1.4.1充分条件与必要条件（第一课时）·学案-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学导学案聚焦“充分条件与必要条件”，通过课前预习梳理命题定义及“若p则q”形式，以生活中“下雨与地湿”为例导入课堂探究，搭建从命题基础到充分必要条件概念的学习支架。 导学案特色在于结合生活情境培养数学眼光，通过正反例辨析发展数学思维，用集合观点转化提升数学语言表达能力，分层设计满足不同学生需求，当堂检测与易错提醒助力学生自主构建逻辑推理能力，提升学习效率。

1.4.1 充分条件与必要条件·学案 班级：＿＿＿＿　　姓名：＿＿＿＿　　学号：＿＿＿＿　　第一课时 一、课前预习（阅读教材第17～19页，完成填空） 1．用语言、符号或式子表达的，可以判断＿＿＿的＿＿＿句叫做命题。判断为真的语句是＿＿命题，判断为假的语句是＿＿命题。 2．"若p，则q"形式的命题中，p叫做命题的＿＿＿，q叫做命题的＿＿＿。 3．当命题"若p，则q"为真时，记作＿＿＿＿，读作"＿＿＿＿＿"；为假时记作＿＿＿＿。 4．一般地，"若p，则q"为真命题，就说p是q的＿＿＿＿条件，q是p的＿＿＿＿条件。 5．要判断"若p，则q"是假命题，只要举出一个满足条件p但不满足结论q的＿＿＿即可；要判断它是真命题，需要证明＿＿＿满足条件p的对象都满足结论q。 二、课堂探究 探究一　命题的辨认 判断下列语句是不是命题（是的打√，不是的打×，并说明理由）： ①空集是任何集合的真子集（　　）理由：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ②请起立（　　）理由：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ③－1的绝对值为1（　　）理由：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ④你是高一的学生吗？（　　）理由：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 提醒：假命题＿＿＿（是/不是）命题。 探究二　两个概念 生活例子："如果下雨，那么地面会湿。" (1)这个命题是＿＿命题，可记作＿＿＿＿⇒＿＿＿＿。 (2)"下雨"是"地湿"的＿＿＿＿条件，意思是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 (3)"地湿"是"下雨"的＿＿＿＿条件，意思是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 (4)地面湿了，能断定一定下过雨吗？＿＿＿，举一个别的原因：＿＿＿＿＿＿。 结论（听讲后补全）：p⇒q读出两句话——＿＿是＿＿的充分条件，＿＿是＿＿的必要条件。箭头出发的一端是＿＿＿条件，箭头指向的一端是＿＿＿条件。 再记一句：荀子"不积跬步，无以至千里"。此名言中"积跬步"是"至千里"的＿＿＿＿条件。 探究三　例1　充分条件的判断 下列"若p，则q"形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？（在括号内填"是"或"不是"，不是的写出反例） (1)若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形。（　　）依据：＿＿＿＿＿＿＿＿ (2)若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似。（　　）依据：＿＿＿＿＿＿＿＿ (3)若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直。（　　）依据：＿＿＿＿＿＿＿＿ (4)若x²＝1，则x＝1。（　　）反例：＿＿＿＿＿＿ (5)若a＝b，则ac＝bc。（　　）依据：＿＿＿＿＿＿＿＿ (6)若x，y为无理数，则xy为无理数。（　　）反例：＿＿＿＿＿＿ 归纳：数学中的每一条＿＿＿定理，都给出了相应结论成立的一个＿＿＿条件。 想一想：写出"四边形是平行四边形"的三个不同的充分条件： ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 说明充分条件＿＿＿＿（唯一/不唯一）。 探究四　例2　必要条件的判断 下列"若p，则q"形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？（是的打√，不是的写出反例） (1)若四边形是平行四边形，则这个四边形的两组对角分别相等。（　　） (2)若两个三角形相似，则这两个三角形的三边成比例。（　　） (3)若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形为菱形。（　　）反例：＿＿＿＿＿＿ (4)若x＝1，则x²＝1。（　　） (5)若ac＝bc，则a＝b。（　　）反例：＿＿＿＿＿＿ (6)若xy为无理数，则x，y为无理数。（　　）反例：＿＿＿＿＿＿ 归纳：数学中的每一条＿＿＿定理，都给出了相应结论成立的一个＿＿＿条件。 对照例1与例2：两道题的判断动作＿＿＿＿（相同/不同），都是看＿＿能否推出＿＿；不同的只是＿＿＿＿。 探究五　★用集合的观点看（优生班课上完成，普通班选做） 设p：x＞3，q：x＞1。 (1)在数轴上画出A＝{x|x＞3}与B＝{x|x＞1}： ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ (2)A与B的关系是＿＿＿＿，所以p＿＿＿q（填⇒或⇏），p是q的＿＿＿＿条件。 (3)验证方向：取x＝5，满足p吗＿＿，满足q吗＿＿；取x＝2，满足q吗＿＿，满足p吗＿＿。 (4)结论：p⇒q ⟺ A＿＿B。口诀：＿＿充分，＿＿必要。 练习：设p：1＜x＜2，q：x＜3，则p是q的＿＿＿＿条件，q是p的＿＿＿＿条件。 三、当堂检测（限时3分钟） 1．下列语句是命题的有（　　） ①请把门关上；②2是偶数；③x＞3；④三角形的内角和是180°。 A．①②　　B．②④　　C．②③④　　D．①②④ 2．"a∈N"是"a∈Z"的＿＿＿＿条件。 3．a＝0是a²－3a＝0的＿＿＿＿条件（填"充分"或"必要"），理由：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 4．设p：x＞5，q：x＞2，则p是q的＿＿＿＿条件。 四、课堂小结（自我梳理） 一个记号：p⇒q，读出两句话——＿＿是＿＿的＿＿＿条件，＿＿是＿＿的＿＿＿条件。 两条对应：＿＿＿定理给出充分条件，＿＿＿定理给出必要条件，都＿＿＿唯一。 一个工具：p⇒q ⟺ A＿＿B，口诀＿＿＿＿＿＿＿＿。 一条纪律：否定命题举＿＿＿＿，肯定命题要＿＿＿。 参考答案与解析 一、课前预习 1．真假、陈述、真、假。　2．条件、结论。　3．p⇒q、p推出q、p⇏q。　4．充分、必要。　5．对象（反例）、所有。 二、课堂探究 探究一：①√，是陈述句且可判断真假（它是假命题，应为"任何非空集合"）；②×，祈使句，无所谓真假；③√，可判断真假且为真；④×，疑问句。假命题是命题。 探究二：(1)真；下雨⇒地湿。(2)充分；有了下雨，地湿就跑不掉，"充分"就是够用了。(3)必要；没有地湿就一定没下雨，"必要"就是少不了。(4)不能；如洒水车洒水、水管漏水。结论：p是q的充分条件，q是p的必要条件；箭头出发的一端是充分条件，指向的一端是必要条件。荀子那句："积跬步"是"至千里"的必要条件（不积跬步就到不了千里；但只积跬步不一定到得了）。 探究三：(1)是，平行四边形的判定定理。(2)是，相似三角形的判定定理。(3)是，菱形的性质定理（该命题为真即可，不必纠结叫判定还是性质）。(4)不是，反例x＝－1（此时x²＝1但x≠1）。(5)是，等式两边同乘同一个数仍相等。(6)不是，反例x＝y＝√2，xy＝2是有理数。归纳：判定、充分。三个充分条件如：两组对边分别相等、一组对边平行且相等、两条对角线互相平分（答案不唯一）；说明充分条件不唯一。 探究四：(1)√，平行四边形的性质定理。(2)√，相似三角形的性质定理。(3)不是，反例：一般的筝形（对角线互相垂直但不是菱形）。(4)√，x＝1⇒x²＝1。(5)不是，反例c＝0，此时ac＝bc恒成立但a不一定等于b。(6)不是，反例x＝1，y＝√2，xy＝√2是无理数但x是有理数。归纳：性质、必要。对照：相同；p、q；问法（问的是p的充分性还是q的必要性）。 探究五：(1)数轴上A是3右侧的开射线，B是1右侧的开射线，A整段落在B内。(2)A⊊B；p⇒q；充分。(3)x＝5：满足p，满足q；x＝2：满足q，不满足p。(4)A⊆B；小充分，大必要。练习：{x|1＜x＜2}⊊{x|x＜3}，所以p是q的充分条件，q是p的必要条件。 三、当堂检测 1．B。①是祈使句不是命题；③x＞3中x未确定，真假无法判断，不是命题；②④可判断真假，是命题。 2．充分。自然数都是整数，a∈N⇒a∈Z（同时也可以说"a∈Z是a∈N的必要条件"）。 3．充分。因为a＝0⇒a²－3a＝0（代入即得0），所以a＝0是充分条件；反过来由a²－3a＝0得a＝0或a＝3，取a＝3推不出a＝0，所以它不是必要条件。 4．充分。A＝{x|x＞5}⊊B＝{x|x＞2}，小充分。 四、课堂小结 p是q的充分条件，q是p的必要条件；判定、性质、不；A⊆B，小充分大必要；一个反例、论证。 易错提醒 一个箭头两句话，别当两件事记；"p是q的必要条件"是q⇒p，方向不能反；x²＝1推不出x＝1，ac＝bc推不出a＝b（c可能为0）；否定命题必须写出具体反例；集合翻译记住"小充分，大必要"。 学科网（北京）股份有限公司 $