2.2 平方根与立方根（第4课时+估算） 课件 2026--2027学年北师大版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦实数中平方根与立方根的估算，通过长方形公园面积问题情境导入，从判断宽是否1000米到精确到10米再到圆形花圃半径估算，构建问题链作为学习支架，衔接无理数估算的核心知识。 其亮点在于情境驱动与方法融合，以公园面积、梯子稳定等真实问题培养数学眼光，用“夹逼法”估算和作差比较发展数学思维（推理意识、运算能力），通过方程模型和符号表达强化数学语言（模型意识）。学生提升估算与应用能力，教师获得结构化教学资源。

2.2.4 平方根与立方根 第二章 实数 某地开辟了一块长方形的荒地,新建一个以环保为主题的公园。已知这块荒地的长是宽的2倍，它的面积为400000米 1．公园的宽大约是多少？它有1000米吗？ 2．如果要求误差小于10米，它的宽大约是多少？ 3．该公园中心有一个圆形花圃，它的面积是800米²，你能估计它的半径吗？（误差小于1米） 情境导入 一级标题：黑体， 2 探究新知 【探究1】估算 某地开辟了一块长方形荒地，新建一个以环保为主题的公园。已知这块荒地的长是宽的 2 倍，它的面积为 400 000 m2。 (1) 公园的宽大约有多少？有 1000 m 吗？ S = 400 000 解：设公园的宽是xm，则长为2xm.根据题意，得x·2x＝400000，所以x2＝200000.所以公园的宽x为200000的算术平方根． 若x＝1000，则x2＝1000000， 1000 2000 S = 400 000 因为1000000>200000，所以它没有1000m. 4 新知探究 某地开辟了一块长方形的荒地，新建一个环保主题公园.已知这块荒地的长是宽的2倍，它的面积为400000m2. S=400000 x 2x （1）公园的宽大约是多少？ 解：设公园的宽大约为x米，由题意得 2x2 = 400000 x = 它有1000m吗？ 怎么比较 和1000的大小关系? 公园的宽大约几百米宽，没有1000米. 新知探究 某地开辟了一块长方形的荒地，新建一个环保主题公园.已知这块荒地的长是宽的2倍，它的面积为400000m2. S=400000 x 2x （2）如果要求结果精确到10m，它的宽大约是多少？与同伴进行交流. 解：因为4472=199809，4502=202500， 199809 < 200000 < 202500， 所以447 < 公园的宽 < 450， 所以公园的宽大约是450米. 估算到个位上的数字 （四舍五入） 新知探究 某地开辟了一块长方形的荒地，新建一个环保主题公园.已知这块荒地的长是宽的2倍，它的面积为400000m2. S=400000 x 2x （3）该公园中心有一个圆形花圃，它的面积是800m2，你能估计它的半径吗？（结果精确到1m） 解：设圆形花圃的半径是r m. 则有πr2=800， 得 因为15.52=240.25，162=256， 所以240.25 < < 256. 所以15.5 < r <16. 所以花圃的半径大约是16m. 800 m2 r m 2.如果要求误差小于10米，它的宽大约是多少？ x • 2x = 400000， 2x2 = 400 000， x2 = 200 000， x = 解：设公园的宽为 x 米. 2x S = 400 000 x 如何估计的近似值呢？ 由（1）知 x＜1 000， 当 x = 500 时，2x2 = 500 000 ＞ 400 000. 当 x = 400 时，2x2 = 320 000 ＜ 400 000. 当 x = 450 时，2x2 = 405 000 ＞ 400 000. 大约是多少呢？ 当 x = 440 时，2x2 = 387 200 ＜ 400 000. 所以 x =≈ 450. 答：它的宽大约是 450 米. 思考 (1)下列结果正确吗？你是怎样判断的？ ≈ 0.066； ≈96； ≈ 60.4 . ≈ 0.066不正确. 因为 0.36<0.43<0.49， 所以0.62<0.43<0.72， 所以在0.6和0.7 之间，不可能是 0.066 . 知识点1 估算无理数的大小 10 思考 (1)下列结果正确吗？你是怎样判断的？ ≈ 0.066； ≈96； ≈ 60.4 . ≈96不正确. 因为 729<900<1 000， 所以93<900<103， 所以在9和10之间，不可能是96. 知识点1 估算无理数的大小 11 新知探究 思考交流 (1)下列计算结果正确吗？你是怎样判断的？与同伴进行交流. 方法一：两数同时乘方 方法二：有理数化作带根号的形式 新知探究 尝试思考 (2) 你能估算 的大小吗？(结果精确到 1) 解：因为 93 ＜900＜103 ， 所以 . 且900更接近 1000， 所以 . 估算无理数大小的方法：(1) 利用乘方与开方互为逆运算来确定无理数的整数部分； (2) 根据所要求的误差确定小数部分. 思考 通过估算比较数的大小 通过估算比较与的大小． 问题1：比较两个分数的大小，如果分母相同，我们可以比较______． 分子 问题2：在整数____与整数____之间． 2 3 问题3：怎样比较与的大小？ 解：因为 >2，所以－1>1，所以>. 思考 (1)下列结果正确吗？你是怎样判断的？ ≈ 0.066； ≈96； ≈ 60.4 . ≈ 60.4不正确. 因为2 500 <2 536 <2 601， 所以 502<2 536 <512， 所以在 50 和51 之间，不可能是 60.4 . 知识点1 估算无理数的大小 16 (2)你能估算的大小吗(结果精确到1)? 因为 729<900<1 000，所以93<900<103，所以9<<10. 又因为 9.63<900 <9.73，所以9.6<<9.7，所以 ≈10. 知识点1 估算无理数的大小 要估算带根号的无理数大小，常常通过平方或立方等运算，先确定其整数部分，再确定十分位、百分位等小数部分，这种估算的方法称为“夹逼法”. 17 典例分析 估算无理数大小的方法：(1) 利用乘方与开方互为逆运算来确定无理数的整数部分； (2) 根据所要求的误差确定小数部分. 方法技巧 解 析 例1.生活经验表明，靠墙摆放梯子时，若梯子底端离墙的距离约为梯子长度的 ，则梯子比较稳定.现有一长为 6 m 的梯子，当梯子稳定摆放时，它的顶端能达到 5.6 m 高的墙头吗? 设梯子稳定摆放时的高度为 x m，此时梯子底端离墙的距离恰为梯子长度的 ，根据勾股定理 6 新知探究 所以梯子稳定摆放时，它的顶端能够达到 5.6 m 高的墙头. 6 比较两个无理数大小的常用方法： 1.估算法：估算出所给无理数的近似值，再比较. 2.作差法：若，则 ； 若，则 . 归纳总结 跟踪训练的值在( ) A.2和3之间 B.3和4之间 C.4和5之间 D.5和6之间 解析：因为16<24<25，所以<<， 即4<<5. 故的值在4和5之间. C 知识点1 估算无理数的大小 21 除了估算，我们也可以利用计算器进行开方运算. 知识点2 用计算器进行开方运算 尝试·思考 (1)观察你的计算器面板，对于开方运算，可能用到哪些按键? 22 典例分析 1.先估算含根号的数的近似值，再和另一个数进行比较； 2.若同分母或同分子的，可比较它们的分子或分母的大小. 方法技巧 例2.比较下列各组中的两个数的大小： (1)与4；(2)与；(3)与3－. 典例分析 1.先估算含根号的数的近似值，再和另一个数进行比较； 2.若同分母或同分子的，可比较它们的分子或分母的大小. 方法技巧 解 析 （2）因为 <2，所以<1. 所以 < . （3）因为－1.5<－ <－1.4， 所以3－1.5<3－<3－1.4，即1.5<3－<1.6. 因为1.7<<1.8，所以 >3－. （1）因为12<16，所以<4. 针对训练 1. (1)下列计算结果正确吗？你是怎样判断的？ √ × × 方法一：两数同时乘方 56 方法二：有理数化作带根号的形式 估算 要估算带根号的无理数大小，常常通过平方或立方等运算，先确定其整数部分，再确定十分位、百分位等小数部分，这种估算的方法称为“夹逼法”. 估算无理数的大小并比较大小 用计算器进行开方运算 无理数的大小 $