1.2 一定是直角三角形吗 课件 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦勾股定理的逆定理，通过知识回顾勾股定理的前提条件，提出“三边满足平方和关系是否为直角三角形”的问题，结合四组勾股数实例引导学生动手验证，构建从已知到未知的学习支架，衔接前后知识脉络。 其亮点在于以问题驱动探究，通过画三角形、量角器测量等动手操作培养几何直观，结合零件检测、植树问题等实例发展推理意识与应用意识。题型涵盖判断形状、求线段长等，小结明确判定方法，助力学生掌握知识，教师可高效教学，提升学生数学思维与实践能力。

北师版八年级上册 1.2 一定是直角三角形吗 第一章 勾股定理 知识回顾 1. 勾股定理的前提条件是什么？ 直角三角形 两直角边的平方和等于斜边的平方 条件：在Rt△ABC 中，∠C = 90°。 结论：a2+b2 = c2。 A B C c a b A B C c a b 2. 反过来，如果一个三角形满足了“两直角边的平方和等于斜边的平方”，那么它一定是直角三角形吗？ 条件：△ABC 中 a2+b2 = c2。 ？ 结论：Rt△ABC ，∠C = 90°。 新知探索 思考： 1. 这四组数都满足 a2 + b2 = c2 吗？ 2. 分别以每组数为三边长画出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？ 3，4， 5 5，12，13 8，15，17 7，24，25 下面的每组数分别是一个三角形的三边长 a、b、c。 3，4，5 4 5 3 5，12，13 12 13 5 8，15，17 15 17 8 7，24，25 24 25 7 如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2 + b2 = c2，那么这个三角形是直角三角形。 总 结 这个结论称为“勾股定理的逆定理”。 A B C c a b 符号语言： 在△ABC 中， 若 a2 + b2 = c2 则△ABC 是直角三角形。 满足 a2 + b2 = c2 的三个正整数，称为勾股数。 A B C c a b 常见的勾股数： 3，4，5；5，12，13；6，8，10；7，24，25；8，15，17；9，40，41等等。 勾股数拓展性质： 一组勾股数，都扩大相同倍数 k（k 为正整数），得到一组新数，这组数同样是勾股数。 方法总结： 到今天为止，你能用哪些方法判断一个三角形是直角三角形呢？ 判定三角形是否是直角三角形的两种方法： 边 角 （1）找三角形的最长边； （2）计算较短两边的平方和与最长边的平方； （3）若两者相等，则是直角三角形，若不相等，则不是直角三角形 若三角形中有一个角为直角，则是直角三角形，否则不是直角三角形 一个零件的形状如图所示， 按规定这个零件中∠A和∠DBC 都应为直角。工人师傅量得这个零件各边尺寸如图所示，这个 零件符合要求吗？ 例 题 解：在△ABD中，AB2 + AD2 = 9 + 16 = 25 = BD2， 所以△ABD 是直角三角形，∠A 是直角。 在△BCD 中，BD2 + BC2 = 25 + 144 = 169 = CD2， 所以△BCD 是直角三角形，∠DBC 是直角。 因此，这个零件符合要求。 题型一 判断三角形的形状 如图，E，F 分别是正方形 ABCD 的边 BC 和 CD 上的点，且 AB ＝ 4，CE ＝ BC，F 为 CD 的中点，连接 AF，AE，EF，△AEF 是什么三角形？请说明理由。 4 1 解：△AEF 为直角三角形。理由如下: 因为四边形 ABCD 是正方形， 所以 AB ＝ BC ＝ CD ＝AD ＝ 4，∠B ＝∠D ＝∠C ＝90°。 因为 CE ＝ BC，F 为 CD 的中点， 所以 CE ＝ 1，BE ＝BC－CE ＝ 3，CF ＝ DF ＝ CD ＝2。 所以在 Rt△ABE 中，AE2 ＝ AB2 ＋BE2 ＝ 42 ＋32 ＝ 25； 在Rt△ECF 中，EF2 ＝ CE2 ＋CF2 ＝ 12 ＋22 ＝ 5； 在Rt△ADF 中，AF2 ＝AD2 ＋DF2 ＝ 42 ＋22 ＝ 20， 所以 AE2 ＝ EF2 ＋AF2，所以△AEF 为直角三角形。 1 4 1 2 题型二 利用勾股定理及其逆定理求线段长 如图，在△ABC 中，D 为 BC 边上的一点，已知 AB ＝ 13，AD ＝ 12，AC ＝ 15，BD ＝ 5，求 CD 的长。 A B D C 解：因为AB ＝13，AD ＝12，BD ＝ 5， 所以 AD2＋BD2 ＝122 ＋52 ＝169 ＝132 ＝AB2。所以△ABD 是直角三角形，∠ADB ＝ 90°。 所以∠ADC ＝ 180°－∠ADB ＝ 90°。 所以△ACD 是直角三角形。 根据勾股定理， 得 CD2 ＝AC2－AD2 ＝ 152 －122 ＝ 81， 所以 CD ＝ 9。 A B D C 题型三 利用勾股定理及其逆定理求不规则图形的面积 如图，在四边形 ABCD 中，AB ＝ 3，BC ＝ 13，CD ＝ 12，AD ＝ 4，且 ∠A ＝ 90°，求四边形 ABCD 的面积。 A B C D 解：如图，连接 BD。 在Rt△ABD中，BD2 = AD2 + AB2 = 42 + 32 = 25，所以 BD = 5。 在 △BCD中，BD2 + CD2 = 52 + 122 = 169 = 132 = BC2， 所以△BCD 为直角三角形， ∠BDC = 90°。 所以 S四边形ABCD = S△ABD + S△BCD = AD·AB + BD·CD = ×4×3 + ×5×12 = 36。 1 2 1 2 1 2 1 2 A B C D 题型四 有关勾股数的探究 我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”。 观察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…发现 这些勾股数的勾都是奇数，且从 3 起就没有间断过。 （1）请你根据上述的规律写出下一组勾股数:____________； （2）若满足上面规律的一组勾股数的第一个数用字母 n (n 为 奇数，且 n ≥ 3 ) 表示，则后两个数用含 n 的代数式可分别表示 为________和_________。　　　 思路分析 3，4 = ，5 = 32 - 1 2 32 + 1 2 5，12 = ，13 = 52 - 1 2 52 + 1 2 7，24 = ，25 = 72 - 1 2 72 + 1 2 n， ， n2 - 1 2 n2 + 1 2 题型四 有关勾股数的探究 我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”。 观察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…发现 这些勾股数的勾都是奇数，且从 3 起就没有间断过。 （1）请你根据上述的规律写出下一组勾股数:____________； （2）若满足上面规律的一组勾股数的第一个数用字母 n (n 为 奇数，且 n ≥ 3 ) 表示，则后两个数用含 n 的代数式可分别表示 为________和_________。　　　 11，60，61 n2 - 1 2 n2 + 1 2 课堂小结 勾股定理的逆定理 内容 如果三角形的三边长 a、b、c 满足 a2 + b2 = c2，那么这个三角形是直角三角形。 作用 从三边数量关系判定一个三角形是否是直角三角形。 注意 最长边不一定是 c，∠C 也不一定是直角。 勾股数一定是正整数。 1. 下列各组数中，是勾股数的是(　B　) A. 4，5，6 B. 12，16，20 C. 32，42，52 D. 0.5，1.2，1.3 B 课堂练习 A层 基础练 2. 下列四组数中，能作为直角三角形三边长的是(　C　) A. a＝2，b＝3，c＝4 B. a＝5，b＝6，c＝8 C. a＝5，b＝12，c＝13 D. a＝7，b＝15，c＝12 C A层 基础练 3. 在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c， 且a2＋b2＝c2，则下列说法正确的是(　C　) A. ∠A是直角 B. ∠B是直角 C. ∠C是直角 D. 无法确定谁是直角 C A层 基础练 4. 已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且满足｜8－a｜＋ (b－15)2＋｜17－c｜＝0，则△ABC的形状是(　D　) A. 等边三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 直角三角形 D A层 基础练 5. 如图，分别以△ABC各边为边在△ABC外作正方形，S1， S2，S3分别表示这三个正方形的面积。已知S1＝81，S2＝ 144，S3＝225，则△ABC是 三角形。 直角　 A层 基础练 6. “一树新栽益四邻，野夫如到旧山春”，春天是植树的最 佳季节。如图，四边形ABCD为某林场种植树林的区域， AB⊥BC。经测量，AB＝9 km，BC＝12 km，CD＝8 km， AD＝17 km。 (1)护林员操控一架无人机从A处沿直线飞行到C处进行巡查， 求无人机飞行路径AC的长； 解：(1)因为AB⊥BC，所以∠B＝90°。 在Rt△ABC中，AB＝9 km，BC＝12 km， 由勾股定理，得AC2＝AB2＋BC2，即AC2＝92＋122。 解：(1)因为AB⊥BC，所以∠B＝90°。 在Rt△ABC中，AB＝9 km，BC＝12 km， 由勾股定理，得AC2＝AB2＋BC2，即AC2＝92＋122。 解得AC＝15。 所以无人机飞行路径AC的长为15 km。 解得AC＝15。 所以无人机飞行路径AC的长为15 km。 A层 基础练 6. “一树新栽益四邻，野夫如到旧山春”，春天是植树的最 佳季节。如图，四边形ABCD为某林场种植树林的区域， AB⊥BC。经测量，AB＝9 km，BC＝12 km，CD＝8 km， AD＝17 km。 (2)试说明：AC⊥CD。 解：(2)因为AD2＝172＝289，CD2＋AC2＝82＋152＝289， 所以AD2＝CD2＋AC2。 所以△ACD是直角三角形，且∠ACD＝90°。 所以AC⊥CD。 解：(2)因为AD2＝172＝289，CD2＋AC2＝82＋152＝289， 所以AD2＝CD2＋AC2。 所以△ACD是直角三角形，且∠ACD＝90°。 所以AC⊥CD。 A层 基础练 7. 已知△ABC的三边长为a，b，c，以下选项能判定△ABC 为直角三角形的是(　B　) A. ∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5 B. a∶b∶c＝3∶4∶5 C. ∠A＋∠B＋∠C＝180° D. a＝2，b＝1，c＝1 B B层 提升练 8. 如图，在 4×4的正方形网格中(每个小正方形边长均为1)， 点A，B，C在格点上，连接AB，AC，BC，则△ABC的形 状是(　B　) A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法确定 B B层 提升练 9. 有一组勾股数，已知其中的两个数分别是20和15，则第三 个数是 ⁠。 25　 B层 提升练 10. 如图，已知∠ADC＝90°，AD＝8，CD＝6，AB＝26， BC＝24。 (1)判断△ABC的形状； (2)图中阴影部分的面积为 ⁠。 96　 (1)解：在Rt△ADC中，∠ADC＝90°，AD＝8，CD＝6， 所以AC2＝AD2＋CD2＝82＋62＝100。所以AC＝10。 在△ABC中，AC2＋BC2＝102＋242＝676，AB2＝262＝676， 所以AC2＋BC2＝AB2。 所以△ABC为直角三角形。 (1)解：在Rt△ADC中，∠ADC＝90°，AD＝8，CD＝6， 所以AC2＝AD2＋CD2＝82＋62＝100。所以AC＝10。 在△ABC中，AC2＋BC2＝102＋242＝676，AB2＝262＝676， 所以AC2＋BC2＝AB2。 所以△ABC为直角三角形。 B层 提升练 11. (教材P23习题T14•改编)(1)已知△ABC的三条边长分别为a，b，c， 且a＝m2－n2，b＝2mn，c＝m2＋n2(m＞n，m，n是正整数)。△ABC是直角三角形吗？请说明理由。 解：(1)△ABC是直角三角形。理由如下： 因为a＝m2－n2，b＝2mn，(m＞n，m，n是正整数)， 所以a2＋b2＝(m2－n2)2＋(2mn)2 ＝m4－2m2n2＋n4＋4m2n2 ＝m4＋2m2n2＋n4。 因为c2＝(m2＋n2)2＝m4＋2m2n2＋n4， 所以a2＋b2＝c2。 所以△ABC是直角三角形。 C层 拓展练 11. (教材P23习题T14•改编)(2)①大家知道(3，4，5)(5，12，13)(8， 15，17)都是勾股数组。有人说勾股数组中一定有一个偶数，你认为这 种观点正确吗？说明你的理由； ②除此之外，你还能发现勾股数组具有哪些规律？与同伴进行交流。 ②(答案不唯一)勾股数组中较大的两个数为连续整数时，最小数的平方 为奇数。理由如下： (2)①正确。理由如下： 如果三条边长全部为奇数，奇数的平方还是奇数，两个奇数的和为偶 数，所以两直角边长之和必为偶数，而斜边的平方为奇数，两者不可能 相等， 即一定存在一个偶数。 ②(答案不唯一)勾股数组中较大的两个数为连续整数时，最小数的平方 为奇数。理由如下： 不妨令最大整数为m，跟它连续的整数为m－1， 根据勾股定理有，m2－(m－1)2＝2m－1， 即最小数的平方为奇数。 C层 拓展练 $