2.2 平方根与立方根 第2课时 课件 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦平方根的定义、性质、表示及开平方运算，通过复习算术平方根（x²=a的正数解）导入，以“(-2)^2=4”等问题引发思考，搭建从旧知到新知的学习支架，引导学生逐步抽象出平方根概念。 其亮点在于以问题驱动探究（如“平方等于9的数有几个”），通过对比表格呈现平方根与算术平方根的区别联系，结合例3（求64、49/121等的平方根）和例14（面积问题应用），培养学生的抽象能力（数学眼光）、推理意识（数学思维）和符号意识（数学语言）。结构化小结帮助学生系统梳理知识，多样化练习兼顾基础与提升，教师可直接用于教学提升效率，学生能在探究中深化理解发展核心素养。

北师版八年级上册 2.2 平方根与立方根 第二章 实 数 第2课时 平方根 上节课我们学习了算术平方根的概念、性质.知道若一个正数 x 的平方等于 a，即 x2 = a. 则 x叫 a 的算术平方根，记作 x = ，而且 a 也是 非负数. 复习旧知，导入新课 正数 22 = 4，则 2 叫作 4 的算术平方根，4 叫 2 的平方. 思考：若 (－2)2 = 4，则 －2 叫 4 的什么呢？ 请大家思考下面两个问题. 思考探究，获取新知 （1）3 的平方是 9，还有其他数的平方也是 9 吗？ 32 = 9 (－3)2 = 9 想一想： 3和－3有什么特征？ 互为相反数，3 和 －3 一起叫作 ±3. 思考探究，获取新知 （2）平方等于 的数有几个？ 平方等于 0.64 的数呢？ 一般地，如果一个数 x 的平方等于 a，即 x2 = a，那么这个数 x 就叫作 a 的平方根，也叫作二次方根. 结 论 9 的平方根： 的平方根： 请大家思考下面的问题： （1）一个正数有几个平方根？ （2）0 有几个平方根？ （3）负数呢？ 一个正数有两个平方根； 0 只有一个平方根，是 0 本身； 负数没有平方根. 尝试·思考 正数 a 有两个平方根，一个是 a 的算术平方根 ，另一个是 ，它们互为相反数. 这两个平方根合起来 可以记作 求一个数 a 的平方根的运算，叫作开平方，a 叫作被开方数. ± （a是非负数） →根号 →被开方数 读作：正、负根号a 观察下图，你发现了什么？ +1 －1 +2 －2 +3 －3 1 4 9 +1 －1 +2 －2 +3 －3 平方 开平方 平方和开平方互为逆运算 类别 名称 平方根 算术平方根 区别 定义不同 一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x就叫作a的平方根（也叫作二次方根） 一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x就叫作a的算术平方根 个数不同 一个正数有两个平方根，它们互为相反数 一个正数的算术平方根只有一个 表示方法不同 非负数a的平方根表示为± 非负数a的算术平方根表示为 结果不同 正数的平方根是一正一负， 互为相反数 正数的算术平方根一定是正数 联系 具有包含关系 平方根包含了算术平方根，一个正数的算术平方根是它的平方根中正的那个 存在条件相同 被开方数为非负数，0的平方根与算数平方根都是0 求下列各数的平方根： 例 3 （1）64；（2） ；（3）0.0004；（4）(－25)2；（5）11。 49 121 解：（1）因为 ，所以 64 的平方根是 ， 即 ； （2）因为 ，所以 的平方根是 ， 即 ； 求下列各数的平方根： 例 3 （1）64；（2） ；（3）0.0004；（4）(－25)2；（5）11。 49 121 （3）因为 ，所以 0.0004 的平方根是±0.02，即 ； （4）因为 ，所以(－25)2 的平方根是±25，即 ； 求下列各数的平方根： 例 3 （1）64；（2） ；（3）0.0004；（4）(－25)2；（5）11。 49 121 （5）11 的平方根是 . 求下列各式的值： 例 4 （1） ；（2） ；（3） 。 解：（1） ； （2） ； （3） 。 课堂小结 平方根的性质 平方根的表示方法 正数 a 有两个平方根：“ ”（a的算术平方根）和“ ”. 它们互为相反数，合起来可以记作“± ”， 读作“正、负根号 a”. 一个正数有两个平方根；0 只有一个平方根，是 0 本身；负数没有平方根. 1.49的平方根是(　C　) A. 7 B. －7 C. ±7 D. 没有平方根 C 课堂练习 A层 基础练 2. 下列各数中，没有平方根的是(　B　) B A层 基础练 3. 下列说法不正确的是(　B　) A. 0的算术平方根是0 B. －22的平方根是2 C. 正数的平方根互为相反数 D. 一个正数的算术平方根一定大于这个正数的相反数 B A层 基础练 4. 已知一个数的一个平方根是2 030，则它的另一个平方根为 (　C　) C A层 基础练 5. 已知a2＝16，那么a的值为 ⁠。 6. 计算： (1)()2＝ ，()2＝ 　 　，()2＝ ⁠； (2) ＝ 　 　， ＝ ， ＝ (a≥0)。 ±4　 3　 　 a　 　 0　 a　 A层 基础练 7. 填空： (1)平方等于它本身的数是 ⁠； (2)平方根等于它本身的数是 ⁠； (3)算术平方根等于它本身的数是 ⁠。 8. 若x＋2的算术平方根是3，则2x＋5的平方根是 ⁠。 0，1　 0　 0，1　 ± 　 A层 基础练 9. 求下列各数的平方根： (1)6.25； 解：(1)因为(±2.5)2＝6.25， 所以6.25的平方根是±2.5， 即± ＝±2.5。 (2)(－13)2； 解：(2)因为(±13)2＝(－13)2， 所以(－13)2的平方根是±13， 即± ＝±13。 解：(1)因为(±2.5)2＝6.25， 所以6.25的平方根是±2.5， 即± ＝±2.5。 (2)因为(±13)2＝(－13)2， 所以(－13)2的平方根是±13， 即± ＝±13。 A层 基础练 9. 求下列各数的平方根： (3)｜－225｜； 解：(3)｜－225｜＝225，因为(±15)2＝225， 所以225的平方根是±15， 即± ＝±15。 (4)10－6。 解：(4)因为(±10－3)2＝10－6， 所以10－6的平方根是±10－3， 即± ＝±10－3。 (3)｜－225｜＝225，因为(±15)2＝225， 所以225的平方根是±15， 即± ＝±15。 (4)因为(±10－3)2＝10－6， 所以10－6的平方根是±10－3， 即± ＝±10－3。 A层 基础练 10. 下列各数中，一定没有平方根的是(　D　) A. －a B. －a2＋1 C. －a2 D. －a2－1 D B层 提升练 11. 填空： (1) 的算术平方根是 ⁠； (2) 的平方根是 ⁠； (3)(－3)2的平方根是 ⁠。 2　 ±3　 ±3　 B层 提升练 12. 求下列各式中x的值： (1)4x2－49＝0； 解：(1)由4x2－49＝0，得4x2＝49， 即x2＝ 。 所以x＝± ，即x＝± 。 解：(1)由4x2－49＝0，得4x2＝49， 即x2＝ 。 所以x＝± ，即x＝± 。 B层 提升练 12. 求下列各式中x的值： (2)(2x－1)2＝121。 解：(2)由(2x－1)2＝121， 得2x－1＝± ＝±11。 当2x－1＝11时，x＝6； 当2x－1＝－11时，x＝－5。 综上所述，x＝6或x＝－5。 解：(2)由(2x－1)2＝121， 得2x－1＝± ＝±11。 当2x－1＝11时，x＝6； 当2x－1＝－11时，x＝－5。 综上所述，x＝6或x＝－5。 B层 提升练 13. (思想方法•分类) (1)一个非负数的平方根分别是2a－1和a－5，这个非负数是 多少？ 解：(1)根据题意，得2a－1＋a－5＝0。 解得a＝2。 所以这个非负数是(2a－1)2＝(2×2－1)2＝9。 解：(1)根据题意，得2a－1＋a－5＝0。 解得a＝2。 所以这个非负数是(2a－1)2＝(2×2－1)2＝9。 B层 提升练 13. (思想方法•分类) (2)已知a－1和5－2a都是m的平方根，求a与m的值。 解：(2)根据题意，分以下两种情况： ①当a－1和5－2a相等时，a－1＝5－2a，解得a＝2，此时m ＝(2－1)2＝1； ②当a－1和5－2a不相等时，a－1＋5－2a＝0，解得a＝4， 此时m＝(4－1)2＝9。 综上所述，当a＝2时，m＝1；当a＝4时，m＝9。 解：(2)根据题意，分以下两种情况： ①当a－1和5－2a相等时，a－1＝5－2a，解得a＝2，此时m ＝(2－1)2＝1； ②当a－1和5－2a不相等时，a－1＋5－2a＝0，解得a＝4， 此时m＝(4－1)2＝9。 综上所述，当a＝2时，m＝1；当a＝4时，m＝9。 B层 提升练 14. (核心素养•应用意识)如图1是一个长为2a、宽为2b的长方 形，沿图中虚线剪开分成四块小长方形，然后按如图2的方式 拼成一个正方形。 (1)图2中阴影部分的正方形的边长是 ⁠； (2)用两种不同的方法求图中阴影部分的面积。 方法1：S阴影＝ ； 方法2：S阴影＝ ⁠； a－b　 (a－b)2　 (a＋b)2－4ab　 C层 拓展练 (3)解：由(2)可得S阴影＝(a－b)2＝(a＋b)2－4ab。 因为a＋b＝3，ab＝1， 所以(a－b)2＝32－4×1＝5。 解得a－b＝± 。 因为a＞b，所以a－b＞0。 所以a－b＝ 。 (3)解：由(2)可得S阴影＝(a－b)2＝(a＋b)2－4ab。 因为a＋b＝3，ab＝1， 所以(a－b)2＝32－4×1＝5。 解得a－b＝± 。 因为a＞b，所以a－b＞0。 所以a－b＝ 。 (3)若a＞b，且a＋b＝3，ab＝1，求a－b的值。 14. (核心素养•应用意识)如图1是一个长为2a、宽为2b的长方 形，沿图中虚线剪开分成四块小长方形，然后按如图2的方式 拼成一个正方形。 C层 拓展练 $