课时冲关27 正弦定理、余弦定理-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮课时作业（苏教版）

课时冲关27 正弦定理、余弦定理 [基础巩固练] 二、多选题 一、单选题 6.(2025·全国一卷)已知△ABC的面积为 1.在△ABC中，C=60°，a+2b=8,sinA= },若c0s2A十c0s2B+2snC=2, 6sinB,则c等于 ( A.√/35 cos Acos Bsin C=子，则 B.√31 C.6 D.5 A.sin C=sin2A+sin2B 2.在△ABC中，内角 B.AB=√2 A,B,C所对的边分 别为a,b,c.点D为B C.sinA+sinB=⑤ BC的中点，AD=1,B=3,且△ABC的 D.AC2+BC2=3 7.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为 面积为9则一 a,b,c.下列结论正确的是 A.a2=62+c2-2bc cos A A.1 B.2 C.3 D.4 B.asin B=bsin A 3.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为 C.a=bcos C+ccos B a,b,c,且满足(b-c)2-a2=-bc,若a= D.acos B+bcos A=sin C √3，则△ABC外接圆的半径长为( 8.已知△ABC的三个内角A,B,C的对边 A.√5 B.1 C.√2 D.2 分别为a,0,若。=2，A=若，且号 b+c sin(B一C)=sin2B,则△ABC的面积为 4.在三角形ABC中，a=1, sin A a+b sin A+sin B-sin C,bsin A- A.√5 B.2√3 C.23 D. 3 3 三、填空题 B② n.9 9.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分 3 别为a,b,c 2cosA_cosB+cosC,则A bc ab ac 5.已知△ABC中，AB·AC=-3,AB=2, cos2A+sinB+sin2C+sin Bsin C=1, 10.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a, D是边BC上一点，∠CAD=3∠BAD. 则AD等于 ( bsin Csin(An 则角B的大小为 ;若a+c=6, A.号 B.33 4 D.63 △ABC的面积为2√3，则b的值为 220 四、解答题 (2)若b2+c2=8,求b,c. 11.(2025·北京卷)在△ABC中，cosA= 、1 3,asin C=4√2. (1)求c: (2)再从条件①、条件②、条件③这三个 条件中选择一个作为已知，使得△ABC 存在，求BC边上的高 条件①：a=6; 条件②：asin B=102, 3 条件③：△ABC的面积为10√2. 注：如果选择的条件不符合要求，第(2) 问得0分；如果选择多个符合要求的条 件分别解答，按第一个解答得分. [能力提升练] 13.[多选]在△ABC中，D在线段AB上， 且AD=5,BD=3,若CB=2CD, 0scDB=3,则 A.sin∠CDB=iO) B.△ABC的面积为8 C.△ABC的周长为8+4√5 D.△ABC为钝角三角形 12.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为 14.△ABC中，内角A,B,C对的边长分别 a,b,c,已知△ABC的面积为√3，D为 为a,b,c,且满足2 cos Beos C(tanB+ BC的中点，且AD=1. tan C)=cos Btan B++cos Ctan C, (1)若∠ADC=,求tanB: cosA的最小值是 2219.解：(1)因为f(0)=c0s9=2且0≤9<x, 所以9=于 (2)由1)得f(x)=cos(2x+3) 所以gx)=co(2x+)+co[2(-)+] =cos(2x+5）+cos2z os2-n2 =Bos(x+看）) 因为x∈R,所以g(x)的值域为[-√3，W3, 令-x十2x≤2x+吾≤2kx,k∈Z. 得一豆x十x≤x≤-音十kr,k∈乙， 令2kx<2z+若≤x+2,k∈. 得一音十x≤1≤是x+x,k∈么 .5 所以g(x)单调增区间为 【一品+，意+树小ez 单润递减区间为[一音+，品x+小∈Z 10.解：(1)函数f(x)的图象与x轴相邻两个交点的距离为 受，得函数f2)的最小正月期为T=2×受-彩得。 =1,故函数f(x)的解析式为u)=5sim(2z+） (2)将f(x)的图象向左平移m(m>0)个单位长度得到函数 gw）=5n[2+m+5]=Bsm(2x+2m+号)的图 象，根据g(x)的图象拾好经过点（30）小可得 5sin(-要+2m+号）=0，即sin(2m-号）=0，所以 2m-音=x∈》，m=经+吾k∈，周为m>0,所 以当=0时，m取得最小值，且最小值为石.此时， 8)=m(2:+)因为x∈【-音]所以 2+∈[学]当2x+等[学引即 x后，]时，gx)单词递增，当2x+经 [受，号]甲x[侣]时8)单调遥增。 接上，g(x)在区网【看引]上的单调遥增区间是 【合]器] 38 11.C[根据题意可知，点C是f(x)的一个对称中心，又直 线BC交f(x)的图象于点D,利用对称性可知B,D两 点关于C点对称 不妨设B(xByg),C(xe,e),D(xDyD), 由重心坐标公式可得二x十工B十业=0， 3 又x十20=2e,即可得0=受， 由最小正周期公式可得交一（一）= 2 解得w=子，即f(x)=2sim(x+9小 将A(-x,0)代入Kx)可得2sin(-号x+9）=0。 又0<g<,所以g=要 即f)=2sim(号+号) 所以10B1=g=f0)=2sin(0+）=5.] 12.解析：将函数f(x)=asin x十bcos z(a,b∈R且b≠0)的 图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，得到函数 gr)=f(合）=asin之+bcos子r(a,b∈R)的图 象，再将所得图象向左平移受个单位长度后，得到函数 h(x)= 8(x+3)=asin[2(z+ξ)] 6cos[2(+受)门a,b∈R)的图象.周为hx)为寺西 教，图象关于原点对称，所以有(0)=ain吾十cos晋 +6=0,解得号=-。 答案：一√3 课时冲关27正孩定理、余孩定理 1.B[因为sinA=6sinB,由正弦定理可得a=6b,又a十 2b=8,所以a=6,b=1,因为C=60°，所以c=a2十6 2a6cosC,即c2=6+1-2X1X6X7,解得c=V工.] 2.A[因为B=吾，由余定理得c+(号)】 -2cX 号cos吾-1.即a+4c-2ac=4,又Sa=ucsin B ac三2，得ac=2,所以a2+4c2-2ac=4=2ac 即4c2-4ac+a=0,故(2c-a)=0,则a=2c,所以 2c2=2,故c=1.] 3.B[由(b-c)2-a=-bc,可得b+c2-a2=bc,再由余 孩究理可件：oA台十正-会-成A=吾， 2bc 、因为=B,所以2R入=信期R=1. 7 4,A[:6+c ,sin A sin A+sinB-sinC,由正弦定理得十9 a+b a 血A+如BV什Am及-9选项C猛瑞 平产理泽d+-6=c AC十BC=AB=2,选项D错误.故本题正确选项 为ABC.] 由余弦定理得cosB=十c一b三号，0<B<元， 2ac 7.ABC[在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c. 在A中，由余弦定理得：a2=b十c2-2 bccos A,故A B=子 正确； 由正弦定理a 里simA=s65得bsin A=asin B=1Xsin3 在B中，由正弦定理得：snA一sinB .asin B=bsin A,故B正确； 在C中，，a=bcos C+ccos B, 5.B[设△ABC中，角A,B,C的对边为a,b,c, 'cos2A+sin'B+sin'C+sin Bsin C=1, “由余弦定理得：a=b×+bC十cX+C- 2ab 2ac sin'B+sin'C+sin Bsin C=sinA, 整理，得2a=2a,故C正确； .6+c2+bc=a, "cos A=6itc-a 在D中，由余弦定理得acos B+-bcos A=aX。+c2-金 1 2ac 2bc =-2 十b×6+a=≠simC,故D错误.] 2bc 又A∈(0，x),A=2= 3 8.AC[:A=吾且9-sn(B-CO=sm2B, 又AB·AC=-3,AB=2, AB·AC=2 A=-26x(-号）-3， : =sin 2B+sin(B-C), 2 即b=3, sin A=sin 2B+sin(B-C), ∴.a2=b+c2+bc=3+2+3X2=19, 又sinA=sin(B+C), .'sin Bcos C+cos Bsin C 故a=J19, c0sC=2+b-c2=19+9-4 =2sin Bcos B+sin Bcos C-cos Bsin C, 4 2ab 6√19√19 即cos Bsin C=sin Bcos B. sin C=3 当c0sB=0时，可得B=受.C=吾 W19 tan C= 4 又∠CAD=3∠BAD,A=2 sw-子c-子×2X2Xm音2 1 31 当cosB≠0时，sinB=sinC, ∠CAD=号AD=A0amC=3x9-3yg] 4 由正弦定理可知b=C, 6.ABC 2=cos 2A+cos 2B+2sin C ∴.△ABC为等腰三角形， =1-2sin2A+1-2sinB+2sin C, 又：A=登a=6=c=2. 可得sinA十sinB=sinC,故选项A正确. 由c0 s Acos Bsin C=-可知A,B皆为锐角： 5-只。=5 若A+B<,则sinA+sinB<sin Acos B+-sin Bcos A= 上可知，△A5C的面积为、B或名) sinC,不合题意， 9.解析：因为2c0sA=c0sB+osC. bc ab ac 若A+B>2,则simA+sinB>-sin Acos B+-sin Beos A=- 所以2a·cosA=c·cosB+b·cosC, sinC,也不合题意， 由正弦定理得2 sin Acos A=sin Ccos B+sin Bcos C, p2sin Acos A=sin(B+C)=sin A, 所以A+B=受C=受 因为sinA>0, &由cos Acos B=-子，可知sin Asin B=子，由面积可知 所以0sA=日 ab=立 因为A为三角形内角，则A=三， 所以c= in Asin B=2,故AB=区，选项B正确. ab 答案：受 338 10.解析：由正弦定理可得 sin Asin CsinA-+C=2mC·mAsn号， 'sin Asin C≠0，A+C=π-B, 六sn26m号， 即2sin5cosB=25simB 2cos 2 2 又0<号<受，1am-号 号-吾即B=子 1 SAA=2 acsin B-23 .ac=8,而a十c=6, ∴.(a+c)2=a+2ac+c2=36, .a2+c2=20, 由余弦定理得b=a2+c2-2 accos B=20-8=12,解得 b=2√3. 答案：号25 1.解：1)因为c0sA=-子4∈(0，x, 所以sinA=V-osA=2yE】 31 由正孩定理有asin C=-csin A=2,巨c=42,解得c=6: 3 (2)如图所示，若△ABC存在，设其BC边上的高 为AD, D B 若选①，a=6,因为c=6,所以C=A,因为c0sA=一3 <0,这表明此时三角形ABC有两个钝角，而这是不可 能的，所以此时三角形ABC不存在，故BC边上的高也 不存在： 若选②，asin B=10巨，由asin C=4反 3 sinc6,即-5 有sinB5 c 6,所以b=5, a=√B+c2-2 bccos A= √6+62-2X5x6x(-3)=0, 由SaAc=2bcsin A=Za·AD得 AD=bcsin A 6X5X2 3=202 a 9 91 339 若选③，△ABC的面积是10√2，则S△ABC= =26X6×2g2=105. 3 解得b=5,由余弦定理可得a=√B十c-2 bccos A= √25+36-2：5：6（厂言）=0可以唯一确定， 进一步由余弦定理可得c0sB,cosC也可以唯一确定， 即B,C可以唯一确定， 这表明此时三角形ABC是存在的，且BC边上的高满 足：Sac=a·AD=号AD=10E,即AD=20, 9 12.解：1)因为Sa8c=2Sax=2×号×号×1Xsin60 -。=5,解得a=4 在△A0C中由余弦定理得方=1+2-2X1X2Xms子 =3, 在△ABD中，2=1+22-2X1X2X0s2g=7, 3 在△ABC中，cosB=+a-b_7+16-3_57 2ca 27X414' 血B=V个B=原周光mB=曲骨 cos B 5 (2)在△ABC中，由中线长公式可得(2AD)+BC= 2(AB+AC),即2+a2=2(6+c2)=16,所以ad2=12,又 Sa度=之csin A=,因而besin A=2,又由余孩定 理得a2=b+c2-2 bccos A,即12=8-2 bccos A,所以 bkc0sA=-2,故1anA=-5之c0sA=-2,所以c =4,又b+c2+2bc=8+8=16=(b+c)2,b+c2-2bc =8一8=0=(b-c)2,故可得b=c=2. 13.BCD[由cos∠CDB=- 可得 5 sin∠CDB/1-5 CD=x,CB=2x,在△CBD中，由余弦定理， D 可得-5=9+-4红，整理可得，5x 6.x 2√5x-15=0,解得x=√5，即CD=√5，CB= 25,所以Sam=5am+Sm=合×3X5×2 5 十号X5X5×25=8,故BE: 5 由余弦定理，可知cosB=BC十BD-CD 2BC·BD =BC+AB -AC 2BC·AB 即20+9-5 2×3×2√5 =20+64-AC 2×8×2√5 ,解得AC=2√5，故△ABC的周长AB +AC+BC=8+25+2V5=8+45,故C正确；由余弦 定理，可得ms∠ACB=200=-是<0，故 2×2W5×2√5 ∠ACB为钝角，D正确.] 14.解析：2 cos Bcos C(tanB+tanC) =2 cC(骨+： =2sin Bcos C+2sin Ccos B=2sin(B+C)=2sin A, cos Btan B++cos Ctan C=sin B+sin C, 所以sinB十sinC=2sinA, 由正弦定理得，b十c=2a, 62+c2- b+c 由余孩定理得，cosA=十c-a_ 2 2bc 2bc =3(6+c2)-1≥3c-1=1 8bc 44bc4-2 当且仅当b=c=a时取等号，此时A=子 答案：2 课时冲关28解三角形中的最值与范围问题 1.解：1)由2sin(2C-)-B, 得n(c音）=9. 因为△ABC为锐角三角形，所以C∈(0，乏) 则2c-吾∈(-，) 所以2C-登=吾，得C=吾， 由正孩定理得”2巨=2E,得mA= 导nA sinC'smAm吾 2 因为A∈(0，受）所以A=至 (2)由I)可知C=音，在锐角三角形ABC中， c=25,C=π， 3 则由余弦定理得c2=a2+b-2 abcos C, 即12=a'+6-2 abeos-号=a+b-ab≥2ab-ab=ab, 当且仅当a=b时取等号， 所以ab的最大值为12， 所以？absin C≤子×12×9=3原，当且枚当a=6时 2 取等号， 所以△ABC面积的最大值为3√3. 34 2.解：(1)因为AB=1,BC=2,B= 31 由余弦定理可得 AC=√AB+BC-2AB·BCcos B +4-2x1x2x=8 (2)由余弦定理可得AC=AB+BC2-2AB·BCcos a =1+4-2X1×2c0sa=5-4c0sa, 因为△ACD为正三角形，所以Sn=AC=55 4 4 3cos a, Saw=子AB·BCsina=2×1X2sna=sine, 所以Ssm=SaA版十Sam=s5in&-V5cosa十5y5 4 因为ae(0,x),所以a-吾∈(-子，号） 所以n(e-晋)（9小： 所以SABCD∈ +] 故当a=5时，四边形ABCD面积的最大值为2+55 6 41 3.解：(1)解法1：在△ABC中，由2 sin Ccos A=sinA+2sin B及正弦定理得，2c·cosA=a十2b, 再由余孩定理，得2.6+d=a十26， 26c 则c2=a2+b2十ab. 又因为=a+8-2a6co0sC,所以cosC--名 因为C∈(0，x),所以C=2s 3 解法2：因为2 sin Ccos A=sinA+2sinB,B=x-(A+C), 所以2 sin Ccos A=sinA+2sin[π-(A+C)], 所以2 sin Ccos A=sinA+2 sin Acos C+2 cos Asin C, 所以(2cosC+1)sinA=0, 因为sinA≠0，所以2cosC十1=0，所以cosC=一 .1 因为Ce(0x,所以C-三 (2)因为C=三，所以B=吾-AA∈(0，） 所以B(停-合A+9mA cos A cos A cos A 1+3 2 2 tan A,