1.4.1充分条件与必要条件（第一课时）·学案-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

1.4.1 充分条件与必要条件·学案

班级：＿＿＿＿　　姓名：＿＿＿＿　　学号：＿＿＿＿　　第一课时

一、课前预习（阅读教材第17～19页，完成填空）

1．用语言、符号或式子表达的，可以判断＿＿＿的＿＿＿句叫做命题。判断为真的语句是＿＿命题，判断为假的语句是＿＿命题。

2．"若p，则q"形式的命题中，p叫做命题的＿＿＿，q叫做命题的＿＿＿。

3．当命题"若p，则q"为真时，记作＿＿＿＿，读作"＿＿＿＿＿"；为假时记作＿＿＿＿。

4．一般地，"若p，则q"为真命题，就说p是q的＿＿＿＿条件，q是p的＿＿＿＿条件。

5．要判断"若p，则q"是假命题，只要举出一个满足条件p但不满足结论q的＿＿＿即可；要判断它是真命题，需要证明＿＿＿满足条件p的对象都满足结论q。

二、课堂探究

探究一　命题的辨认

判断下列语句是不是命题（是的打√，不是的打×，并说明理由）：

①空集是任何集合的真子集（　　）理由：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

②请起立（　　）理由：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

③－1的绝对值为1（　　）理由：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

④你是高一的学生吗？（　　）理由：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

提醒：假命题＿＿＿（是/不是）命题。

探究二　两个概念

生活例子："如果下雨，那么地面会湿。"

(1)这个命题是＿＿命题，可记作＿＿＿＿⇒＿＿＿＿。

(2)"下雨"是"地湿"的＿＿＿＿条件，意思是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。

(3)"地湿"是"下雨"的＿＿＿＿条件，意思是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。

(4)地面湿了，能断定一定下过雨吗？＿＿＿，举一个别的原因：＿＿＿＿＿＿。

结论（听讲后补全）：p⇒q读出两句话——＿＿是＿＿的充分条件，＿＿是＿＿的必要条件。箭头出发的一端是＿＿＿条件，箭头指向的一端是＿＿＿条件。

再记一句：荀子"不积跬步，无以至千里"。此名言中"积跬步"是"至千里"的＿＿＿＿条件。

探究三　例1　充分条件的判断

下列"若p，则q"形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？（在括号内填"是"或"不是"，不是的写出反例）

(1)若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形。（　　）依据：＿＿＿＿＿＿＿＿

(2)若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似。（　　）依据：＿＿＿＿＿＿＿＿

(3)若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直。（　　）依据：＿＿＿＿＿＿＿＿

(4)若x²＝1，则x＝1。（　　）反例：＿＿＿＿＿＿

(5)若a＝b，则ac＝bc。（　　）依据：＿＿＿＿＿＿＿＿

(6)若x，y为无理数，则xy为无理数。（　　）反例：＿＿＿＿＿＿

归纳：数学中的每一条＿＿＿定理，都给出了相应结论成立的一个＿＿＿条件。

想一想：写出"四边形是平行四边形"的三个不同的充分条件：

＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

说明充分条件＿＿＿＿（唯一/不唯一）。

探究四　例2　必要条件的判断

下列"若p，则q"形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？（是的打√，不是的写出反例）

(1)若四边形是平行四边形，则这个四边形的两组对角分别相等。（　　）

(2)若两个三角形相似，则这两个三角形的三边成比例。（　　）

(3)若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形为菱形。（　　）反例：＿＿＿＿＿＿

(4)若x＝1，则x²＝1。（　　）

(5)若ac＝bc，则a＝b。（　　）反例：＿＿＿＿＿＿