广东深圳市多校联考2025-2026学年第二学期高二期末质量检测数学试卷

**基本信息** 立足高二数学核心内容，通过深圳“五一”旅游统计、立体几何模型等真实情境设计，考查数学抽象、空间观念及数据分析能力，实现基础巩固与创新应用的梯度融合。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择题|8/40|复数、椭圆、集合等|基础知识点全面，如第5题函数奇偶性考查抽象能力| |多项选择题|3/18|立体几何、抛物线、解三角形|综合性强，如第10题抛物线焦点弦性质考查推理意识| |填空题|3/15|圆锥曲线交汇、概率、三角函数图像|跨模块融合，如第12题抛物线与双曲线综合体现数学眼光| |解答题|5/77|统计与概率、立体几何、数列、函数、解析几何|情境真实层次分明，如15题旅游数据统计考查数据观念，18题函数问题梯度提升考查数学思维|

2025-2026学年第二学期高二期末质量检测 数学试卷 本试卷共4页，19小题，满分150分。考试用时120分钟 1．答题前，考生请务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知复数，则（    ） 高二数学试卷 第 1 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 A． B． C． D． 2．已知中心在原点的椭圆的右焦点为，离心率等于，则的方程是（     ） A． B． C． D． 3．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 4．的展开式中的系数是（     ） A． B．26 C． D． 30 5．已知函数是奇函数，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 6．已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．的定义域为 B．的最小正周期为 C． D．的图象关于点对称 7．若函数，则（   ） A．6322 B． C． 6321 D． 8．已知，则（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．在平行六面体中，，，，分别为棱，的中点，则（    ） A． B．平面 C． D．直线与所成角的余弦值为 10．已知抛物线，过抛物线的焦点的直线与抛物线交于，两点，则（   ） A．抛物线的准线方程为 B．若，则 C．的最大值为 D．为钝角 11．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（   ） A．若，，，则符合条件的有且仅有一个 B．若，则是等边三角形 C．若，则是锐角三角形 D．若，则为等腰三角形 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知抛物线的焦点是双曲线的一个顶点，为与的交点，，则的离心率为________． 13．盒中有编号从1到10的10张卡片，其中奇数号卡片的正面为黑色，偶数号卡片的正面为白色，反面完全相同，每张卡片被抽到的概率相同．现从中随机抽取4张，则这4张卡片的编号之和恰好为16的概率为________； 14．函数的部分图象如图所示．若，且，则的值为_______． 4、 解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）近年来，深圳市的旅游业发展势头强劲.根据中新网报道，在今年“五一”假期，我市共接待游客达到352.26万人次，旅游总收入约达到26.7亿元，与去年同期相比，游客接待量增长了22.26%，旅游收入增长了20.84%.为了探究“五一”期间游客选择我市旅游线路是否受到某款""宣传的影响，一家研究机构随机抽取了100名来我市旅游的游客进行了调查，以下是调查数据（单位：人）的统计结果： 选择线路的游客 不选择线路的游客 合计 受""宣传影响 40 20 60 未受"宣传影响 10 30 40 合计 50 50 100 (1)试计算的观测值，你有多大的把握认为受""宣传对今年“五一”假日期间到我市旅游的游客选择线路有影响？ (2)若从我市全体游客中抽取2次，每次抽取1名游客.假设全体游客中男、女人数相等，第一次等可能地从男、女游客中抽取1名，若第一次抽到男游客，则第二次抽到男游客的概率为；如果第一次抽到女游客，则第二次抽到男游客的概率为，求第二次抽到男游客的概率. (3)若已知样本中男游客人数为50人，其中选择线路游客为30人；女游客人数为50人，其中选择线路游客为20人.以样本频率估计总体的概率.若从全体游客中男、女各随机抽取2名，设2名男游客中选择线路人数为，2名女游客中选择线路人数为，令，求的分布列. 参考公式及数据：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 16．（15分）如图，在四棱锥中，底面，，，，. (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 17．（15分）已知数列满足：． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 18．（17分）已知函数． (1)求曲线在点处的切线； (2)当时，讨论函数的单调性； (3)当时，若对任意的，恒成立，求的取值范围． 19．（17分）在直角坐标系中，点到直线的距离与点到点的距离相等，记动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)已知经过点的直线与交于，两点，且． （ⅰ）求直线的方程； （ⅱ）若经过点的直线（与不重合）与交于，两点，且，位于轴同一侧，直线与直线相交于点，证明：点在定直线上． $20252026学年第二学期高二期末质量检测 数学试卷 本试卷共4页，19小题，满分150分。考试用时120分钟 1.答题前，考生请务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 用2B铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码 粘贴处”。 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点 涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相 应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案：不准使用铅笔和涂改液。不按 以上要求作答的答案无效。 4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1.已知复数：中2 则=() A.10 B.5 c.5 D.vio 5 10 2.已知中心在原点的椭圆C的右焦点为√5.0，离心率等于 ,则C的方程是() 2 B.x2+ =1 C. 4 4 31 4 D. 4+护1 3.已知集合A=(xs1,8=(xp=,则An8=（) A.[0,] B.[-1] C.[-1,0] D.(0,1] 4.(1-2x)1+3x)的展开式中x2的系数是() A.-26 B.26 C.-30 D.30 5.已知函数f)-是奇函数则a《） A.-1 B.0 C.1 D.2 6。已知面数=子-习-1，则下列结论正确的是（) A.f(x)的定义域为{dx≠2k+,kEZ} B.f(x)的最小正周期为8 c.f(1)>f(-2) D.f(x)的图象关于点 高二数学试卷第1页共4页 =() A.6322 12253 12153 B. C.6321 D. 8.已知a=eb=3,c=1h3,则（) e-1 e A.a<b<c B.b<a<c C.b<c<a D.c<b<a 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.在平行六面体ABCD-48C凸中，AB=AD=A4=2,∠4AB=∠4AD=∠BAD=, N分别为棱BC,CC的中点，则() A.M//AD B.BD⊥平面AACC C.4C-=26 D.直线W与AC所成角的余弦值为 10.已知抛物线C:y2=4x,过抛物线C的焦点F的直线1与抛物线C交于A(:1,h), B(,乃)两点，则() A.抛物线C的准线方程为x=-2 B.若A可=4，则x=3 C.A可B的最大值为16 D.∠AOB为钝角 11.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,则下列说法正确的是() A.若a=4,b=6,A-石则符合条件的△ABC有且仅有一个 B.若cos(A-B)cos(B-C)cos(C-A)=1,则△ABC是等边三角形 C.若a3=b+c3,则△ABC是锐角三角形 D.若Q-c0A cosB 则△ABC为等腰三角形 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知抛物线CyP=4x的焦点F是双曲线C:-京-1(a>0,b>0)的一个项点，P为 C与C,的交点，PF=3,则C,的离心率为 13.盒中有编号从1到10的10张卡片，其中奇数号卡片的正面为黑色，偶数号卡片的正面 为白色，反面完全相同，每张卡片被抽到的概率相同.现从中随机抽取4张，则这4张卡片 的编号之和恰好为16的概率为： 高二数学试卷第2页共4页 14.函戴0)-ox+n口>0H司的部分图象知图 11元 所示.若0<<西<2r,且f)=f)=,则气+3 6 的值为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)近年来，深圳市的旅游业发展势头强劲.根据中新网报道，在今年“五一”假期， 我市共接待游客达到352.26万人次，旅游总收入约达到26.7亿元，与去年同期相比，游客 接待量增长了22.26%，旅游收入增长了20.84%.为了探究五一”期间游客选择我市A旅游线 路是否受到某款"APP"宣传的影响，一家研究机构随机抽取了100名来我市旅游的游客进 行了调查，以下是调查数据（单位：人）的统计结果： 选择A线路的游客 不选择A线路的游客 合计 受"APP"宣传影响 40 20 60 未受"APP"宣传影响 10 30 40 合计 50 50 100 (1)试计算父的观测值，你有多大的把握认为受"APP"宜传对今年“五一”假日期间到我市旅 游的游客选择A线路有影响？ (2)若从我市全体游客中抽取2次，每次抽取1名游客.假设全体游客中男、女人数相等，第 次等可能地从男、女游客中抽取1名，若第一次抽到男游客，则第二次抽到男游客的概率 为：如果第一次抽到女游客，则第二次抽到男游客的概率为子，求第二次抽到男游客的概 率 (3)若己知样本中男游客人数为50人，其中选择A线路游客为30人：女游客人数为50人， 其中选择A线路游客为20人.以样本频率估计总体的概率若从全体游客中男、女各随机抽取 2名，设2名男游客中选择A线路人数为X,2名女游客中选择A线路人数为Y,令=X+Y, 求5的分布列 n(ad-bc) 参考公式及数据：X= 其中n=a+b+c+d」 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) P(2zx) 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 而 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 高二数学试卷第3页共4页 16.(15分)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD, PA=AB=AD=3,CB=CD,∠BAD=60°，∠BCD=120° (1)证明：平面PAB⊥平面PBC: (2)求平面PAB与平面PCD夹角的余弦值. B 17.(15分)已知数列(a)满足：受+号+号++导=2-2meN (1)求数列{a}的通项公式： (2)若b.=a+1og2a,求数列{凸}的前n项和S. 18.(17分)己知函数f(x)=2e+aln(x+1)-2. (1)求曲线y=f(x)在点(0，f(0)处的切线： (2)当a=-2时，讨论函数f(x)的单调性： (3)当a<0时，若对任意的x∈[0，兀]，f(x)≥snx恒成立，求a的取值范围. 19.(17分)在直角坐标系xOy中，点P到直线2x+1=0的距离与点P到点F 2 的距离 相等，记动点P的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程： (2)已知经过点F的直线马1与C交于A,B两点，且AB=2. (i)求直线的方程： ()若经过点F的直线（与不重合）与C交于M,N两点，且M,A位于x轴同一侧， 直线AM与直线BW相交于点飞，证明：点E在定直线上 高二数学试卷第4页共4页2025-2026学年第二学期高二期末质量检测 数学参考答案 本试卷共4页，19小题，满分150分。考试用时120分钟 1.答题前，考生请务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 用2B铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码 粘贴处”。 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点 涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相 应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案：不准使用铅笔和涂改液。不按 以上要求作答的答案无效。 4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 C D A 0 0 0 D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9 10 11 BD BD BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.33 3 3 13. 70 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（1)提出统计假设H:受"APP"宣传对今年五一”假日期间游客选择我市的A线路无 影响，根据列联表中数据，x-100x(40×30-20×10 S ≈16.667>10.828， 60×40×50×50 3 根据小概率值的独立性检验，推断H,不成立，所以有99.9%的把握认为受"APP"宣传对今 年“五一”假日期间游客选择我市的A线路有影响. (2)设A表示第i次抽到男游客，B表示第次抽到女游客，i=1,2. 白可有4-P()-分P44)分P)-号 由全概率公式，第二次抽到男游客的概率 P(A)=P(A)P(AIA)+P(B)P(4IB) 品 《3)由题知，样本中选择A钱路的男游客频率为，选择4线路的女游客频率为号 .3 数学参考答案第1页共5页 P(Y=0)= P(Y=2)= 25 5的所有可能取值为0,1,2,3,4， 则P(5=0)=P(X=0,7=0=4x9=36 2525625 P(5==PK=0,I=1+PK=1r=0421是9156 25252525 625, P(5=2)=P(X=0,Y=2)+P(X=1,Y=1)+P(X=2,Y=0) 44.1212,99241 25×25+25×252525625 9 P(5=)=(X=Ly=习+X=27-9号4只号6 25'252525 625 P5=4)=P(X=2.Y=2)2525625 4936 所以随机变量5的分布列为： 5 0 1 2 3 4 36 156 241 156 36 625 625 625 625 625 16.(1)连接AC, :AB=AD,CB=CD,AC=AC,△ABC≌AADC, :∠BAD=60°，∠BCD=120°，∴.∠BAC=30°，∠ACB=60°， ∠ABC=90°，即AB⊥BC; D :PA⊥平面ABCD,BCC平面ABCD,.PA⊥BC, ABOPA=A,AB,PAC平面PAB,,BC⊥平面PAB, :BCC平面PBC,.平面PAB⊥平面PBC. (2)由(1)知：△ABC2△ADC,∠ADC=∠ABC=90°， 以D为坐标原点，DA,DC正方向为x,y轴正方向，作z轴∥PA,可建立如图所示空间直角 坐标系， :CD=AD.tan30°=√3， 数学参考答案第2页共5页 c..). P(3,0,3), 设平面PCD的法向量i=(x,y,), {Dc-i=V5=0，令x=1,则=0,2=-1，元=1,0，-： DP.ii=3x+3z=0 由(I)知：BC⊥平面PAB,.平面PAB的一个法向量为BC= BC. 3 ·cosBC, -6 BCm5x√24 :平面PAB与平面PCD夹角的余弦值为y 4 17.(1)因为9++g++=2H-2,n∈N, 22223 2” 当1=1时.号-2-2-2，所以4=4，当n≥2时，号+号+学++经-2-20 2 号+号+号++禁-”-2@.0-@得，受-202-(-列=2”，所以a=40u22, 2-1 4=4也满足4.=4.综上，4=4(n∈N). (2)由题可知bn=a.+log2a.=4”+2n, 所以S=(4+42+43++4)+2(1+2+3+…+川= 4-4）+2x+m-44r+n 1-4 2 3 18.(1)由f(y)=2e*+ah(c+1)-2,得f"(x)=2e+a +11 则f'(0)=2+a,又f(0)=0, 所以曲线y=f(x)在点(0，f(0)处的切线为y=(2+a)x: (2)当a=-2时，f(x)=2e-2n(x+1)-2,x∈(-1，+oo), 令8国-中则g四=e+石 +0°>0， 数学参考答案第3页共5页 所以g(x)在(-1，+o)单调递增，且g(0)=0, 所以当x∈(-1,0)时，g(x)<0,则'(x)<0,函数f(x)单调递减， 当x∈(0，+w)时，g(x)>0,则f"(x)>0,函数f(x)单调递增， 所以函数f(x)的减区间为(-1,0)，增区间为(0，+∞)： (3)设h(x)=f(x)-sinx=2e+aln(x+1)-2-sinx,x∈[0，π]， 则d2e土csx,因为a<0时，所以r=:为增函数 x+1 又y=2e,y=-cosr在[0，π]上都是增函数， 所以函数y=h(x)在[0，π上单调递增，且H(0)=2+a-1=1+a, 当1+a≥0即a≥-1时，h(0)≥0， 所以函数y=h(x)在[0，]上单调递增，所以h(x)≥h(0)=0,所以-1≤a<0时，符合题意； ②当1+a<0即a<-1时，(0)<0，又h(m)=2e+a+1, π+1 当1（π）≤0即a≤-（π+1）(2e+1)时，H(x)≤0恒成立， 所以函数y=h(x)在[O,π]上单调递减，所以h(x)≤h(O)=0,此时不符合题意； 当1（π）>0即-（π+1）(2e+1)<a<-1时，存在x∈(0，)，使得h(6)=0, 且当x∈(0，x)时，h(x)<0,当x∈(x,)时，h()>0, 即函数y=h(x)在(0，)上单调递减，此时h(x)≤h(0)=0,不符合题意： 综上所述，a的取值范围是[-1,0)， 19.(1)因为点P到直线2x+1=0的距离与点P到点F 行0的距相等。 1 根据抛物线的定义，可得曲线C是以F 行0为焦点，以x=号为准线的抛物线。 2 设抛物线的方程为=2px(p>0),则号=}。 2 2:可得p=1, 所以抛物线C的方程为y2=2x. (2D设直装的方婴为x=m-宁且408无，9， 数学参考答案第4页共5页 x=nly+- 联立方程组 2,整理得y2-2y-1=0,可得y+y3=2my=-1, y2=2x 由弦长公式，可得 AB=V1+mly-为=V1+m.VG+)2-45=1+mV4m+4=20+), 因为AB=2,所以21+m2)=2,所以m2=0,解得m=0, 所以直线4的方程为x=2 1 1 (ii)由(i)直线的方程为x= 1 ·解得y-1,不纺设480， 1 联立方程组” y2=2x 1 设直线的方程为x=y+二，t≠0， 2 1 联立方程组 x=+2,整理得y-2w-1=0, y2=2x 设M(3,),N(x4,y4),可得y3+y4=2t,yy4=-1, 可得w-当丛12 ，于1为+1，所以M的方程为y=,2 -222 -+1, +1 月可附：直线N的方程为=2-宁-1， 1、 y=26k- 1 )+1 ⅓+1 21 联立方程组 1、 ,可得(22 得北-为-2， y4-1 1 整理得= 2 11 1y+%-为1-1-1+4为，114-为-2.-1 2 %3+1y4-1 4为22出-%-2=2为22 所以点K的横坐标的位恒为子所以点K在直线x=}上 1 2 数学参考答案第5页共5页