15九章算术中的几何体“阳马”“鳖臑”“堑堵”讲义-2027届高考数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦立体几何核心考点，以《九章算术》中“阳马”“鳖臑”“堑堵”为模型载体，系统梳理线线、线面、面面垂直关系及空间角、体积等考查要求，通过知识溯源、考点分析、真题精讲和分层练习，帮助学生构建从几何体定义到性质应用的完整知识网络，突破立体几何难点。 资料创新融合传统文化与数学思维，通过“鳖臑”模型判定、性质推导等教学活动，引导学生用数学眼光抽象空间形式，用逻辑推理证明垂直关系，设置基础巩固到综合应用的梯度练习，配合即时反馈，有效提升学生空间想象与解题能力，为教师把控复习节奏提供精准教学支持。

2027届高三一轮复习立体几何回归教材版讲义 ——15 九章算术中的几何体“阳马”“鳖臑”“堑堵” 知识梳理 1．“鳖臑”模型的由来 《九章算术·商功》：“斜解立方，得两堑堵．斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑．阳马居二，鳖臑居一，不易之率也．合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣．” 刘徽注：“此术臑者，背节也，或曰半阳马，其形有似鳖肘，故以名云．中破阳马，得两鳖臑，鳖臑之起数，数同而实据半，故云六而一即得．” 具体来说，取一长方体，按下图斜割一分为二，得到两个一模一样的三棱柱，称之为堑堵． 如图，再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开，得到一个四棱锥和一个三棱锥，以矩形为底，另有一棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，余下的三棱锥是由四个直角三角形组成的四面体，称为鳖臑． 2．“鳖臑”模型的判定与性质 判定：在三棱锥A­BCD中，只要满足下列条件之一，则均为“鳖臑”： (1)AB，BC，CD两两垂直； (2)AB⊥平面BCD，且BC⊥CD； (3)AB⊥平面BCD，且AC⊥CD； (4)AB⊥平面BCD，且平面ABC⊥平面ACD. 性质：在“鳖臑”A­BCD中： (1)异面直线垂直(一组)：AB⊥CD； (2)线面垂直(两组)：AB⊥平面BCD，CD⊥平面ABC； (3)面面垂直(三组)：平面ABC⊥平面ACD，平面ABC⊥平面BCD，平面ABD⊥平面BCD. 3．“鳖臑”模型在高考中的应用 我们知道，线面垂直是立体几何的核心，因此高考命题中一定会涉及线线、线面、面面垂直，“鳖臑”模型覆盖了立体几何中线、面的各种垂直关系及各种空间角的计算，是研究立体几何问题的基本图形，因此在高考中有着广泛的应用． 回归教材： 考点梳理： 例．（多选）《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”；四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”．如图在堑堵中，，且．下列说法正确的是（    ） A．四棱锥为“阳马” B．四面体为“鳖臑” C．四棱锥体积最大为 D．过点分别作于点，于点，则 例．《九章算术》中将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，将底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”，在如图所示的堑堵中，，，，则在堑堵中截掉阳马后的几何体的外接球的体积与阳马的体积比为（    ） A． B． C． D． 例．在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”．如图，在鳖臑中，平面BCD，，，点P在棱AC上运动，则面积最小值为（    ） A． B． C． D． 例．《九章算术》卷第五《商功》中描述几何体“阳马”为“底面为矩形，一侧棱垂真于底面的四棱锥”.现有阳马，平面，，，，上有一点E，使截面的周长最短，则与所成角的余弦值等于（    ） A． B． C． D． 例．我国古代数学名著《九章算术》对立体几何也有深入的研究，从其中的一些数学用语可见，譬如“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，“阳马”指底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥.现有一如图所示的“堑堵”即三棱柱，其中，若，当“阳马”即四棱锥，体积最大时，“堑堵”即三棱柱的表面积为_______. 例．《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑.如图，在四棱锥中，底面ABCD，四边形ABCD为矩形，，则四棱锥和三棱锥的内切球半径比为___________. 例、如图，在三棱锥P­ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA＝AB＝BC＝2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点． (1)求证：PA⊥BD； (2)求证：平面BDE⊥平面PAC； (3)当PA∥平面BDE时，求三棱锥E­BCD的体积． 跟踪练习： 1．过正方形的顶点A，作平面，若，则平面和平面所成的锐二面角的大小是（ ） A． B． C． D． 2．据《九章算术》记载，“鳖臑”为四个面都是直角三角形的三棱锥．如图所示，现有一个“鳖臑”，底面，，且，三棱锥外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 3．我国古代数学专著《九章算术》中介绍“堑堵”为：底面为直角三角形的直棱柱，如下图所示，堑堵可以分割成一个阳马（底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥）和一个鳖臑（四个面都为直角三角形的四面体），已知鳖臑体积为6，AB=3，AF=4，则阳马中AC与DF夹角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 4．在《九章算术》中将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.已知四棱锥为阳马，底面ABCD是边长为2的正方形，有两条侧棱长为3，则该阳马的表面积为（    ） A． B． C． D． 5．（多选）在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧棱，则下列说法中正确的是（ ） A. 平面 B.平面平面 C.二面角的平面角的大小为30° D．直线PB与平面所成角的正切值为 6．（多选）已知直线PA垂直于圆O所在的平面，△ABC内接于圆O，且AB为圆O的直径，点M为线段PB的中点．以下结论成立的是（    ） A．BC⊥PC B．OM⊥平面ABC C．点B到平面PAC的距离等于线段BC的长的一半 D．三棱锥M-PAC的体积等于三棱锥P-ABC体积的一半 7．(多选)如图， PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，点C是圆周上异于A，B的任一点，则下列结论中正确的是(　　) A．PB⊥AC B．PC⊥BC C．AC⊥平面PBC D．平面PAC⊥平面PBC 8．如图，三棱锥P­ABC，平面PAB⊥平面PBC，若PB⊥BC，则△ABC的形状为__________． 9．在我国古代数学名著《九章算术》中，四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑．已知在鳖臑中，平面ABC，．M为PC的中点，则点P到平面MAB的距离为______． 10．如图，三棱锥 中，已知 平面 .则二面角的正弦值为_____. 11．在《九章算术•商功》中，把四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑.若从鳖臑的六条棱中任取两条棱，则它们互相垂直的概率是；若从鳖臑的六条棱和四个面中取一条棱和一个面（要求棱不在面上），则它们互相垂直的概率是；若从鳖臑的四个面中任取两个面，则它们互相垂直的概率是.则的大小关系为___________. 12．如图在三棱锥中，⊥底面，⊥，垂直平分，且分别交、于D、E，又，，则以为棱，平面与平面的二面角的大小为______． 13．《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，书中将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵；将底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马；将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在堑堵中，，，AB＝8，则鳖臑外接球的表面积为___，阳马体积的最大值为___． 14、如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE⊥平面ABCD. (1)证明：平面AEC⊥平面BED； (2)若∠ABC＝120°，AE⊥EC，三棱锥E­ACD的体积为，求该三棱锥的侧面积． 15．如图，三棱锥的底面是直角三角形，，，平面，是的中点． (1)若此三棱锥的体积为，求异面直线与所成角的大小． (2)若， ①求点到平面的距离． ②过点作平面与平面垂直，且和直线平行，求平面截三棱锥的截面的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高三一轮复习立体几何回归教材版讲义 ——15 九章算术中的几何体“阳马”“鳖臑”“堑堵” 知识梳理 1．“鳖臑”模型的由来 《九章算术·商功》：“斜解立方，得两堑堵．斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑．阳马居二，鳖臑居一，不易之率也．合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣．” 刘徽注：“此术臑者，背节也，或曰半阳马，其形有似鳖肘，故以名云．中破阳马，得两鳖臑，鳖臑之起数，数同而实据半，故云六而一即得．” 具体来说，取一长方体，按下图斜割一分为二，得到两个一模一样的三棱柱，称之为堑堵． 如图，再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开，得到一个四棱锥和一个三棱锥，以矩形为底，另有一棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，余下的三棱锥是由四个直角三角形组成的四面体，称为鳖臑． 2．“鳖臑”模型的判定与性质 判定：在三棱锥A­BCD中，只要满足下列条件之一，则均为“鳖臑”： (1)AB，BC，CD两两垂直； (2)AB⊥平面BCD，且BC⊥CD； (3)AB⊥平面BCD，且AC⊥CD； (4)AB⊥平面BCD，且平面ABC⊥平面ACD. 性质：在“鳖臑”A­BCD中： (1)异面直线垂直(一组)：AB⊥CD； (2)线面垂直(两组)：AB⊥平面BCD，CD⊥平面ABC； (3)面面垂直(三组)：平面ABC⊥平面ACD，平面ABC⊥平面BCD，平面ABD⊥平面BCD. 3．“鳖臑”模型在高考中的应用 我们知道，线面垂直是立体几何的核心，因此高考命题中一定会涉及线线、线面、面面垂直，“鳖臑”模型覆盖了立体几何中线、面的各种垂直关系及各种空间角的计算，是研究立体几何问题的基本图形，因此在高考中有着广泛的应用． 回归教材： 考点梳理： 例．（多选）《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”；四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”．如图在堑堵中，，且．下列说法正确的是（    ） A．四棱锥为“阳马” B．四面体为“鳖臑” C．四棱锥体积最大为 D．过点分别作于点，于点，则 【答案】ABD 【分析】根据“阳马”和“鳖臑”的定义，可判断A，B的正误；当且仅当时，四棱锥体积有最大值，求值可判断C的正误；根据题意可证平面，进而判断D的正误. 【详解】底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”，∴在堑堵中，，侧棱平面，A选项，∴，又，且，则平面， ∴四棱锥为“阳马”，对；B选项，由，即，又且， ∴平面，∴，则为直角三角形，又由平面，得为直角三角形，由“堑堵”的定义可得为直角三角形，为直角三角形．∴四面体为“鳖臑”，对； C选项，在底面有，即，当且仅当时取等号， ，错；D选项，因为平面，则， 且，则平面，∴，又且，则平面，所以则，对；故选：ABD． 例．《九章算术》中将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，将底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”，在如图所示的堑堵中，，，，则在堑堵中截掉阳马后的几何体的外接球的体积与阳马的体积比为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意将三棱锥放入长方体中，长方体的外接球为三棱锥的外接球，求出长方体外接球半径，即可求出外接球体积；再由“堑堵”的性质求剩余四棱锥的体积即可. 【详解】由题知：剩余的几何体为三棱锥，平面，．将三棱锥放入长方体，长方体的外接球为三棱锥的外接球，如图所示： 外接球半径，所以外接球体积，阳马—的体积为．．故选：B． 例．在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”．如图，在鳖臑中，平面BCD，，，点P在棱AC上运动，则面积最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由点P引辅助线，首先通过作辅助线可得，即转化为求PM的最小值，设，通过比例关系表示PM，并求其最值. 【详解】如图，作于点Q，作，交BD于点M，连接得到，， 平面BCD，，又，，QM，面PQM，所以面PQM， 所以设，，由，得到，，在中，，得到，， ，当且仅当时，等号成立.故选：D. 例．《九章算术》卷第五《商功》中描述几何体“阳马”为“底面为矩形，一侧棱垂真于底面的四棱锥”.现有阳马，平面，，，，上有一点E，使截面的周长最短，则与所成角的余弦值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过底面展开转化为平面图形，容易找到最小值点，然后利用平移法作出异面直线所成的角，即可得解； 【详解】将平面沿折至， 使与共面，连接交于，连接，此时周长最短，作交于，则（或其补角）即为所求角，在中， ，由，即，可得， 在中，，在中，，故与所成角的余弦值等于．故选：D． 例．我国古代数学名著《九章算术》对立体几何也有深入的研究，从其中的一些数学用语可见，譬如“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，“阳马”指底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥.现有一如图所示的“堑堵”即三棱柱，其中，若，当“阳马”即四棱锥，体积最大时，“堑堵”即三棱柱的表面积为_______. 【答案】 【分析】依据均值定理去求四棱锥取体积最大值时的长度，再去求三棱柱的表面积即可. 【详解】四棱锥的体积是三棱柱体积的， ，当且仅当时，取等号. 所以三棱柱的表面积为. 例．《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑.如图，在四棱锥中，底面ABCD，四边形ABCD为矩形，，则四棱锥和三棱锥的内切球半径比为___________. 【答案】 【分析】设，根据等体积法求得两个棱锥内切球半径，即可求得结果. 【详解】因为面，又四边形为正方形，故，又四棱锥的四个侧面均为直角三角形，设，，，故四棱锥的表面积；又三棱锥为鳖臑，其所有面均为直角三角形，又，，故三棱锥的表面积，设四棱锥的内切球半径为， 故，则，同理可得， 故. 例、如图，在三棱锥P­ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA＝AB＝BC＝2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点． (1)求证：PA⊥BD； (2)求证：平面BDE⊥平面PAC； (3)当PA∥平面BDE时，求三棱锥E­BCD的体积． 【解析】(1)证明：因为PA⊥AB，PA⊥BC，AB∩BC＝B， 所以PA⊥平面ABC.又因为BD⊂平面ABC，所以PA⊥BD. (2)证明：因为AB＝BC，D为AC的中点，所以BD⊥AC. 由(1)知，PA⊥BD，又AC∩PA＝A，所以BD⊥平面PAC. 因为BD⊂平面BDE，所以平面BDE⊥平面PAC. (3)因为PA∥平面BDE，平面PAC∩平面BDE＝DE，所以PA∥DE. 因为D为AC的中点，所以DE＝PA＝1，BD＝DC＝.由(1)知，PA⊥平面ABC， 所以DE⊥平面ABC.所以三棱锥E­BCD的体积V＝BD·DC·DE＝. 跟踪练习： 1．过正方形的顶点A，作平面，若，则平面和平面所成的锐二面角的大小是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图所示： 连接CE，则平面CDP和平面CPE为同一个平面，∵PE⊥平面BCE，∴∠CEB为平面和平面所成的锐二面角，大小为45°. 2．据《九章算术》记载，“鳖臑”为四个面都是直角三角形的三棱锥．如图所示，现有一个“鳖臑”，底面，，且，三棱锥外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】用补形法还原为正方体问题，然后用公式求解. 【详解】如图，将三棱锥补形为正方体， 则外接球半径.所以三棱锥外接球表面积.故选：B. 3．我国古代数学专著《九章算术》中介绍“堑堵”为：底面为直角三角形的直棱柱，如下图所示，堑堵可以分割成一个阳马（底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥）和一个鳖臑（四个面都为直角三角形的四面体），已知鳖臑体积为6，AB=3，AF=4，则阳马中AC与DF夹角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件可求出，然后将该三棱柱补全为长方体，然后可求出答案. 【详解】，，由得，得， 将该三棱柱补全为长方体，则AC与DF的夹角即为AC与CG的夹角，即为∠ACG， 易得，，，由余弦定理得， 故选：C 4．在《九章算术》中将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.已知四棱锥为阳马，底面ABCD是边长为2的正方形，有两条侧棱长为3，则该阳马的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据四棱锥的性质，分别求侧面与底面面积，即可得解. 【详解】如图， 由题意知,,平面,因为， 所以,故选：B 5．（多选题）在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧棱，则下列说法中正确的是（ ） A. 平面 B.平面平面 C.二面角的平面角的大小为30° D．直线PB与平面所成角的正切值为 【答案】ABD 【详解】，．．同理可证．平面．平面，． ∵四边形是正方形，．又，平面．又平面， ∴平面平面．由上知平面，平面，．又，平面．平面，．为二面角的平面角．在中，．∴二面角的平面角的大小为45°．由直线PB与平面所成角的正切值为。 6．（多选题）已知直线PA垂直于圆O所在的平面，△ABC内接于圆O，且AB为圆O的直径，点M为线段PB的中点．以下结论成立的是（    ） A．BC⊥PC B．OM⊥平面ABC C．点B到平面PAC的距离等于线段BC的长的一半 D．三棱锥M-PAC的体积等于三棱锥P-ABC体积的一半 【答案】ABD 【分析】利用线面垂直的判定定理可得BC⊥平面PAC，进而判定A；由OM∥PA，可得OM⊥平面ABC；由BC⊥平面PAC可判定C正确；由M到底面的距离是B到底面距离的一半，利用棱锥的体积公式可知D正确. 【详解】因为PA⊥圆O所在的平面，BC⊂圆O所在的平面，所以PA⊥BC，而BC⊥AC，PA∩AC=A， 所以BC⊥平面PAC，而PC⊂平面PAC，所以BC⊥PC，故A正确;因为点M为线段PB的中点， 点O为线段AB的中点，所以OM∥PA，所以OM⊥平面ABC，故B正确;因为BC⊥平面PAC， 所以点B到平面PAC的距离等于线段BC的长，故C错;三棱锥M-PAC和三棱锥P -ABC均可以 平面PAC为底面，此时M到底面的距离是B到底面距离的一半，故三棱锥M-PAC的体积等于三棱 锥P-ABC体积的一半，故D正确． 7．(多选)如图， PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，点C是圆周上异于A，B的任一点，则下列结论中正确的是(　　) A．PB⊥AC B．PC⊥BC C．AC⊥平面PBC D．平面PAC⊥平面PBC 【答案】BD　 解析：因为PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，所以PA⊥BC，PA⊥AC，又点C是圆周上异于A，B的任一点，所以AC⊥BC.对于A、C，若PB⊥AC，则可得AC⊥平面PBC，则AC⊥PC，与PA⊥AC矛盾，故A、C错误；对于B、D，可知BC⊥平面PAC，所以PC⊥BC，由BC⊂平面PBC可得平面PAC⊥平面PBC，故B、D正确． 8．如图，三棱锥P­ABC，平面PAB⊥平面PBC，若PB⊥BC，则△ABC的形状为__________． 答案：直角三角形 解析：∵平面PAB⊥平面PBC，平面PAB∩平面PBC＝PB，PB⊥BC，BC⊂平面PBC，∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥AB，∴△ABC为直角三角形． 9．在我国古代数学名著《九章算术》中，四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑．已知在鳖臑中，平面ABC，．M为PC的中点，则点P到平面MAB的距离为______． 【答案】 【分析】利用等体积法求得到平面的距离. 【详解】因为平面ABC，平面ABC，所以，依题意可知平面，所以平面，由于是的中点，所以到平面的距离是到平面的距离的一半，即到平面的距离是.,，所以，由于，所以，，设到平面的距离为，则， 即. 10．如图，三棱锥 中，已知 平面 .则二面角的正弦值为_____. 【答案】 【分析】取BC的中点D，连结PD，AD，根据线面垂直关系可知即为二面角的平面角，根据所给边长关系可求得的正弦值. 【详解】 取BC的中点D，连结PD，AD，因为，所以，因为平面ABC，平面ABC，所以，因为平面PAD，平面PAD，，所以平面PAD，因为平面PAD，所以，所以即为二面角的平面角，因为，所以，，即二面角的正弦值是. 11．在《九章算术•商功》中，把四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑.若从鳖臑的六条棱中任取两条棱，则它们互相垂直的概率是；若从鳖臑的六条棱和四个面中取一条棱和一个面（要求棱不在面上），则它们互相垂直的概率是；若从鳖臑的四个面中任取两个面，则它们互相垂直的概率是.则的大小关系为___________. 【答案】 【分析】利用古典概型求概率的方法分别求出，比较出大小. 【详解】如图所示，连接长方体的四个顶点，可得鳖臑.（1）从鳖臑的六条棱中任取两条，有种取法，其中互相垂直的取法有5种：，，，，，所以. 从鳖臑的六条棱和四个面中取一条棱和一个面（要求棱不在面上）有4×3=12种取法，它们互相垂直的取法有2种：平面，平面，所以.从鳖臑的四个面中任取两个面，有种取法，它们互相垂直的取法有3种：平面平面，平面平面，平面平面，所以，故. 12．如图在三棱锥中，⊥底面，⊥，垂直平分，且分别交、于D、E，又，，则以为棱，平面与平面的二面角的大小为______． 【答案】 【分析】证明出线面垂直，得到是平面与平面的二面角，设，求出其他边长，得到，得到，二面角的大小为. 【详解】∵，又点为的中点，∴，∵垂直平分，，平面，∴⊥平面，∵平面，∴⊥，∵⊥平面，平面 ∴⊥，∵，平面，∴⊥平面，∵平面， ∴⊥，⊥，故是平面与平面的二面角，设，则，故，∵⊥，∴，故，故， ∴. 13．《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，书中将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵；将底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马；将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在堑堵中，，，AB＝8，则鳖臑外接球的表面积为___，阳马体积的最大值为___． 【答案】     64 【分析】将鳖臑外接球即为堑堵的外接球，从而求出外接球直径为，得到外接球表面积，利用基本不等式得到，求出体积的最大值 【详解】鳖臑外接球即为堑堵的外接球，可将堑堵补成长方体， 则外接球直径为，∴其表面积为．∵， 当且仅当时取等号，所以，∴阳马的体积为． 14、如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE⊥平面ABCD. (1)证明：平面AEC⊥平面BED； (2)若∠ABC＝120°，AE⊥EC，三棱锥E­ACD的体积为，求该三棱锥的侧面积． 解：(1)证明：因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD.因为BE⊥平面ABCD， 所以AC⊥BE.故AC⊥平面BED.又AC⊂平面AEC，所以平面AEC⊥平面BED. (2)设AB＝x，在菱形ABCD中，由∠ABC＝120°，可得AG＝GC＝x，GB＝GD＝. 因为AE⊥EC，所以在Rt△AEC中，可得EG＝x. 由BE⊥平面ABCD，知△EBG为直角三角形，可得BE＝x. 由已知得，三棱锥E­ACD的体积V三棱锥E­ACD＝×·AC·GD·BE＝x3＝，故x＝2. 从而可得AE＝EC＝ED＝. 所以△EAC的面积为3，△EAD的面积与△ECD的面积均为. 故三棱锥E­ACD的侧面积为3＋2. 15．如图，三棱锥的底面是直角三角形，，，平面，是的中点． (1)若此三棱锥的体积为，求异面直线与所成角的大小． (2)若， ①求点到平面的距离． ②过点作平面与平面垂直，且和直线平行，求平面截三棱锥的截面的面积． 【答案】(1)；(2)① ；②. 【分析】（1）根据三棱锥体积公式，结合异面直线所成角的定义、勾股定理进行求解即可； （2）①：根据三棱锥的体积性质，利用转化法进行求解即可； ②：根据三角形中位线定理，结合矩形的面积公式进行求解即可. 【详解】（1）由题意知，解得，取中点，连接，， 由是的中点可得，故或其补角即为异面直线与所成角． ∵，平面，平面，故，，，，，，，，故为等边三角形，，故异面直线与所成角的大小为． （2）①若，则，，，设点到平面的距离为，，即，所以， 得； ②分别取、、的中点、、，连接、、、，四边形即为截面， 因为、是、的中点，所以，因为的中点是，是的中点， 所以，所以，因此四边形是平行四边形，因为中点是，是的中点，所以，因为平面，所以平面，因为平面，所以，所以四边形为矩形，，，． 学科网（北京）股份有限公司 $