课时冲关32 平面向量的数量积&课时冲关33 复数-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮课时作业（苏教版）

6.ABD[易知AB=OB-OA=(2,-1)-(1,-3)=(1,2), AC=OC-OA=(m+1,m-2)-(1,-3)=(m,m+1) 假设A,B,C三点共线，则1×(m十1)-2m=0,即m=1, 所以只要m≠1，A,B,C三点就能构成三角形.] 7.ABC[建立如图所示的平 面直角坐标系，不妨设正方 D 形的边长为2， 设Q(x,0),则根据题意可得 A(0,2),D(2,2),C(2,0), (号)（侍） B(0,0), 则A正=（停，-号） AC=(2,-2.AQ=红，-2.AE=(层-者) AB=(0,-2),AD=(2,0), 由于AE∥AQ, 所以-寺=-2X号解得=1，故Q10 对于AA正+A=(学，青)十（合号）=2，-2) AC,故A正确：对于B号店+子AD=子×(0，-2)+司 ×2,0)=(号-专)=正，故B正确：对子C号A店+ 号A0=子×0，-2)+子×20)=（停，-号）=A 故C正确：对子D,号AB+名AD=号×(0，-2)+日 20)=(合-号)0-(-号-音)故D错读.] 8.解析：向量a=(-1,4),b=(3,-2入)， 则2a+b=(1,8-2λ)， 由a∥(2a+b),得4=-8+2λ， 解得入=6. 答案：6 9.解析：如图，作平行四边B 形OB,CA1, B 则OC=OB,+OA1, 因为OA与OB的夹角为120°， OA与OC的夹角为30°， 所以∠B1OC=90° 在Rt△OB,C中，∠OCB,=30°，|OC1=2√3， 所以OB,|=2,B,C=4, 所以OAI=|B,C1=4, 所以OC=4OA+2OB,所以1=4，=2， 所以入十=6. 答案：6 3 10解析：建立如图所示的平面直 ↑y 角坐标系， Aa0.39 设∠AOC=a, 0 则C(3cosa,3sina), efo. 由OC=xOA+yOB→(3cosa,3sina)=x(3,0)+ 化简得x= 3 sin a+cos a,y= 2√3 3 sin a. 则x十y= 3sin a+cos a )213 sin a 3 3 -3sin a+cos a=2sin (a+), 则当in+晋)=1时，十y最大，最大位为2. 3 3 2cosa-2ysin(a十g, 3 其中1am=5且为第一象限角， 2 则当sin(a十9)=1时，2x+y最大，最大值为2y2 3 答案：22 3 课时冲关32平面向量的数量积 1.D[由已知得a与b共线，则-2×x=1×6,解得x= 一3，所以b=(1,一3)，所以3a十b=3(一2,6)+(1，-3) =(-5,15),因此a·(3a+b)=(一2,6)·(-5,15) =100.] 2.B[由题知，la=√5+20=5，|a-b2=|a2-2a·b +1b12=49,即25-2×6+1b12=49,所以1b|=6(负值 已舍去).] 3.B[因为a=(3,1),b=(2,2), 所以a+b=(5,3),a-b=(1,-1), 则|a+b|=√5+3=√34，|a-b|=√1+I=√2， (a+b)·(a-b)=5×1+十3×(-1)=2， 所以asa+6:a-6,=a060的= √34X√2 =] 171 44 4.B[因为2a十√2b与b垂直，则(2a十√2b)·b=0,即 2a·6+26=0,化简得a·b=-号6，而a=261, 则cos(a,b)=a·b 1 ab2162: 又因为a,b∈[0，]，有a,b)=号， 所以a与6的夫角为经.] 5.A[由题意得OA·OB=3×2×cos60=3, AB.OC=(OB-OA).(m OA+nOB)=(m-n)0A. OB-mOA+nOB=3(m-n）-9m十4m=-6m十n= 0.所以-合 6.D[先根据AB=OB-OA,求出OA,OB,进而可以用向 量OA,OB表示出2CA+AB,即可解出. 因为1OA=|OB1=√2，AB=2, 由AB=OB-OA平方，可得OA·OB=0,所以<OA,OB) 2 CA+AB=2(0A-OC)+0B-OA=0A+OB-2 0C, 10C1=√32+4F=5, 所以，2CA+AB1:=OA+OB+4OC-4(OA+OB) ·OC =2+2+4×25-4(OA+OB)·0C =104-4(OA+OB)·OC, 又1(OA+OB)·OC1≤1OA+OB1IOC1=5X√2+2= 10,即-10≤(OA+OB)·OC≤10， 所以|2CA+AB2∈[64,144]， 即2CA+AB|∈[8,12].] 7.BD[由a+b=(1,1),a-b=(-3,1),得a=(-1,1),b =(2,0),则|a=√2，|b=2,故A不正确：a·c=一1X1 +1X1=0,故B正确：不存在A∈R,使b=Ac成立，故C a·b ==9所以0=135， 不正确；cos0=a·b2×2 故D正确.门 8.CD[对于A,向量a=(2,1),b=(1,-1),则a·b= 2-1=1>0,又因为a,b不共线，所以a,b的夹角为锐 角，故A错误：对于B:向量a在6上的投影向量为”。 ·合-6，B错误：对于Ca-6=1,2,若a-b)/ c,则一n=2(m一2)，变形可得2m十n=4,C正确；对于 34 D,由2m十n=4,且m,n均为正数，得mn= ≤2(20士)=2，当且仅当m=1m=2时，等号成立， 即mn的最大值为2，D正确.] 9.解析：由题意可知a一b=(5,5) 设c=(x,y), 则(a-b)·c=5x+5y=0. 取x=1,则y=-1, 所以与a一b垂直的非零向量可以为c=(1,一1).（答案不 唯一) 答案：(1，一1)（答案不唯一） 10.解析：依题意，F1I=|F2|=|F3|且|F1十F2+FI =60, 所以|F1+F,+F2=|E+F22+|F+2F·F+ 2F2·F3+2F3·f1=3600, 即3E,P+3×2E,×2=3600,解得1F|=106. 答案：10√6 1.解：1AD=2(A店+A0)=2a+2b, 所以A=a+b, 2)ABAD=a…(2a+2b）=a+a…b= 2×3+合×3X2X0s60=6,所以AB.D=6. 12.解：0f)=m·n=5snx·csx十msx-1=号sm2z os2x-=sm(2+吾）-2 令2z+若∈[2x-受2kx+号]k∈D, 则x[一子x+看]k∈.所以画数f代)的单调递 增区间为[r-否，x+若]∈ (2)fC)=sin(2c+答)）是-0， sim(2c+）2,又因为Ce(0,受）所以C=吾 BC=2,AC=1.在△ACD中，CD=2y3,在△BCE中， E+得-2x2××- 3 13.D[由AB.AC =,得0sA=又因为0 <A<,所以A=子由：配-心：立，# IABI IACI 5 AB AC IABI IACI ·BC=0,所以角A的平分线垂直 于BC,所以AB=AC,所以△ABC为等边三角形.] 14.D[如图，以O为坐标原，点， y BE所在直线为x轴，AF的垂 直平分线所在直线为y轴，建 立平面直角坐标系，设点 B P(cos0,sin0)(002π)， 由题意知，E(2,0),O(0,0), 则PE=(2-cos0,-sin0),OE=(2,0), 所以PE·OE=4-2cos6, 当cos6=1,即9=0时，PE·OE取最小值2.] 课时冲关33复数 1.A[依题意，z(1十i)=一2+i, 二2+-20-1=+ 1+i (1+i)(1-i) 2 所以√）+()=] 2.B[复数之=一i,则|g2025一之20|=1(-i)o25一(-i)2025】 =1(-i)-(-1)1=|-i+11=√2.] 3.C[因为a-1+(a-2)i为实数，a∈R,所以a-2=0. 解得a=2.] D[由1+0=1-，将=aD 所以|x+2=|2-i=√22+(-1)=√5.] 5.C[法1：因为i=1+i,所以之=i=1-i,2=1+i所 以之·之=(1+i)(1一i)=2. 法2：因为i=1+i,所以i=|1十i,即|x|=√2，x·之 =|x12=2.] 6.A[复数=(a-2)+(1+2a)i,其对应的点(a-2,1十 2a)在第二象限， 则/a-2<0 1+2a>0 解得-合<a<2.] 7.BD[对于A,因为x=(a2-1)+(a2-2a-3)i为纯虚 数，a∈R, 所以0-1=0 ,解得a=1,故A错误； a2-2a-3≠0 对于B,因为(m+n)+(m-2n)i=-1+5i,m,n∈R, m-2=5,解得m】 所以m十n=-】 {n=一2故B正确： 对于C,因为在复平面内之对应的点的坐标为（一1,1）， 所以之=一1十i, 所以=一1一i,g=(一1十i)(-1一i)=1一2=2，故C 错误； 3 对于D,因为一4十3i是关于x的方程x2+px十g=0(p, q∈R)的根， 所以(-4+3i)2+(-4+3i)+g=0,所以16-9-24i 4p十3pi十g=0, 整里得：7-4p+g十(3p-24)i=0,所以7-4p+g=0. (3p-24=0 解得∫h=8 ,故D正确.] (9=251 8.AC[由共轭复数定义可得之1=一3i,A正确； 2的虚部为一2，B错误； 计算可得|名1|=3，|心|=√1+(-2)=√5， 故|x1>|心2|，C正确： 易知立=，31 3i(1+2i) 0=1二21=2D1十2 =-号+ 其在复平面内对应的点的垒标为（一号，）位于第二 象限，D错误.] .解折：=吊=产 (1-i)2 1+-2i=-2 2 =一i,.x=i, ∴.|g+3i=i+3i=|4i=02+42=4. 答案：4 10.解析：由=(5+i)·(√3-5i)=3-5√3i+√i-5i =8-4√3i, 则复数之的虚部是一4√3. 答案：一4√3 1.D[设=x+ia,6∈R,则2+y=, 之-em=x+yi-cosπ-isin=x+1+yi, 所以|-em|=|x十1+yi|=√x+1)+y= x+1+-√2x+ 4 4， 1 因为x+y=车，所以-2 1 12.BD[复数的虚部不为0，所以不能比较大小，所以A 选项错误； 设名1=a十bi,2=c十di,则1·2=(a-bi)(c-di)= ac-bd-(ad+bc)i, x1=(a十bi)(c十di)=ac-bd+(ad+bc)i,则12=ac -bd-(ad+bc)i, 所以12=名之2，B选项正确； 若名=a+bi,心2=c十di,当a,b,c,d均不为0时，， 均为虚部不为0的复数，所以不能比较大小，C选项 错误； 46 设之1=a十bi,xe=c十di,则1必=(a十bi)(c十di) =ac-bd+(ad+bc)i, 则|x1x2|=√(ac-bd)+(ad+bc) =√ac2+bd+ad+6c2, |名1|=√a+b,12|=√+d,|名1|121 =√ac+bd+a+bc, 所以之1心2|=|≈1I川之21，D选项正确.] 课时冲关34数列的概念 1A[到为日合号号 ,…,其分母为2，分子是 以首项为1，公差为5的等差数列，故数列{an}的通项公 式为a,=502] 2.B[因为S,=2-1, 所以a=S-S:=(3-1)-(2-1)=5.] 3.B[因为n(n十1)(a+1-a)=1,则a+1一a.=n(n+1) .1 1 nn+1' 当n≥2时，an=(am-a。-1)十(a-1-a-2)十…十(a2 a+a=(点)+（品 ++(-号)十1=-}+1+1=20，显然4，=1满 足上式，即有a.=21,所以a= 2×2026-1 2026 =4051 2026· 4c=02-2+2” 11 11 设b.=2(21-17)' 当1≤n≤8，n∈N”时，{6}为递减数列，且bn<0: 当n≥9，n∈N”时，{b}为递减数列，且bn>0,所以当n =8时，S。取得最小值.] 5.C[结合题意可得：当n=1时，a2=2S1=2a1=4, 因为ma+1=2Sn…①，所以当n≥2时，有(n一1)an= 2S。-1…②， 由D-②可得a4-（w-1a,=a脚2-”计，易 a 知=2 a11, 所以a一品X号X…X尝×号X a2 a ××…×号×是×2=2.(≥2 又a1=2满足a。=2n,故an=2m. 所以bn=(-1)"an=(-1)”X2n, 易知b1十b2=b3十b:=b十b=…=b199十b200=2, 所以T20=b1+b2+b3+…+b19+b20=100(b1+b2) =200. 3 6.C[由a+1-an=2n,可得an=a1+(a2-a1）+(ag- a2)+…+(a-a-1)=28+2+4+…+2(n-1)=n2-n +28,心号=n+28-1,设f(x)=x+23,可知10x)在 x (0,√28]上单调递减，在（√28，十∞）上单调递增， 又eN,a号-<告-] .ABC[A.戴列a的首项为a=S==合，故正 确：出当n≥2时a=5-51=中行-分- n十a=号适合上式，故正确：C,因为a1一a. 1 1 2 (m+2)(n+1)-n(m+1)）=一(n+2)(n+1)n 0,所以 1、 数列{@}为递减数列，故正确：D.T,2X号X手X 义所以其列S的前以项软为工，= X-n 1 故错误.门 8山--8号-导◆ =10,得n-器长选项A不正确：令测片-品得” =38,故品是孩数列中的第3弱项，故造项B正确：因为 -1汉N,所以数列 《a,是单调递增数列，所以子<a,<1,所以数列中的各 项都在区间[不，1内，故选项C正确，选项D不正确] 9.解析：由题设a,≠0，则a+1=2-2,而4=3， 所以a,=号a=号a,=-2a,=3… 故a,}是周期为4的数列且a1=3,a:=3,a:=2, 4 a:=一2，所以a2:=a4×06=a:=一2. 答案：一2 10.解析：根据2S,=3a一3，可得2Sm+1=3a+1一3， 两式相减得2a+1=3am+1一3an,即aw+1=3aa 当n=1时，2S1=3a1-3,解得a1=3. 所以数列{a,}是以3为首项，3为公比的等比数列，所以 an=3·3-1=3” 答案：3 11.B[令t=n-1≥0，则n=t+1, 则y=+6t+4,当1=0时y=0, 1 当t>0时，y= 1 计+62+6 0,当且仅当 1 t=2,即n=3时，取等号， 所以数列{an}有最大项a,有最小项a1.] 7课时冲关32平面向量的数量积 [基础巩固练] 二、多选题 一、单选题 7.已知向量a+b=(1,1),a一b=(一3,1)， 1.已知向量a=(-2,6),b=(1,x),若a与 c=(1,1),设a,b的夹角为0，则() b反向，则a·(3a+b)= ( A.1a|=|b B.a⊥c A.-30B.30 C.-100 D.100 C.b∥c D.0=135° 2.已知向量a,b满足a=(√5,2√5)，a·b= 8.已知向量a=(2,1),b=(1,-1),c=(m 6,a一b1=7,则|b ( 一2，一n),其中m,n均为正数，且(a一b) A.5 B.6 C.7 D.8 ∥c,则下列说法正确的是 ( ) 3.已知向量a=(3,1),b=(2,2),则cos(a A.a与b的夹角为钝角 +b,a-b〉= A司 B.①7 17 C. 5 0 B向量a在b上的投影向量为受b 5 C.2m+n=4 4.若平面向量a,b满足|a=√2|b,且 D.mn的最大值为2 2a十√2b与b垂直，则a与b的夹角为 三、填空题 ( 9.已知向量a=(2,3),b=(-3,-2),写出一 A. 3元 个与a一b垂直的非零向量c= 4 c D 10.在如图所示的天平 5.已知|OA|=3,|OB|=2,OC=mOA+ 中，左、右两个秤盘均 nOB,若OA与OB的夹角为60°，且OC 被3根细绳均匀地固 AB,则四 定在横梁上.在其中 A合 C.6 D.4 一个秤盘中放入重量为60N的物品， 在另一个秤盘中放入重量60的砝 6.(2025·北京卷)已知平面直角坐标系 码，天平平衡.3根细绳通过秤盘分担对 xOy中，|OA=|OB|=√2，|AB|=2,若 物品的拉力（拉力分别为F1,F2,F3),若 C(3,4),则|2CA+AB的取值范围是 3根细绳两两之间的夹角均为5，不考 A.[6,14] B.[6,12] 虑秤盘和细绳本身的重量，则F,的大 C.[8,14] D.[8,12] 小为 N. 227 四、解答题 (2)在Rt△ABC中，角A,B,C的对边 11.在△ABC中，BC的中点为D,设向量 分别为a,b,c,若∠A=90°，f(C)=0,c AB=a,AC=b. =√3，CD为∠BCA的角平分线，E为 CD的中点，求BE的长 (1)用a,b表示向量AD; (2)若向量a,b满足|a=3,|b|=2, (a,b)=60°，求AB·AD的值. [能力提升练] 13.已知非零向量AB,AC满足AB·BC IABI AC·CB 且 AB AC =则 IACI IAB LACI △ABC为 ( ) A.钝角三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形D.等边三角形 14.窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸， 是中国古老的汉族传统民间艺术之一 图1是一张由卷曲纹和回纹构成的正六 边形剪纸窗花，如图2所示其外框是边 长为2的正六边形ABCDEF,内部圆的 圆心为该正六边形的中心O,圆O的半 径为1，点P在圆O上运动，则PE·OE 的最小值为 0 12.已知向量m=(√3sinx,cosx-1),n= D (cosx,cosx+1),若f(x)=m·n: 图2 (1)求函数f(x)的单调递增区间； A.-1B.-2C.1 D.2 228 课时冲关33 复数 [基础巩固练] C.若在复平面内之对应的点的坐标为 一、单选题 (-1,1),则x=1 1.若复数之满足之(1+i)=一2+i(i是虚数 D.若一4+3i是关于x的方程x2+px十 单位)，则之等于 ( q=0(p,q∈R)的根，则=8 8.已知复数之1=3i,z2=1一2i(i为虚数单 A.0 2 B c D. 2 位)，则 2.已知复数之=一i,则|之2025一之20261= A.z1=-3i B.z2的虚部为一21 C.|z11>|x2 A.2 B.√2 C.1 D.0 3.已知a∈R,若a一1+(a-2)i(i为虚数单 D.1在复平面内对应的点位于第四象限 位)是实数，则a= ( 三、填空题 A.1 B.-1 C.2 D.-2 4.若复数之满足(1十i)之=1一25，则|之十2 9已知复数-异则1+3i1 10.已知i是虚数单位，则复数之=（√3+i) A.1 B.√3 C.2 D.5 ·(w3一5i)的虚部是 5.若复数之满足zi=1+i,则之·之=( [能力提升练] A.1 B.√2 C.2 D.4 11.欧拉公式e”=cos0+isin0是由瑞士著 6.在复平面内，复数之=(a-2)+(1+2a)i 名数学家欧拉创立，将其中的0取π就 对应的点位于第二象限，则实数a的取值 得到了欧拉恒等式，数学家评价它是“上 范围为 帝创造的公式”.已知复数之满足|之= ,则：一e1的最大值为 C.(2,+∞) A司 B.1 c号 D. 二、多选题 12.[多选]已知之1，之2是复数，i为虚数单 7.下列命题正确的是 位，则下列说法正确的是 A.若x=(a2-1)+(a2-2a-3)i为纯虚 A.5+i>4+i 数，a∈R,则a=士1 B.之1·之2=之1·2 B.若(m+n)+(m-2n)i=-1十5i,m,n C.若1|>|x21,则> ∈R,则m=1,n=一2 D.|z12|=|之11|x2 229