是__________（填“必然”“不可能”或“随机”）事件； ②若“筒中混入1个次品羽毛球”的概率为，求m和n的值． ▌题型06几何概率的应用 几何概型的概率公式： P(A)＝ 【典例1】（25-26七年级下·山东烟台·期末）如图，某地面铺有黑白两色地砖，地砖除颜色外完全一样．一枚小球在地板上自由的滚动，并随机停留在某处，它最终停留在黑色地砖上的概率是________． 【变式1-1】（25-26八年级下·山东淄博·期末）汉末三国初数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝．如图所示的弦图中，四个直角三角形均全等，且每个直角三角形的两条直角边的比都为．若向该图形内随机投掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为______． 【变式1-2】（25-26七年级下·宁夏中卫·期末）如图，一只蚂蚁在正方形内爬行，点是对角线的交点，，，分别交线段，于，，若蚂蚁在正方形内随机停留，则蚂蚁停留在阴影区域的概率为_________． 【变式1-3】（25-26七年级下·山东枣庄·期末）按要求完成以下问题 (1)如图1，一边长为的正方形木质镖靶，四个角的空白部分是以正方形的顶点为圆心，半径为的扇形，某人向此镖靶投镖，假设每次都投中，求他投中阴影部分的概率． (2)若一个小玻璃球在如图2所示的地砖图案内自由滚动，甲、乙两人打赌．甲说，小玻璃球一定会停在黑色区域上．乙说，小玻璃球一定会停在白色区域上．你认为谁获胜的概率较大？通过计算说明． ▌题型07列举法求概率 【典例1】（2026·广东·中考真题）某地开展广东非遗走进校园体验活动，有“广东醒狮”、“广绣”、“英歌舞”三个体验项目，小晨和小明各随机抽取一个，他们恰好抽到同一个项目的概率是（     ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2026·山东东营·模拟预测）从1、2、3三个数中随机选取两个不同的数，分别记为a，c，则关于x的一元二次方程有实数根的概率为（     ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26七年级下·山西晋中·期末）五一期间，某商场举行猜商品价格赢奖品的活动．王先生在事先不知道商品价格的前提下，主持人要求他从下图中的四张卡片中任意拿走一张，使剩下的卡片从左到右连成一个三位数，该数就是他猜的价格．若商品的价格是230，那么他一次就猜中的概率是__________． 【变式1-3】（2026·四川攀枝花·中考真题）如图，四个开关A、B、C、D，一个电源和一个灯泡组成了一个电路图，现任意闭合其中两个开关，则灯泡发光的概率为_______． ▌题型08用树状图和列表法求概率 列表法：当一次试验涉及两步计算，并且可能出现的结果数目较多时，可采用列表法不重不漏地列出所有可能的结果，再根据P(A)＝计算概率； 画树状图法：当一次试验要涉及两步或两步以上的计算时，通常采用画树状图法来表示所有可能的结果，再根据P(A)＝计算概率； 【典例1】（25-26八年级下·陕西渭南·期末）中国航天事业取得了举世瞩目的成就，某校科技节选取了最新的四项航天任务：A．天舟十号货运补给；B．神舟二十三号载人飞行；C．神舟二十四号载人飞行；D．梦舟一号无人试验，供学生对其进行深入了解，将四项任务分别写在四张大小、质地相同的不透明卡片正面上，将四张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上，李明随机抽取一张后，张华再从剩余的三张卡片中随机抽取一张，两人均按照所抽取的卡片上的任务进行深入了解． (1)李明抽到的卡片是“A．天舟十号货运补给”的概率是______； (2)请用列表或画树状图的方法，求两人抽到的卡片恰好都是载人飞行的概率． 【变式1-1】（2026·四川甘孜·中考真题）某设备的电路图如图所示，随机闭合三个开关，，中的两个，则灯泡亮的概率为______． 【变式1-2】（25-26八年级下·陕西西安·期末）西安是十三朝古都，留存大量盛唐与秦汉历史遗迹．小方一家计划暑假期间探访四处西安知名人文景区：A 大雁塔（玄奘译经圣地，盛唐佛塔地标）、B 大唐芙蓉园（依托唐代皇家芙蓉苑遗址复建，再现盛唐宫廷园林风貌）、C 陕西历史博物馆（馆藏周秦汉唐国宝，华夏文明宝库）、D 明城墙（我国现存最完整的明代古城垣）． (1)小方从A、B、C、D四处景点随机任选一处游览，恰好选中B大唐芙蓉园的概率是__________； (2)若当日小方一家随机选取两处景区出游，请用列表或画树状图的方法，求恰好同时选中A大雁塔和D明城墙的概率． 【变式1-3】（25-26八年级下·江苏苏州·期末）数学是与自然对话的工具，是探究世界奥秘的钥匙．如图是2025年3月14日中国邮政发行的一套枚特种邮票《数学之美》，它们除图案外都相同，将这枚邮票放到不透明的盒子里． (1)抽取枚邮票，恰好抽到邮票“勾股定理”的概率是 ； (2)同时抽取枚邮票，求恰好抽到邮票“圆周率”和“欧拉公式”的概率． ▌题型09 用频率估计概率 频率估计概率：一般地在大量重复试验中，如果事件A发生的频率稳定于某个常数p附近，那么事件A发生的概率P(A)＝p. 【典例1】（25-26七年级下·山东青岛·期末）篮球运动员为了评估自己的投篮命中率，通常会进行一系列的训练测试．下表是某篮球运动员在相同的训练条件下，得到的一组测试数据： 投篮的次数 10 50 200 300 400 1000 命中的次数 7 40 81 164 237 324 命中的频率 (1)填空：________，________； (2)根据上表，该运动员任意投出一球，能投中的概率是________（精确到）； (3)根据估计的概率，若该运动员投篮150次，则他命中的次数大约是________次； (4)该运动员任意投出一球投中的概率与下列哪个事件的概率最接近________． ①如图一，转转盘箭头停在阴影部分，其中阴影部分圆心角为； ②掷一枚均匀的骰子，掷到的点数为6； ③如图二，飞镖盘由相同的小正方形组成，任意投掷飞镖，命中阴影部分； ④袋子里有除了颜色外其余都相同的20枚小球，其中3枚黄色，1枚白色，其余为红色，随机摸一枚球颜色为红色． 【变式1-1】（25-26七年级下·山东枣庄·期末）为了看图钉落地后钉尖着地的频率有多大，小明做了大量重复试验，发现钉尖着地的次数是试验总次数的40%，下列说法错误的是（     ） A．前10次试验结束后，钉尖着地的次数一定是4 B．前20次试验结束后，钉尖着地的次数不一定是8 C．钉尖着地的频率是0.4 D．随着试验次数的增加，钉尖着地的频率逐渐稳定在某一个常数附近 【变式1-2】（25-26七年级下·广东清远·期末）清远特产英红九号是一种根系发达，移栽成活率高的茶树．某研究院跟踪调查了在春季移栽的英红九号树苗的成活情况，得到如下表格：由此可估计英红九号移栽树苗成活的概率大约是（     ） 移栽数量/棵 200 400 600 800 1000 1200 成活率 87% 93% 91% 89% 90% 90% A．80% B．85% C．90% D．95% 【变式1-3】（25-26七年级下·山东泰安·期末）某批彩色弹力球的质量检验结果如下表： 抽取的彩色弹力球数 优等品频数 优等品频率 (1)这批彩色弹力球“优等品”概率的估计值大约是________；（精确到） (2)从这批彩色弹力球中选择个黄球、个黑球、个红球，它们除了颜色外都相同，将它们放入一个不透明的袋子中，求从袋子中摸出一个球是黄球的概率； (3)现向第（2）问所说的袋子中放入若干个黄球搅拌均匀，使从袋子中摸出一个黄球的概率为，求放入了多少个黄球？ ▌题型10 统计与概率的综合问题 【典例1】为了落实“五育”并举，全面发展素质教育，长沙某学校结合长沙市教育局体育中考改革方案，准备开展丰富多彩的兴趣课后特色延时服务．以下为长沙体育中考方案： 素质类必测项目 素质类选测项目（四选一） 技能类选测项目（四选一） 男生 1000米 引体向上 掷实心球 立定跳远 跳绳 排球 篮球 足球 游泳 女生 800米 仰卧起坐 掷实心球 立定跳远 跳绳 排球 篮球 足球 游泳 为了更好地服务于学生，合理开设课程，学校拟开设排球、篮球、足球、游泳四种特色班．为了解学生对排球、篮球、足球、游泳的喜爱情况，学校随机抽取了200名学生进行调查（每人只能选择一个），将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你根据以下两幅图所给的信息解答下列问题．    (1)在抽取的200名学生中，选择“足球”的人数为___________，在扇形统计图中，m的值为___________； (2)根据本次调查结果，估计全校2000名学生中选择“排球”的学生大约有多少人？ (3)九年级二班的小强（男生）和小雯（女生）两位同学在技能类选测项目中（四选一）选择项目，请用树状图或列表法求恰好一人选择游泳、一人选择足球的概率． 【变式1-1】（25-26八年级下·黑龙江大庆·期末）为激发青少年崇尚科学，探索未知的热情，某校开展了以“逐梦科技强国”为主题的实践活动。下面是随机抽取的全校部分学生的模型设计成绩（成绩为百分制，用x表示），并整理，将其分成如下四组：A：，B：，C：，D：．下面给出了部分信息： 模型设计成绩的频数分布直方图模型设计成绩的扇形统计图 根据以上信息解决下列问题： (1)本次共抽取了_______名学生的模型设计成绩，补全直方图，在扇形统计图中C组对应圆心角的度数为_______； (2)请估计全校1200名学生的模型设计成绩不低于80分的人数； (3)现从C组中选出一男一女，D组中选出两男一女，然后从选出的两组人中各选一名做经验交流，请用画树状图或列表的方法求出所选的两位同学恰为一男一女的概率． 【变式1-2】（26-27九年级·浙江·暑假作业）某校开展“典籍里的中国”选修课，拟开设四门课程供学生选择：A．《论语》，B．《史记》，C．《天工开物》，D．《九章算术》．刘老师随机调查了部分学生对四门课程的喜好情况（每人限选一种），并将调查结果绘制成统计图表，如图所示． 课程 内容 人数 A 《论语》 B 《史记》 C 《天工开物》 D 《九章算术》 根据以上信息，解答下列问题： (1)本次调查的学生共有________人，表中的值为________； (2)现准备从四门课程中随机选择两门在全校作汇报展示，请利用画树状图或列表的方法，求恰好选到课程A和课程B的概率． 【变式1-3】（2026·四川巴中·中考真题）学校为了解七年级学生对校园艺术节活动的喜欢程度（喜欢程度分为四类：A．非常喜欢，B．喜欢，C．一般，D．不喜欢），对该年级学生进行抽样调查，并将结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图． 根据上述信息，解答下列问题： (1)本次抽样调查中，学校一共抽取了_____________名学生，并补全条形统计图； (2)该年级共有学生400人，请估计对活动“非常喜欢”的学生人数； (3)学校决定对学生进一步访谈，先从C类学生中抽取1名学生，再从D类学生中抽取1名学生，请用列表格或画树状图的方法，求抽取的2名学生恰好是1名男生和1名女生的概率． ▌题型11游戏公平性问题 【典例1】（25-26七年级下·广东梅州·期末）2026年4月23日是第31个世界读书日，为了营造多读书、读好书的氛围，某校举办了校园读书节，要在小明和小华中选取一人作为读书节主持人．将正面印有2，3，4，6，8，11，13，17的八张卡片（卡片除正面数字不同外，其他均相同）洗匀后，背面朝上放在桌面上，从中任意抽取一张．若抽到卡片上的数字是2的倍数，则小明去；若抽到卡片上的数字大于10，则小华去． (1)任意抽取一张卡片，抽到卡片上的数字是3的倍数的是________事件；（填“必然”“随机”或“不可能”） (2)通过计算说明这个游戏规则对双方是否公平？ 【变式1-1】（25-26七年级下·广东深圳·期末）如图，有一枚质地均匀的正二十面体形状的骰子，其中的1个面标有“1”，2个面标有“2”，3个面标有“3”，4个面标有“4”，5个面标有“5”，其余的面标有“6”，任意掷这枚骰子，则： (1)向上一面的数字是“6”的概率是_____； (2)掷出数字______的概率最大； (3)现利用这个骰子设计一个游戏：投掷这枚骰子一次，若向上一面的数字是奇数，则小明获胜，否则小红获胜，请利用概率判断这个游戏是否公平？ 【变式1-2】（25-26七年级下·广东深圳·期末）小明和小军利用质地均匀的骰子做游戏，规则如下： Ⅰ．两人同时做游戏，各自掷一枚骰子，每人可以只掷一次骰子，也可以连续地掷几次骰子． Ⅱ．当一人掷出的点数和不超过10时，如果决定停止掷，那么此人的得分就是他所掷出的点数和；当一人掷出的点数和超过10时，必须停止掷，并且得分为0； Ⅲ．比较两人的得分，谁的得分高谁就获胜． 请根据上述规则回答下列问题： (1)掷一次骰子得到的点数为1的概率是_________； (2)小明第一次掷出的点数是6，如果他决定掷第二次，则最终得分为0的概率是多少？ (3)已知小军前两次掷出的点数和为8，此时他并不知道小明掷的点数．如果你是小军，你会掷第三次吗？请用所学的概率知识说明理由． 【变式1-3】（25-26七年级下·广东深圳·期末）一枚质地均匀的正十二面体形状的骰子（如图），其中的1个面标有“”，1个面标有“”，2个面标有“”，2个面标有“”，3个面标有“”，其余面标有“”（如表1）． 表1正十二面体骰子每面对应字母统计表 字母 对应的个数 1 1 2 2 3 ？ (1)标有“”的面有_________个． (2)任意掷这枚骰子，掷出“”的概率是多少？ (3)小明和小华参与游戏：任意掷这枚骰子，若掷出“”或“”或“”，则小明赢，否则小华赢．这个游戏对双方公平吗？请说明理由． ▌题型12概率在转盘游戏中的应用 【典例1】（25-26八年级下·山东烟台·期末）五一黄金周期间，某购物广场抓住商机，举行有奖促销活动，每购物满100元，就会有一次转动大转盘的机会，大转盘如图1所示，求每转动一次转盘： (1)享受七折优惠的概率； (2)中奖得20元的概率； (3)中奖得现金的概率； (4)谢谢参与的概率； (5)请你在图2中重新设计一种转盘抽奖方案，使得最后抽到20元奖、谢谢参与和10元奖的概率分别为，，．（奖项内容同图1，标注要求也同图1，只作图．） 【变式1-1】（25-26七年级下·宁夏银川·期中）某班在爱心义卖活动中设立了一个可以自由转动的转盘，如图所示，同时规定：顾客购物满20元就能获得一次转动转盘的机会，如表是活动中的统计数据： 转动转盘的次数 100 200 300 400 500 落在“谢谢参与”区域的次数 29 60 93 122 落在“谢谢参与”区域的频率 (1)完成上述表格：___________，___________； (2)若继续不停的转动转盘，当很大时，落在“谢谢参与”区域的频率将会接近___________，假如你去转动该转盘一次，你转到“谢谢参与”的概率约是___________；（结果都精确到） (3)某顾客获得一次转动转盘的机会（转盘如图所示），求获得“盲盒”的概率是多少？ 【变式1-2】（25-26七年级下·山西太原·期中）某超市为感恩客户的支持与信赖，特推出了“感恩回馈季，幸运抽好礼”的抽奖活动，抽奖活动分为转转盘和翻奖牌两种方式，规则分别如下： 转转盘：如图1是一个可以自由转动的转盘，转盘被等分为8个区域，每个区域上分别写有“10元”“20元”或“感谢参与”的字样．转动转盘，当转盘停止转动后，顾客可获得指针所指区域相应金额的代金券（若指针指向分界线，则重新转动）． 翻奖牌：如图2是9张背面完全相同的卡片，正面上分别写有“10元”“20元”“30元”或“感谢参与”的字样．将这9张卡片背面朝上洗匀后，顾客可从中随机抽取一张，并获得这张卡片正面相应金额的代金券． 顾客消费超过100元，可凭借购物小票在转转盘和翻奖牌两种方式中任选一种参与． 说明：两种方式中，“感谢参与”均无法获得代金券． (1)求转转盘方式中，顾客获得10元代金券的概率． (2)求翻奖牌方式中，顾客获得代金券的概率． (3)若你参与抽奖活动，你选择哪种方式？并说明理由． 【变式1-3】（25-26七年级下·甘肃酒泉·期中）某商人在游乐场制作了一个如图所示的游戏转盘，取名为“开心大转盘”，游戏规定：参与者自由转动转盘，若指针指向数字“”则收费元；若指针指向数字“”，则奖励元；若指针指向数字“”，则奖励元． (1)任意转动转盘一次，转盘停止后根据指针指向的区域（指针和分区线重合时，可重新转一次），则 ； ； ． （结果化成最简分数） (2)任意转动转盘一次，求出参与者获奖的概率是多少？ (3)一天，一名游客转动转盘次（指针均落在标有数字的区域），你认为该商人是盈利可能性大还是亏损的可能性大？为什么？ 试卷第2页，共39页 1 / 25 学科网（北京）股份有限公司 $