第15讲 抛物线（知识详解+8典例+课后作业）-2026年新高二数学暑假预习讲义（人教A版选修第一册）

第15讲 抛物线（知识详解+8典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：抛物线的定义与标准方程 知识点02：抛物线的几何性质 典例精讲·例题解析 （举一反三） 题型01：抛物线定义的理解 题型02：抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值 题型03：根据抛物线方程求焦点或准线 题型04：抛物线的焦半径公式 题型05：根据焦点或准线写出抛物线的标准方程 题型06：根据抛物线上的点求标准方程 题型07：抛物线的顶点、开口方向 题型08：抛物线的范围、对称性 课后作业·巩固延伸 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 【知识点01】抛物线的定义与标准方程 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线． 注意点： (1)“一动三定”：一动点M；一定点F(即焦点)，一定直线l(即准线)，一定值1(即动点M到定点F的距离与到定直线l的距离之比为1)． (2)若点F在直线l上，则点的轨迹是过点F且垂直于直线l的直线． 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 y2＝2px(p>0) () x＝－ y2＝－2px(p>0) () x＝ x2＝2py(p>0) () y＝－ x2＝－2py(p>0) () y＝ 注意点： (1)p的几何意义是焦点到准线的距离． (2)标准方程的结构特征：顶点在坐标原点、焦点在坐标轴上． (3)抛物线的开口方向：抛物线的开口方向取决于标准方程中一次项系数的正负． 【例1】已知抛物线的焦点为，求该抛物线的标准方程、准线方程。 解：步骤1：判断抛物线开口方向与方程形式 焦点在轴正半轴，因此抛物线开口向右，标准方程形式为。 步骤2：求解参数 由焦点坐标公式，解得：。 步骤3：代入写出标准方程与准线方程 将代入标准式： 准线方程： 最终答案：抛物线标准方程为，准线方程为。 【知识点02】抛物线的几何性质 标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) 图形 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 对称轴 x轴 x轴 y轴 y轴 焦点坐标 F () F () F () F () 准线方程 x＝－ x= y＝- y＝ 顶点坐标 O(0,0) 离心率 e＝1 注意点： 只有焦点在坐标轴上，顶点是原点的抛物线的方程才是标准方程． 【例2】已知抛物线方程为，点在抛物线上，求点到抛物线焦点的距离（焦半径长）。 解：步骤1：确定参数 由抛物线标准方程，对比，得，即。 步骤2：选用对应焦半径公式 开口向右抛物线焦半径公式： 已知点横坐标，。 步骤3：代入计算 拓展验证（定义法）：该抛物线准线，点到准线距离，由抛物线定义，结果一致。 最终答案：点到焦点的距离为。 【题型01】抛物线定义的理解 【典例1-1】（25-26高二下·湖南长沙·期中）抛物线C：的焦点为F，C上的点到F的距离等于到直线的距离，则（   ） A．8 B．4 C．2 D．1 【答案】B 【分析】根据抛物线的定义列方程，由此求得的值. 【详解】根据抛物线的定义，是其准线， 因为的准线方程为， 所以，解得. 【变式1-1】（25-26高二上·浙江台州·期末）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，则线段的长度为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据抛物线的性质即可求解． 【详解】可知抛物线的焦点为，准线方程为， 点在抛物线上，则点A到准线的距离即为AF的长， 所以． 故选：B． 【变式1-2】（25-26高二上·山东潍坊·阶段检测）抛物线上一点M与焦点F的距离，则点M的坐标为________． 【答案】 【分析】根据抛物线的定义求得的横坐标，进而求得的坐标. 【详解】抛物线对应， ， 所以， 所以的坐标为. 故答案为： 【变式1-3】（多选）（24-25高二上·广西桂林·期末）抛物线的焦点为，点在上，若.则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据抛物线的定义求得的横坐标，进而求得的坐标. 【详解】依题意，抛物线的焦点为， 准线方程为， 由于，根据抛物线的定义可知， 则， 所以的坐标为、. 故选：AB 【题型02】抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值 【典例2-1】（25-26高二上·安徽阜阳·期末）若点A在焦点为F的抛物线上，点，则的最小值为（    ） A．2 B．2+ C．2+2 D．4 【答案】D 【分析】根据题意，可得准线方程，根据抛物线定义可得，根据点P坐标，即可求得答案. 【详解】抛物线准线方程为，过点A作准线的垂线，垂足为B， 根据抛物线的定义可得，所以， 当P，A，B三点共线时，等号成立，所以的最小值为3+1=4. 故选：D 【变式2-1】（25-26高二下·湖南长沙·期中）已知是抛物线上任意一点，点在轴上的射影为点，点的坐标为，则的最小值是（   ） A．13 B．12 C．11 D．10 【答案】B 【分析】先利用抛物线定义，将 “点到坐标轴的距离” 转化为 “点到焦点的距离”，消去动点到坐标轴的距离；再将原目标式转化为 “动点到两个定点的距离和（差）” 的形式，最后利用 “两点之间线段最短”，通过三点共线求出转化后式子的最值，并还原为原问题的答案即可. 【详解】因为抛物线方程的标准形式为， 所以焦点，准线方程为：，延长交准线于，连接，如图： 根据抛物线的定义得， 当且仅当，，三点共线时， ，的最小值为. 【变式2-2】在平面直角坐标系中，已知点，记抛物线：上的动点到准线的距离为，则的最大值为______． 【答案】 【分析】将到抛物线的准线的距离转化为到抛物线焦点F的距离，再根据三角形三边关系将的最大值表示为 【详解】由抛物线的定义知，，所以 所以，当点位于射线与抛物线交点时，取最大值. 故答案为： 【变式2-3】已知抛物线的焦点为，准线为，点是直线上的动点．若点在抛物线上，且为坐标原点，求的最小值． 【答案】 【分析】作点关于的对称点，确定，根据计算得到答案. 【详解】如图所示，作点关于的对称点，连接，设点，不妨设， ，直线方程为，，， 即，由， 当且仅当三点共线时取等号， 又 ， 故的最小值为． 【题型03】根据抛物线方程求焦点或准线 【典例3-1】（25-26高二下·广西河池·期末）抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】抛物线的准线方程为. 【变式3-1】（25-26高二上·河南·期中）抛物线的焦点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先确定抛物线类型，计算焦点坐标即可. 【详解】抛物线的开口向左，焦点在轴的负半轴， 因为，所以焦点坐标为， 故选：C. 【变式3-2】（25-26高二上·天津·期中）抛物线的焦点坐标是______；准线方程______ 【答案】 【分析】化简得到抛物线的标准方程，结合抛物线的几何性质，即可求得其准线和焦点坐标，得到答案. 【详解】由抛物线，可得，则抛物线的焦点在轴上，且，即， 所以抛物线焦点坐标为，准线方程为, 故答案为：；. 【变式3-3】指出下列抛物线的焦点坐标和准线方程． (1)； (2)； (3)（）． 【答案】(1)焦点坐标是，准线方程是 (2)焦点坐标为，准线方程为 (3)焦点坐标为，准线方程为． 【分析】（1）（2）（3）将抛物线方程化为标准形式，即可根据焦点坐标公式以及准线方程求解. 【详解】（1）抛物线的标准方程为，∴， ∴焦点坐标是，准线方程是． （2）抛物线的标准方程为， ∴，抛物线开口向左，∴焦点坐标为，准线方程为． （3）抛物线（）的标准方程为，∴． ①当时，，抛物线开口向右，∴焦点坐标是，准线方程是； ②当时，，抛物线开口向左，∴焦点坐标是，准线方程是． 综上所述，当时，抛物线的焦点坐标为，准线方程为 【题型04】抛物线的焦半径公式 【典例4-1】（25-26高二上·湖北孝感·期末）已知抛物线上的点到焦点的距离为8，则点到轴的距离为（    ） A．4 B． C． D．6 【答案】C 【分析】首先求出抛物线的焦点坐标与准线方程，设点的坐标为，根据焦半径公式求出，从而求出，即可得解. 【详解】抛物线的焦点，准线方程为， 设点的坐标为，点到焦点的距离等于它到准线的距离， 因此，解得，因此，则， 所以点到轴的距离为. 故选：C. 【变式4-1】（25-26高二上·河南郑州·期末）抛物线上一点到焦点的距离，则点的坐标是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】根据抛物线的焦半径公式即可求解. 【详解】设， 焦点，故，故， 则，故， 因此 或. 【变式4-2】（25-26高二上·安徽马鞍山·期末）设抛物线（）的焦点为，为抛物线上一点，若，则的值为______. 【答案】4 【分析】根据抛物线的焦半径公式可求得结果. 【详解】因为为抛物线上一点，， 所以. 故答案为：4. 【变式4-3】（多选）（25-26高二上·内蒙古·期末）已知抛物线的焦点为，点在上，且，则的值可能是（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】AD 【分析】先应用点在抛物线上得出，再应用焦半径公式计算求解即可. 【详解】由点在抛物线上，可得点的横坐标， 因为，由抛物线的定义，得， 解得或． 故选:AD. 【题型05】根据焦点或准线写出抛物线的标准方程 【典例5-1】（25-26高二上·山西太原·期末）以椭圆的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出椭圆的右顶点，得抛物线的焦点坐标，从而得抛物线方程． 【详解】椭圆中心是原点，右顶点是， 它是抛物线的焦点，则，， 所以抛物线标准方程是． 故选：D． 【变式5-1】（25-26高二上·四川资阳·期末）已知顶点在坐标原点、准线方程为的抛物线的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据抛物线标准方程及准线方程的定义可得. 【详解】因为抛物线准线方程为， 所以可设抛物线的标准方程为，其准线方程为， 则，即， 所以抛物线的标准方程为. 故选：B 【变式5-2】（25-26高二下·四川南充·期中）以直线为准线的拋物线的标准方程为________． 【答案】 【分析】根据已知条件求得，进而求得抛物线的标准方程. 【详解】因为拋物线的准线为， 所以，解得, 所以抛物线方程为. 【变式5-3】（24-25高二上·黑龙江牡丹江·期中）分别求满足下列条件的抛物线的标准方程. (1)焦点为； (2)焦点到准线的距离为. 【答案】(1) (2)或或或. 【分析】（1）根据条件确定焦点的位置，求出的值，得抛物线的标准方程； （2）根据条件求出的值，得抛物线的标准方程. 【详解】（1）由于焦点在轴的负半轴上，且，， 抛物线的标准方程为. （2）由焦点到准线的距离为，可知. 所求抛物线的标准方程为或或或. 【题型06】根据抛物线上的点求标准方程 【典例6-1】（24-25高二上·辽宁·期末）已知抛物线的顶点为原点，对称轴是轴，与直线相交所得线段的长为12，则的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设抛物线 ，根据点在上，代入抛物线方程，求出的值，即可得解. 【详解】由题意，设抛物线 ， 因为抛物线与直线相交所得线段的长为12， 所以点在上，所以， 解得，所以的标准方程为． 故选：B 【变式6-1】（25-26高二上·广西百色·期末）已知抛物线经过点，则抛物线的标准方程为_______. 【答案】 【分析】将点坐标代入抛物线方程，求得，得解. 【详解】把点代入抛物线方程得， ∴，则抛物线的标准方程为. 故答案为：. 【变式6-2】（多选）（24-25高二上·河北石家庄·期末）经过点的抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据点的坐标，确定抛物线的开口方向，有两种情况，设出抛物线方程，代入点的坐标即可求解. 【详解】因为点在第四象限，所以抛物线有开口向右或开口向下两种情况， 若抛物线开口向右，设抛物线方程为，代入抛物线方程， 有，解得，所以抛物线方程为，所以A正确； 若抛物线开口向下，设抛物线方程为，代入抛物线方程， 有，解得，所以抛物线方程为，所以D正确. 故选：AD 【变式6-3】（24-25高二上·山西太原·阶段检测）求适合下列条件的曲线的方程． (1)顶点在原点，且过点的抛物线的标准方程； (2)焦点为，且经过点的双曲线的标准方程． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据题意可确定抛物线焦点的位置，继而求出焦准距p，即可得答案. （2）根据焦点坐标，可得c值及焦点在y轴，根据双曲线定义，可得值，根据c的关系，可得，即可得答案. 【详解】（1）由题意顶点在原点，且过点，则抛物线焦点可能在y轴正半轴或x轴负半轴上， 则设抛物线标准方程为或， 分别将代入，求得， 故抛物线标准方程为或； （2）因为焦点为，，所以，且焦点在轴， 因为双曲线经过点， 根据双曲线定义可得， 解得， 又， 所以双曲线方程为：. 【题型07】抛物线的顶点、开口方向 【典例7-1】对抛物线，下列描述正确的是（    ） A．开口向上，焦点为 B．开口向上，焦点为 C．开口向右，焦点为 D．开口向右，焦点为 【答案】A 【解析】将抛物线方程改写为标准方程形式，则可根据该方程判断开口方向，以及焦点坐标. 【详解】由题知，该抛物线的标准方程为， 则该抛物线开口向上，焦点坐标为. 故选：A. 【变式7-1】已知圆的圆心为抛物线的顶点，且圆经过点，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意得到圆的圆心坐标为，再根据圆经过点求得半径即可. 【详解】解：因为抛物线的顶点坐标为， 所以圆的圆心坐标为， 又圆经过点，所以圆的半径， 所以圆的方程为 故选：B 【变式7-2】（多选）（25-26高二上·宁夏固原·期末）对于抛物线，下列说法正确的是（    ）. A．开口向上，焦点为 B．开口向上，焦点为 C．焦点到准线的距离为4 D．准线方程是 【答案】AC 【分析】根据抛物线的方程，求出的值，得出开口方向，即可得出答案. 【详解】A、B，由已知得，，且抛物线开口向上，所以焦点坐标为，故A正确、B错误； C，根据抛物线的定义可知，焦点到准线的距离为，故C正确； D，根据抛物线的方程可知，准线方程为，故D错误. 故选：AC. 【变式7-3】在同一坐标系中画出下列抛物线，观察它们开口的大小，并说明抛物线开口大小与方程中x的系数的关系： （1）；    （2）；     （3）；    （4）． 【答案】图象如图，x的系数的绝对值越大,抛物线的开口越大. 【分析】作出抛物线图象，得x的系数的绝对值越大,抛物线的开口越大. 【详解】解:抛物线如图,x的系数的绝对值越大,抛物线的开口越大. 【题型08】抛物线的范围、对称性 【典例8-1】（25-26高二下·湖南·期末）已知抛物线，点 ，点P在C上，的最小值是，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设出 ，利用，可得，由此可求解范围． 【详解】设点的坐标为， 因为的最小值是，所以， 所以，整理得，， 因为，所以， 所以，又， 所以． 【变式8-1】（24-25高二下·云南曲靖·阶段检测）已知抛物线：与圆：（）交于，两点，且，则（   ） A． B． C．2 D．1 【答案】A 【分析】利用抛物线与圆的对称性，得出即可求解． 【详解】设，（）， 由，得，所以． 因为在圆上，所以，得， 故选：A． 【变式8-2】是否存在实数a，使抛物线上总有关于直线对称的两个点?若不存在，说明理由；若存在，求a的取值范围. 【答案】存在，. 【分析】本题的解法有两种：一是如果存在对称的两点A、B满足题设要求，显然的中点在抛物线内部，构成一个含有a的不等式，从而确定a的取值范围； 二是按照对称问题的一般处理方法，即A、B两点连线与对称轴垂直，的中点在对称轴上，且直线与抛物线必有两个交点，消元后的一元二次方程必有两个不等的实根，判别式应大于0. 【详解】解法一：假设存在抛物线上两点，关于直线对称，记线段的中点为，则点在上，即.又由相减，得. 直线垂直于，. 又，由得，. （1）若，如果点在抛物线内部.则有关系式，由不等式组解得. （2）若，如果点在抛物线内部，则有关系.由不等式组整理，得此时无解. 综上所述，a的取值范围为. 解法二：设，是抛物线上关于直线对称的两个点，则即，① 又，即. ，，② 联立①②得即、为方程的两个实根，，解不等式，得. 故当时，抛物线上总存在关于直线对称的两个点. 【变式8-3】已知抛物线与直线相交于A，B两点，O为坐标原点，. (1)求抛物线C的方程； (2)若点F是抛物线C的焦点，点P是抛物线C上任意一点，点Q是线段PF的中点，求直线OQ斜率的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）令，，利用向量数量积的坐标表示列方程求参数m，再将点代入抛物线求p，即可得抛物线方程. （2）令，应用中点坐标公式及斜率的两点式求直线OQ的斜率，讨论分别求出对应k的范围，最后取并. 【详解】（1）由题意，设，，则，解得. 将点A或点B坐标代入抛物线方程得：，所以. 所以抛物线C的方程为. （2）由抛物线C的方程可知：，不妨设. 因为Q是线段PF的中点，则. 所以直线OQ的斜率. 当时，； 当时，（当且仅当时等号成立），又， 所以. 当时，（当且仅当时等号成立），又， 所以. 综上，直线OQ斜率的取值范围是. 知识点01抛物线的定义 平面内，到定点（焦点）与定直线（准线，）距离相等的动点轨迹称为抛物线。 核心定义公式： 为抛物线上任意一点，为点到焦点距离，为点到准线的垂直距离。 关键前提：定点不在定直线上，否则轨迹为过定点且垂直于定直线的直线，不是抛物线。 知识点02抛物线标准方程（核心必考） 规定：，为焦点到准线的距离，四种标准方程及对应要素： 1. 开口向右：，焦点，准线 2. 开口向左：，焦点，准线 3. 开口向上：，焦点，准线 4. 开口向下：，焦点，准线 速记规律：变量一次项对应对称轴，正负号决定开口方向。 知识点03抛物线核心几何性质 1. 顶点：所有抛物线顶点均为坐标原点，是抛物线上到焦点、准线距离最小的点。 2. 对称性：关于轴对称；关于轴对称，无中心对称性。 3. 离心率：抛物线离心率为定值 ，是区别于椭圆、双曲线的核心特征。 4. 通径：过焦点且垂直于对称轴的弦，通径长通用公式：，通径端点坐标可直接用于快速解题。 知识点04焦半径公式（高频解题公式） 设抛物线上任意一点，点到焦点的距离为焦半径： 1. ： 2. ： 3. ： 4. ： 核心思想：焦半径计算可替代距离公式，简化运算，本质依托抛物线定义。 知识点05本节高频易错点小结 1. 务必牢记，是焦点到准线的距离，不可为负数； 2. 区分一次项与对称轴、开口方向，避免标准方程混用； 3. 焦半径公式需匹配对应抛物线方程，符号不可出错； 4. 抛物线只有一条对称轴、一个焦点、一条准线，无对称中心； 5. 离心率为抛物线专属定值，不可与椭圆、双曲线混淆。 一、单选题 1．（25-26高二下·云南昭通·期中）抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由抛物线，得抛物线的焦点在x轴正半轴上，所以抛物线的准线方程为. 2．（25-26高二下·河南许昌·期末）若抛物线的焦点关于准线的对称点为，则的标准方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，准线为，关于的对称点为， 故，解得，故的标准方程为. 3．（25-26高二上·安徽亳州·期末）已知点为抛物线上一动点，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D．4 【答案】B 【分析】依题意可得，从而转化为关于的二次函数，结合二次函数的性质计算可得. 【详解】因为点为抛物线上一动点， 所以，即, 所以，当且仅当时取等号， 所以的最小值为，此时，. 故选：B 4．（2025高三上·河南安阳·专题练习）已知抛物线的焦点为，若的准线被以为圆心的圆截得的弦长为2，则该圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题设写出抛物线焦点和准线方程可得圆心到准线距离，再结合圆截准线的长即可求出圆的半径，进而由圆的标准方程得解． 【详解】由题得抛物线焦点，准线方程为， F到准线距离为，所以圆的半径为， 所以该圆的方程为． 故选：D． 5．（25-26高二下·广东·期末）设为坐标原点，点在抛物线上，若点到的准线的距离为3，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用抛物线定义得出，进而得出抛物线方程得出点，再根据两点间距离公式计算. 【详解】由于，则， 于是，则，于是. 6．（25-26高二下·重庆·期末）点、在抛物线上，且，记线段的中点为，则到轴的最短距离为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【详解】焦点，准线方程为， 分别过作轴的垂线，垂足为， 则， 等号成立时三点共线， 故到轴的最短距离为 7．已知抛物线的焦点为，是上一点，且到的距离与到的对称轴的距离之差为2，则（    ） A． B．1 C．2或4 D．4或36 【答案】D 【分析】利用抛物线定义结合已知计算即可. 【详解】因为是上一点， 所以，所以， 由抛物线的定义可得到的距离为， 点到的对称轴的距离为， 则，解得或. 故选：D. 8．（25-26高二上·广东湛江·期末）已知是抛物线上任意一点，点在轴上的射影为点，点的坐标为，则的最小值是（    ） A． B．12 C．11 D．10 【答案】B 【分析】先求出抛物线焦点 和准线方程，延长交准线于，连接，由抛物线定义得到即可数形结合得解. 【详解】抛物线方程的标准形式为， 所以焦点 ，准线方程为，延长交准线于，连接，如图： 根据抛物线的定义得， 当且仅当三点共线时， ，      的最小值为. 故选：B ． 二、多选题 9．（25-26高二上·山西太原·期末）已知抛物线：与：，则下列结论正确的是（   ） A．与的焦点相同 B．与的离心率相同 C．与的准线相同 D．与的焦点到准线的距离相同 【答案】BD 【分析】根据抛物线的性质判断即可. 【详解】抛物线的焦点为，准线为，焦点到准线的距离为，离心率为1. 抛物线的焦点为，准线为，焦点到准线的距离为，离心率为1. 故选：BD. 10．已知抛物线C：的焦点为F，点，P为C上的动点，则（   ） A．满足的点P恰有两个 B．的最小值为3 C．的最小值为 D．的最大值为3 【答案】BCD 【分析】先求出抛物线焦点坐标，再利用抛物线的定义，结合平面几何知识求解即可. 【详解】因为，所以焦点为， 因为，所以点位于线段的垂直平分线上，其直线方程为， 与抛物线C仅有一个交点，故A错误； 如图1，点在抛物线外，故的最小值为，故B正确； 如图2，过作轴的平行线，与准线交于点，与抛物线交于点， 根据抛物线定义，此时有最小值，故C正确； 因为，当且仅当三点共线且在之间时取等号，故D正确． 11．（25-26高二下·陕西西安·期末）已知点均在抛物线上，是的焦点，则（   ） A． B．直线轴 C．若，则 D．若，则 【答案】ABD 【分析】利用点求出，得到抛物线的方程，求出焦点坐标，得到直线轴，由点在抛物线上得到，利用抛物线的定义求出，由的范围得到的范围，从而得到的范围，继而求出，由得到，由得到，计算得到的范围，从而得到. 【详解】因为点在抛物线上， 所以， 解得，选项A正确. 则抛物线的标准方程为， 则焦点，，两点横坐标相等，纵坐标不同， 因此直线垂直于轴，平行于轴，选项B正确. 因为点在抛物线上，所以， 则， 因为，所以，则，即， 则， 因为，所以，选项C错误. 因为，所以， 因为，所以， 即，解得， 因为，所以， 则，即，选项D正确. 三、填空题 12．（25-26高二上·安徽·阶段检测）抛物线的焦点为，点在此抛物线上，，则点的横坐标为___________． 【答案】5 【分析】根据抛物线的焦半径公式求点的横坐标. 【详解】因为抛物线方程为，所以 . 由，故． 故答案为：5 13．（25-26高二上·广西河池·期末）已知抛物线的焦点在轴的负半轴上，且抛物线的焦点到其准线的距离为，则抛物线的标准方程为______． 【答案】 【分析】设抛物线方程为，再根据的几何意义求出，即可得解. 【详解】依题意设抛物线方程为， 因为抛物线的焦点到其准线的距离为，所以， 所以抛物线的标准方程为. 故答案为： 14．（25-26高二下·云南昆明·期末）已知抛物线： 的焦点为F，点P在C上，P在C准线上的投影为Q，若，则________. 【答案】2 【分析】根据抛物线的定义及两点间的距离公式求解即可. 【详解】由题意及抛物线定义可得，，则为等边三角形. 设，则.    因为，所以，则. 又，，则，即. 因为点P在C上，所以， 代入上式得，即，解得. 四、解答题 15．根据下列条件，求抛物线的标准方程，并画图： (1)准线方程为； (2)焦点在x轴上且其到准线的距离为6； (3)对称轴是x轴，顶点到焦点的距离等于2； (4)对称轴是y轴，经过点． 【答案】(1)答案见解析； (2)答案见解析； (3)答案见解析； (4)答案见解析. 【分析】（1）根据抛物线的准线方程为，得到且焦点在y轴上求解； （2）根据焦点在x轴上且其到准线的距离为6，得到求解； （3）根据对称轴是x轴，顶点到焦点的距离等于2，得到求解； （4）根据对称轴是y轴，设抛物线方程为，将点代入求解. 【详解】（1）解：因为抛物线的准线方程为， 所以，p=3， 所以抛物线的方程是；其图象如下： （2）因为焦点在x轴上且其到准线的距离为6， 所以， 所以抛物线的方程是或；其图象如下： （3）因为对称轴是x轴，顶点到焦点的距离等于2 所以，p=4， 所以抛物线的方程是或；其图象如下： （4）因为对称轴是y轴， 设抛物线方程为， 因为抛物线经过点， 所以，解得， 所以抛物线的方程是，其图象如下： 16．已知F为抛物线C：的焦点，且C上一点到点F的距离为4. (1)求C的方程； (2)若斜率为2的直线l与C交于A，B两点，且，求l的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据抛物线方程的定义即可由焦半径求解， （2）联立直线与抛物线方程，利用焦半径公式即可求解. 【详解】（1）C上一点到点F的距离为4, 由抛物线定义可得，，抛物线的方程为． （2）设直线，，设,,,， 将方程代入方程整理得，需满足， ， 故，解得， 当时，满足，故符合题意， 故直线方程为 17．已知F是抛物线的焦点，是该抛物线上的动点． (1)是一个定点，求的最小值： (2)若焦点F是的垂心，求点A、B的坐标 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由抛物线的定义，得，结合图形得最小值； （2）垂心为三条高线的交点，由对称性知关于轴对称，设点，再利用垂直关系建立方程求解坐标. 【详解】（1）由抛物线知焦点，准线， 过作，垂足为，过点作，垂足为，， 由抛物线的定义，， 当且仅当三点共线时取等号，此时， 所以的最小值为. （2）由焦点是的垂心，则， 即关于轴对称，且， 设，由， 得，化简得，解得， 所以点的坐标为或. 18．（25-26高二上·山东菏泽·期末）已知抛物线的准线与圆相切，是上一点. (1)若是抛物线的焦点，为坐标原点，且满足，求； (2)若点的坐标为，求点到点的距离与到轴的距离之和的最小值. 【答案】(1)4； (2)12. 【分析】（1）根据给定条件，利用圆的切线性质求出，再作出几何图形，数形结合求解. （2）由（1）中信息，利用抛物线的定义，结合线段和差关系求出最小值. 【详解】（1）抛物线的准线方程为，圆的圆心为，半径为1， 由抛物线的准线与圆相切，得，解得， 抛物线的准线为，焦点， 过点作准线的垂线，垂足为，过作于， 由，得，在中，， 所以. （2）在抛物线的方程中，令，得，则点与焦点在抛物线的两侧， 设点到轴距离为，则 ，当且仅当是线段与抛物线的交点时取等号， 所以点到点的距离与到轴的距离之和的最小值为12. 19．（25-26高二上·上海·期末）椭圆 上有一点在抛物线 的准线上，抛物线的焦点也是椭圆焦点． (1)求椭圆的标准方程； (2)若点在抛物线上，过作准线的垂线，垂足为，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据点在抛物线准线上求出的值，得到抛物线焦点坐标，根据抛物线的焦点也是椭圆焦点得到的值，结合点在椭圆上及求解即可. （2）根据抛物线的定义，结合两点间距离公式求解即可. 【详解】（1）抛物线 的准线的方程为：. 因为点在抛物线的准线上，所以，解得. 故抛物线方程为，焦点为. 因为抛物线的焦点也是椭圆焦点，所以. 因为点在椭圆上，所以， 又，所以. 整理得，即， 解得或（舍去），所以. 故椭圆的标准方程为. （2）由（1）知，抛物线方程为，准线方程为，焦点.    根据抛物线的定义可知，，则. 根据几何性质，当，，三点共线时，取得最小值，即最小值为. 已知，， 根据两点间距离公式可得，， 因此的最小值为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第15讲 抛物线（知识详解+8典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：抛物线的定义与标准方程 知识点02：抛物线的几何性质 典例精讲·例题解析 （举一反三） 题型01：抛物线定义的理解 题型02：抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值 题型03：根据抛物线方程求焦点或准线 题型04：抛物线的焦半径公式 题型05：根据焦点或准线写出抛物线的标准方程 题型06：根据抛物线上的点求标准方程 题型07：抛物线的顶点、开口方向 题型08：抛物线的范围、对称性 课后作业·巩固延伸 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 【知识点01】抛物线的定义与标准方程 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线． 注意点： (1)“一动三定”：一动点M；一定点F(即焦点)，一定直线l(即准线)，一定值1(即动点M到定点F的距离与到定直线l的距离之比为1)． (2)若点F在直线l上，则点的轨迹是过点F且垂直于直线l的直线． 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 y2＝2px(p>0) () x＝－ y2＝－2px(p>0) () x＝ x2＝2py(p>0) () y＝－ x2＝－2py(p>0) () y＝ 注意点： (1)p的几何意义是焦点到准线的距离． (2)标准方程的结构特征：顶点在坐标原点、焦点在坐标轴上． (3)抛物线的开口方向：抛物线的开口方向取决于标准方程中一次项系数的正负． 【例1】已知抛物线的焦点为，求该抛物线的标准方程、准线方程。 【知识点02】抛物线的几何性质 标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) 图形 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 对称轴 x轴 x轴 y轴 y轴 焦点坐标 F () F () F () F () 准线方程 x＝－ x= y＝- y＝ 顶点坐标 O(0,0) 离心率 e＝1 注意点： 只有焦点在坐标轴上，顶点是原点的抛物线的方程才是标准方程． 【例2】已知抛物线方程为，点在抛物线上，求点到抛物线焦点的距离（焦半径长）。 【题型01】抛物线定义的理解 【典例1-1】（25-26高二下·湖南长沙·期中）抛物线C：的焦点为F，C上的点到F的距离等于到直线的距离，则（   ） A．8 B．4 C．2 D．1 【变式1-1】（25-26高二上·浙江台州·期末）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，则线段的长度为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式1-2】（25-26高二上·山东潍坊·阶段检测）抛物线上一点M与焦点F的距离，则点M的坐标为________． 【变式1-3】（多选）（24-25高二上·广西桂林·期末）抛物线的焦点为，点在上，若.则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【题型02】抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值 【典例2-1】（25-26高二上·安徽阜阳·期末）若点A在焦点为F的抛物线上，点，则的最小值为（    ） A．2 B．2+ C．2+2 D．4 【变式2-1】（25-26高二下·湖南长沙·期中）已知是抛物线上任意一点，点在轴上的射影为点，点的坐标为，则的最小值是（   ） A．13 B．12 C．11 D．10 【变式2-2】在平面直角坐标系中，已知点，记抛物线：上的动点到准线的距离为，则的最大值为______． 【变式2-3】已知抛物线的焦点为，准线为，点是直线上的动点．若点在抛物线上，且为坐标原点，求的最小值． 【题型03】根据抛物线方程求焦点或准线 【典例3-1】（25-26高二下·广西河池·期末）抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26高二上·河南·期中）抛物线的焦点坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26高二上·天津·期中）抛物线的焦点坐标是______；准线方程______ 【变式3-3】指出下列抛物线的焦点坐标和准线方程． (1)； (2)； (3)（）． 【题型04】抛物线的焦半径公式 【典例4-1】（25-26高二上·湖北孝感·期末）已知抛物线上的点到焦点的距离为8，则点到轴的距离为（    ） A．4 B． C． D．6 【变式4-1】（25-26高二上·河南郑州·期末）抛物线上一点到焦点的距离，则点的坐标是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【变式4-2】（25-26高二上·安徽马鞍山·期末）设抛物线（）的焦点为，为抛物线上一点，若，则的值为______. 【变式4-3】（多选）（25-26高二上·内蒙古·期末）已知抛物线的焦点为，点在上，且，则的值可能是（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【题型05】根据焦点或准线写出抛物线的标准方程 【典例5-1】（25-26高二上·山西太原·期末）以椭圆的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】（25-26高二上·四川资阳·期末）已知顶点在坐标原点、准线方程为的抛物线的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（25-26高二下·四川南充·期中）以直线为准线的拋物线的标准方程为________． 【变式5-3】（24-25高二上·黑龙江牡丹江·期中）分别求满足下列条件的抛物线的标准方程. (1)焦点为； (2)焦点到准线的距离为. 【题型06】根据抛物线上的点求标准方程 【典例6-1】（24-25高二上·辽宁·期末）已知抛物线的顶点为原点，对称轴是轴，与直线相交所得线段的长为12，则的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（25-26高二上·广西百色·期末）已知抛物线经过点，则抛物线的标准方程为_______. 【变式6-2】（多选）（24-25高二上·河北石家庄·期末）经过点的抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（24-25高二上·山西太原·阶段检测）求适合下列条件的曲线的方程． (1)顶点在原点，且过点的抛物线的标准方程； (2)焦点为，且经过点的双曲线的标准方程． 【题型07】抛物线的顶点、开口方向 【典例7-1】对抛物线，下列描述正确的是（    ） A．开口向上，焦点为 B．开口向上，焦点为 C．开口向右，焦点为 D．开口向右，焦点为 【变式7-1】已知圆的圆心为抛物线的顶点，且圆经过点，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（多选）（25-26高二上·宁夏固原·期末）对于抛物线，下列说法正确的是（    ）. A．开口向上，焦点为 B．开口向上，焦点为 C．焦点到准线的距离为4 D．准线方程是 【变式7-3】在同一坐标系中画出下列抛物线，观察它们开口的大小，并说明抛物线开口大小与方程中x的系数的关系： （1）；    （2）；     （3）；    （4）． 【题型08】抛物线的范围、对称性 【典例8-1】（25-26高二下·湖南·期末）已知抛物线，点 ，点P在C上，的最小值是，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式8-1】（24-25高二下·云南曲靖·阶段检测）已知抛物线：与圆：（）交于，两点，且，则（   ） A． B． C．2 D．1 【变式8-2】是否存在实数a，使抛物线上总有关于直线对称的两个点?若不存在，说明理由；若存在，求a的取值范围. 【变式8-3】已知抛物线与直线相交于A，B两点，O为坐标原点，. (1)求抛物线C的方程； (2)若点F是抛物线C的焦点，点P是抛物线C上任意一点，点Q是线段PF的中点，求直线OQ斜率的取值范围. 知识点01抛物线的定义 平面内，到定点（焦点）与定直线（准线，）距离相等的动点轨迹称为抛物线。 核心定义公式： 为抛物线上任意一点，为点到焦点距离，为点到准线的垂直距离。 关键前提：定点不在定直线上，否则轨迹为过定点且垂直于定直线的直线，不是抛物线。 知识点02抛物线标准方程（核心必考） 规定：，为焦点到准线的距离，四种标准方程及对应要素： 1. 开口向右：，焦点，准线 2. 开口向左：，焦点，准线 3. 开口向上：，焦点，准线 4. 开口向下：，焦点，准线 速记规律：变量一次项对应对称轴，正负号决定开口方向。 知识点03抛物线核心几何性质 1. 顶点：所有抛物线顶点均为坐标原点，是抛物线上到焦点、准线距离最小的点。 2. 对称性：关于轴对称；关于轴对称，无中心对称性。 3. 离心率：抛物线离心率为定值 ，是区别于椭圆、双曲线的核心特征。 4. 通径：过焦点且垂直于对称轴的弦，通径长通用公式：，通径端点坐标可直接用于快速解题。 知识点04焦半径公式（高频解题公式） 设抛物线上任意一点，点到焦点的距离为焦半径： 1. ： 2. ： 3. ： 4. ： 核心思想：焦半径计算可替代距离公式，简化运算，本质依托抛物线定义。 知识点05本节高频易错点小结 1. 务必牢记，是焦点到准线的距离，不可为负数； 2. 区分一次项与对称轴、开口方向，避免标准方程混用； 3. 焦半径公式需匹配对应抛物线方程，符号不可出错； 4. 抛物线只有一条对称轴、一个焦点、一条准线，无对称中心； 5. 离心率为抛物线专属定值，不可与椭圆、双曲线混淆。 一、单选题 1．（25-26高二下·云南昭通·期中）抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·河南许昌·期末）若抛物线的焦点关于准线的对称点为，则的标准方程为（     ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·安徽亳州·期末）已知点为抛物线上一动点，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D．4 4．（2025高三上·河南安阳·专题练习）已知抛物线的焦点为，若的准线被以为圆心的圆截得的弦长为2，则该圆的方程为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·广东·期末）设为坐标原点，点在抛物线上，若点到的准线的距离为3，则（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二下·重庆·期末）点、在抛物线上，且，记线段的中点为，则到轴的最短距离为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 7．已知抛物线的焦点为，是上一点，且到的距离与到的对称轴的距离之差为2，则（    ） A． B．1 C．2或4 D．4或36 8．（25-26高二上·广东湛江·期末）已知是抛物线上任意一点，点在轴上的射影为点，点的坐标为，则的最小值是（    ） A． B．12 C．11 D．10 二、多选题 9．（25-26高二上·山西太原·期末）已知抛物线：与：，则下列结论正确的是（   ） A．与的焦点相同 B．与的离心率相同 C．与的准线相同 D．与的焦点到准线的距离相同 10．已知抛物线C：的焦点为F，点，P为C上的动点，则（   ） A．满足的点P恰有两个 B．的最小值为3 C．的最小值为 D．的最大值为3 11．（25-26高二下·陕西西安·期末）已知点均在抛物线上，是的焦点，则（   ） A． B．直线轴 C．若，则 D．若，则 三、填空题 12．（25-26高二上·安徽·阶段检测）抛物线的焦点为，点在此抛物线上，，则点的横坐标为___________． 13．（25-26高二上·广西河池·期末）已知抛物线的焦点在轴的负半轴上，且抛物线的焦点到其准线的距离为，则抛物线的标准方程为______． 14．（25-26高二下·云南昆明·期末）已知抛物线： 的焦点为F，点P在C上，P在C准线上的投影为Q，若，则________. 四、解答题 15．根据下列条件，求抛物线的标准方程，并画图： (1)准线方程为； (2)焦点在x轴上且其到准线的距离为6； (3)对称轴是x轴，顶点到焦点的距离等于2； (4)对称轴是y轴，经过点． 16．已知F为抛物线C：的焦点，且C上一点到点F的距离为4. (1)求C的方程； (2)若斜率为2的直线l与C交于A，B两点，且，求l的方程. 17．已知F是抛物线的焦点，是该抛物线上的动点． (1)是一个定点，求的最小值： (2)若焦点F是的垂心，求点A、B的坐标 18．（25-26高二上·山东菏泽·期末）已知抛物线的准线与圆相切，是上一点. (1)若是抛物线的焦点，为坐标原点，且满足，求； (2)若点的坐标为，求点到点的距离与到轴的距离之和的最小值. 19．（25-26高二上·上海·期末）椭圆 上有一点在抛物线 的准线上，抛物线的焦点也是椭圆焦点． (1)求椭圆的标准方程； (2)若点在抛物线上，过作准线的垂线，垂足为，求的最小值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $