第2章随机事件的概率 章末重难点专训 简单事件的概率-抽卡问题 2026-2027学年浙教版数学九年级上册

**基本信息** 聚焦抽卡情境的古典概型专项训练，通过基础计算到综合应用的梯度设计，系统覆盖单抽、双抽（放回/不放回）及游戏公平性判断，强化概率公式与树状图/列表法的应用，培养推理能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础计算|12题（选择1-6、填空7-12）|单抽概率、双抽（不放回/放回）事件数计算|从单抽概率公式（P=m/n）到双抽结果列举，构建古典概型认知基础| |综合应用|7题（解答13-19）|树状图/列表法、游戏公平性判断|结合实际情境（抽奖、竞赛），深化事件数分析与概率比较，形成“概念-方法-应用”完整链条|

第2章随机事件的概率 章末重难点专训 简单事件的概率-抽卡问题 一、选择题 1．小明购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“立春”“夏至”“秋分”“大寒”四张邮票中的一张送给好朋友小红．小明将它们背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），将邮票洗匀后，让小红从中随机抽取一张，则小红抽到的邮票恰好是“夏至”的概率是（　　） A． B． C． D． 2．如图，现有四张正面印有冬奥会吉祥物的不透明卡片，卡片除正面图案不同外，其余均相同，其中两张正面印有冰墩墩图案，两张正面印有雪容融图案，将四张卡片正面向下洗匀，从中随机抽取两张卡片，则抽出的两张卡片图案都是冰墩墩的概率是（　　） A． B． C． D． 3． 三张背面完全相同的卡片上，正面分别画有“等边三角形，圆，平行四边形”，现将三张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张卡片，抽到卡片上所画图形是轴对称图形的概率为（　　） A． B． C．1 D．0 4．不透明的盒子放有三张大小、形状及质地相同的卡片，卡片上分别马有李白《峨眉山月歌》，李白《渡荆门送别》和王维《寄荆州张丞相》三首诗，小明从禽子中随机抽取两张卡片，卡片上诗的作者都是李白的概率是（　　） A． B． C． D． 5．有6张完全相同的卡片，每张卡片的正面都写有一种常见的生活现象，将所有卡片背面朝上，从中任意抽出一张，抽到的“生活现象”只有物理变化的概率是（　　） A． B． C． D． 6．不透明的盒子放有三张大小、形状及质地相同的卡片，卡片上分别写有李白《峨眉山月歌》，李白《渡荆门送别》和王维《寄荆州张丞相》三首诗，小明从盒子中随机抽取两张卡片，卡片上诗的作者都是李白的概率是 A． B． C． D． 二、填空题 7．一个不透明的袋子里有三张大小形状相同的卡片，分别写着数字4，5，6，从中任取一张，数字为偶数的概率是　 　． 8．有四张正面分别标有数字1、2、3、4的卡片，它们除数字外完全相同，将四张卡片背面朝上，洗匀后随机抽取两张，取出的两张卡片上的数字之和为偶数的概率是 　 　． 9．小滨和小江分别从甲、乙两个式样、大小都相同的不透明袋子中随机抽出一张卡片，其中，甲、乙两个袋子中均装有一张写着正数的卡片和一张写着负数的卡片．把各自抽出的卡片上的数字相乘，若乘积为正数则小滨获胜，乘积为负数则小江获胜，则该场游戏小江获胜的概率是　 　．若在乙袋中增加一张写着负数的卡片，甲袋中的卡片数不变，两人按照上述规则再次游戏，则小江获胜的概率和第一场游戏中小江获胜的概率相比将　 　．（填“增加”“减小”或“不变”） 10．从1至9的数字卡片中，任意抽一张，抽到奇数的概率是　 　. 11．有5张仅编号不同的卡片，编号分别是1，2，3，4，5．从中随机抽取一张，编号是偶数的概率为　 　． 12．在一个不透明的袋子中装有张完全相同的卡片，分别写有数字，，从中随机抽取两张，组成的两位数是的倍数的概率为　 　． 三、解答题 13．在庆祝龙年的元旦联欢会上，八年级某班进行抽奖活动，活动规则如下：将4张正面标有龙、蛇、马、羊的纸牌(纸牌反面完全相同)洗匀后，反面朝上放在桌子上，参与者每次随机从中抽取两张纸牌，只有当抽到“龙”和“马”，即组成“龙马精神”这个成语，则参与者可获得奖品。 （1）王小虎随机抽出一张纸牌，抽到“龙”牌的概率是　 　； （2）丽丽决定参加游戏，请用树状图说明丽丽获得奖品的概率； （3）游戏规定：所抽取的2张卡片中，能够组成“龙马精神”的，则丽丽获胜，否则小虎获胜，你觉得这个游戏公平吗?请说明理由。 14．某市开展党史知识竞赛活动，某单位决定从报名的，，三名优秀党员中通过抽签的方式确定两名优秀党员参加.将三名优秀党员的名字分别写在3张完全相同不透明卡片的正面，把这3张卡片背面朝上，洗匀后放在桌上，先从中随机抽取1张卡片，记下名字后，再从剩下的2张卡片中随机抽取1张，记下名字. （1）第一次从3张卡片中随机抽取1张卡片，优秀党员被选中的概率是　 　； （2）请用列表或画树状图的方法，求出，两名优秀党员被选中的概率. 15．如图1，线段AE和BD相交于点C，连接AB和DE．四张纸牌除正面分别写着如图2所示的四个不同的条件外完全相同，将四张纸牌背面朝上洗匀后放在桌面上． （1）若小明第一次抽到纸牌③后，再从剩下的三张纸牌中随机抽取一张，则两张纸牌上的条件能证明成立的概率是　 　； （2）若从四张纸牌中随机抽出两张，求两张纸牌上的条件能证明成立的概率，先补全图3中的树状图，再计算． 16．魔术师表演了一个与纸牌相关的魔术，让人大开眼界，这个魔术中隐含了一个数学问题——约瑟夫问题，春晚结束后，小华和小丽玩起了抽扑克牌游戏，他们从同一副扑克牌中选出四张牌，牌面数字分别为3，6，7，9.将这四张牌背面朝上，洗匀. （1）小丽从中随机抽出一张牌，则抽到这张牌是奇数的概率是　 　； （2）小丽从中随机抽取一张，记下牌面上的数字后放回，背面朝上，洗匀，接着小华再从中随机抽取一张，记下牌面上的数字，请求出他们抽到的两张扑克牌牌面数字之和恰好是3的倍数的概率. 17．人工智能是数字经济高质量发展的引擎，也是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动．人工智能市场分为决策类人工智能、人工智能机器人、语音类人工智能、视觉类人工智能四大类型，将四个类型的图标依次制成四张卡片（卡片背面完全相同），将四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上． A．决策类人工智能 B．人工智能机器人 C．语音类人工智能 D．视觉类人工智能 （1）随机抽取一张，抽到决策类人工智能的卡片的概率为　 　； （2）从中随机抽取一张，不放回，再从剩余的三张卡片中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求抽到的两张卡片恰好是“决策类人工智能”和“视觉类人工智能”的概率． 18．暑假期间，小张和小美一起到南昌旅游，晚上他们去特色街逛街并吃点小吃，看到满大街各式各样的美食，却不知道选择哪一个，于是通过抽卡片的游戏来决定吃什么.他们制作了四张背面完全相同的卡片，在正面上分别写着：A.白糖糕；B.炒螺蛳；C.三杯鸡；D.南昌炒粉.将这四张卡片背面朝上，放置在水平桌面上，洗匀放好，小张先从这四张卡片中随机抽取一张，放回后洗匀，小美再从这四张卡片中随机抽取一张. （1）小张抽到卡片正面写着“南昌炒粉”的概率是　 　. （2）请用列表或画树状图的方法，求小张、小美两个人抽到不同特色美食的概率. 19．4张相同的卡片上分别写有数字0、1、﹣2、3，将卡片的背面朝上，洗匀后从中任意抽取1张，将卡片上的数字记录下来；再从余下的3张卡片中任意抽取1张，同样将卡片上的数字记录下来． （1）第一次抽取的卡片上数字是非负数的概率为 　 　； （2）小敏设计了如下游戏规则：当第一次记录下来的数字减去第二次记录下来的数字所得结果为非负数时，甲获胜；否则，乙获胜．小敏设计的游戏规则公平吗？为什么？（请用树状图或列表等方法说明理由） 答案解析部分 1．【答案】C 【解析】【解答】解：∵他要将“立春”“夏至”“秋分”“大寒”四张邮票中的一张送给好朋友小红，小明将它们背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），将邮票洗匀后，让小红从中随机抽取一张， ∴小红抽到的邮票恰好是“夏至”的概率是， 故答案为：C 【分析】根据简单事件概率结合题意即可求解。 2．【答案】C 【解析】【解答】解：将每个吉祥物编号为：A：冰墩墩1，B：冰墩墩2，C：雪容融1，D：雪容融2， 画树状图如下： ∴一共有12种等可能情况，其中抽出两张卡片都是冰墩墩的结果有2种， ∴抽出两张卡片都是冰墩墩的概率==. 故答案为：C. 【分析】先将每个吉祥物编号为：A：冰墩墩1，B：冰墩墩2，C：雪容融1，D：雪容融2，画出树状图，得到所有可能的结果及抽出两张卡片都是冰墩墩的结果数，再由概率公式代入数据即可求得抽出两张卡片都是冰墩墩的概率. 3．【答案】A 【解析】【解答】解：由题意可得： 等边三角形和圆是轴对称图形，平行四边形是中心对称图形 故答案为：A 【分析】根据轴对称图形的定义及简单事件的概率即可求出答案. 4．【答案】A 【解析】【解答】解：分别把写有李白《峨眉山月歌》，李白《渡荆门送别》和王维《寄荆州张丞相》三首诗的卡片分别计为A、B、C， 画树状图如下： 由树状图知：共有6种等可能结果，其中卡片上诗的作者都是李白的结果有2种，即AB，BA， ∴ 卡片上诗的作者都是李白的概率是. 故答案为：A. 【分析】利用树状图知共有6种等可能结果，其中卡片上诗的作者都是李白的结果有2种，再利用概率公式计算即可. 5．【答案】B 【解析】【解答】总共有6张卡片，只有物理变化的有“水结成冰”、“灯泡发光”两张， 抽到的“生活现象”只有物理变化的概率是 故答案为：B. 【分析】根据总共有6张卡片，只有物理变化的有“水结成冰”、“灯泡发光”两张，利用概率公式代入数据计算即可求解. 6．【答案】A 【解析】【解答】解：设李白《峨眉山月歌》，李白《渡荆门送别》和王维《寄荆州张丞相》三首诗分别为A、B、C， 画树状图为： 由图知，一共有6种可能的结果，每种可能性都相等，其中从盒子中随机抽取两张卡片，卡片上诗的作者都是李白的有2种， ∴从盒子中随机抽取两张卡片，卡片上诗的作者都是李白的概率为， 故答案为：A. 【分析】画树状图得到所有等可能的结果数，找出满足条件的结果数，然后利用概率公式求解即可. 7．【答案】 【解析】【解答】解：∵ 数字4，5，6中，偶数有2个， ∴ 从中任取一张，数字为偶数的概率为. 故答案为：. 【分析】利用偶数的个数除以数字的总个数即得结论. 8．【答案】 【解析】【解答】解：根据题意列出如下树状图： ∴共有12种等可能的情况数，其中符合条件的情况数有4种， ∴P（ 两张卡片上的数字之和为偶数 ）=， 故答案为：. 【分析】先利用树状图求出所有等可能的情况数，再利用概率公式求解即可。 9．【答案】；不变 【解析】【解答】解：共有4种等可能得结果，分别为：（正数，负数）、（负数，正数）、（正数，正数）、（负数，负数），其中乘积为负数的结果有：（正数，负数），（负数，正数）共2种，所以该场游戏小江获胜的概率是； 乙袋中增加一张写着负数的卡片，甲袋中的卡片数不变，两人按照上述规则再次游戏，共有6种等可能的结果，分别为：（正数，正数）、（正数，负数）、（正数，负数）、（负数，正数）（负数，负数）、（负数，负数），其中乘积为负数的结果有：（正数，负数），（正数，负数），（负数，正数），共三种，所以该场小江获胜的概率是，所以小江获胜的概率和第一场游戏中小江获胜的概率相比将不变． 故答案为：；不变 【分析】甲、乙两个袋子中均装有一张写着正数的卡片和一张写着负数的卡片时，共有4种等可能的结果，乘积为负数的有2种，再利用概率公式可得该场游戏小江获胜的概率；在乙袋中增加一张写着负数的卡片，甲袋中的卡片数不变时，共有6等可能得结果数，乘积为负数的有2种，再利用概率公式可得此时小江获胜的概率，再作比较即可． 10．【答案】 【解析】【解答】解：∵ 1至9的数字中共有1、3、5、7、9共5个奇数， ∴ 任意抽一张，抽到奇数的概率是. 故答案为：. 【分析】用奇数的个数除以数据的总个数即得结论. 11．【答案】 【解析】【解答】解：用列举法计算在5种可能中出现偶数编号2种的概率， 故. 故填：. 【分析】由概率计算公式得出结果. 12．【答案】 【解析】【解答】解：由题意可得： 组成的两位数共有：12，13，21，23，31，32共6个 组成的两位数是的倍数的有：12，21 则其概率为： 故答案为： 【分析】求出组成的两位数，及组成的两位数是的倍数，再根据简单事件的概率即可求出答案. 13．【答案】（1） （2）解：画树状图如下： 由树状图可知：共有12种等可能的情况数，其中能同时抽到“龙”和“马”的有2种等可能的情况数，即能获得奖品的情况数有2种， ∴ 丽丽获得奖品的概率为； （3）解：不公平，理由如下： 由（2）知，丽丽获胜的概率是， 小虎获胜的概率是1-=， 而＞， ∴这个游戏不公平. 【解析】【解答】解：（1） 将4张正面标有龙、蛇、马、羊的纸牌(纸牌反面完全相同)洗匀后，反面朝上放在桌子上， 王小虎随机抽出一张纸牌，抽到“龙”牌的概率是； 故答案为：； 【分析】（1）直接利用概率公式计算可得答案； （2）此题是抽取不放回类型，根据题意画出树状图，由图可知共有12种等可能的情况数，其中能同时抽到“龙”和“马”的有2种等可能的情况数，然后根据概率公式计算即可； （3）根据题意可得丽丽获胜的概率是，小虎获胜的概率是1-=，将两人获胜的概率比大小即可得出答案. 14．【答案】（1） （2）解：（方法一）画树状图如下： 从以下树状图可知，总共有6种等可能的结果. 其中，两名优秀党员被选中的可能性由2种 ∴ （方法二）列表如下： 第一次 第二次 　 　 　 从上表可知，总共有6种等可能的结果. 其中、两名优秀党员被选中的可能性由2种 ∴ 【解析】【解答】解：（1）∵ 第一次从3张卡片中随机抽取1张卡片 ∴优秀党员被选中的概率= 故答案为：. 【分析】（1）根据概率的定义直接解题即可； （2）根据树状图分析所有可能的结果以及B、C两名优秀党员被选中的情况，根据概率的定义直接计算即可. 15．【答案】（1） （2）解：树状图如下： 由树状图可知，一共有12种情况，其中能证明的有8种， 分别是：①③、①④、②③、②④、③①、③②、④①、④②， 所以概率． 【解析】【解答】（1）AB=DE， 当抽中∠A=∠D时，利用AAS可证明，故符合题意； 当抽中∠B=∠E时，利用AAS可证明，故符合题意； 当抽中BC=CE时，利用SSA不可证明，故符合题意； 共有3种等可能的结果，能证明的有2种， 能证明成立的概率是 ， 故答案为： . 【分析】（1）根据判断三角形全等的依据求得能证明的结果数，利用概率公式即可求解； （2）补全树状图得到 一共有12种情况，其中能证明的有8种， 利用概率公式即可求解. 16．【答案】（1） （2）解：列表如下： 　 3 6 7 9 3 （3，3） （3，6） （3，7） （3，9） 6 （6，3） （6，6） （6，7） （6，9） 7 （7，3） （7，6） （7，7） （7，9） 9 （9，3） （9，6） （9，7） （9，9） 共有16种等可能的情况，其中他们抽到的两张扑克牌牌面数字之和恰好是3的倍数的有9种， ∴他们抽到的两张扑克牌牌面数字之和恰好是3的倍数的概率为. 【解析】【解答】解：（1）根据题意得，共有4种等可能的情况，其中抽到这张牌是奇数的有3种， ∴抽到这张牌是奇数的概率是， 故答案为：； （2）列表如下： 　 3 6 7 9 3 （3，3） （3，6） （3，7） （3，9） 6 （6，3） （6，6） （6，7） （6，9） 7 （7，3） （7，6） （7，7） （7，9） 9 （9，3） （9，6） （9，7） （9，9） 共有16种等可能的情况，其中他们抽到的两张扑克牌牌面数字之和恰好是3的倍数的有9种， ∴他们抽到的两张扑克牌牌面数字之和恰好是3的倍数的概率为. 【分析】（1）根据题意得出所有等可能的结果数，再得到其中抽到奇数的结果数，最后利用概率公式进行计算即可； （2）根据列表法得出所有等可能的结果数，再观察表格得他们抽到的两张扑克牌牌面数字之和恰好是3的倍数的结果数，最后利用概率公式进行求解. 17．【答案】（1） （2）列表如下： 第1张 第2张 　 　 　 　 由上表可知共出现12种结果，并且每一种结果出现的可能性相同． 其中抽取到两张卡片恰好是“决策类人工智能”和“视觉类人工智能”的结果共2种：． 【解析】【解答】解：（1）∵共有4张卡片， ∴从中随机抽取一张，抽到决策类人工智能的卡片的概率为； 故答案为：； 【分析】（1）直接根据概率公式求解即可； （2）根据题意列表，从表格中确定所有等可能结果的数量和符合条件的结果数量，然后根据概率公式计算即可． 18．【答案】（1） （2）解：画树状图如下. 由上可得，共有16种等可能的结果，其中抽到不同特色美食的结果有12种， 小张、小美两个人抽到不同特色美食的概率 【解析】【解答】解：（1）由题意得从这四张卡片中随机抽取一张，小张抽到卡片正面写着“南昌炒粉”的概率是， 故答案为： 【分析】（1）根据简单事件的概率结合题意即可求解； （2）先根据题意画出树状图，进而即可得到共有16种等可能的结果，其中抽到不同特色美食的结果有12种，再根据等可能事件的概率结合题意即可求解。 19．【答案】（1） （2）小敏设计的游戏规则公平，理由如下： 列表如下： 0 1 ﹣2 3 0 　 1 ﹣2 3 1 ﹣1 　 ﹣3 2 ﹣2 2 3 　 5 3 ﹣3 ﹣2 ﹣5 　 由表可知，共有12种等可能结果，其中结果为非负数的有6种结果，结果为负数的有6种结果， ∴甲获胜的概率＝乙获胜的概率＝＝， ∴小敏设计的游戏规则公平． 【解析】【解答】解：（1） 第一次抽取有4种等可能的结果，其中非负数的结果有0，1，3这三种， ∴ 第一次抽取的卡片上数字是非负数的概率为：， 故答案为： 。 【分析】（1）直接利用概率的公式计算； （2）先列表，从中确定所有等可能的结果的数量和符合条件的结果的数量，再利用概率的公式计算，根据概率的大小判定即可。 1 学科网（北京）股份有限公司 $