4.1 任意角和弧度制、三角函数的概念-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（苏教版）

第四章 三角函数与解三角形 §4.1任意角和弧度制、三角函数的概念 ★[考试要求] 1.了解任意角的概念和弧度制.2.能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性. 3.借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义. 复盘>必备知识 打通教材逐点夯实 以备知识掌握 3.任意角的三角函数 1.角的概念 (1)设a是一个任意角，a∈R,它的终边OP与 (1)定义：角可以看作平面内一条射线绕着 单位圆相交于点P(x,y),则sina=, 它的 从一个位置旋转到另一个 cos a- ,tan a= (x≠0). 位置所形成的图形. (2)任意角的三角函数的定义（推广）： 按旋转方向不同分为 (2)分类 设P(x,y)是角α终边上异于原点的任 按终边位置不同分为 和轴线角. 意一点，其到原点O的距离为r,则sina (3)相反角：我们把射线OA绕端点O按逆 时针方向、顺时针方向旋转相同的量所 =义，cosa=手，tana=(x≠0). 成的两个角叫做互为相反角.角α的相 (3)三角函数值在各象限内的符号：一全正、 反角记为 二正弦、三正切、四余弦，如图， (4)终边相同的角：所有与角α终边相同的 角，连同角α在内，可构成一个集合S= 出上 {3B=a+k·360°，k∈Z. 2.弧度制的定义和公式 自主诊断查验 (1)定义：把长度等于 的圆弧所对 1.判断下列结论是否正确（请在括号中打 的圆心角叫作1弧度的角，弧度单位用 “√”或“X”) 符号rad表示. (1)锐角是第一象限角，第一象限角也都是 (2)公式 锐角。 ) 角a的弧 la=(弧长为1，半径为r) 度数公式 (2)将表的分针拨快5分钟，则分针转过的 角度与弧 1°= rad;1 rad= 角度是否 ) 度的换算 180 弧长公式 (3)相等的角终边一定相同，终边相同的角 也一定相等， () 扇形面 积公式 (4)若sina>0,则a的终边落在第一或第二 象限. 57 2.[多选]下列与角等的终边相同的角是 3.sin2·cos3·tan4的值 A.小于0 B.大于0 C.等于0 D.不存在 A.14 B.2k元 25(k∈0 4.已知角a的终边过点P(一3cos0,4cos),其 中0∈ C.2kx+2(k∈) 长 x小，则sina 3 D.(2k+1)元+ tan a= 跃升>关键能力 核心考点分类突破 题型1 角及其表示 (3)对k进行讨论，得到或n0(n∈N*) 17 [例1] (1)设集合M= 所在的象限 {-专180+6cN [注意]注意“顺转减，逆转加”的应用， 如角0的终边逆时针旋转180°可得角 {红=冬·180+45，k∈乙那么（ 0+180°的终边. A.M=N B.MCN 跟踪训练 C.NCM D.MnN=☑ 1.若角α的顶点为坐标原点，始边在x轴的 (2)设0是第三象限角，且 cos 2 非负半轴上，终边在直线y=√3x上，则 角α的取值集合是 -cos- 则是 A{a=2kπ-3，∈Z A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 B{aa=2k+，k∈☑ 规律方法 1.表示区间角的三个步骤 C.{aa=+5∈Z (1)先按逆时针方向找到区域的起始和终 D.{a=x-∈Z 止边界 (2)按由小到大分别标出起始和终止边界 2.[多选]若角α是第二象限角，则%可能是 对应的一360°~360°范围内的角α和 角B,写出最简区间. A.第一象限角 B.第二象限角 (3)起始、终止边界对应角α，B再加上 C.第三象限角 D.第四象限角 360°的整数倍，即得区间角集合. 题型2 弧度制及其应用 2.确定0，号(n∈N)的终边位置的方法 [例2] 已知扇形的圆心角是α，半径为R, (1)将0的范围用不等式（含有k,且k∈Z) 弧长为1. 表示 (1)若a=60°，R=10cm,求扇形的弧 (2)两边同除以n或乘以n: 长l; 58 (2)若a=牙，R=2cm,求扇形的弧所在 题型3 三角函数的概念 的弓形的面积； 卜[角度1口利用三角函数的定义求值 (3)若扇形的周长是20cm,当扇形的圆 [例3一1] 已知角α的终边经过点 心角α为多少弧度时，这个扇形的面积 P(-5,m)(m≠0，且sina=2m,则 4 最大？ cos a- tan a= [角度2]判断三角函数值的符号 [例3-2] [多选]下列各选项中正确的是 ( A.sin300°<0 B.c0s(-305°)>0 C.tan 号0 D.sin 10>0 规律方法 三角函数定义问题的解题策略 (1)已知角α终边上一点P的坐标，可求 规律方法 角α的三角函数值.先求P到原点的 弧长和扇形面积的计算方法 距离，再用三角函数的定义求解 1.在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比 (2)已知角a的某三角函数值，可求角α 在角度制下更方便、简捷.但要注意圆 终边上一点P的坐标中的参数值，可 心角的单位是弧度 根据定义中的两个量列方程求参数值 2.从扇形面积出发，在弧度制下使问题转 (如例3一1). 化为关于α的不等式或利用二次函数 (3)已知角α的终边所在的直线方程或角 求最值的方法确定相应最值. α的大小，根据三角函数的定义可求 3.记住下列公式：①1=aR;@S=R: 角α终边上某特定点的坐标 0跟踪训练 ③S=2aR.其中R是扇形的半径，1 1.已知角a的终边经过点(3，一4)，则sina 是弧长，α(0<a<2π)为圆心角，S是扇 大1 等于 ( cos a 形面积 跟踪训练 器 c n [多选]已知扇形的周长是6，面积是2，下 2.[多选]若角a=3rad(rad为弧度制单 列选项可能正确的是 ( 位)，则下列说法正确的是 ( ) A.圆的半径为2 A.sin a>cos a B.a是第三象限角 B.圆的半径为1 C.sin a>0 D.tan a>0 C.圆心角的弧度数是1 e温馨提 学习至此，请完成配套训练课时冲关21 D.圆心角的弧度数是2 59(2)由(1)知，当a=1时，f(x)=lnx-x+1≤0， 即x-1≥lnx,当且仅当x=1时取等号， 令z=+1(meN),可得上>n+1, n n 所以1+子++…+>h子+号++…+ 3 即EN时，1+子+…+>a+1 跟踪训练 解：1)画教f()=e-名4m2-x, 求导得f(x)=e一ax-1, 由于函数f(x)在R上单调递增， 则f(x)=e一ax一1≥0恒成立， 令h(x)=e-a.x-l,则h'(x)=e-a, 当a=0时，f(x)=e-1, 当x<0时，f(x)<0,不满足条件； 当a<0时，h'(x)>0,h(x)在R上单调递增， 又h(日）=e-a…日-1=位-2<0 即了（日）<0.不满足条件： 当a>0时，令h'(x)=0,得x=lna,则当x<lna时， h'(x)<0,h(x)单调递减，当x>lna时，h'(x)>0, h(x)单调递增，于是当x=lna时，h(x)取得最小值， h(In a)=eln"-aln a-1=a-aln a-1, 于是h(lna)≥0，即a-1-alna≥0， 令u(a)=a-l-alna,则u'(a)=-lna, 当0<a<1时，'(a)>0,u(a)单调递增： a>l时，u(a)<0,u(a)单调递减，则u(a)mx=u(1)=0, 由于a-1一alna≥0恒成立， 因此a-1-alna=0,则有a=l, 所以f(x)单调递增时，a的值为1. (2)由(1)知，当a=1时，e一x一1≥0，即有e≥x十1，当且 仅当x=0时取等号，即当>0时，n(x十1)<x, 因此当n∈N”且n≥2时， n[a+D(+)-(1+)月=h1+)+i(+) ++(+是)1++…+ 11 而当n≥2时，元<n(n一1nn1 ++1<1+ 所以1+ n 必 [(-)十(2-合)++(n马-品)川 =1+1-元<2， 则[1+D(+)(1+)]<2. 所以，a+D(1+)(1+)Kc. 第四章三角函数与解三角形 §4.1任意角和弧度制、三角函数的概念 复盘·必备知识必备知识掌握 1.(1)端点(2)正角负角零角象限角(3)一a 2.(1)半径长 (2)/180 lalr tir 1 3.(1)yx 自主诊断查验 1.(1)×(2)×(3)×(4)×2.AC3.A 4.- 跃升·关键能力题型1[例1](1)B(2)B 跟踪训练1.C2.AC 题型2 [例2][解]（1a=60°=子1=10X子-19(cm). (2)设弓形面积为S.由题知1=2cm ,=S-SA=×X2-×2×sim吾 3 (5-)cm). (3)由已知得，1+2R=20, 所以S=号1R=号(20-2R)R=10R-R =-(R-5)2+25. 所以当R=5时，S取得最大值25cm, 此时l=10,a=2. 跟踪训练ABC 题型3[例3-1] 、6 3 [例3-2]AB 跟踪训练1.D2.AC §4.2同角三角函数基本关系式及诱导公式 复盘·必备知识必备知识掌握 1.(1）sina+cosa=1 (2)sina tan a cos a (a≠+kx,k∈Z）2.-sina-sin a sin a cos a cos a -cos a cos a -cos a sin a -sin a tan a- tan a