广东实验中学深圳学校2025-2026学年高二下学期第三次教学质量检测（期末）数学试题

2025-2026学年春季学期高二年级第三次教学质量检测 数学试题 命题：胡大权 审定：周珊珊 校对：周珊珊 2026.7 本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分。考试用时120分钟。 注意事项： 1、答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡密封线内 相应的位置上，用2B铅笔将自己的学号填涂在答题卡上。 2、选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上。 3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上作答，答案必须写在答题卡各题目指 定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再 写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4、考生必须保持答题卡的整洁和平整。 第一部分选择题（共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1.已知一组数据12,10,8,15,6,8，这组数据的中位数是() A.12 B.10 C.9 D.8 2.设e,g是平面内一组基底，平面向量a=2g-e,b=e+ke,.若存在实数1，使得a+b=0, 则k=() A.-2 B c D.2 3.已知函数fx)=上x2-1nx,则曲线y=f(d)在x=1处的切线方程为（) A.4x+6y-5=0 B.4x-6y+5=0 C.6x-y+1=0 D.3x-2y=0 4.已知集合A= =2=2-x-2<以则nB=（) A.{-V5,0,3B.{0,1W3} c.{-5,-1,0} D.{-10,5} 5.若直线y=x-1交抛物线y2=4x于A,B两点，则AB=() A.22 B.4 C.4v2 D.8 第1页，共4页 6.若函数f(x)=lnr-x-a的最大值为-2，则a=() A.1 B.2 C.e D.e2 7.北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三 层，上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石 砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块， 下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依 次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729 块，则三层共有扇面形石板（不含天心石）() A.3699块 B.3474块 C.3402块 D.3339块 8.设U={(,x2,x)∈{1,0,1}，i=1,2,3}为空间中点构成的集合，点P(-1,-1,-1),记样本空 间2=C,P,从2中随机取一个点，定义随机变量X如下：对2中的每个点A(3,x2,x3),令 X(A)=x+x2+x3,则X的数学期望值为() B 3 C.0 D.26 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符 合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9记w:+9, i,则下列结论正确的是() 2 A.@=1 B.w2+0=-1 C.a02025=1 D.w2+o=0 10.已知圆C:(x-a)2+(y-2a+1)2=1,则下列说法正确的是() A.直线2x-y+1=0与圆C可能不相交 B.圆心C的轨迹是一条直线 C.圆C与圆(x-√5)2+(y+1)=1至多一个公共点 D.若直线x+y+1=0(>0)与圆C相交，则其相交弦的弦长最大值为2 11.已知空间四边形ABCD中，AC=CD=1,BC=√2，且∠ACD=120°，∠ACB=45°，设 AC与平面BCD所成角为a,二面角A-CD-B的平面角为B,则() A.3AB=AD B.sina= 5 C.coB的最小值为 D.a>45 3 第2页，共4页 第二部分非选择题(92分) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.椭圆25x2+9y2=225的离心率为 13.己知f=cos(am+0)(a∈Z,0≤0<2元)是偶函数，f()在区间0,2 上单调递增.则 8= 14.设实数d满足：存在数列{a},使得对于任意n∈N,均有4+4++an=2m-1,且{a} 中有某连续9项ak,ak+1,,as是公差为d的等差数列.则d的最小值为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.(本题13分)如图，在△ABC中，D为边BC上一点，且CD=2AD,AC=B3,cos∠ADC= 31 (1)求CD: (2)若sinB= ,求BD 3 16.(本题15分)有动物类和植物类两个谜语题库，甲猜对动物类、植物类题库中每道谜语的 概率分别为0.8,0.5.现有两种答题方案：方案一，甲先从动物类题库中选一道谜语作答，猜 对得奖金15元，且只有猜对该道谜语，才有资格从植物类题库中再选一道谜语作答，猜对第 二道得奖金25元：方案二，甲从动物类题库中选两道谜语作答，每猜对一道得奖金15元. (1)若甲选择方案一的奖金金额为X元，求X的分布列与期望 (2)以甲获得奖金金额的期望值为决策依据，他应该选择哪个方案？并说明理由： 第3页，共4页 17.(本题15分)如图，在三棱柱ABC-A1B,C中，侧面A1ACC为正方形，AB⊥AC,AB=AC=2, D为BC的中点. A (1)求证：A1C/平面ABD: (2)若A1CLAB,求点B到平面DAB的距离. 1级休想17分》日双曲线C言若-a>0b>0的左齿点为心2.离心丰为3. (1)求C的方程： (2)设O为坐标原点，过F且斜率大于0的动直线1与C交于P,Q两点，其中Q在第三象限， 直线PO与C的另一个交点为R. (i)若△PQR的面积是△PFO的面积的6倍，求l的方程： (i)求tan∠POR的取值范围. 19.(本题17分)已知函数y=f(x)的定义域为R.对于正实数α，定义集合 M。={lf(c+a)=f()}. (L)若fw)=snx,判断是否是M,中的元素，请说明理由： 2 x+2,x<0 (2)若f(x)= R,x≥0 M.≠☑，求a的取值范围； (3)若y=f(x)是偶函数，当x∈(0，]时，f(x)=1-x,且对任意a∈(0,2)，均有Ma二M.写 出y=f(x),x∈(1,2)解析式，并证明：对任意实数c,函数y=f(x)-c在[-3,3]上至多有9 个零点. 第4页，共4页2025-2026学年春季学期高二年级第三次教学质量检测 数学参考答案及说明 一、二、选择题 题号 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B A ⊙ D A 0 题号 9 10 11 答案 ABC BCD ABC 三、填空题 13.元； 14.9 三、解答题 15.(1)设AD=x,则CD=2x, 由余弦定理可得AC2=AD+CD2-2AD.CDcos.∠ADC,. 2分 即3=r+4-4写得=3. 所以CD=2x=6… 6分 （2)由cos∠ADC=写，得cs∠ADB= 3,则sin∠ADB= 2W5 8分 由正弦定可得 AB AD sin∠ADB sinB’解得」 9分 AB=ADsin<ADB 3x3 3 --2W6 sinB V3 10分 3 由余弦定理得 AB2=AD3+BD2-2 ADx BDc0S∠ADB,11分 即BD2+2BD-15=0,12分 而BD>0,所以BD=313分 16.(1)若甲选择方案一，则奖金金额为X可取0,15,40,1分 设“猜对动物类谜语”为事件A,则P(A)=0.8, 猜对“植物类谜语为事件B,则P(B)=0.5,且A,B相互独立， 3分 则P(X=0)=P(A)=1-0.8=0.2, P(X=15)=P(AB)=0.8×1-0.5)=0.4, 答案第1页，共7页 P(X=40)=P(AB)=0.8×0.5=0.4,6分 所以X的分布列为 X 0 1 40 0.2 0.4 0.4 ……………………………7分 期望E(X)=0×0.2+15×0.4+40×0.4=22（元)9分 (2)设方案二的奖金金额为Y,设猜中动物类谜语的数量为5，则Y=155,.10分 由题意专-B(2,0.8)11分 则E(5)=2×0.8=1.6, 12分 所以E()=15E(5)=15×1.6=24（元)，（用分布列求出给同样的分）13分 因为E()>(X), 所以甲应选择方案二 15分 17.(1)如图，连接AB,设AB∩AB,=E,连接DE. .1分 因为在三棱柱ABC-A,B,C,中，四边形AABB,是平行四边形，所 以E为AB的中点。 因为D为BC的中点，所以 DE//AC.……3分 又因为A1Ct平面AB,D,DEC平面AB,D, 所以AC/平面ABD …5分 (2)因为AB⊥AC,AB⊥AC, 又AC∩AC=C,A1Cc平面AACC1,ACC平面AACC1, 所以AB1平面AACC,又AAC平面AACC,所以AB1AA1·.7分 因为AA⊥AC,所以AB,AC,AA两两相互垂直.8分 ZA 如图建立空间直角坐标系A-z, 答案第2页，共7页 则A(0,0,0),B(2,0,0),B(2,0,2）,D1,1,0),C(0,2,0) 所以AB=(2,0,2),AD=(11,0),AB=(2,0,0)9分 设平面AB,D的法向量为元=(x,y,z),则 m:AB=0即 2x+2=0 mAD=0 x+y=0’ 令x=-1,则y=1,z=1于是m=（-1,1,1). 12分 设点B到平面ABD的距离为d,则 d= B:m_上2+0+023 14分 3 所以点B到平面A8D的距离23 3 15分 S,)已知双曲线CC-芳Ia>0,b>0)的左焦点为F(-10),离心率e2 则c=2,e=C=2, .2分 a 解得a=1,b2=c2-a2=2-1=4-1=3, .3分 因此双曲线的方程为x- 3 =14分 1 (2)(i)如图所示，设直线l的方程为x=my-2,其中斜率k=二>0→m>0,5分 设点P(x,y1),点Q(x2,y2),且5，<0， 根据双曲线的中心对称性可知，点R(-5,-), x=0y-2 联立直线与椭圆方程，得 化简得(3m2-1)y2-12my+9=0,.6分 12 9 由韦达定理可得y+为=3m二4%=3m一1 因为Q点在第三象限，所以y,<0 所以0<m< 3 7分 答案第3页，共7页 因为R是P关于原点O的对称点，所以O是线段PR的中点， 因此SPeo=SR20,所以SP2R=2S.P20, 由于SPR=6SPF0,所以SPe0=3S.PF0, seo=o-以=1y-以=y-,s.oo例=1=， 所以(2-为3：即4-=3引， 由于y1>0,y2<0,所以简化为1-为=31→21=-， 9分 代入市达定理，得头2则头=-2或=2 -12m2 9 3m2-1-3m2-1 化简得35m2=1,由于>0，解得m=V35 35 10分 所以直线1的方程为x=35, 5y-2,即y=V35(x+21 (ii)由题意，∠PQR即为直线QP与直线2R的夹角，12分 直线QP即直线1，方程为x=y-2(>0), 1 点Q(x2,y2),点P(x1,y1),点R(-,-),直线QP的斜率k2r= 直线2R的斜率k-与二）_+ x2-（-x)x2+x1 由于P,0在直线x=y-2(m>0)上，有x=%-2,=y-2, 12m 则2m+代入y1+y2 12m 则k2R= 3m2-1 121 .12m.-412m2-4(3m2-1) =3,… .14分 3m2-1 设直线QP的倾斜角为a,直线QR的倾斜角为B,则∠PQR=a-B, 因此ta∠POR=tam(a-p)=tana-tang-kor-kon 1+tanctang1+kgp·ker 答案第4页，共7页 即tan∠PQR= kop-koR =m 2-1之-3 1+kop kor 1+1.3m 4 m 16分 又内为y4品3网.0m 单调递减， 3 所以tan∠POR的取值范围(0，+oo)…. 17分 .1分 则T不是M.中的元素 3 2分 (2)法一：因为M.≠，则存在实数使得f(+a四=f(),且a>0, 当x<0时，∫(x)=x+2,其在（∞，0）上严格单调递增， 当x≥0时，f(x)=,其在[0，+0)上也严格单调递增，3分 则<0≤十A,则X十2=V十☑，4分 令x+2=0,解得x=-2,则-2≤x<0, 则a=回-=6+9-{s子子 .6分 法二：作出该函数图象，则由题意知直线y=t与该函数有两个交点， 由图知0≤t<2,假设交点分别为A(,t),B(n,t), m=t 联立方程组 n+2=t 得a=4B=m-n=产--创=f-子[子 yf(x) V-t (只有图像和结论给1分)6分 B 22 4 (3)对任意∈1,2)，x-2∈(-1,0)，因为其是偶函数， 则f(6-2)=f(2-),而2-x-(-2)=4-2x∈(0,2)， 答案第5页，共7页 所以-2∈M4-2二M2, 所以f()=f(6-2)=f(2-),因为x∈(1,2)，则2-6∈(0,1)， 所以f(3)=f(2-)=1-(2-)=x-1,所以f(x)=x-1,x∈(L,2）,8分 所以当s∈(0,1)时，1-5∈(0,1)，1+5∈1,2)，则f1-s)=1-1-5)=5, f1+5)=1+s)-1=5,则f1-s)=f0+5),而1+s-1-s)=2s,(3-s)-1-5)=2, 则1-5∈M.二M,则f1-)=f3-S), 所以当x∈(2,3)时，f(x)=f(x-2)=1-(x-2)=3-x,而f(x)为偶函数，画出函数图象如下： 其中f(-3)=∫(3)，∫（仁2）=∫2)b∫0)，但其对应的y值均未知……10分 首先说明f(-3)=nE(0,1), 若f(-3)=n∈(0,1)，则-3+n∈(-3，-2)，易知此时f(x)=x+3,x∈(-3，-2)， 则f(-3+)=n,所以f(-3)∈MncM2,而x∈[-1,0)时，f(x)=x+1, 所以f(-3)=f(-1)=0,与f(-3)=n矛盾，所以f(-3)E(0,1),即f(-3)=f(3)E(0,1), 令y=f(x)-C=0,则y=f(x)=C,12分 当c=0时，即使让f(-3)=f(3)=f(-2)=f(2)=f孔0=0，此时最多7个零点， 13分 当c≥1时，若f(-2)=f(2)=f(0)=f(3)F∫B上c,此时有5个零点， 故此时最多5个零点： 答案第6页，共7页 14分 -2-10 23 当c<0时，若f(-2)=f(2)=f(0)=f(3上fβ上c,此时有5个零点， 故此时最多5个零点； 15分 -3 1-2 当0<c<1时，若f(-2)=f(2)=∫(0)=c,此时有3个零点， 若f(-3)=c∈(0,1)，则-3+c∈(-3，-2)，易知此时f(x)=x+3, 则f(-3+c)=c,所以f(-3)∈M。s4,而x∈[-1,0)时，f(x)=x+1, 所以f(-3)=f(-1)=0,与f(-3)=c矛盾，所以f(-3)E(0,1), 则最多在(-3，-2)，(-2，-1)，(-1,0)，(0,1)，1,2)，(2,3)之间取得6个零点， 以及在x=-2,0,2处成为零点，故不超过9个零点 16分 综上，零点不超过9个17分 答案第7页，共7页